专题10 解直角三角形应用（题型专练）数学新教材人教版九年级下册

专题10 解直角三角形应用 （题型突破·举一反三） 题型01 仰角、俯角问题 题型02 方位角问题 题型03 航行触礁问题 题型04 坡度问题 ▌题型01 仰角、俯角问题 1．仰角与俯角的定义：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。两者都是“视线”与“水平线”的夹角，取值范围都是0°～90°，且一定画在“观测者的眼睛处”。 2．基本模型 模型一：观测点、目标底部在同一水平线上，目标顶端为，仰角为，水平距离，则视线、水平线、铅垂线围成，，于是；； 模型二：观测点在较高处（如甲楼顶），目标在另一处（乙楼）。从看乙楼顶端得仰角，看乙楼底端得俯角，两建筑的水平距离为。过作水平线交于，则图形被分成上下两个直角三角形。 公式：；； 【典例1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 【答案】A 【详解】解：延长交过点的水平线于点，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故答案为 A． 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，小明在楼顶点处测得对面大楼楼顶点处的仰角为，楼底点处的俯角为．若两座楼与相距米，则大楼的高度为_____________米． 【答案】 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，四边形为矩形， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 即大楼的高度为米． 【变式1-2】（26-27九年级上·湖南永州·期中）零陵古城是湖南第五届旅发大会核心展示地之一，大西门历史文化街区是零陵古城重要板块，保留清代“两纵七横十八巷”古街巷格局，有两千多年建城史．为迎接湖南省第五届旅游发展大会，永州零陵古城对大西门历史街区的青石台阶步道进行保护性修缮．如图，步道斜坡的坡比，斜坡的坡面长度，． (1)求这段斜坡的水平宽度； (2)景区计划在斜坡顶端处修建观景护栏，，在坡底点观测护栏顶端的仰角为，求护栏的高度． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解： ，则是直角三角形， 斜坡的坡比，， 设，则， ，即， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 护栏的高度． 【变式1-3】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 【答案】 【详解】解：设，由题意可知，三点共线，三点共线，，，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得 即这座塔的高度为． ▌题型02 方位角问题 1．方位角的写法：方位角以“正北”或“正南”为始边，写成“北偏东”“北偏西”“南偏东”“南偏西”，其中 0°＜≤90°。例如“北偏东30°”表示从正北方向顺时针转30°，“南偏东60°”表示从正南方向逆时针（向东方）转60°。 2．用“方位刻度”算夹角 把方向换算成从正北顺时针的刻度：北＝0°，东＝90°，南＝180°，西＝270°。两条射线的夹角＝两个刻度之差的绝对值。 3．三种常考的夹角： ①北偏东与北偏西：夹角（同在北方一侧，直接相加）； ②北偏东与南偏东：夹角（分在东西两侧，用180°减去两个角）； ③北偏东与南偏西：若，两射线互为反向延长线，夹角180°。 【典例2】（26-27九年级上·山东淄博·期中）一段东西方向的海岸线上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西方向，向东走300米到达点B处，测得灯塔C位于北偏西方向，点A到灯塔C的距离AC为（     ） A．米 B．米 C．米 D．200米 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 由题意得，，，米， ∴， 在中，（米）， 在中，（米）． 【变式2-1】（2026·山东东营·中考真题）如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为_________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】28.2 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 【变式2-2】（26-27九年级上·山东烟台·期中）如图，甲、乙两辆货车要从市运输货物到市．经查询，道路因塌方不能通行，现有两条路线可供选择：①；②．已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，同时位于市的西北方向，、两市之间的距离为，市位于市的南偏东方向，且恰好与市、市在同一直线上． (1)求、两市之间的距离（结果保留根号）； (2)甲货车选择路线①，平均速度为；乙货车选择路线②，平均速度为．请通过计算说明哪辆货车先到达市？（参考数据：，） 【答案】(1)；(2)见详解 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 由题意得，，，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 、两市之间的距离为， ， ， ， 答：、两市之间的距离为； （2），，  ， ， ， 由（）知：，， ， ∵在中，， ， ， ∴甲货车选择路线①，所需时间为， 乙货车选择路线②，所需时间为， ， ∴乙货车先到达市． 【变式2-3】（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为． (1)求配送点到配送点的距离； (2)快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 由题意得：，，，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 答：配送点到配送点的距离为． （2）解：如图所示，设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，两快递员直线距离为， 快递员甲和快递员乙的速度之比为， 相同时间内快递员甲和快递员乙的路程之比为，即． 设快递员甲离中转站的距离，则， ， 在中，， ，化简得，解得：，． 当时，符合题意，当时，，不合题意，舍去； 答：当两快递员直线距离为时，快递员甲离中转站的距离为． ▌题型03 航行触礁问题 1．判断的依据：船沿直线航行，灯塔（或暗礁中心）到这条直线的“最短距离”就是船与灯塔的最近距离。若这个距离大于危险半径，则安全；小于或等于危险半径，则有触礁危险。 2．解题四步 ①画方位图，标出航线与灯塔的位置； ②把方位角换算成“视线与航线的夹角”（这一步最关键，方位角以南北为基准，航线往往是正东正西）； ③过灯塔作航线的垂线，垂足为，设，用两次正切把航线上两段表示出来，列方程求； ④比较与危险半径，下结论。 【典例3】（2024·安徽亳州·二模）如图，一渔轮在海上A处测得灯塔C在它的北偏东 方向，渔轮向正东方向航行10海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东方向，若灯塔C四周14海里范围内有暗礁，则渔轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险？（，） 【答案】有触礁的危险 【详解】解：过点C作于H，设，在中， ，， 在中， ，， ，，（海里）（海里）， 渔轮继续向正东方向航行，有触礁的危险． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ 【答案】如果船不改变航线继续向西航行，有触礁危险 【详解】解：如图，过点A作于D， 设海里， 由题意得，，，海里， 在中，， ∴海里， 在中， ， ∴海里，解得，， ∵， ∴， ∴如果船不改变航线继续向西航行，有触礁危险． 【变式3-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为25海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上． (1)求之间的距离； (2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 【答案】(1)海里；(2)见详解 【详解】（1）解：过点P作交AB的延长线于C， 设海里， 在中，， 则海里， 在中，， 则海里，(海里)， 由题意得：，即，解得：， 则海里， 答：A、P之间的距离为海里； （2）解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险， 理由如下：， ∴， ∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)海里；(2)见详解 【详解】（1）解：根据题意得，， （海里）， ， ， （海里）， 故处到灯塔的距离为海里； （2）有触礁的危险，理由如下： 过作交的延长线于点， （海里），， （海里）， ， 若该船继续由西向东航行会有触礁的危险． ▌题型04 坡度问题 1．定义：坡度（坡比）是坡面的铅直高度与水平宽度的比，即；坡角是坡面与水平面的夹角。二者的关系是。 2．三个量的关系：坡长（坡面长度＝；；。 3．坡度与“陡”的关系：坡度越大，坡角越大，坡面越陡。坡度是比值、没有单位；坡角是角度、单位是度。 【典例4】（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，小华沿着坡度为的斜坡练习滑雪，若小华从A滑到B，竖直下降的高度为200米，则斜坡的长为（     ） A．米 B．400米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：由题意得，米， 坡度， ，解得米． 在中， 米． 【变式4-1】（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是________． 【答案】40 【详解】解：如图，根据题意可得平行于水平线， ， ∵斜面坡度为， ， ， ， ∵在处测得处的俯角为处的俯角为， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【变式4-2】（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上． (1)________，_________． (2)改善后的滑梯会加长多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：由题意可知，， 在中，，， ，， ，解得（负值舍去）， ， ． 在中，， ，． （2）解：由（1）可知，，， 在中，， ． 答：改善后的滑梯会加长米． 【变式4-3】（2026·四川宜宾·模拟预测）如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【答案】(1)D点到地面的距离为6米；(2)摩天轮的高度为95米 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵斜坡坡度， ∴， ∴， ∵在中，米， ∴（米） 答：D点到地面的距离为6米． （2）解：如图，延长 交于点F，则， 由题可得：，，米，米， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴，即，解得， 即米， ∴（米）， 答： 摩天轮的高度为95米． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10 解直角三角形应用 (题型突破举一反三) 1题型01仰角、俯角问题 三典例精析 【典例1】 【答案】A 【详解】解：延长DC交过点A的水平线于点E,如图， 0 0 B D 则AE⊥DE ∴四边形ABDE是矩形， .'AE=BD=30m 在Rt△ADE中，∠EAD=45, .DE=AE.tan45°=30×1=30(m) 在Rt△ACE中，∠EAC=30°， :CE=AE.am30=30×5=10N5(m）. 3 .CD=DE-CE=(30-103)m. 故答案为A 三举一反目 【变式1-1】 【答案】80 【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E, 1/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 60° E▣ A30 ◇ 203米 B 由题意可知，四边形ABDE为矩形， :.AE=BD=203, 在Rt△ACE中，∠CAE=60° :.CE=AE.tan60°=20W3×V3=60, 在Rt△ADE中，∠DAE=30°， DE-AE.tan30-20x =20, 3 .CD=CE+DE=60+20=80. 即大楼CD的高度为80米. 【变式1-2】 【答案】（④4C=12m:(2(4V3-5)m 【详解】(1)解：BC⊥AC “∠C=90°，则△ABC是直角三角形， 斜坡AB的坡比i=1:2.4,AB=13m, ∴设BC=xm,则AC=2.4xm, BC2+AC2=AB2,即x2+(2.4x)2=132, .x=5, ∴.AC=2.4×5=12(m): (2)解：BD⊥AC,∠CAD=30°， tan∠CAD=CD AC tan30°= CD 3 123 2113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CD=4V3(m), :BD=CD-BC=(43-5)m, :护栏BD的高度(4V5-5)m」 【变式1-3】 【答案】69.3m 【详解】解：设AB=m,由题意可知，A,B,G三点共线，E,F,G三点共线，BG=lm, CD=EF=50m,BD=FG, 在RtAAEG中，∠AGE=90°，AG=AB-BG=(x-1)m,∠AEG=30°， ..EG=_ AG x-1=3(x-1)m, tan∠4EG tan.30° 在Rt△AFG中，∠AGF=90°，AG=AB-BG=(x-)m,∠AFG=45°， tan∠AFGtan45。-(x-l)m, ..FG=_ AG x-1 :BD=FG=(x-1)m, EG=BC=BD+CD 5(x-1)=x-1+50,解得x=25V5+26≈25×1.732+26≈69.3(m) 即这座塔的高度为69.3m 题型02 方位角问题 三典例精析 【典例2】 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D, 北 东 609 77777777777777777 3113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由题意得，∠ABC=90°-60°=30°，∠BAC=15°+90°=105°，AB=300米， .∠C=180°-∠CAB-∠ABC=45° 在Rt△ABD中，AD=AB·sin∠ABD=300·sin30°=150（米）， ua0c4C-29-15nw3<米 举一反三 【变式2-1】 【答案】28.2 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D 北 B 229 设CD=x海里， 在RtABCD中，灯塔C在B港的东北方向， .∠CBD=45°. CD BD=CD=x海里，BC= sin45° =V2x海里. 在RIAACD中，∠A=22°，AD=AB+BD=(30+x)海里. .'tan A=CD AD' .tan22°= 30+x 即0.40≈x 30+x 解得x≈20 .BC=√2x≈1.41×20=28.2（海里）. 故灯塔C与B港之间的距离约为28.2海里. 【变式2-2】 4113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】()200√6km;(2)见详解 【详解】(1)解：过点A作AE⊥CD于点E,如图， 由题意得∠C=45°，∠CAB=90°-15°=75°，∠BAD=15°+15°=30°，∠ABC=45°+15°=60° :∠AEB=90°， ∴.∠EAB=30°， BE=AB,AE=BE。=5BE. 2 tan30 .AE⊥CD,∠C=45°， ·.∠CAE=∠C=45° :AE=CE,AC=2AE, .CE =3BE ∴BC=CE+BE=(N5+I)BE, :B、C两市之间的距离为(200+2005)km, ∴.(V3+1)BE=200+200V3. .BE=200 AC=V2AE=V2×V3×200=200W6(km), 答：A、C两市之间的距离为200W6km: (2)∠ABC=60°，∠BAD=30°， .∠BDA=∠ABC-∠BAD=30°， .∠BDA=∠BAD, :AB=BD. 5113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由()知： BE-TAB. E=200' .BD=AB=400 .在Rt△AED中，∠BDA=30°， AE三A0 .AD=24E =23BE=4003, 00√6+200+2003 ∴.甲货车选择路线①，所需时间为 ≈14.8h, 70 400W3+400 乙货车选择路线②，所需时间为 ≈13.65h, 80 .13.65<14.8」 .乙货车先到达B市. 【变式2-3】 【答案】(1)20km:(2)4m 【详解】(1)解：如图所示，过点B作BE⊥AC于点E, 北 西一 →东 309 、60 由题意得：AB=6,∠CAB=60°，∠ACB=30°，∠CAD=90°，AD=16, 在Rt△ABE中，∠ABE=90°-60°=30°， 4E=1AB=3, .BE=VAB2-AE2=V62-32=35, 在Rt△CBE中，BC=2BE=6V3, :CE=VBC2-BE=V(65)-(35=9, .AC=AE+CE=12. 6113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtACDA中，CD=VAC2+AD2=V122+162=20, 答：配送点C到配送点D的距离为20km (2)解：如图所示，设甲快递员所在的位置为点G,乙快递员所在的位置为H时，两快递员直线距离为 45, 北 东 307 60° :快递员甲和快递员乙的速度之比为1：2 相同时间内快递员甲和快递员乙的路程之比为1：2，即DH=2AG 设快递员甲离中转站的距离AG=x,则DH=2x, .AH=AD-DH =16-2x, 在Rt△AGH中，AG2+AH2=GH2, :+6-2=(45,化简得5-64x+176=0:解：5=4。=4 5· 44 当x=4时，符合题意，当= 5时，AH=16-2x=-。<0,不合题意，舍去 答：当两快递员直线距离为4v5km时，快递员甲离中转站的距离为4km. 题型03航行触礁问题 E 典例精析 【典例3】 【答案】有触礁的危险 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H,设CH=x,在Rt△BCH中， 北 北 DA 609 459 A 7113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CBH=90°-45°=45° .tan45o=」 CH BH .BH=CH=x' 在Rt△ACH中， :<C4H=90-60°=300，tan30°=CH AH'..AH=3x AH=AB+BH,√3x=10+x,x=5(W3+)≈13.65（海里）<14（海里）， ·渔轮继续向正东方向航行，有触礁的危险， E举一反目 【变式3-1】 【答案】如果船不改变航线继续向西航行，有触礁危险 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D, 设AD=x海里， 由题意得，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=6海里， 在RtAACD中，∠ACD=∠CAD=45°， .AD=CD=x海里， 在Rt△ABD中， tan∠ABD=AD BD .BD=AD tan30 =√3x=(6+x)海里，解得，x=3V3+3' V3≈1.732,33+3≈8.196 .9>3V3+3, ∴.如果船不改变航线继续向西航行，有触礁危险。 北 个东 【变式3-2】 【答案】(1)(30+10W3)海里；(2)见详解 8113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：过点P作PC⊥AB交AB的延长线于C, 北 衣 小岛 60° 海监船 A B 东 设PC=x海里， 在Rt△PBC中，∠PBC=45° 则BC=PC=x海里， 在Rt△PAC中，∠PAC=30°， 0p=2PC=2海里，AC=三V3x悔 tan∠PAC 由题意得：AC-BC=AB,即V3x-x=10V3,解得：x=15+5V3, 则AP=2x=(30+10V3)海里， 答：A、P之间的距离AP为(30+10W5)海里： (2)解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险， 理由如下：15+5V3<15+5√4， .15+5V3<25, ∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险， 【变式3-3】 【答案】(1)32海里：(2)见详解 【详解】(1)解：根据题意得∠CBE=90°-60°=30°，∠BAC=90°-75°=15°， AB=16×2=32(海里)， ∠C=30°-15°=15°， .∠C=∠BAC, AB=BC=32(海里)， 故B处到灯塔C的距离为32海里： (2)有触礁的危险，理由如下： 9113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D, A北 A北 西 B DE东 :BC=32(海里)，∠CBD=30°， :CD=BC=16(海里)， .16<17, ∴·若该船继续由西向东航行会有触礁的危险， 题型04坡度问题 典例精析 【典例4】 【答案】B 【详解】解：由题意得∠C=90°，AC=200米， AC 1 坡度i= BC 2001 BC ，解得BC=2005米. 在Rt△ABC中， AB=VAC2+BC2=V2002+(200√5)2=√40000+120000=400米. E 举一反三 【变式41】 【答案】40 【详解】解：如图，根据题意可得PE平行于水平线BF,AF⊥BF,PH⊥BF, E B 10/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠EPH=180°-∠PHB=90°. 斜面AB坡度为1：V3, BF53 tan∠ABF= AF√5 BF 3 ∠ABF=30°， :在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°， ∠EPA=15°，∠EPB=60° ∠BPA=∠EPB-∠EPA=60°-15°=45°，∠HPB=90°-∠EPB=30° ∴.∠ABF=∠HPB .∠HPB+∠HBP=90° .∠ABF+∠HBP=90° ∠PBA=180°-（∠HBP+LABF)=90°， △PBA是等腰直角三角形， :PB=40m, .AB=PB=40m 【变式42】 √5 【答案】四45'3：210-52 【详解】(1)解：由题意可知，∠C=90°， 在Rt△ACB中，AC:BC=1:1,AC2+BC2=AB2, .AC=BC,AC2+AC2=AB2」 :.2AC2=(5V2)2=50,解得AC=5m(负值舍去)， .AC=BC=5m, ∠ABC=∠BAC= 180°-90° =45° 2 在RtAACD中，AC:CD=1:V3」 11/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD-34C-5/m tanD-4C CD3 3 (2)解：由(1)可知，CD=5V3m,AC=BC=5m, :.在RtAACD中，AD=VAC2+CD2=V52+(5V3)2=10(m), :AD-AB=(10-5/2)m 答：改善后的滑梯会加长(10-5√2)米 【变式43】 【答案】()D点到地面的距离为6米；(2)摩天轮的高度MN为95米 【详解】(I)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, E CB ,斜坡坡度i=1:√3， tam∠DcE=↓=Vg 53· ∠DCE=30°， ,在RtADCE中，CD=12米， :DE=)CD=)x12=6(*) 1 2 2 答：D点到地面的距离为6米. (2)解：如图，延长MN交AB于点F,则MF⊥AB, M N/D F E C B 由题可得：∠A=30°，∠MBC=45°，NF=DE=6米，AB=74米， .MF=BF, 12/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设MF=BF=x米，则AF=AB+BF=(x+74)米， 在RaMA中，anA= AF +74即5 .tan30°=_x 即3x+74解得x=37+375≈37+37×1.73101 即MF=BF=101米 .MN=MF-NF=101-6=95(米)， 答：摩天轮的高度MN为95米。 13/13 专题10 解直角三角形应用 （题型突破·举一反三） 题型01 仰角、俯角问题 题型02 方位角问题 题型03 航行触礁问题 题型04 坡度问题 ▌题型01 仰角、俯角问题 1．仰角与俯角的定义：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。两者都是“视线”与“水平线”的夹角，取值范围都是0°～90°，且一定画在“观测者的眼睛处”。 2．基本模型 模型一：观测点、目标底部在同一水平线上，目标顶端为，仰角为，水平距离，则视线、水平线、铅垂线围成，，于是；； 模型二：观测点在较高处（如甲楼顶），目标在另一处（乙楼）。从看乙楼顶端得仰角，看乙楼底端得俯角，两建筑的水平距离为。过作水平线交于，则图形被分成上下两个直角三角形。 公式：；； 【典例1】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，小明在楼顶点处测得对面大楼楼顶点处的仰角为，楼底点处的俯角为．若两座楼与相距米，则大楼的高度为_____________米． 【变式1-2】（26-27九年级上·湖南永州·期中）零陵古城是湖南第五届旅发大会核心展示地之一，大西门历史文化街区是零陵古城重要板块，保留清代“两纵七横十八巷”古街巷格局，有两千多年建城史．为迎接湖南省第五届旅游发展大会，永州零陵古城对大西门历史街区的青石台阶步道进行保护性修缮．如图，步道斜坡的坡比，斜坡的坡面长度，． (1)求这段斜坡的水平宽度； (2)景区计划在斜坡顶端处修建观景护栏，，在坡底点观测护栏顶端的仰角为，求护栏的高度． 【变式1-3】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． ▌题型02 方位角问题 1．方位角的写法：方位角以“正北”或“正南”为始边，写成“北偏东”“北偏西”“南偏东”“南偏西”，其中 0°＜≤90°。例如“北偏东30°”表示从正北方向顺时针转30°，“南偏东60°”表示从正南方向逆时针（向东方）转60°。 2．用“方位刻度”算夹角 把方向换算成从正北顺时针的刻度：北＝0°，东＝90°，南＝180°，西＝270°。两条射线的夹角＝两个刻度之差的绝对值。 3．三种常考的夹角： ①北偏东与北偏西：夹角（同在北方一侧，直接相加）； ②北偏东与南偏东：夹角（分在东西两侧，用180°减去两个角）； ③北偏东与南偏西：若，两射线互为反向延长线，夹角180°。 【典例2】（26-27九年级上·山东淄博·期中）一段东西方向的海岸线上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西方向，向东走300米到达点B处，测得灯塔C位于北偏西方向，点A到灯塔C的距离AC为（     ） A．米 B．米 C．米 D．200米 【变式2-1】（2026·山东东营·中考真题）如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为_________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【变式2-2】（26-27九年级上·山东烟台·期中）如图，甲、乙两辆货车要从市运输货物到市．经查询，道路因塌方不能通行，现有两条路线可供选择：①；②．已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，同时位于市的西北方向，、两市之间的距离为，市位于市的南偏东方向，且恰好与市、市在同一直线上． (1)求、两市之间的距离（结果保留根号）； (2)甲货车选择路线①，平均速度为；乙货车选择路线②，平均速度为．请通过计算说明哪辆货车先到达市？（参考数据：，） 【变式2-3】（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为． (1)求配送点到配送点的距离； (2)快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． ▌题型03 航行触礁问题 1．判断的依据：船沿直线航行，灯塔（或暗礁中心）到这条直线的“最短距离”就是船与灯塔的最近距离。若这个距离大于危险半径，则安全；小于或等于危险半径，则有触礁危险。 2．解题四步 ①画方位图，标出航线与灯塔的位置； ②把方位角换算成“视线与航线的夹角”（这一步最关键，方位角以南北为基准，航线往往是正东正西）； ③过灯塔作航线的垂线，垂足为，设，用两次正切把航线上两段表示出来，列方程求； ④比较与危险半径，下结论。 【典例3】（2024·安徽亳州·二模）如图，一渔轮在海上A处测得灯塔C在它的北偏东 方向，渔轮向正东方向航行10海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东方向，若灯塔C四周14海里范围内有暗礁，则渔轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险？（，） 【变式3-1】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ 【变式3-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为25海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上． (1)求之间的距离； (2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 【变式3-3】（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． ▌题型04 坡度问题 1．定义：坡度（坡比）是坡面的铅直高度与水平宽度的比，即；坡角是坡面与水平面的夹角。二者的关系是。 2．三个量的关系：坡长（坡面长度＝；；。 3．坡度与“陡”的关系：坡度越大，坡角越大，坡面越陡。坡度是比值、没有单位；坡角是角度、单位是度。 【典例4】（26-27九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，小华沿着坡度为的斜坡练习滑雪，若小华从A滑到B，竖直下降的高度为200米，则斜坡的长为（     ） A．米 B．400米 C．米 D．米 【变式4-1】（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是________． 【变式4-2】（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上． (1)________，_________． (2)改善后的滑梯会加长多少米？（结果保留根号） 【变式4-3】（2026·四川宜宾·模拟预测）如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $