精品解析：广东省 惠州市惠阳区第一中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025—2026学年第一学期九年级第二次拓展训练数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，根据定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称又是轴对称图形，故A选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A ． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、的最高次数是，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：根据题意：旋转角是． 故选：C． 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像的平移规律，可得答案． 本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式为， 故选：A． 5. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵半径是5，， ∴， ∴点P在圆外， 故选：C． 6. 二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A. 向上，直线，(4，5) B. 向上，直线，(﹣4，5) C. 向上，直线，(4，﹣5) D. 向下，直线，(﹣4，5) 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴及顶点坐标，可求得答案． 【详解】二次函数的图象的开口向上、对称轴为直线、顶点坐标为(4，5)， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 7. 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. x D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设数学兴趣小组人数为x人，根据“每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张新年贺年卡”列方程解答即可． 【详解】解：设数学兴趣小组人数为x人，列方程为， 故选：A． 8. 如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠BOC的大小是( ) A. 126° B. 34° C. 136° D. 68° 【答案】C 【解析】 【详解】∵∠BOC和∠A对着相同的弧BC，∠A＝68°， ∴∠BOC=2∠A=2×68º=136º. 故选C. 9. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 任意买一张电影票，座位号是单号 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，进行判断即可． 【详解】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，不符合题意； C、在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即的取值范围为． 故答案为：． 12. 点关于原点成中心对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 13. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵，分别是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，正六边形的外接圆半径等于其边长． 【详解】解：正六边形的中心与各顶点相连，将正六边形分成六个全等的等边三角形，每个等边三角形的边长均为6，因此外接圆的半径为6． 故答案为：6． 15. 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于的方程是解题的关键．由切线长定理可知：，得到，设，则，然后根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点、、， ， ∴， 设，则， 则． 解得． ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法即可解答； （2）先用十字相乘法进行因式分解，得出，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的． （2）画出与关于原点对称的． 【答案】（1）如图，为求作的图形 （2）如图，为求作的图形 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，网格作图，轴对称和中心对称，掌握图形关于y轴对称和关于原点对称的规律是解题的关键． （1）先求出点关于y轴的对称点，并在坐标系中描出点，然后再顺次连接即可； （2）先求出点关于原点的对称点，并在坐标系中描出点，然后再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：点的坐标分别为； 【小问2详解】 点的坐标分别为． 18. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，于D，交弦于点D，若，，求： （1）求的长． （2）阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）由，根据垂径定理得，在中，运用勾股定理即可求出的长； （2）先求出的长，连接，再求出的长，易证是等边三角形，得到，进而得到，利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵为半圆O的直径，， ∴， 在中，， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：连接， 由（1）知， ∴， 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 根据以上信息解答问题： （1）本次调查的学生总人数有 人； （2）已知全校共1200名学生，请估计全校C档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到2名学生都来自九年级的概率． 【答案】（1）40 （2）360人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）用A档人数除以所占百分比即可得到总人数； （2）先求出C档所占百分比，再乘以1200即可得到结论； （3）分别用甲，乙，丙，丁表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次调查人数是40人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：C档人数是：（人）， （人）， 答：全校C档的人数为360人； 【小问3详解】 解：用甲表示七年级学生，用乙表示八年级学生，用丙和丁分别表示九年级学生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到2名学生都来自九年级的2种， 所以抽到2名学生都来自九年级的概率为：． 20. 综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，即点，，共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形中，，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1）；； （2）（1）中的结论还成立． 理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识；能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键． （1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】解：（1）∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）略 （3）略 21. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）定价为45元，利润最大，最大利润是2250元， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售问题．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和数量的关系，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于每个利润乘数量列出函数关系式； （3）根据，，得到时，w有最大值2250，定价为45元． 【小问1详解】 解：∵售价为每个50元，每天可销售100个．售价每降价1元，每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， ∴； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵，， ∴当时，w有最大值， 最大值为2250， 此时定价为：（元）． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2） 证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点，完成以下作图步骤： 连接，作的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为； 在x轴上多次改变点的位置，用的方法得到相应的点． （1）小明在图按要求已完成了的作图，并确定了，，的位置，请你帮他完成余下的作图步骤，描出对应的，，，……并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线，猜想：曲线的形状是___________． （2）对于曲线上的任意一点，线段与有什么关系？设点的坐标是，试求出，满足的函数关系式． （3）点坐标为，点是曲线上的一动点．问在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图，点，，点为曲线上任意一点，且，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）抛物线； （2），； （3）存在，，； （4）． 【解析】 【分析】根据题干要求画图即可，从图中可以看出曲线的形状是抛物线； 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，所以可得：，整理可得； 根据平行四边形的对边平行且相等可知且，又因为点的纵坐标是，所以点的纵坐标是，代入抛物线的解析式求出点的横坐标，从而得到的长度为，根据点的坐标求出点的坐标； 根据是等边三角形可得，以点为圆心为半径画交抛物线与点，则，求出当时点的纵坐标，从而得到当时点纵坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：如下图所示，曲线的形状是抛物线； 【小问2详解】 解：是的垂直平分线， ， 点的坐标为且， ， 整理得：； 【小问3详解】 解：如图所示， 点、都在轴上， 当并且时，点、、、可以构成平行四边形， 此时轴， 点的坐标是， 点的纵坐标为， 解方程， 得到：，， ， ， 点的坐标是， 设点的坐标为， 则有， 解得：或， 点的坐标为或； 【小问4详解】 解：如图所示， 点，， ， 连接、则有， 是等边三角形，， 以点为圆心为半径画，交抛物线与点，则， 此时， 设点的坐标为， 则有， 整理得：， ， ， ， 或， ， 当时，点纵坐标的取值范围是． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、平行四边形的性质、圆的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的图形与性质，解决本题的关键是根据题意作出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级第二次拓展训练数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 6. 二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A. 向上，直线，(4，5) B. 向上，直线，(﹣4，5) C. 向上，直线，(4，﹣5) D. 向下，直线，(﹣4，5) 7. 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. x D. 8. 如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠BOC的大小是( ) A. 126° B. 34° C. 136° D. 68° 9. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 任意买一张电影票，座位号是单号 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 10. 如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 12. 点关于原点成中心对称的点的坐标为_______． 13. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为________． 14. 已知正六边形的边长为6，那么它的外接圆的半径为________． 15. 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，则______． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的． （2）画出与关于原点对称的． 18. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，于D，交弦于点D，若，，求： （1）求的长． （2）阴影部分的面积． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 根据以上信息解答问题： （1）本次调查的学生总人数有 人； （2）已知全校共1200名学生，请估计全校C档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到2名学生都来自九年级的概率． 20. 综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， ，即点，，共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形中，，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中，，，点，均在边上，且．猜想，，满足的等量关系，并写出推理过程． 21. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为30元，规定售价不低于进价．现在售价为每个50元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加10个．设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个， （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点，完成以下作图步骤： 连接，作的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为； 在x轴上多次改变点的位置，用的方法得到相应的点． （1）小明在图按要求已完成了的作图，并确定了，，的位置，请你帮他完成余下的作图步骤，描出对应的，，，……并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线，猜想：曲线的形状是___________． （2）对于曲线上的任意一点，线段与有什么关系？设点的坐标是，试求出，满足的函数关系式． （3）点坐标为，点是曲线上的一动点．问在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图，点，，点为曲线上任意一点，且，直接写出点的纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $