专题02 解直角三角形（专项训练）数学新教材北师大版九年级下册

专题02 解直角三角形 常考题型·精准突破 题型1 解直角三角形的相关计算（高频） 题型2 解非直角三角形（重） 题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 解直角三角形的相关计算 1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，求的长，的值． 2．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，已知，，求的长． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，根据下列条件解直角三角形．（角度精确到） (1)，； (2)，． 4．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，是边上一点，使，且，， (1)求的长； (2)过点作，交延长线于点，若，求的长． ◆题型2 解非直角三角形 5．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，和均为锐角，是边上的高线．已知，，且． (1)求的长； (2)求的值． 6．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 7．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是上的高，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 8．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． ◆题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 9．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图，在中，已知，，，求的面积． 10．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）在中，角所对应的边分别是，已知，，． (1)求的值； (2)求和的面积． 11．（26-27九年级下·全国·周测）在数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，比较和的大小关系，并说明理由． 12．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图1，在中，是边上的高，，，动点沿线段从点向点运动，过点作，交于，交于，以为边向下作正方形． (1)则______，______； (2)设长为，求的长（用含的代数式表示）； (3)如图2，若恰好落在边上，求的长； (4)若正方形与公共部分的面积为6时，直接写出的值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在Rt中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·模拟预测）已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级下·全国·单元测试）如图，将一张长方形纸片翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，连接，，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，连接交于点，则长度为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图在中，，，，则的值为______． 7．（26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在中，，，，则的度数为________． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）在中，是直线上一点，且，则的周长为______． 9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）在中，，，，点D在上，且，连接．将沿直角边翻折，得到线段，连接，点P在射线上，且，则的长是________． 10．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） 三、解答题 11．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，已知，解这个直角三角形． 12．（26-27九年级上·山东济宁·开学考试）如图，在中，，，，求的长． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是等腰直角三角形，，D为外一点，连接，，过点D作，垂足为H，交于点E．已知． (1)若是等边三角形，求的长． (2)若，求的长． 14．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）新定义：三角形中的两个内角与，若满足，则称该三角形为“差余三角形”，是的差余角． (1)概念理解： ①若是“差余三角形”，是的差余角，，则_________； ②若是“差余三角形”，有个角为，则三边长的比为_________； (2)拓展探索： 如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上位于第一象限内的点，若是“差余三角形”，且是的差余角，求的值． (3)灵活运用： 如图2，，点在射线上，且，点在射线上，若是“差余三角形”，直接写出的长． 15．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，，，，E为边上一动点（不与点A重合），过点E作于点D，以为边向右作正方形． (1)______； (2)当点E是边上的中点时，求点G到边上的距离； (3)当时，求点F到边上的距离； (4)当F到边上的距离等于G到边上的距离的一半时，直接写出的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02解直角三角形 内容概览 目常考题型精准突破 题型1解直角三角形的相关计算（高频） 题型2解非直角三角形（重） 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1解直角三角形的相关计算 1. 【答案】AB=10: wB-号 【分析】先在Rt△ABC中由tanA求出AC,再利用勾股定理求出AB,最后根据余弦定义求出cosB的值 即可 【详解】解，在R△ABC中，mA=BC-3 AC4'BC=6 BC 6 tan=3=8 4 ..AB=VAC2+BC2=10. .'cos B= BC 6 3 AB105· 2. 【答案】BC=2 【分析】设BC=x,在Rt△ABC中根据正弦定义用含x的式子表示AB,利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：设BC=x,在Rt△ABC中，∠C=90°，根据正弦定义得 sind=BC_5 AB 5' 1/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB= BC x =V5x 则 inA√5 J 由勾股定理，得 AC2+BC2=AB2, 代入AC=4,BC=x,AB=V5x,得 42+x2=(N5.x)}2, 解得x=2(负值已舍去)， 即BC=2. 3. 【答案】(1)AC=12,∠B=537'48”,∠A=3652'12” ②∠B=30B=25,4C-5 3 3 【分析】(1)先利用勾股定理求出AC,再利用∠B的正弦与边的关系求出∠B,最后利用三角形的内角 和定理求出∠A: (2)先利用三角形的内角和定理求出∠B，,再利用∠A的正弦与边的关系求出AB,最后利用∠A的正切与 边的关系求出AC 【详解】(1)解：，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9,AB=15, ·AC=4B2-Bc2=12,sin∠BAB=5=0.8 .∠B=53748", .∠A=90°-∠B=3652'12" (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=V5 ∠B=90r-M=30sm∠A=BC-5-5 ABAB2,解得：AB=2 3 :tan∠A=BC、V5 ACAC 5,解得：4C= 3 4. 【答案】(1)6 (2)17 【分析】(1)由题意可得tan∠BAE=】 =2,利用正切的定义可得AB=2BE:再利用勾股定理列方程求得 2/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=3,最后利用正切的定义求BD的长即可： (2)如图，过C作cE1D于F,由BC∥4D;可得∠DBC=∠4DB,则tan ZDBC== BF2,即 BF=2CF,再利用勾股定理列方程求得FC=1,则BF=2,DF=BD-BF=4,最后利用勾股定理求解即 可 【详解】(1)解：“∠BAE=∠ADB' tan∠ADB=1 2 :m∠BME=2,即AB2, 1 BE 1 .AB=2BE, “AB=A8+B,E=5 35-(E+BE, 解得E=3 （负值己舍去)，即4B=3: tan∠ADB=), AB131 ∴BD2,即BD-2,解得：BD=6 (2)解：如图，过C作CF⊥BD于F, h E F .BC∥AD」 .∠DBC=∠ADB tan∠DBC=CF1 BF=2,即BF=2CF, BC2=BF2+FC2, :(5=(2FC}+FC2, 解得FC=1(负值已舍去)， ∴.BF=2,DF=BD-BF=4, 3/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=VCF2+DF2=V1+42=17. ◆题型2解非直角三角形 5. 【答案】（①）5 【分析】(I)先在RtAACD中利用三角函数求出AD,由BD=AB-AD即可求解； (2)分别在RtsACD和RtABCD中利用勾股定理求出CD、BC,再根据正弦定义求出sinB即可. 【详解】四解，在R1cD中，AC-6-2-5 AC 3 AD=AC.c0s4-6x5 =25, .BD=AB-AD=35-25=5. (2)解：在RtACD中，CD=V√AC2-AD2=V6-(2W5}=4, 在RtABCD中，BC=VBD2+CD2=VW5+4=V2i, .'.sinB= CD 4 421 BC=2ī21 6. 【答案】(1)10W2 a号 【分析】（山过点4作41BC,垂足为1根据三角两数得到$血45°- AB,Cos45°=BH AB' tanC=AHI =1 HC4,进而计算即可： (2②根据题意得到BD=5N2:即DH=3N2,进而根据am∠ADB- DH计算即可. 【详解】(1)解：过点A作A⊥BC,垂足为H, 4126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D C 在RtABH中，∠B=45°， sin45°=A AB cos450=BH AB’ ∴AH=AB.sin45°=2V2,BH=AB.cos45°=2√2 在Rt4CH中，anC=识=} HC4, .HC=4AH=82, .BC=BH+HC=2W2+8V2=10N2: (2)解：已知D是BC中点， BD8c-x105=52. .BH=2V2, ∴.DH=BD-BH=5V2-22=3√2 在R△AD中，tm∠ADB=g-22_3 DH3√23 7. 【答案】(I)证明：AD是BC上的高， B HC:AD⊥BC D ∴∠ADB=90°，∠ADC=90°」 在Rt△ABD和Rt△ADC中， .tan B=AD BD' cos∠DAC=AD AC' 又'tanB=cos∠DAC AD AD BD AC' .AC=BD. 5126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)8 3)5-1 2 【分析】(1)利用高得到直角，结合正切、余弦的定义，根据已知等量关系推导出线段相等. (2)利用正弦值设参数表示直角三角形三边，结合(1)的结论AC=BD,根据BC=BD+CD列方程求 出参数，再计算AD. (3)设线段参数，利用勾股定理建立等式，求出线段的比值，再结合余弦定义计算cosC. 【详解】(1)略 （②)解：：在R△DC中，snC=P=? AC 13' ∴.可设AD=12k,AC=13k, .∠ADC=90° .CD=V√AC2-AD2=5k BC=BD+CD,又AC=BD, .·.BC=13k+5k=18k BC=12, .18k=12, ÷AD=12k=12x2=8 3 (3)解：设BD=AC=a,CD=b,AB=c, :AD⊥BC, .'AB2 BD2=AC2-CD2=AD2, .c2-a2=a2-b2 :AB⊥AC .AB2+AC2 BC2, 则c2+ad2=(a+b)2, ∴2a2=2b2+2ab, .a2=b2+ab. -8+) 6/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 bV5-1 解得二= a 2, ∴cosC=CD=bV5-1 AC a 2· 8. 4 【答案】()5 (2) 证明：如图所示，过点A作AD⊥BC,垂足为D,不妨设∠BAD=a,∠DAC=B A B D C,SAARC=S△Mm+S△ACD 1 AB-AC-sin∠BAC=】AB.ADxsin∠BAD+AC.AD-sin∠DAC →2 号4 B-IC.sina+例-=4 B:IDxsina+号4 C-AD-xinP. 丙边同时险以4,4C得血(a+月-伦sna+治血B, AB AD⊥BC, AD .'cosa= AB COsB=AD AC· ..sin(a+B)=cos B.sina+sin B.cosa (3)16 【分析】(4)根据三角形面积公式S-)bsnC,然后代入已知两边及其夹角正弦值直接计算； 2 AD (2)根据图形分割思想，把大三角形拆成两个小三角形，利用面积相等，再结合余弦定义Cosα= AB' COSB=AD C,再等量代换推导出两角和正弦公式： (3)根据∠B=45o与am∠BAD={ 3，求出an∠DAH:再利用勾股定理求出高H,最后用三角形面积公 式S-A.CD算出AADC面积. 7/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：SAc=)ABAC·sin∠BAC 2 =x4x3 5 24 5· (2)证明：略 (3)解：过点A作AH⊥CD,垂足为H. A D HC:∠B=45° tan∠BAD= 3 ÷an∠DAH=DH=1 AH2· 设DH=x,AH=2x. 在Rt△ADH中，AD2=AH+DH2 (2V10)2=(2x)2+x2 40=5x2,x2=8,x=2W2」 ∴DH=2W2,AH=4W2. 又c=74I-Dx42x45=16, ◆题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 9. 【答案】4 【分折】本题考查了解直角三角形，过点B作BD1AC于点D,根据sm4=弓 得出BD=2”进而根据三角 形的面积公式，即可求解. 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于点D, 8126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 4B=3.sind-BD2 AB 3' ∴.BD=2, 1 、1 .S.ABC AC×BD=二×4×2=4 2 10. 【答案】（四c=709-5 2 (2)sin B= 5V3 V2127-25V5 28’△ABC的面积为 8 【分析】(1)过点C作CE⊥AB,交BA的延长线于点E,由∠BAC=120°得∠CAE=60°，再解直角三 角形求出AE、CE,利用勾股定理求出BE,即可求解； (2)根据正弦的定义及三角形的面积公式解答即可. 【详解】(I)解：如图，过点C作CE1AB,交BA的延长线于点E, E B .∠BAC=120° .∠CAE=180°-120°=60°」 在RI△ACE中，∠E=90°，AC=b=5, EAC-c0s60-x CE=4C.sin= 22 22 在RIABCE中，∠E=90°，BC=a=14, 2 9126 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AB=BE-AE=V709_5V709-5 222 即c=V709-5 2 (2)解：在RIABCE中，∠E=90°， 5V3 六sinB=CE-2 5V5 BC=14=28 :AB=V709-5 2，CE=55 2’CE⊥AB' ∴S4c=)AB.CE=}x709-5x5V5_52127-255 -X 2 2 2 2 8 11. 【答案】解：SAac=Sr,理由如下： 如解图，过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥FE交FE的延长线于点N. B50 5 130° 4M 在Rt△ABM中，AM=AB·sin50° .∠DEF=130° .∠DEN=50° 在RtADEN中，DN=DE·sin50°， DE=AB, :AM DN. BC=EF, ∴SMARC=SADEF. 【分析】，过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥FE交FE的延长线于点N.利用三角函数表示三角 形的高，根据三角形面积计算求解即可. 【详解】解：略。 12. 10126 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 【答案】(10：5 品 288 (3185 ④1262+6N5 25或 5 【分折】（山在直角。BC中，由snB- 5,4C=6求出BC=10,再用勾股定理算出4B=8,利用三角 形面积相等4B4C-BCAD,代入数位求出高4D- 24 5· 由EFBC得到A4EFA1BC,相似三角形对应高之比等于相似比，代入BC=10)D二24 5, AP=x,列出比例式化简求出BE=2 -x 12 当G落在C时，正方形张PrG=PDPD4太，结合E欧列方程罩x24 解方程得到AP=288 185 (4)分正方形全部在三角形内部、正方形部分伸出三角形外两种情况，第一种直接用正方形面积公式列 方程，第二种公共部分为矩形，用矩形面积公式列方程，求解并舍去不符合取值范围的根，得到AP的值 ,12√612+6√2 为25或1 5 【详解】(I)解：在R1△ABC中，∠BAC=90°. sinB=AC3 BC5 AC=6 63 BC5· .BC=10, 由勾股定理得： AB=VBC2-AC2=V102-6=V64=8. :AD是BC边上的高， 8m号ABac=BcAD, 11/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB·AC=BC·AD代入数值：8×6=10AD AD=4824 105· 24 .BC=10' AD= (2)解：EFlIBC, ∴△AEF∽△ABC, :AD⊥BC,EFIBC, AP⊥EF,AP是△AEF对应边上的高. 根据相似三角形对应高的比等于相似比， EF AP BC AD 己知BC=10: AD=24 ,AP=x,代入： EF x 1024,EF5x 51024 (3)解：~四边形EFGH是正方形， ∴.EF=FG,且FG⊥EF. :EFIBC,AD⊥BC, ·FG平行于AD,FG就是EF与BC之间的距离. ∴.PD=FG PD=AD-AP' D24 5’AP=x PD=24 -x. 又：FG=EF=25 2, 2524 :列方程：2x= 5-x 两边同乘60去分母： 125x=288-60x,185x=288 12/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 288 .x= 185’ 即AP-288 185 (4)解：分两种情况讨论： 正方形边长EF=2 x 12 ①正方形完全在。ABC内部，此时0<x≤288 185,公共部分就是正方形. 需=6，- 625? x>0, :xs26 25· 28<x≤2 ②正方形部分伸出。ABC外部，此时185 ,公共部分是矩形. 矩形的长为EF= 25 )x,矩形的高为PD=一x】 S=25 25x24_252=6,10x-252=6两边同乘12： -x. 化简：12512 12 120x-25x2=72,整理：25x2-120x+72=0, 用一元二次方程求根公式： x=120±i202-4×25×72_120±i400-7200_120±V7200_120±60212±6N2 2×25 50 50 50 5 288 检验范围185 xs24 : x=12+6V2 5 ，符合范围； 为=12-6V2 288 5小于85，舍去 综上，P=12y6武12+62 25或 5 13/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.A 3.D 4.C 5.A 二、填空题 6.12V5 7.45°45度 8.9+V3或9+3V3 9.4或20/20或4 10.是 5x 三、解答题 11 【答案】a=64,b=64V5,∠A=30° 【分析】通过已知元素将未知元素求解出即可. 【详解】解：：∠C=90°，c=128,∠B=60° 六∠A=90°-∠B=30,simB=6,cosB=9 b=128x5 64v5,a=128 264, ∴.a=64,b=64V3,∠A=30° 14126 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C▣ B 12. 5 【答案】 【分析】过点C作CD⊥AB于点D,将△ABC分割成两个直角三角形，根据锐角三角函数关系求边长即可. 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D, C 0 在△ACD中，∠A=30°，AC=12. .CD=AC.sin 4=12x1 26 在aBcD中，sinB=CD=4 BC5, 64 BC5· BC= 2 13. 【答案】(1)3-1 o号 【分析】(I)根据DH=ADsin∠BAD,HE=AE tan4S°，结合DE=DH-HE,解答即可. 2)设Bh=3设，则DH=4秋故2D=VDm+-5政=2得=号，代入解答即可. 【详解】(I)解：△ABD是等边三角形， ∴.AB=AD=BD,∠BAD=60°， AD=BD=2,DH⊥AB, 15/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 B=AD=BD=2 AM-HB-7B=1 DH=ADsin 2BAD=2sim60= :△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°， .∠BAC=45°， tan∠BAC=tan45o=HE AH .HE=AH tan45°=1， ∴.DE=DH-HE=V3-1. (2)解：AD=BD=2,DH⊥AB, 4仙=B兮， :△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°， .∠BAC=45°， .tan∠BAC=tan45°= =1, AH :HE=AH :HE AH BH, .an∠HDB=3 BH 3 DH 4 设BH=3k,则DH=4k, 故BD=VDH2+BH2=5k=2, 解得2 5’ ÷BH=名DH= 6 5 六HE=AH=BH=6 5’ ∴.DE=DH-HE= 862 =55=5· 14. 【答案】(1)①10°：②1：1：V5 16/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 05 ③)4535 3或5或5+1或5-1 【分析】(1)①利用三角形的内角和定理与新定义计算∠A与∠C: ②容易判断△ABC是顶角为120°的等腰三角形，利用等腰三角形的性质与解直角三角形求出三边比即可： (2)利用一次函数的解析式计算出A(-3,0)与B(0,2),容易证明△0BC∽△A0C,则 OC AC 一份-子进面得到c-c-心，因tG- BC =OC =0B=2 4 (3)分四类讨论，当∠MAN是∠ABC的差余角时，作CD L AM于点D,通过解直角三角形计算出CD与 BD,进而计算出AC；当∠MAN是∠ACB的差余角时，同理求解即可；当∠ABC是∠ACB的差余角时， 作BF⊥AM交AN于点F,先计算出AF与BF,容易证明∠ACB=∠CBF,则CF=BF,进而计算出AC, 当∠ACB是∠ABC的差余角时，同理求解即可. 【详解】(1)解：①由题意可知，∠A=∠B+90°=130°， .∠C=180°-∠A-∠B=10°： ②，a-B=90°， .u=90°+B>90°，即a为钝角， ∴.a=120°，阝=a-90°=30°， .180°-120°-30°=30°， ∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形， 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，∠B=∠C=30°，AB=AC,作AD⊥BC于点D,设AD=a, B D AB=AC,AD⊥BC, .BD=CD-BC 在Rt△ABD中，∠B=30°， .AB =2AD=2a, 由勾股定理可得，BD=√AB2-AD2=V(2a}-d2=V3a, .BC=2BD=23a, 17/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AB:AC:BC=2a:2a:2W3a=1:1:V3: 2 2 (2)解：将x=0代入y=号x+2,得y=2:将y=0代入)=x+2,得x=-3 “点A的坐标为-3,0)，点B的坐标为(0,2)， .OA=3,OB=2」 ,∠A是∠AOC的差余角， ∴.∠A=∠A0C-90°， .∠B0C=∠A0C-∠A0B=∠A0C-90°， .∠BOC=∠A, .∠OCB=∠ACO, .△OBC∽△A0C, BC OC OB 2 0元=A=0M=3, .0C -3C.AC-30C-9C 2 BC 4 AB5: (3)解：①当∠MAN是∠ABC的差余角时，如图，作CD L AM于点D, B D .·∠MAN是∠ABC的差余角， ∴.∠ABC=∠MMW+90° ∴.∠CBD=180°-∠ABC=90°-∠MMN, .CD⊥AM, .∠ADC=90° .∠BCD=90°-∠CBD=∠MAW, 在RIACD中，sin∠w=C”-5 5 .AC=5CD. 18/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理可得，AD=√AC2-CD2=2CD, 同理，BC=V5BD,CD=2BD, ∴.AD=2CD=4BD」 AB=AD-BD=2, ∴.4BD-BD=2, 解智0号 .CD 2BD 子c-5m 3 ②当∠ACB是∠ABC的差余角时，如图，作BE⊥AN于点E, M 在RISABE中，E=MB.sin∠MN=2× 525 5 5· 由勾股定理可得，AB=VB-B-45 5 同理①可知，∠CBE=∠MAW, .'BC CE CE sin∠CBE-sin∠MMW =5CE, 由勾股定理可得，BC2-CE2=BE2, 解得CE=V5 5 .:AC AB-CE 3V5 5； ③当∠ABC是∠ACB的差余角时，如图，作BF⊥AM交AN于点F, 19/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 在RIABF中，MF= =√5BF, sin∠MAW 由勾股定理可得，AF2-BF2=AB2」 (N5BF'-BF2=22, 解得BF=1, .AF=V5那=V5, :∠ABC-∠ACB=90°，∠ABC-∠CB=90°， .∠ACB=∠CBF, ..CF=BF=1. .AC AF +CF=5+1: ④当∠ACB是∠ABC的差余角时，如图，作BF⊥AM交AN于点F, B 由③可知，BF=1,AF=√5， ,∠ACB=∠ABC+90° .∠BCF=180°-∠ACB=90°-∠ABC, .∠CBF=90°-∠ABC, ∴.∠BCF=∠CBF, .CF=BF=1. .AC=AF-CF=5-1; 综上所述，AC=45成35 3或5或5+1或5-1 15. 20/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】()4 87 (2)点G到BC边上的距离为25 > (3)点F到BC边上的距离为5 9054 ④AD的长为53或19 【分折】（在Rt△MBC中，由勾股定理得BC=8,根据正切定义mB=C ,代入得anB=6=3 Γ84 AE DE AD 28为AC中点得AE3先证A4DECA4CB,由相似比BC1C,解得D=号，2s只面 正方形DEFG中DG=DE,进而可得BG=29 ；再证ABGH∽ABAC,由相似比算得点C到BC的距离 GH=87 25: (3)已知AD=3,由△ADE∽aACB得DE=4,AE=5,故EC=1.正方形中EF=4且EF∥AB,证 △EFPABAC,得FP=I2 ,则可计算点F到BC的距离： 3 (4)利用csA=5设参数，分别用含参数的式子表示RG到BC的距离，根据“F到BC距离是G的一 半”列方程求解。内部情况解得0- 53·外部情况解得AD=4 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，BC=VAB2-AC2=V10-62=8, .tan B=. AC 63 BC 8 4 (2)解：E是AC中点， 六AB=)AC=3, 2 ED⊥AB, ∴.∠ADE=90°=∠ACB 又：∠A=∠A, .△ADE△ACB, 股 21/26 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD 3 DE 6108 解得AD三5，D62 5 :四边形DEFG是正方形， ·DG=DE=I2 , ,·.AG=AD+DG 9,12 Γ55 21 5 BG=AB-AG 10-21 5 29 5, 过点G作GH⊥BC于H,如图： C H E D G B.∠BHG=∠ACB=90°∠B=∠B .ABGH△BAC, GH BG ACAB 29 GH5 610 解得GH=87 5: 87 ∴点G到BC边的距离为25； (3)解：由(2)得，△ADE∽aACB, AD DEAE .ACBC AB 22/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 DE AE 6=8=10 解得DE=4,AE=5, EC=AC-AE=6-5=1, :四边形DEFG是正方形， ∴EF=DE=4,EF∥AB. 设EF此时刚好到BC边上， .EF∥AB, ∴.△ECF∽△ACB, CF EC ·BCAC CF 1 86 解得C℉=4 3 :CF=VEF2-CE=v42-=5> 3 ∴.此时点F在△ABC的外部， 过点F作FN⊥BC于N,过点F作FM⊥EC的延长线于M,过E作EP⊥FN的延长线于P,EF交BC于 I,如图： M F G B 则四边形EMFP和ECNP是矩形，PN=EC,PF=EM,且EP∥BC, .∠PEF=∠CIE, :EF∥AB, .∠B=∠CIE, .∠PEF=∠B, 又：∠EPF=∠ACB=90°， ∴.△EFPABAC 23/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FP EF ·ACAB FP 4 610 解得FP=12 5 ∴.FN=FP-PW =FP-CE 号1 7 5 7 ∴点F到BC边的距离为5： (4)解：①如图，当F在△ABC内部时，过F作FM⊥BC于点M,作FH⊥AC于点H,过G作 GN⊥BC于点N, C H M E D G 则四边形CHFM是矩形，GN∥AC, ∴.CH=FM,∠BGN=∠A, cosA=4D=AC6 3 AE AB 10 5 .设AD=3a,AE=5a, .CE=6-5a, :.DE=JAE2-AD2=(5a)2-(3a)=4a, :四边形DEFG是正方形， ∴.EF∥DG,DE=DG=EF=4a, ..GB=AB-AD-DG=10-3a-4a=10-7a. ∴.∠HEF=∠A, .∠HEF=∠A=∠BGN」 ∴.cos∠HEF=cos∠A=cos∠BGN, 24/26 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EH 3 GN EF5-BG EH3 GN 4a510-7a 5a,GN=300-7a) EH=1 46-37g CH=CE-EH=6-5a-12。 5 FM=6-37a F到BC的距离等于G到BC的距离的一半，即FM=)GN, 6-37a-1x310-7a) 525 60-74a=310-7a 解有0 53 3090 .AD=3a=3× 5353, ②如图，当F在△ABC外部时，过F作FM⊥BC于点M,作FH⊥AC于点H,过G作GN⊥BC于点N, H C M D B 则四边形CHFM是矩形，GN∥AC, ∴.CH=FM,∠BGN=∠A, Cos4=4D 3 AE5’ .设AD=3b,AE=5b,则CE=6-5b, ∴.DE=VAE2-AD2=V5b)}2-(3b)}=4, 四边形DEFG是正方形， ∴.EF∥DG,DE=DG=EF=4b」 ..GB=AB-AD-DG=10-36-46=10-76 25/26 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠HEF=∠A, .∠HEF=∠A=∠BGN, ∴.cos∠HEF=cos∠A=cos∠BGN, EH 3 GN EF-5BG EH 3 GN 4b510-7b’ EH=12b,GN=310-7b) 5 :CH=H-CE=2b-(6-5b)=37-6, 5 5 :FM=37b-6. 5 :F到BC的距离等于G到BC的距离的一半，即FM=)GN, :37b-6=1×310-7 5 2 5 74b-60=3(10-7b) 解得6S 4D=36=3×18=54 1919 9054 综上可得， AD的长为53或19 26/26函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02解直角三角形 内容概览 目常考题型精准突破 题型1解直角三角形的相关计算（高频） 题型2解非直角三角形（重） 题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1解直角三角形的相关计算 2627九年级上陕西西安阶段检测)如图，在R△4BC中，∠C=90°，BC=6:m4 =4,求AB 的长，CosB的值. A C 【答案】B=10:osB= 【分析】先在Rt△ABC中由tanA求出AC,再利用勾股定理求出AB,最后根据余弦定义求出cosB的值 即可 【详解】解：在R△ABC中，anA=8C-子 ΓAC4,BC=6: AC= BC 6 =8 tan 4 3 4 .'AB=AC2+BC2 =10, :cosB=BC、63 ΓAB105· 1/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. (2627九年级下全国单元复习》刻图.在R△Mc中∠C=0已知s1 5’AC=4,求 BC的长. B A 【答案】BC=2 【分析】设BC=x,在Rt△ABC中根据正弦定义用含x的式子表示AB,利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：设BC=x,在Rt△ABC中，∠C=90°，根据正弦定义得 sin4=BC_5 AB5· AB=BC、x =5x sinA 5 J 由勾股定理，得 AC2+BC2=AB2 代入AC=4,BC=x,AB=V5x,得 42+x2=(5x)2, 解得x=2(负值已舍去)， 即BC=2 3.(26-27九年级上·全国课后作业)在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形.（角度精 确到1”) (1)BC=9,AB=15: (2)∠A=60°，BC=V5 【答案】(1)AC=12,∠B=537'48”,∠A=3652'12" ②∠B=30B-25.4C- 3 3 【分析】(1)先利用勾股定理求出AC,再利用∠B的正弦与边的关系求出∠B,最后利用三角形的内角 和定理求出∠A; (2)先利用三角形的内角和定理求出∠B,再利用∠A的正弦与边的关系求出AB,最后利用∠A的正切与 2/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 边的关系求出AC 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9,AB=15, ÷4C=aB-hc-12,sB=4G-}-08, AB 15 ∠B=537'48”, .∠A=90°-∠B=3652'12" (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=V5, ∠B=90-4=30e,sm∠A=BC=5=5 ABAB2,解得：AB=215 3, :tan∠A=BCV5 ACAC 5,解得：4C=⑤ 3· 4.(26-27九年级上四川成都阶段检测)如图，在△ABD中，AB⊥BD,E是边BD上一点，使 ∠B4E=∠AD8:且m∠4D8-号，4k-5, E (I)求BD的长； (2)过点B作BC∥AD,交AE延长线于点C,若BC=V5,求CD的长. 【答案】(1)6 (2)V17 【分析】()由题意可得tan∠BAE= ,利用正切的定义可得4B=2BE:再利用勾股定理列方程求得 AB=3,最后利用正切的定义求BD的长即可： 2如.图过C作c1n于，由BCIAD:可得∠DBC=∠ADB:则m∠DBC-乐： BF2,即 BF=2CF,再利用勾股定理列方程求得FC=1,则BF=2,DF=BD-BF=4,最后利用勾股定理求解即 可 【详解】(1)解：“∠BAE=∠ADB' tan∠ADB= 2 3140 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE 1 :tan∠BAE=2,即AB2: .AB=2BE, AE-5 2 解得此=2（负值己舍去），即4B=3 an∠ADB=7 AB131 ·BD=2,即BD-2,解得：BD=6 (2)解：如图，过C作CF⊥BD于F, Bh E F D 人 :BC∥AD .∠DBC=∠ADB tan∠DBC=CF_1 BF=2,即BF=2CF ..BC2 BF2+FC2, (5)=(2FC)'+rc, 解得FC=1(负值已舍去)， .'BF=2,DF=BD-BF=4, :.CD=VCF2+DF2=V12+42=17 ◆题型2解非直角三角形 5.(26-27九年级下全国单元复习)如图，在△ABC中，∠A和∠B均为锐角，CD是AB边上的高线.已 4/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知AC=6°B=35,且4=5 (I)求BD的长： (2)求sinB的值， 【答案】(1)V5 【分析】(1)先在RtAACD中利用三角函数求出AD,由BD=AB-AD即可求解： (2)分别在RtAACD和RtABCD中利用勾股定理求出CD、BC,再根据正弦定义求出sinB即可. 详解】少解：在ACD中，4C=6os1D、付 AC 3' AD-4C.cos4-6x 3 =2W5, BD=AB-AD=35-25=V5: (2)解：在Rta4CD中，CD=VAC2-AD2=V6-(2V5}=4, 在RtABCD中，BC=VBD2+CD2=V(W5}+42=2i, CD4421 ∴.sinB= BC=J2ī=21· 6.(26-27九年级上山东泰安·阶段检测)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD,CD=AD, ZB=45,AB=4'tanC=】 4 B (I)求BC的长： (2)求tan∠ADB 【答案】(1)10W2 5/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)过点A作4h1BC,垂足为H根据三角函数得到sn45°= AB' cos450=BH AB tan C= AH 1 HC4,进而计算即可： AH (2)根据思意得到BD=5√2，即DH=3N2,进而根据am∠ADB=D归计算即可. 【详解】(I)解：过点A作AH⊥BC,垂足为H, B D C 在RtABH中，∠B=45°， .sin45°= AB,cOs45°=BH AB· .AH=AB·sin45°=2√2，BH=AB.cos45°=2V2. 在Rta4CH中，tamC== .HC=4AH=82. .BC=BH+HC=2N2+8V2=10N2: (2)解：已知D是BC中点， :aD-8c=x105=55 BH=2√2， ∴.DH=BD-BH=5V2-2√2=3V2 在R△AD中，tam∠A0B=g-22_2 DH 32 3 7.(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC (I)求证：AC=BD: 6/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若sin∠C=12 , BC=12,求AD的长： (3)若AB L AC,求cosC的值. 【答案】(I)证明：~AD是BC上的高， B D C:.AD⊥BC .∠ADB=90°，∠ADC=90° 在Rt△ABD和Rt△ADC中， .tan B=AD BD' cos∠DAC=AD AC 又'tanB=cos∠DAC. AD AD BDAC· ∴.AC=BD. (2)8 B51 2 【分析】(1)利用高得到直角，结合正切、余弦的定义，根据已知等量关系推导出线段相等 (2)利用正弦值设参数表示直角三角形三边，结合(I)的结论AC=BD,根据BC=BD+CD列方程求 出参数，再计算AD (3)设线段参数，利用勾股定理建立等式，求出线段的比值，再结合余弦定义计算©osC. 【详解】(1)略 (②)解：：在R△MDC中，si血C=P-= -AC13· .可设AD=12k,AC=13k, ,∠ADC=90°， CD=√AC2-AD2=5k」 BC=BD+CD,又AC=BD, .BC=13k+5k=18k」 BC=12, 7/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .18k=12, h=2 3· .AD=12k=12× 8 (3)解：设BD=AC=a,CD=b,AB=c, :AD⊥BC, .AB2-BD2=AC2-CD2 AD2. .c2-a2=a2-b2 :AB⊥AC .AB2+AC2=BC2, 则c2+ad2=(a+b)2, .2a2=2b2+2ab. .a2=b2+ab, -(8) bV5-1 解得 2, ∴cosC=CD-b-5-1 AC a 2 8.(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角 三角函数，根据其定义又得30心450等特殊角的三角函数值，如sim30°= 2sin45°= 2,cos30-V3 2 c0s45°= 2. 聪明的小明同学思考：15,75的角也是比较特殊的角，它们可以通过300’45角的和差 得到，那么15°，75°角的三角函数值是否可以用30°，45°角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现， 是可以的，如sin75°=sin(30°+45)=sin30P-eos45°+cos30P6im45”=×2+5x2_6+2 十 -X- 22224 小明同 学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问 题，请你帮助其完成. 和角公式的探索：如图①，△ABC是锐角三角形. 8/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B B D 图① 备用图 图② O若AB=4'4C-3:sin∠B1C 5,求。4BC的面积： (2)设a,P都为锐角且∠BAC=α+B,请在△ABC中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式： sin(a+B)=sina.cosB+cosa.sinp: ③如图2，点D是。dC边BC上的一点，若∠B=45,tam∠BMD=号 3’AD=210:CD=42,则 △ADC的面积为. 4 【答案】()5 (2) 证明：如图所示，过点A作AD⊥BC,垂足为D,不妨设∠BAD=a,∠DAC=B A B D C:SAABC=S△MBn+SAACD 1 B-AC-sin∠BAC=AB-4Dxsin∠BAD+AC-AD-sin∠DAC →21 -AC-sin(+)-BDxsin+CD.sinP. 两边同时除以24B:AC得sn(a+P)= 'sina+AD sin B, Ac AB :AD⊥BC AD .cosa= AB COs B=AD AC ..sin(a+B)=cos B.sina+sin B.cosa (3)16 【分析】4)根据三角形面积公式S-)bsnC,然后代入已知两边及其夹角正弦值直接计算 2 9140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD (2)根据图形分割思想，把大三角形拆成两个小三角形，利用面积相等，再结合余弦定义cos“= AB' COs B=AD C,再等量代换推导出两角和正弦公式： (3③)根据∠B=45与m∠BAD 3:求出am∠D4H,再利用勾股定理求出高4H,最后用三角形面积公 式S=2MCD算出ADC面积 【详解1山解：S分BACs血∠B4C =2x4x3 4 24 =5· (2)证明：略 (3)解：过点A作AH⊥CD,垂足为H. A B D H C:∠B=450 tan∠BAD= 3 an∠DAH=DH=I AH2· 设DH=x,AH=2x 在Rt△ADH中，AD2=AH2+DH2 (2V10)2=(2x)2+x2 40=5x2,x2=8,x=2V2 .DH=22,AH=4V2. S.CD4 ◆题型3构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 10/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2526九年级下山东济南开学考试)如图，在A4BC中，已知B=3,4C=4n1 3,求 △ABC的面积. B 【答案】4 【分析】本题考查了解直角三角形，过点B作BD⊥4C于点D:根据s血A=了得出BD=2'进而根据三角 形的面积公式，即可求解 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于点D, :AB=3 sin4=BD、2 AB 3 ∴.BD=2, 1 1 ∴.SMc=亏AC×BD=5×4×2=4 2 10.(26-27九年级上·上海杨浦阶段检测)在△ABC中，角ABC所对应的边分别是a,b,C,已知 ∠A=120°，a=14,b=5 (I)求c的值： (2)求sinB和△ABC的面积. 【答案】(c=V709-5 (②sinB=5V3 8’△4BC的面积为 W2127-25V3 8 11/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(I)过点C作CE⊥AB,交BA的延长线于点E,由∠BAC=120°得∠CAE=60°，再解直角三 角形求出AE、CE,利用勾股定理求出BE,即可求解： (2)根据正弦的定义及三角形的面积公式解答即可. 【详解】(I)解：如图，过点C作CE⊥AB,交BA的延长线于点E, B ,∠BAC=120° .∠CAE=180°-120°=60°， 在Rt△ACE中，∠E=90°，AC=b=5, &4E=4C-cs60=5xg多，CB=4Cm60r-5x5_55 22’ 22 在RIABCE中，∠E=90°，BC=a=14, .BE =BC2-CE2 142. 53月 2 4 2 :AB=BE-AB=7095V709-5 222 即c=V709-5 2: (2)解：在RIABCE中，∠E=90°， 5v5 ÷sinB=CE-2_53 BC1428 :AB=709-5,C5=5 2 2,CE⊥AB1 8c-4B-CE=x70-5x55_52127-255 2 2 2 8 11.(26-27九年级下·全国周测)在数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF,数据如图，如 果把小敏画的三角形面积记作S。BC,小颖画的三角形面积记作S△DF,比较S。ABc和S△DF的大小关系，并 说明理由。 12/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 5 B50° 130° 4 E x 【答案】解：Sc=Sr.理由如下： 如解图，过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥FE交FE的延长线于点N, D B50 130° 在Rt△ABM中，AM=AB-sin50°， ·.∠DEF=130° ∠DEN=50°， 在RtADEN中，DN=DE·sin50°. DE =AB, :.AM=DN. BC=EF, SAANC SADEF. 【分析】，过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥FE交FE的延长线于点N利用三角函数表示三角 形的高，根据三角形面积计算求解即可. 【详解】解：略 (26-27九年级上河北石家庄阶段检测)如图1，在Rt△MBC中，D是BC边上的高，sinB AC=6,动点P沿线段AD从点A向点D运动，过点P作EF∥BC,EF交AB于E,交AC于F,以EF 为边向下作正方形EFGH. H G B B H 图1 图2 13/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)则BC= ，AD= (2)设AP长为x,求EF的长（用含x的代数式表示）： 3)如图2，若GH恰好落在边BC上，求AP的长： (④若正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6时，直接写出AP的值. 4 【答案】(10：5 25 ②2x 288 ③185 ④2v6 12+6V2 25或 5 【分析】()在直角ABC中，由sinB 5,AC=6求出BC=10:再用勾股定理算出AB=8,利用三角 形面积相等)4B,4C=BC4D,代入数值求出高D-24 1 5· ②由BFC得。到ACFAPC,相三角形对应商之比等于相似比，代入BC=10:AD-4。 5 P=x,列出比例式化简求出EF=25: 12 25.24 ®当C路还C时正方形边长F=G=PpPD生x结合T多x列方程2； 解方程得到AP-288 185 (4)分正方形全部在三角形内部、正方形部分伸出三角形外两种情况，第一种直接用正方形面积公式列 方程，第二种公共部分为矩形，用矩形面积公式列方程，求解并舍去不符合取值范围的根，得到AP的值 ,12612+62 为25或1 5 【详解】(1)解：在R1aABC中，∠BAC=90 AC 3 .sinB BC 5'AC=6 6-3 BC 5 .BC=10 由勾股定理得： 14/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=VBC2-AC2=V10-62=V64=8. :AD是BC边上的高， ScB-AC-分BCAD, .AB.AC=BCAD代入数值：8×6=10：AD 08-4 24 ∴.BC=10 AD=月 (2)解：EFlBC, :.AAEF△ABC, :AD⊥BC,EFIBC, ∴.AP⊥EF,AP是△AEF对应边上的高. 根据相似三角形对应高的比等于相似比， EF AP BC AD' 己知BC=10' AD-24 5’AP=x’代入： EF x 1024,EF5x 51024 EF= 25 (3)解：~四边形EFGH是正方形， ∴.EF=FG,且FG⊥EF EFI/BC,AD⊥BC, ∴.FG平行于AD,FG就是EF与BC之间的距离. ..PD=FG. 24 PD=AD-AP:AD= 5’AP=x? PD=2 5-x 又FG=EF= 2t, 15/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2524 列方程：2= --x. 两边同乘60去分母： 125x=288-60x,185x=288 288 ..X= 185 即AP-288 185· (4)解：分两种情况讨论： 正方形边长EF=2 12* .288 ①正方形完全在。4BC内部，此时0<x≤85，公共部分就是正方形. ∴.S= 625x=6, 144 2864 625, x>0. x=126 25· 288<x≤ 2 ②正方形部分伸出。4BC外部，此时185 5,公共部分是矩形。 25 矩形的长为EF= ,矩形的高为PD=24 2 x ..8- -6 25x24252=6,10x-252=6两边同乘12： 化简：12512 12 120x-25x2=72,整理：25x2-120x+72=0, 用一元二次方程求根公式： 120±V1202-4×25×72120±V14400-7200 120±√7200120±60W212±6√2 2×25 50 50 50 5 t 288 24 检验范围185 5: 16/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=12+6V2 5 符合范围 为=12-6V2 288 5严，小于185，舍去 综上，4P=126康12+62 25或5 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(26-27九年级上山东淄博阶段检测)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5,则tanA的值是 () 3 A.5 B. C. 4 D. 3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出BC=3,然后利用锐角三角函 数的定义进行计算，即可解答。 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5. BC=√AB2-AC2=V52-42=3, .'tan 4= BC 3 AC=4· 2.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠A=x,AC为3，则AB 长为() B Aa 3 A.3cosa B.3tana C.3sina D. cosa 【答案】A 17/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可. 【详解】解：A、cosa=B=AB AC=3，解得AB=3cosa, 符合题意： B、tana AB·解得AB=BC BC ana,不符合题意： C、sina= BC BC AC=3，解得BC=3sina' 不符合题意： AC3,解得4B=3cosa≠3 ABAB D、cosa= cosa, 不符合题意. 3.(2026上海模拟预测)已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=3,点E、F分别在边AC、 AB上（不与端点重合），BE⊥CF,垂足为点D.当BE=CF时，tan∠CBE的值为() v② A. B. 2 C.1 D.3 【答案】D 【分析】作垂线构造直角三角形，证aBCE≌aCHF,利用tanA求出CE长度，在Rt△BCE中算出 tan∠CBE 【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC,垂足为H, --H 3 C BE⊥CF, ∴.∠CDB=90° ∴.∠1+∠3=90°， :∠ACB=90°， .∠2+∠3=90°， .∠1=∠2， 在△BCE和△CHF中， [∠BCE=∠CHF=90% ∠1=∠2 BE=CF 18/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.aBCE≌aCHF(AAS, ∴BC=CH=2,CE=FH, ,AC=3, .AH=AC-CH=3-2=1, 在Rt△ABC中，tanA=BC=2 AC3 在Ri△AH中，amA=H=3 ΓAH3 FH=2x1=2 3 3 .CE=2 39 2 在 RtABCE 中，tan∠CBE=CE_3_l BC23 4.(26-27九年级下·全国·单元测试)如图，将一张长方形纸片ABCD翻折，使点D落在BC边的点F处， 折痕为AE,已知AB=8,BC=I0,则©os∠DAE的值为(). A D F A e2 p.5 【答案】C 【分析】由折叠得AD=AF=IO,在RtABF中求出BF与CF,算出DF的长度.再利用折叠知DF⊥AE 推导出∠CDF=∠DAE,最后直接计算cos∠CDF得到cos∠DAE. 【详解】解：如图，连接DF B F 由翻折可知AD=AF=BC=10 在RtAABF中，BF=VAF2-AB2=V10-82=6, 19140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CF=BC-BF=10-6=4, 在RtACDF中，DF=VCD2+CF2=V82+4=4V5, 由翻折的性质可得DF⊥AE, ∴.∠CDF+∠AED=90°， :∠AED+∠DAE=90°， ∴.∠CDF=∠DAE, cos∠DAE=cos∠CDF=CD=8_2V5 DF=4W5=5: N5 cos∠DAE的值为 5 5.(26-27九年级上·重庆·阶段检测)如图，在正方形ABCD中，点E与点F分别为AD和BC上一点，连 接CE:E-7,mBcD-弓将。CEF沿E赶新到正方形ACD所M的平面内：符，Gr:且点G恰 好落在边AB上，连接AF交GE于点H,则GH长度为() D A.885 B.2v85 C.85 4V85 D. 29 9 3 15 【答案】A 【分析】如图，过点G作GM∥BC交AF于M,先用正切的定义求出正方形的边长，再用勾股定理求出 AG,BG,BF的长，再利用两次平行线分线段成比例定理求得GH的长. 【详解】解：如图，过点G作GM∥BC交AF于M, E D 四边形 是正方形， B ABCD ∴.AB=BC=CD=DA,∠D=∠B=90°，BC∥AD, 设AD=x,则DE=x-7, 20140 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .tan∠ECD= DE x-7 2 DC x9 .x=9 .AB=BC=9. 在Rt△EDC中，由勾股定理得： EC=VDE2+DC2=V22+92=V85, :将△CEF沿EF翻折得aGEF, .EG=EC=85,CF=FG, 在RtAAEG中，由勾股定理得： 4G=VEG2-AE=V85°-72=6， ∴.GB=AB-AG=9-6=3, 设FB=y,则FG=FC=9-y, 在Rt△FGB中，由勾股定理得：GB2+BF2=FG, ∴32+y2=(9-y}, 解得：y=4, .GM BC .△AGM∽aABF, GMAG FB AB' GM 6 49 .GM-8 BCII AD .GM‖AD ·.△GHHM∽aEHA, GH GM EH AE 8 GH ÷85-GH =3、8 -721 21/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：GH=8v85 29 二、填空题 6.(26-27九年级上山东淄博阶段检测)如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,anA=2,则AB的 值为 【答案】12V5 【分析】先利用正切定义tanA=BC C,求出BC边长，再用勾股定理计算斜边4B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,tanA=2. tan 4= BC _BC=2, AC 12 解得BC=24」 由勾股定理得： AB=V122+242=√720=125. 7. 6-27九年级上湖南永州阶段检测)如图，在MBC中，B=5'8C=3osB-2√ 5,则∠C 的度数为 B 【答案】45°45度 【详解】通过作高构造直角三角形，利用余弦的定义求出线段长度，再结合勾股定理和特殊角的三角函数 值求解角度. 【解答】解：过点A作AD⊥BC于D, D 在Rt△ABD中， 22/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .cos B= BD 25 AB 5, AB=5 BD-AB.cosB=5x2 2=2, 5 由勾股定理得， AD=AB2-BD2 V5-2=1, :BC=3. ∴CD=BC-BD=3-2=1, 、AD=CD=1, 又：AD⊥BC, :.△ADC是等腰直角三角形， ∴.∠C=45° 8.(26-27九年级上全国单元复习)在Rt△ABC中，AB=3,AC=5,∠B=90°，P是直线BC上一点，且 cos∠BAP= 2， 则AACP的周长为 【答案】9+V3或9+3V3 【分析】先求出BC的长，再分三种情况：①点P在线段BC上，②点P在线段BC的延长线上，③点P在 线段CB的延长线上，求出AP,BP的长，由此即可得。 【详解】解：，在Rt△ABC中，AB=3,AC=5,∠ABC=90° .BC=√AC2-AB2=V52-32=4, ①如图，当点P在线段BC上时， :cos∠BAP=AB-V3 AP2 2 .AP=2 *3-2 ..BP=AP2-AB2 =3, ∴CP=BC-BP=4-V3, 23/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.此时△ACP的周长为AC+CP+AP=5+4-V3+2N3=9+V3, ②如图，当点P在线段BC的延长线上时， 同上可得：AP=2V5<AC,这与在钝角△ACP中，AP>AC不符，舍去： ③如图，当点P在线段CB的延长线上时， 同上可得：AP=2V3,BP=V5, ∴CP=BC+BP=4+V3, ∴此时△ACP的周长为AC+CP+AP=5+4+V3+2V3=9+3V5: 综上，△ACP的周长为9+3或9+3V5 9.(2026黑龙江齐齐哈尔三模)在R1△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=9,点D在BC上，且 BD:DC=I2,连接AD.将AD沿直角边翻折，得到线段AE,连接BE,点P在射线AC上，且 ∠APB=∠ABE,则AP的长是 【答案】4或20/20或4 【分析】分沿两条直角边翻折两种情况讨论，利用直角三角形的三角函数性质求解线段长度. 【详解】解：如图，沿AB翻折AD得AE,则∠EBA=∠DBA B D E P ∠BAC=90°，AB=6,AC=9, 六an∠EBA=DA=tm1BC=4C=9-3 AB 62 ,∠APB=∠ABE, .tan∠APB=tan∠ABE. 24/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB 3 AP-2' :4P=号4B=子x6=4: 2 3 如图，沿AC翻折AD得AE,连接DE,交AC于点H,设AC,BE交于点G, 折叠， .DH⊥AC,HD=HE, 又，∠BAC=90°， .DH∥AB .△CHDACAB, CD CH DH ·CB=CAAB' BD:DC=1:2. CD 2 CB3’ :C1-号40-号9=6，则H=4C-0H=9-6=3 3 3 3×6=4, .HD=HE=4, ,EH∥AB, ∴.△EGH∽△BAG. GH EH ·AGAB GH 42 ·AG63' 9 .AG=3 ,∠APB=∠ABE, 25/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .tan∠APB=tan∠ABE, 9 ABAG53 APAB610 .4P=10 10 3 AB= -×6=20 综上，AP的长为4或20 10.(26-27九年级上河北石家庄阶段检测)如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使D落在BC边上的F 处，且m∠rc= (1)△AFB与△FEC是否相似？ ;（选填“是”或者“否”) (2)若AE=10W5cm,设CE=3xcm,则：DE=EF= _cm.(用含x的代数式表示) 【答案】 是 5x 【分析】(1)先利用矩形性质得所有内角为直角，再根据折叠性质得∠AFE=∠D=90°，推导 ∠AFB+∠EFC=90°，结合∠EFC+∠FEC=90°∠BAF+∠AFB=90°，得到两组角对应相等，用两角对 应相等的三角形相似判定定理判断相似性。 (2)根据折叠的全等性质，得DE=EF,结合CD=CE+DE,运用勾股定理，即可用含x的式子表示 DE、EF」 【详解】判断aAFB与△FEC是否相似 :四边形ABCD是矩形， ∠B=∠C=90° 由折叠的性质可知∠AFE=∠D=90°， .∠AFB+∠EFC=180°-90°=90° 在RtAAFB中，∠BAF+∠AFB=90°， .∠BAF=∠EFC .△AFBAFEC 26/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E,在 中， ,且 F RtAFEC tan<EFC=CE_3 CF 4 CE=3xcm ∴可得CF-4xcm .DE=EF =CE2+CF2 =5xcm. 三、解答题 11. (26-27九年级上山东淄博阶段检测)在Rt△ABC中，已知∠C=90°，c=128,∠B=60°，解这个直角 三角形 【答案】a=64,b=64W3,∠A=30° 【分析】通过已知元素将未知元素求解出即可. 【详解】解：∠C=90°，c=128,∠B=60° A=90°-∠B=30r,smB-2sB=g ·6=128x 1 =64V3,a=128×5=64, 2 ∴.a=64,b=64V3,∠A=30° 1卫(262”九年级上山东济宁开学考试)如图，在A18C中，乙A30·si =5,4C=12,求BC的 长 A B 5 【答案】2 27/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】过点C作CD⊥AB于点D,将△ABC分割成两个直角三角形，根据锐角三角函数关系求边长即可. 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D, A B D 在△ACD中，∠A=30°，AC=12. ..CD=4CsmA=12×2三6 CD 4 在ABCD中，sinB= BC 5 64 BC5· BC= 2 13.(26-27九年级上全国课后作业)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，D为△ABC外一点， 连接AD,BD,过点D作DH⊥AB,垂足为H,交AC于点E.已知AD=BD=2. HP B (I)若△ABD是等边三角形，求DE的长. ②)若tan ZHDB=4,求pG的长 【答案】1)3-1 a号 【分析】(I)根据DH=ADsin∠BAD,HE=AE tan45°，结合DE=DH-HE,解答即可. 《②设附=3站，则DH:4秋：故DDT+T=经=2得长-号代入解容即可。 【详解】(I)解：△ABD是等边三角形， ∴.AB=AD=BD,∠BAD=60°， 28/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=BD=2,DH⊥AB, ..AB=AD=BD=2' H-HBAR1.DH=ADsi ZBAD-2sin603 :△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°， ∴.∠BAC=45° tan∠BAC=tan450=HE AH' ∴.HE=AH tan45°=1， ∴.DE=DH-HE=V3-1. (2)解：：AD=BD=2,DH⊥AB, 1 AH=HB=。AB :△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°， ∠BAC=45°， an∠BAC=tan45°=HE =1, AH .HE =AH, ∴HE=AH=BH, .tan∠HDB=3 BH 3 DH 4 设BH=3k,则DH=4k, 故BD=VDH+BH2=5k=2, 解得 5 M9m-8 六HE=AH=BH= 5 DE=DH-HE=8_6_2 555 14.(26-27九年级上江苏常州阶段检测)新定义：三角形中的两个内角a与P,若满足α-B=90°，则 称该三角形为“差余三角形”，B是的差余角. 29/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)概念理解： ①若△ABC是“差余三角形”，∠B是∠A的差余角，∠B=40°，则∠C= ②若△ABC是“差余三角形”，有个角为120°，则三边长的比为 (2)拓展探索： 如图1，直线：少号x+2与x轴交于点A与)辅交于点B点c为直线上位于第一您限肉的点，若 BC △OAC是“差余三角形”，且∠A是∠AOC的差余角，求AB的值. (3)灵活运用： 如图2，sin∠MaW=5 ,点B在射线AM上，且AB=2'点c在射线AN上，若△ABC是“差余三角 形”，直接写出AC的长。 【答案】(1)①10°：②1：1：3 o号 645康35 3或5或5+1或5-1 【分析】(1)①利用三角形的内角和定理与新定义计算∠A与∠C: ②容易判断△ABC是顶角为12O°的等腰三角形，利用等腰三角形的性质与解直角三角形求出三边比即可： (2)利用一次函数的解析式计算出A(-3,0)与B(0,2),容易证明△OBC∽△A0C,则 瓷-瓷-器-台进到4c-0-c,因t紧 2 4 (3)分四类讨论，当∠MAN是∠ABC的差余角时，作CD L AM于点D,通过解直角三角形计算出CD与 BD,进而计算出AC:当∠MAN是∠ACB的差余角时，同理求解即可：当∠ABC是∠ACB的差余角时， 作BF⊥AM交AN于点F,先计算出AF与BF,容易证明∠ACB=∠CBF,则CF=BF,进而计算出AC: 当∠ACB是∠ABC的差余角时，同理求解即可 【详解】(1)解：①由题意可知，∠A=∠B+90°=130°， 30140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=180°-∠A-∠B=10°： ②a-B=90°， :.a=90°+B>90°，即a为钝角， ∴a=120°，B=a-90°=30°， 180°-120°-30°=30°， :.△ABC是顶角为120°的等腰三角形， 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，∠B=∠C=30°，AB=AC,作AD⊥BC于点D,设AD=a, A D :AB=AC,AD⊥BC, :BD=CD=1BC. 2 在R1△ABD中，∠B=30°， .'AB=2AD=2a, 由勾股定理可得，BD=VAB2-AD2=V(2a-a2=V3a, ∴.BC=2BD=2V3a, .AB AC BC 2a2a 23a =1:1:3: 2 2 (②)解：将x=0代入y=与x+2,得y=2:将y=0代入y=亏x+2,得x=-3 ∴点A的坐标为-3,0)，点B的坐标为(0,2)， ∴.OA=3,OB=2, :∠A是∠AOC的差余角， .∠A=∠A0C-90°， .∠B0C=∠A0C-∠AOB=∠A0C-90°， ∴∠BOC=∠A, ·,·∠OCB=∠ACO. ∴.△OBC∽△A0C, BC OC OB 2 0=Ac=0=3, 31/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷0c=8C,4c= 9 BC, 2 4 BC4 .AB59 (3)解：①当∠MAN是∠ABC的差余角时，如图，作CD⊥AM于点D, B AD .∠MAN是∠ABC的差余角， ∴.∠ABC=∠MAN+90°， ∴.∠CBD=180°-∠ABC=90°-∠MMN, ,CD⊥AM, .∠ADC=90°， .∠BCD=90°-∠CBD=∠MMW, 在RIACD中，sin∠MN= 5 .AC=5CD 由勾股定理可得，AD=√AC2-CD2=2CD, 同理，BC=V5BD,CD=2BD, .AD =2CD =4BD. AB=AD-BD=2, ∴4BD-BD=2, 2 解得BD=3 m=2m=手，ic=60=45 ②当∠ACB是∠ABC的差余角时，如图，作BE⊥AN于点E, 32/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M N IABE中，BE=MB.sin∠MN=2×5_2 在 5 由勾股定理可得，B=VA-B-45 5 同理①可知，∠CBE=∠MMW, .'BC CE CE sin ZCE-sin∠4m=V5cE, 由勾股定理可得，BC2-CE2=BE2, c旷-e-2 解得CE= 5 .AC=AB-CE 3v5 5: ③当∠ABC是∠ACB的差余角时，如图，作BF⊥AM交AN于点F, M 在RIABF中，MF= in∠MMw=V5, 由勾股定理可得，AF2-BF2=AB2, :(N5BF-BF2=2, 解得BF=1, ·AF=V5BF=5, :∠ABC-∠ACB=90°，∠ABC-∠CBF=90°， .∠ACB=∠CBF, 33/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CF=BF=1, .AC AF +CF=5+1; ④当∠ACB是∠ABC的差余角时，如图，作BF⊥AM交AN于点F, B 由③可知，BF=1,AF=V5, :∠ACB=∠ABC+90°， ∴∠BCF=180°-∠ACB=90°-∠ABC, :∠CBF=90°-∠ABC, ∴.∠BCF=∠CBF, .CF =BF=1, .AC AF -CF=5-1; 综上所述，AC=45击3V5 3或5或5+1或5-1 15.(26-27九年级上吉林长春阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,AB=10,E为 AC边上一动点（不与点A重合），过点E作ED⊥AB于点D,以DE为边向右作正方形DEFG. C E F A D (1)tan B= (2②)当点E是AC边上的中点时，求点G到BC边上的距离： (3)当AD=3时，求点F到BC边上的距离： (4)当F到BC边上的距离等于G到BC边上的距离的一半时，直接写出AD的长. 【答案】)4 7 (②)点G到BC边上的距离为25 34/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3③)点F到BC边上的距离为5 90.54 ④4D的长为53或19 【分析】（L）在R△MBC中，由勾股定理得BC-g:根据正切定义amB=C C,代入得tanB=6_3 849 AE DE AD ②B为4C中点得AE=3先证AADESMCR·由相似BCAC解得DDEP 5在 三方形DErG中pG-DE·进而可得G=号：再证RGI4C·由相似比年村点G到AC的距离 GH= 87 25 (3)已知AD=3,由△ADE∽aACB得DE=4,AE=5,故EC=1.正方形中EF=4且EF∥AB,证 EFPABAC,得FP=I2 ,则可计算点F到BC的距离： (4)利用cosA=5设参数，分别用含参数的式子表示R、G到BC的距离，根据“F到BC距离是G的一 半”列方程求解。内部情况解得1D=0 53,外部情况解得4D) 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，BC=√AB2-AC2=V102-62=8, .'tan B= AC 6 3 BC8-4: (2)解：~E是AC中点， 4B=4C=3, ED⊥AB, ∴.∠ADE=90°=∠ACB 又：∠A=∠A, ,∴.△ADEP△ACB, AD AE DE ·AC-AB BC AD 3 DE 6108 解得AD=9 ,DE=2 , ~四边形DEFG是正方形， 35/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DG=DE 12 5, .AG=AD+DG 912 55 21 Γ5， BG=AB-AG 10-21 5 29 Γ5， 过点G作GH⊥BC于H,如图： H E B.:∠BHG=∠ACB=90°∠B=∠B ·.ABGH∽△BAC, GH BG AC AB 29 GH=5 610 解得GH=87 5 87 ∴点G到BC边的距离为25： (3)解：由(2)得，△ADEAACB, AD DE AE 「·.AC BC AR 3 DEAE 6810 解得DE=4,AE=5. .EC=AC-AE=6-5=1, ~四边形DEFG是正方形， 36/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF=DE=4,EF∥AB, 设EF此时刚好到BC边上， EF∥AB, .△ECF∽△ACB」 CF EC ·BCAC CF 1 8=6 解得C℉=4 , CF=VER2-CE2-=15>4 此时点F在△ABC的外部， 过点F作FN⊥BC于N,过点F作FM⊥EC的延长线于M,过E作EP⊥FN的延长线于P,EF交BC于 I,如图： M D G B 则四边形EMFP和ECNP是矩形，PN=EC,PF=EM,且EP∥BC, ∴∠PEF=∠CIE. EF∥AB, .∠B=∠CIE, ∴∠PEF=∠B 又：∠EPF=∠ACB=90°， ∴.△EFP∽△BAC. FP EF AC AB FP 4 610 解得PP-12 ∴.FN=FP-PN 37/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =FP-CE 八 5 7 = 5 7 ·点F到BC边的距离为5： (4)解：①如图，当F在△ABC内部时，过F作FM⊥BC于点M,作FH⊥AC于点H,过G作 GN⊥BC于点N, O H M N E A ) G 则四边形CHFM是矩形，GN∥AC, ∴.CH=FM,∠BGN=∠A, AD AC 6 3 .cos= AE AB 105 ∴.设AD=3a,AE=5a」 .CE=6-5a, :.DE=AE2-AD2 =(5a)'-(3a)'=4a. :四边形DEFG是正方形， ∴EF∥DG,DE=DG=EF=4a, ..GB=AB-AD-DG=10-3a-4a=10-7a. ∴.∠HEF=∠A, ∴.∠HEF=∠A=∠BGN, ∴cos∠HEF=cos∠A=cos∠BGN, EH 3 GN EF5BG EH 3 GN 4a=510-7a, BM=12 a,GN= 3(10-7a 5 38/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CH=CE-EH=6-5a-12。 =6、37a 5, FM=6-37a 59 “F到BC的距离等于G到BC的距离的-半，即M=GN, 6-37u=1x310-7a) 525 60-74a=3(10-7a) 30 解得a= 53 3090 .AD=3a=3× 5353’ ②如图，当F在△ABC外部时，过F作FM⊥BC于点M,作FH⊥AC于点H,过G作GN⊥BC于点N, H C 、F M O ⊙ 则四边形CHFM是矩形，GN∥AC, ∴.CH=FM,∠BGN=∠A, :c0sA=4D、3 AE5· ∴设AD=3b,AE=5b,则CE=6-5b, ∴.DE=VAE2-AD2=V(5b)}-(3b)}=4h, :四边形DEFG是正方形， ∴.EF∥DG,DE=DG=EF=4b, ..GB=AB-AD-DG=10-3b-4b=10-7b .∠HEF=∠A, ∴.∠HEF=∠A=∠BGN ∴.coS∠HEF=cos∠A=cos∠BGN, EH 3 GN EF5BG· 39140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EH 3 GN 4b510-7b, EH=2b,GN-310-76） 5 5, :CH=BH-CE=2b-(6-56)=37b-6, 5 :FM-3h-6 5 :F到BC的距离等于G到BC的距离的一半，即FM=2GN, 37b 13(10-7b) -6=-× 5 74b-60=3(10-7b) 解得618 193 AD=3b=3x18=54 1919’ 90.54 综上可得，4D的长为53或19 40/40