5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质讲义（8大培优题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：周期函数 3 知识点二：正弦函数性质 3 知识点三：正弦型函数的性质． 4 知识点四：余弦函数的性质 4 知识点五：余弦型函数的性质． 5 03 题型精讲 7 题型一：周期性判定与应用问题 7 题型二：奇偶性分析与应用问题 7 题型三：对称性探究与应用问题 8 题型四：单调性判断与应用问题 9 题型五：函数值大小比较问题 10 题型六：参数取值范围与最值求解问题 11 题型七：值域与最值求解问题 11 题型八：三角函数性质综合应用问题 12 04 课后精练 15 05 培优拓展 18 知识点一：周期函数 函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期． 知识点诠释： 1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期． 2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期． 知识点二：正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 知识点诠释： （1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点三：正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 知识点诠释： 判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为． 知识点四：余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 知识点诠释： （1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点五：余弦型函数的性质． 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 知识点诠释： 判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． 若，则函数不一定有对称轴和对称中心． 题型一：周期性判定与应用问题 【典例1-1】（2026·高三·全国·专题练习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·山西朔州·二模）若函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为1，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式1-1】（2026·高一·广东东莞·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．6 D． 【变式1-2】（2026·高二·云南·学业考试真题）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（054限时小练43正弦函数、余弦函数的性质（1）高中数学必修第一册�RA）已知奇函数的最小正周期为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）定义法，即利用周期函数的定义求解． （2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数， （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 题型二：奇偶性分析与应用问题 【典例2-1】（2026·高一·北京·阶段检测）定义在上，且最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高一·河北唐山·阶段检测）已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·上海松江·阶段检测）下列函数①；②；③；④中的偶函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（2026·高一·河南南阳·期中）若函数为偶函数，则的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【变式2-3】（2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断函数奇偶性的方法 （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 题型三：对称性探究与应用问题 【典例3-1】（专题拓展：三角函数ω的取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）函数关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【典例3-2】（2026·广西北海·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在区间上是增函数 C．是偶函数 D．是图象的一个对称中心 【变式3-1】（2026·高三·江苏无锡·期中）若点是函数图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·河南南阳·期中）若函数的图象关于直线对称，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 【变式3-3】（2026·高一·陕西商洛·期末）记函数，的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【方法技巧与总结】 （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． 题型四：单调性判断与应用问题 【典例4-1】（2026·高二·天津南开·学业考试）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【典例4-2】（2026·高一·辽宁营口·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（2026·高一·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·宁夏·期末）下列区间为函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·福建三明·二模）下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤： 第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式． （2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略． 题型五：函数值大小比较问题 【典例5-1】（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·江西赣州·阶段检测）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·北京朝阳·期中）下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·云南红河·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·北京·期中）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 比较两个三角函数值的大小 （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上． 题型六：参数取值范围与最值求解问题 【典例6-1】（2026·高三·全国·一轮复习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______. 【典例6-2】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）函数，对都有，且在上单调，则的值为________ 【变式6-1】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，，则__________． 【变式6-2】（2026·湖北黄石·模拟预测）已知函数（）在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值2，则的范围为______. 【变式6-3】（2026·高一·北京·期末）若函数在上无最小值，则的取值范围为__________． 【方法技巧与总结】 已知正（余）弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 题型七：值域与最值求解问题 【典例7-1】（2026·高一·全国·专题练习）函数的值域为______. 【典例7-2】（2026·高一·贵州遵义·期中）函数在区间上的最大值为__________. 【变式7-1】（2026·高三·天津红桥·阶段检测）已知函数，． (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)求在区间的最大值和最小值． 【变式7-2】（2026·高一·全国·课堂例题）已知函数，，求在区间上的最小值和最大值． 【变式7-3】（2026·云南·模拟预测）已知二次函数，且的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求在区间上的值域． 【方法技巧与总结】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等． 三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 题型八：三角函数性质综合应用问题 【典例8-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数. (1)求在上的单调递增区间； (2)若不等式对恒成立，求实数的最大值； (3)若方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围. 【典例8-2】（2026·高一·湖北鄂州·期中）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递增区间； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围. 【变式8-1】（2026·高一·宁夏吴忠·期末）已知函数. (1)求函数的单调增区间 (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式8-2】（第十四单元三角函数的图象与性质B卷?名师原创能力提升卷）已知函数，其图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为． (1)若，求在上的最大值； (2)若对恒成立，求的取值范围． 【变式8-3】（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 1．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·模拟预测）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·北京·期中）设函数．若实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．下列函数在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数，则在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·河北张家口·期末）设函数（）在区间上恰有3个零点，则正整数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高三·贵州毕节·阶段检测）若函数，则（   ） A．的最小值为 B． C．在上无最大值 D．的图象关于点对称 9．（多选题）（2026·高一·四川泸州·期末）函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上恰有个零点 10．（多选题）下列命题中，真命题是（    ） A．的图象与的图象关于轴对称 B．的图象与的图象相同 C．的图象与的图象关于轴对称 D．的图象与的图象相同 11．（多选题）（2026·高一·辽宁大连·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上单调递增 D．在上有3个实根 12．（2026·高一·上海黄浦·期末）函数的最小正周期为________. 13．（2026·高三·江苏常州·阶段检测）已知函数的最小正周期为，则________． 14．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）函数是偶函数，且对任意都有，当时，，则____________ 15．已知，则______． 16．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数为奇函数，求的最小值. 17．（1）求函数，的单调区间； （2）求函数的单调递增区间. 18．（2026·高二·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的值域． 1．（2026·高一·北京昌平·期末）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 2．（2026·高一·北京西城·期末）若曲线关于直线对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·河南南阳·期末）已知函数，若在区间上有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·江西吉安·期末）已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数（，），若的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（     ） A． B．当时， C．若是偶函数，则 D．若在区间内无最大值，则 7．（多选题）（2026·高一·广东阳江·期末）声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为：，记（），则（     ） A．的最小正周期为 B．在区间上恰有3个零点 C． D．的图象关于点（）中心对称 8．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的最小值为 C．若在内无零点，则的取值范围为 D．若在内单调递减，则的取值范围为 9．（多选题）（2026·高一·江西抚州·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是的一个周期 B．在上单调递增 C．的值域是 D．直线是的对称轴 10．（2026·高三·江苏南京·阶段检测）已知函数满足恒成立，则最小值为______. 11．（2026·高一·上海·期末）设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得，则m的最小值为________． 12．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是______. 13．已知函数，若存在满足，且，则n的最小值为_____ 14．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数（，）在区间上的值域为． (1)求函数的解析式以及单调增区间； (2)若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．4．2 正弦函数、余弦函数的性质 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：周期函数 3 知识点二：正弦函数性质 3 知识点三：正弦型函数的性质． 4 知识点四：余弦函数的性质 4 知识点五：余弦型函数的性质． 5 03 题型精讲 7 题型一：周期性判定与应用问题 7 题型二：奇偶性分析与应用问题 8 题型三：对称性探究与应用问题 10 题型四：单调性判断与应用问题 12 题型五：函数值大小比较问题 15 题型六：参数取值范围与最值求解问题 17 题型七：值域与最值求解问题 20 题型八：三角函数性质综合应用问题 23 04 课后精练 28 05 培优拓展 36 知识点一：周期函数 函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期． 知识点诠释： 1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期． 2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期． 知识点二：正弦函数性质 函数 正弦函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点；最小值点 对称中心 对称轴 知识点诠释： （1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点三：正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 知识点诠释： 判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为． 知识点四：余弦函数的性质 函数 余弦函数 定义域 值域 奇偶性 偶函数 周期性 最小正周期 单调区间 增区间 减区间 最值点 最大值点 最小值点 对称中心 对称轴 知识点诠释： （1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 知识点五：余弦型函数的性质． 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 知识点诠释： 判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． 若，则函数不一定有对称轴和对称中心． 题型一：周期性判定与应用问题 【典例1-1】（2026·高三·全国·专题练习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，函数周期为，故B错误； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：A. 【典例1-2】（2026·山西朔州·二模）若函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为1，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：函数的最小正周期为2， 且，则，解得. 【变式1-1】（2026·高一·广东东莞·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【解析】函数的最小正周期为. 故选:D 【变式1-2】（2026·高二·云南·学业考试真题）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知，所以最小正周期． 【变式1-3】（054限时小练43正弦函数、余弦函数的性质（1）高中数学必修第一册�RA）已知奇函数的最小正周期为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的最小正周期为，所以，又函数为奇函数，所以，得．又因为，所以，故． 【方法技巧与总结】 （1）定义法，即利用周期函数的定义求解． （2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数， （3）观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． 题型二：奇偶性分析与应用问题 【典例2-1】（2026·高一·北京·阶段检测）定义在上，且最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】四个选项中函数定义域均为全体实数，均满足题目要求，分别看每个选项： A选项，为奇函数，故不正确； B选项，，最小正周期为，故不正确； C选项，是将沿轴翻折，是偶函数，周期为，故正确； D选项，是将沿轴翻折，是偶函数，但周期为，故不正确. 【典例2-2】（2026·高一·河北唐山·阶段检测）已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为奇函数，所以， 又，故. 【变式2-1】（2026·高二·上海松江·阶段检测）下列函数①；②；③；④中的偶函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】， 定义域为R，，奇函数， ， 定义域为R，，奇函数， ， 定义域为R，，偶函数， ， 定义域为R，，奇函数， 综上偶函数有1个. 【变式2-2】（2026·高一·河南南阳·期中）若函数为偶函数，则的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】已知为偶函数， 则， 当时，． 【变式2-3】（2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即，得， 所以，则． 故选：D. 【方法技巧与总结】 判断函数奇偶性的方法 （1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系； （2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法． 题型三：对称性探究与应用问题 【典例3-1】（专题拓展：三角函数ω的取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）函数关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【解析】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是． 【典例3-2】（2026·广西北海·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在区间上是增函数 C．是偶函数 D．是图象的一个对称中心 【答案】C 【解析】选项A，最小正周期是，故选项A错误； 选项B，当时，， 因为在上是减函数， 所以在区间上是减函数，故选项B错误； 选项C，由，得， 是偶函数，故选项C正确； 选项D，因为， 所以不是图象的一个对称中心，故选项D错误. 【变式3-1】（2026·高三·江苏无锡·期中）若点是函数图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对称中心满足，， 解得．因为，所以当时，． 【变式3-2】（2026·高一·河南南阳·期中）若函数的图象关于直线对称，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 【答案】A 【解析】解法一：若函数的图象关于直线对称，则， 所以，解得. 解法二：若函数的图象关于直线对称， 则恒成立，， 所以， 化简得，恒成立，所以. 【变式3-3】（2026·高一·陕西商洛·期末）记函数，的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【解析】因为，所以，解得， 因为的图象关于点中心对称， 所以，且，所以， 解得，令，得， 所以， 所以． 故选：B 【方法技巧与总结】 （1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形； （2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值； （3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0． 题型四：单调性判断与应用问题 【典例4-1】（2026·高二·天津南开·学业考试）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【解析】令，得，. 当时可得的一个单调递减区间为. 令，得，. 当时可得的一个单调递增区间为. ， 在区间上单调递减. 【典例4-2】（2026·高一·辽宁营口·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】对于，令， 则，所以，. 因为为增函数， 所以的单调递减区间即为的单调递减区间， 所以，， 解得，， 所以的单调递减区间为，. 【变式4-1】（2026·高一·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， 解得， 所以函数的增区间是. 故选：C. 【变式4-2】（2026·高一·宁夏·期末）下列区间为函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，， 解得：，， 当时，， 当时，， 当时，， 故四个选项中，只有B选项满足要求， 故选：B 【变式4-3】（2026·福建三明·二模）下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以令，解得， 当时，单调递增区间为， 因为， 所以是函数的一个单调递增区间. 【方法技巧与总结】 （1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤： 第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间； 第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”； 第三步：解关于的不等式． （2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略． 题型五：函数值大小比较问题 【典例5-1】（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵函数在上单调递减， ∴，即， 又∵函数在上单调递增， ∴，即， 又∵在上单调递减， ∴，即， ∴. 【典例5-2】（2026·高一·江西赣州·阶段检测）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因函数在时单调递增， 由可得，即； 又因， 显然，则，即. 综上，. 【变式5-1】（2026·高一·北京朝阳·期中）下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据诱导公式，可得. 而，因此，即. 【变式5-2】（2026·高一·云南红河·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，， 又因为，即，所以． 【变式5-3】（2026·高一·北京·期中）当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，单位圆中，是单位圆与轴正方向的交点， 是圆在第一象限的圆弧上的点，设，则， 作于点，则，， ，由图知，因此，B错误， 又，所以，A正确， 时，，时，， 时，，因此，D错误； 当时，，而，因此C错误. 【方法技巧与总结】 比较两个三角函数值的大小 （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上． 题型六：参数取值范围与最值求解问题 【典例6-1】（2026·高三·全国·一轮复习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】由题可知在上单调递增， 令， 余弦函数的递增区间， 则，即， ，仅满足，代入可得：. 故的取值范围为. 故答案为： 【典例6-2】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）函数，对都有，且在上单调，则的值为________ 【答案】 【解析】因为对都有， 所以，可得， ，， 又在上单调，，， 即，已知, 由，可得， 当时，， ，都有， 且当时，， 即函数在上单调递减，因此符合题意， 所以的取值为． 【变式6-1】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，，则__________． 【答案】/ 【解析】在区间上单调递减，， 由，得①. 又，图象关于点对称， 即②. 由②①得，由于， 则，代入①，即， 由于，则． 【变式6-2】（2026·湖北黄石·模拟预测）已知函数（）在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值2，则的范围为______. 【答案】 【解析】因为，所以， 因为函数在区间（）上单调递增， 所以，，而令，解得， 结合，可得； 由正弦函数的性质得的最大值为2， 令，得到（）， 则在上取得的第一个最大值的横坐标为， 而取得的第二个最大值的横坐标为， 可得，解得， 综上，，即. 【变式6-3】（2026·高一·北京·期末）若函数在上无最小值，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】因为，当时，，且， 当时，第二次使得， 因为函数在上无最小值， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 【方法技巧与总结】 已知正（余）弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解． 题型七：值域与最值求解问题 【典例7-1】（2026·高一·全国·专题练习）函数的值域为______. 【答案】 【解析】解法一：， 因为，所以， 因此或， 则或， 故的值域为. 解法二：由化简可得， 易知，所以， 则，解得或， 故的值域为. 【典例7-2】（2026·高一·贵州遵义·期中）函数在区间上的最大值为__________. 【答案】3 【解析】， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，为3. 【变式7-1】（2026·高三·天津红桥·阶段检测）已知函数，． (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)求在区间的最大值和最小值． 【解析】（1）的最小正周期， 令，解得，， 所以单调增区间为，． （2）当时，设， 因为当时，， 所以， 所以最大值为，最小值为． 【变式7-2】（2026·高一·全国·课堂例题）已知函数，，求在区间上的最小值和最大值． 【解析】因为当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减， 所以在区间上为增函数，在区间上为减函数， 又，，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为． 【变式7-3】（2026·云南·模拟预测）已知二次函数，且的解集为． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求在区间上的值域． 【解析】（1）因为的解集为，所以，且的两根为和2. 所以，，解得，. 所以. （2）. 因为，所以，令，则. 又在上单调递增，，， 所以在上的值域为， 即在区间上的值域为. 【方法技巧与总结】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等． 三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 题型八：三角函数性质综合应用问题 【典例8-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数. (1)求在上的单调递增区间； (2)若不等式对恒成立，求实数的最大值； (3)若方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围. 【解析】（1）令，当时，， 而由正弦函数性质得的递增区间为， 取，此时，解得， 取，此时，解得； 故在上的单调递增区间为 与. （2）令，当时，， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，可得， 而对恒成立，则，故的最大值为. （3）当时，，已知得， 若方程在上恰有两个不同的实根， 则在上恰有两个不同的实根， 即和在上恰有两个不同的交点， 如图，作出符合题意的图象， 结合图象可得，解得，即， 故实数的取值范围为. 【典例8-2】（2026·高一·湖北鄂州·期中）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递增区间； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围. 【解析】（1）因为函数的最小正周期为，可得，解得， 所以，令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，可得. 又因为在上的值域为，且， 所以，解得，即的取值范围为. 【变式8-1】（2026·高一·宁夏吴忠·期末）已知函数. (1)求函数的单调增区间 (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数，由， 得，所以函数的单调增区间为. （2）当，得，则， 因此，由不等式恒成立，得，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式8-2】（第十四单元三角函数的图象与性质B卷?名师原创能力提升卷）已知函数，其图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为． (1)若，求在上的最大值； (2)若对恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由题意，知的最小正周期，则， 又，所以． 因为，所以， 所以在上单调递增，最大值为． （2）当时，， 因为，所以， 所以函数在上先单调递增，再单调递减. 若对恒成立， 则，即， 即，又， 所以解得， 故的取值范围为． 【变式8-3】（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； （2）不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． （3）因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 解得或， 即的取值范围为． 1．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的最小正周期. 2．（2026·广东广州·模拟预测）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，则， 要使在该区间上单调递增，则区间内的必须包含在正弦函数的某个单调递增区间内， 因为区间的中心为，所以只能对应正弦函数在上的单调递增区间， 因此需满足且，得，又， 所以，即的取值范围是. 3．（2026·高三·北京·期中）设函数．若实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的最大值为2，最小值为，最小正周期， 实数满足，则分别为函数的最大值点和最小值点， 所以的最小值为. 4．下列函数在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A：在上递增，上递减，在上不是减函数. 对于选项B：的单调递减区间为，取得，故在上是减函数. 对于选项C：时，在、上递增，在上不是减函数. 对于选项D：时，在上递增，在上不是减函数. 5．（2026·高一·江苏南通·阶段检测）已知函数，则在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由； 令得：， 令得： 令得：， 结合选项可知ABD错误，C正确. 6．（2026·高一·河北张家口·期末）设函数（）在区间上恰有3个零点，则正整数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以正整数的取值范围为. 7．（2026·高一·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 由题意得， 即，， ，， 联立得，其中且，解得， 所以，. 8．（多选题）（2026·高三·贵州毕节·阶段检测）若函数，则（   ） A．的最小值为 B． C．在上无最大值 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】选项A：正弦函数的值域为， 因此的值域为，最小值为，A正确； 选项B：计算得，， 故，B错误； 选项C：当时，，当即时， 取得最大值2，C错误； 选项D：正弦函数的对称中心满足相位为， 令，解得，取得， 此时，故图象关于点对称，D正确． 9．（多选题）（2026·高一·四川泸州·期末）函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上恰有个零点 【答案】BC 【解析】对于选项A：因为不为最值， 所以函数的图象不关于直线对称，故A错误； 对于选项B：因为， 所以函数的图象关于点对称，故B 正确； 对于选项C：因为，则， 且正弦函数在内单调递增，所以函数在上单调递增，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在内有4个零点，所以函数在上恰有个零点，故D错误． 10．（多选题）下列命题中，真命题是（    ） A．的图象与的图象关于轴对称 B．的图象与的图象相同 C．的图象与的图象关于轴对称 D．的图象与的图象相同 【答案】BD 【解析】对于，因为为偶函数，当时，，与在区间的图像不同，所以的图象不与的图象关于轴对称，选项为假命题； 对于，因为为偶函数，所以，的图象与的图象相同，选项为真命题； 对于，因为为偶函数，当时，，又因为为奇函数，所以，即当时，与图像重合，选项为假命题； 对于，因为为偶函数，所以，的图象与的图象相同，选项为真命题. 11．（多选题）（2026·高一·辽宁大连·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上单调递增 D．在上有3个实根 【答案】ACD 【解析】对于A：因为函数的最小正周期为，所以，故A正确； 对于B：当时， 为的最大值， 所以关于直线对称，故B错误； 对于C：当时，，因为余弦函数在单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D：令，得，因为，所以， 所以或或， 则或或，即在上有3个实根，故D正确. 12．（2026·高一·上海黄浦·期末）函数的最小正周期为________. 【答案】 【解析】结合余弦函数性质可得函数的最小正周期为. 13．（2026·高三·江苏常州·阶段检测）已知函数的最小正周期为，则________． 【答案】 【解析】∵函数的最小正周期， ∴，得，即或. 当时， . 当时，. 综上，. 14．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）函数是偶函数，且对任意都有，当时，，则____________ 【答案】 【解析】由知是的一个周期,所以. 因为是偶函数,所以. 又,故. 15．已知，则______． 【答案】 【解析】， 的周期为， 又，， 又，， ， 则 . 16．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数为奇函数，求的最小值. 【解析】（1）因为， 所以的最小正周期. （2）， 若为奇函数，则，， 解得， 当时，，当时，， 所以的最小值为. 17．（1）求函数，的单调区间； （2）求函数的单调递增区间. 【解析】（1）设，则. 当，时，为增函数. ∴，得，. 当时，为减函数. ∴，得，. 故的增区间为，， 减区间为，. （2）， 令，则. 因为是的一次函数，所以要求的单调递增区间，即求的单调递减区间， 即 . ∴，即 . ∴函数的单调递增区间为. 18．（2026·高二·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的值域． 【解析】（1）的最小正周期， 令，，解得，， 故单调递增区间为，； （2）由，可得，故， ，故函数值域为 1．（2026·高一·北京昌平·期末）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】B 【解析】， 因为，，可得. 的单调递增区间为，单调递减区间为，令. 选项A，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故在该区间不单调，A错误. 选项B，当时，，是时的单调递增区间，故在该区间单调递增，B正确. 选项C，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故在该区间不单调，C错误. 选项D，当时，，在上单调递增，在上单调递减，故在该区间不单调，D错误. 2．（2026·高一·北京西城·期末）若曲线关于直线对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】曲线关于直线对称，则， 即， 因为， 当时，， 当时，（舍去）， 所以的最小值为，选项B正确. 3．（2026·高一·河南南阳·期末）已知函数，若在区间上有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 令，则， 即在上有三个零点， 由余弦函数图象知，即， 解得. 4．（2026·高一·江西吉安·期末）已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对都有，故， 即，， 故，，解得，， 在上单调，，故，解得， 故，解得， 因为，所以， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故. 5．（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数（，），若的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，故排除A，B； 又，且，解得， 当时，不满足， 当时，符合题意， 当时，符合题意， 当时，不满足，故C正确，D不正确， 6．（多选题）（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（     ） A． B．当时， C．若是偶函数，则 D．若在区间内无最大值，则 【答案】AC 【解析】选项A，因为，是的两个不同解， 且，所以 ，，，则选项A正确； 选项B，因为，所以， ， ， 因为在上是单调递减函数，且，所以， 即，则选项B错误； 选项C， 因为是偶函数， 且， 所以 ，， 因为，所以；则选项C正确； 选项D，令，，， 则，， 因为，所以，则选项D错误. 7．（多选题）（2026·高一·广东阳江·期末）声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为：，记（），则（     ） A．的最小正周期为 B．在区间上恰有3个零点 C． D．的图象关于点（）中心对称 【答案】BCD 【解析】，其中周期为，的周期为， 故整体最小正周期为，故A错误； ，零点由或得： ，在区间上共有3个，故B正确； ， 等号需满足，不存在这样的使得等式成立，故无解， 故，故C正确； 因为 所以，图象关于点中心对称，故D正确． 8．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的最小值为 C．若在内无零点，则的取值范围为 D．若在内单调递减，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对于A选项，函数，当时，，符合题意，故A正确； 对于B选项，由于，，所以， 即或，所以或， 又，所以的最小值为1，故B正确； 对于C选项，由已知得整理得， 无零点等价于 当时，，当时，，故的取值范围并非只有，故C错误； 对于D选项，由于在内单调递减， 由于函数在内单调递减，则满足 解得，当时，． 当时，，解得，而，解得，二者无交集； 当时，，与题设矛盾，故D正确． 故选：ABD. 9．（多选题）（2026·高一·江西抚州·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是的一个周期 B．在上单调递增 C．的值域是 D．直线是的对称轴 【答案】ABD 【解析】对A： ， 故是的一个周期，故A正确； 对B：当时，， 由在上单调递减且小于， 则在上单调递增； 当时，， 由在上单调递增且大于， 则在上单调递增； 当时，， 由在上单调递减且小于， 故在上单调递增； 综上可得：在上单调递增，故B正确； 对C：， 故的值域不为，故C错误； 对D： ， 故直线是的对称轴，故D正确. 10．（2026·高三·江苏南京·阶段检测）已知函数满足恒成立，则最小值为______. 【答案】4 【解析】由，可知， 因为恒成立，所以，即， 因为，所以，因为，所以， 此时，即，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，，则， 由，可得， 解得，又，所以. 11．（2026·高一·上海·期末）设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得，则m的最小值为________． 【答案】/ 【解析】由得， 当时，，， 则， 令，，则， 则在区间上总存在唯一确定的β，使得， 等价于在上存在唯一解， 则，解得， 所以m的最小值为. 12．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，画出函数图象，如图： 故必满足，解得. 13．已知函数，若存在满足，且，则n的最小值为_____ 【答案】10 【解析】因对任意都有， ∴要使n取得最小值，需尽可能多让取得最高点， 考虑，， 按下图取值即可满足条件，即有，故n的最小值为10. 14．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数（，）在区间上的值域为． (1)求函数的解析式以及单调增区间； (2)若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，． 在此区间上，的最小值为，最大值为，所以的值域为． 因此解得，从而． 由得 故的单调增区间为（）． （2）当时，，故，且． 当时， 要使该区间内存在满足，需且只需存在使，即． 从开始，首次达到的位置为，因此 解得． 所以的取值范围为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $