5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 知识点一、周期性 1.周期函数与周期 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 注意：并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如常数函数f(x)＝c没有最小正周期. 3.正弦函数、余弦函数的周期性 函数 y=sin x y=cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 4.函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0) 的周期. 知识点二、正弦、余弦函数的奇偶性和对称性 1.正弦、余弦函数的奇偶性 函数 图像 定义域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性 （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)，当φ＝kπ，k∈Z时为奇 函数；当φ＝+kπ，k∈Z时为偶函数. （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)，当φ＝kπ，k∈Z时为偶 函数；当φ＝+kπ，k∈Z时为奇函数. 3.正弦函数和余弦函数的对称性 函数 对称性 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 知识点三、正弦、余弦函数的单调性 函数 图像 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 单调性 单调递增区间：， 单调递减区间：， 单调递增区间：， 单调递减区间：， 对称性 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 知识点四、正弦型、余弦型函数的单调性 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0) （1）定义域：R； （2）值域：[-A，A]； （3）单调性 ①当ω>0时，把ωx＋φ看作一个整体，由，解出x的取值范围即为函数的单调递增区间；由，解出x的取值范围即为函数的单调递减区间； ②当ω<0时，先由诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则函数y＝Asin(－ωx－φ)的单调递减区间为原函数的单调递增区间，单调递增区间为原函数的单调递减区间. 2.函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0) （1）定义域：R； （2）值域：[-A，A]； （3）单调性 ①当ω>0时，把ωx＋φ看作一个整体，由，解出x的取值范围即为函数的单调递增区间；由，解出x的取值范围即为函数的单调递减区间； ②当ω<0时，先由诱导公式转化为y＝Acos(－ωx－φ)，再将－ωx－φ看作一个整体，利用余弦函数的单调性求解. 题型一：正弦型、余弦型函数的周期及应用 例1.求下列函数的周期： （1）f(x)＝cos(2x+)； （2）f(x)＝|sin x|. 解：（1）方法一：∵f(x)＝cos(2x+)＝cos(2x++2π)＝cos[2(x+π)+]＝f(x＋π)， 即f(x＋π)＝f(x)，∴函数f(x)＝cos(2x+)的最小正周期T＝π. 方法二：∵y＝coscos(2x+)，∴ω＝2.又T＝＝π. ∴函数f(x)＝cos(2x+)的最小正周期T＝π. （2）方法一：∵f(x)＝|sin x|，∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， ∴f(x)的最小正周期为π. 方法二：作出函数y＝|sin x|的图象如图所示． 由图象可知T＝π. 跟踪训练： 1.下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 解：函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合.故选：C. 2.函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 解：函数的最小正周期.故选：B. 3.下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 解：由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，.故选：D． 4.设为正数，若函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：由，且为正数，可得，解得.故选：C. 题型二：正弦型、余弦型函数的奇偶性和对称性 例1.判断下列函数的奇偶性． （1）f(x)＝sin xcos x. （2）f(x)＝＋. （3）f(x)＝|cos(x+)|. 解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称． ∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x) ＝－sin xcos x＝－f(x)， ∴f(x)＝sin xcos x为奇函数． （2）由，得cos x＝1， ∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称． 当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数． （3）f(x)＝|cos(x+)|=|sinx|. f(x)的定义域为R，因为f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x). 所以f(x)为偶函数. 例2.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 解：对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确.故选：B. 跟踪训练： 1.(1)下列函数中周期为，且为偶函数的是(　　) A．y＝sin 4x B．y＝cos x C．y＝sin(4x+) D．y＝cos(x) 解：显然周期为的有A和C，又因为y＝sin(4x+)＝cos 4x是偶函数.故选C. (2)函数f(x)＝x2cos(x+)的奇偶性是________． 解：f(x)＝x2cos(x+)＝－x2·sin x.f(x)的定义域为R， f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．故答案为：奇函数． 2.已知函数f(x)＝sin(x+)，则函数f(x)为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解：函数的定义域为R，关于原点对称． 因为f(x)＝sin(x+)＝cos x，所以f(－x)＝cos(x)＝cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数． 故选：B. 3.下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 解：A选项，的定义域为R，且，故为奇函数，A错误； B选项，的定义域为R，且，故为奇函数，B错误； C选项，的定义域为R，且，故为偶函数，C正确； D选项，的定义域为R，且，故不是偶函数，D错误.故选：C. 4.已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 解：由是奇函数，则是偶函数， 所以，即，故当时，.故选：A． 5.函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 解：令，可得. 所以当时，，故满足条件.故选：A. 6.已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解：方法1：由题设，知，， 于是，即. 又，且，故的最小值是2. 方法2：由题意可知，且，所以且.所以的最小值为2. 方法3：对称中心到相邻对称轴的距离为，显然当直线为与点相邻的对称轴时，周期最大，则最小，所以，得.故选：A. 题型三：三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 例1.（1）定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且 当x∈[0,)时，f(x)＝sin x，则f ()等于(　　) A. B. C. D. 解：f ()＝f ()＝f ()＝f ()＝f ()＝f ()＝sin ＝.故选：D. （2）把（1）中“偶函数”变成“奇函数”，其它不变，则f ()的值为 ． 解：f()＝f ()＝f ()＝f ()＝f  ()＝－f ()＝－sin ＝.故答案为：. （3）若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f (x+)＝－f(x)，f ()＝1，则f ()的值为 ． 解：∵f (x+)＝－f(x)，∴f(x＋π)＝－f (x+)＝－(－f(x))＝f(x)， ∴T＝π，∴f ()＝f ()＝f  ()＝f ()＝1.故答案为：1. 跟踪训练： 1.函数y＝f(x)是R上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝3，则f(2 020)＝ ． 解：T＝3，且f(x)为偶函数． 又2 020＝673×3＋1，∴f(2 020)＝f(673×3＋1)＝f(1)＝f(－1)＝3. 故答案为：3. 2.奇函数f(x)满足f(x+)＝f(x)，当x∈(，0)时f(x)＝cos x，则f ()的值为 ． 解：∵f (x+)＝f(x)，∴T＝，∴f ()＝f ()＝f ()＝－f ()＝＝－cos ()＝－cos ＝.故答案为：. 3.已知f(x)是以π为周期的偶函数，当x∈[0,]时，，f(x)=1－sinx，则当x∈[,3π]时，f(x)= ． 解：当x∈[,3π]时，3π－x=[0,]. ∵当x∈[0,]时，，f(x)=1－sinx，∴f(3π－x)=1－sin(3π－x)=1－sinx. 又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)=f(-x)=f(x)，所以当x∈[,3π]时，f(x)=1－sinx. 故答案为：f(x)=1－sinx. 4.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 解：对于A，由题意可得，故不是奇函数，则A错误. 对于B，因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误. 对于C，若，则图象的对称中心为，而，故不是函数图象的对称中心，故C错误； 对于D，由，得，而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确. 故选：D. 题型四：求与正弦型、余弦型函数有关的函数的单调区间 例1.（1）求函数y＝2sin(x－)的单调区间． 解：令z＝x－，则y＝2sin z. ∵z＝x－是增函数，∴y＝2sin z单调递增(减)时， 函数y＝2sin(x－)也单调递增(减)．由z∈[2kπ－，2kπ+](k∈Z)， 得x－∈[2kπ－，2kπ+](k∈Z)，即x∈[2kπ－，2kπ+](k∈Z)， 故函数y＝2sin(x－)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ+](k∈Z)． 同理可求函数y＝2sin(x－)的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+](k∈Z)． （2）求函数f(x)＝2sin(x－)，x∈[0,2π]的单调区间． 解：由例题知f(x)＝2sin(x－)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ+](k∈Z)， 又∵x∈[0,2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π， 同理函数f(x)＝2sin(x－)，x∈[0,2π]的单调递减区间为[，]. ∴函数f(x)＝2sin(x－)，x∈[0,2π]的单调递增区间为[0，]，[，]， 单调递减区间为[，]. （3）求函数y＝sin的单调递增区间． 解：y＝sin＝－sin(x－)， 令z＝x－，而y＝－sin z的单调递增区间是，k∈Z， ∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， ∴函数y＝sin的单调递增区间为，k∈Z. 例2.函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 解：已知， 令，，得，， 所以函数的单调递减区间为，.故选：. 跟踪训练： 1.函数y＝sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为 ． 解：y＝sin＝－sin， 令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 又x∈[0,2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π， ∴原函数的单调递减区间为[0,]，[,2π]. 2.函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 解：因为，且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，.故选：C． 3.函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 解：令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误，故选：D. 4.函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 解：令，解得， 所以的单调递减区间为．故选：B. 题型五：已知单调性求参数的范围 例1.已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 解：由题意可得，，解得且，， 又，则，，则，故且，故.故选：A. 例2.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：因为，，所以， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，,即，故当时，.故选：A. 跟踪训练： 1.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：因为，所以， 因为函数在区间上单调递增，且， 所以，解得，所以的取值范围是.故选：A. 2.已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 解：由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得，又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，.故选：A. 3.已知函数，，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：函数，，函数在上单调递减，所以， 又，则，解得． 当时，， 当在上单调递减时，，， 解得， 当时，.故选：B. 4.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 解：方法1：由，得， 所以的单调递增区间是. 根据题意，得， 从而有即，易得，则.故的取值范围是. 方法2：易知函数为奇函数，图象关于原点对称. 因为在上单调递增，所以在上单调递增. 从而有，所以，所以.故的取值范围是. 故答案为：. 题型六：利用单调性比较大小 例1.比较下列各组数的大小： （1）sin 220°与sin 230°； （2）cos与cos ； （3）sin()与cos(). 解：（1）因为函数y＝sin x在[90°，270°]上单调递减，且90°<220°<230°<270°，所以sin 220°> sin 230°. （2）cos ＝cos()＝cos ，cos ＝cos()＝cos . 因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0<<<π， 所以cos >cos ，故cos >cos . (3)sin()＝sin ＝－sin ，cos()＝cos ＝－cos ＝－sin . 因为函数y＝sin x在[]上单调递增，而<<<， 所以sin <sin ，所以－sin >－sin .故sin()>cos(). 跟踪训练： 1.若，则（   ） A． B． C． D． 解：由题意可得， ， 又， 由于，故，即，故.故选：C. 2.设，，，，则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. 解：因为，函数在上单调递减， 所以，即. 又，所以，即. 综上可得.故选：B. 3.不通过求值，比较下列各组数的大小： （1）； （2）. 解：（1）因为，且函数在上单调递减，所以. （2）， 因为，且当时，函数单调递增，所以， 即. 4.比较下列各组数的大小： （1）cos()与cos； （2）cos 1与sin 2. 解：（1）cos()＝cos ＝cos()＝－cos ，而cos ＝－cos ， ∵函数y＝cos x在[0,]上单调递减，且0<<<，∴cos>cos. ∴－cos  <－cos ，∴cos()<cos . (2)∵1∈[0,]，∴cos 1＝sin(＋1)， ∵y＝sin x在[,]上单调递减， 又＋1,2∈[,]，且＋1>2， ∴sin＋1><sin 2，即cos 1<sin 2. 题型七：求正弦型、余弦型函数的值域与最值 例1.求下列函数的值域： （1）y＝cos(x+)，x∈[0,]； （2）y＝cos2x－4cos x＋5，x∈R. 解：（1）由y＝cos(x+)，x∈[0,]，可得x＋∈[,]， 因为函数y＝cos x在区间[,]上单调递减，所以函数的值域为[,]. （2）y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，x∈R，则－1≤t≤1. y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，－1≤t≤1， 当t＝－1时，函数取得最大值10； 当t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2,10]． 例2.已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 解：因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以，当，则， 所以当，即时取得最小，即.故选：A. 例3.若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：当时，，且值域为， 所以，则.故选：B. 跟踪训练： 1.函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 解：因为，则，故.故选：D. 2.函数在上的值域为（     ） A． B． C． D． 解：， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为.故选：C. 3.已知f(x)＝2sin＋1，x∈[0,]，求f(x)的最大值和最小值． 解　∵x∈[0,]，∴－≤2x－≤， 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－＋1， 当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝3， 综上，当x＝0时，f(x)min＝－＋1， 当x＝时，f(x)max＝3. 4.若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：当时，，且值域为， 所以，则.故选：B. 5.已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则.时，由值域为，， 所以，所以故选：A. 6.若函数在有最小值无最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：由，可得，又函数在有最小值无最大值，故，解得.故选：D. 1.函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解：由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．故选：A. 2.函数y＝－cos x在区间[,]上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 解：因为y＝cos x在区间[,]上先增后减，所以y＝－cos x在区间[,]上先减后增． 故选：C. 3.设函数f(x)＝sin(2x)，x∈R，则f(x)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 解：∵sin(2x)＝－sin()＝－cos 2x， ∴f(x)＝－cos 2x.又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数． 故选：B. 4.下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° 解：∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. ∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选：C. 5.函数f(x)＝sin()，x∈R的最小正周期为 ． 解：由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.故答案为：4. 6.函数y＝3－4cos(2x+)的最大值为 ，此时自变量的取值集合为 ． 解：当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)max＝3＋4＝7. 故答案为：7，. 7.已知f(x)为奇函数，且周期为，若 f()＝－1，则f ()＝ ． 解：T＝，∴f ()＝f(8×)＝f()＝－ f()＝－(－1)＝1.故答案为：1. 8.函数f(x)＝cos()的单调递减区间是__________． 解：令2kπ≤≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 即f(x)＝cos()的单调递减区间是[＋kπ,＋kπ](k∈Z)． 故答案为：[＋kπ,＋kπ](k∈Z)． 1.函数f(x)＝sin()，x∈R的最小正周期为(　　) A. B．π C．2π D．4π 解：由题意T＝＝4π.故选：D. 2.对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)在(,)上单调递增 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2 解：因为函数y＝sin x在(,)上单调递减，所以f(x)＝sin 2x在(,)上单调递减，故A错误； 因为f(－x)＝sin[2(－x)]＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误． 故选：B. 3.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可以是(　　) 解：由f(－x)＝f(x)，得f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)的周期为2.故选B. 4.(多选)下列不等式中成立的是(　　) A．sin()>sin() B．cos 400°>cos C．sin 3>sin 2 D．sin>cos  解：y＝sin x在[]上单调递增，又<，∴sin()<sin() ，故A不成立． cos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立． y＝sin x在(,)上单调递减，又<2<3<π，∴sin 2>sin 3，故C不成立． sin ＝－sin ，cos ＝－cos ＝－sin()＝－sin . ∵0<<<，且y＝sin x在[]上单调递增．∴sin <sin ，∴sin >cos ，故D成立． 故选：BD. 5.(多选)函数f(x)＝sin(2x＋φ)是R上的偶函数，则φ的值可以是(　　) A. B．π C. D．－ 解：∵f(x)为偶函数，则需把f(x)化成y＝±cos 2x的形式，∴φ＝＋kπ，k∈Z，故选ACD. 6.如果函数f(x)＝cos(ωx+)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为(　　) A．3 B．6 C．12 D．24 解：函数f(x)＝cos(ωx+)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，所以T＝2×＝，由＝，解得ω＝6.故选：B. 7.(多选)设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的一个周期为2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)的一个零点为x＝ D．f(x)在()上单调递减 解：A显然正确．f(x)的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z，当k＝3时，x＝，故B正确． 令f(x)＝0，∴x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，令k＝0，∴x＝为f(x)的一个零点，故C正确． 令t＝x＋，当x∈(,)时，t∈(,)，由y＝cos t的图象知y＝cos t在(,)上单调递减，在(,)上单调递增，故D不正确．故选：ABC. 8.函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，且f(－3)＝－3.则f(99)＝ . 解：T＝4，f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝3.故答案为：3. 9.函数f(x)＝sin()，x∈[0，π]的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 解：f(x)＝－sin()，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，f(x)单调递减． 又0≤x≤π，所以0≤x≤，即f(x)的单调递减区间为[0，]，同理f(x)的单调递增区间为[，]， 所以f(x)在x∈[0，π]上的单调递减区间为[0，]，单调递增区间为[，]. 故答案为：[0，]，[，]. 10.设函数f(x)＝3sin(ωx+)，ω>0，x∈R，且以为最小正周期．若f()＝，则sin α的值为 . 解：因为f(x)的最小正周期为，ω>0，所以ω＝＝4.所以f(x)＝3sin(4x+). 因为f ()＝3sin(+)＝3cos α＝，所以cos α＝.所以sin α＝±＝±. 故答案为：±. 11.已知函数f(x)＝sin(+)是奇函数，则φ∈[，]时，φ的值为 . 解：由已知＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，又∵φ∈[，]， ∴k＝0时，φ＝－符合条件．故答案为：－. 12.函数f(x)＝3cos2x－4cos x＋1，x∈[，]，当x＝ 时，f(x)最小且最小值为 . 解：令t＝cos x，x∈[，]，∴t∈[，]，y＝3t2－4t＋1＝3. ∵y＝3－在t∈[，]上单调递减， ∴当t＝，即x＝时，ymin＝3×－4×＋1＝－.故答案为：，－. 13.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝，则f() 的值等于 . 解： f () ＝f []＝f () ＝sin ＝.故答案为：. 14.判断下列函数的奇偶性． （1）f(x)＝sin； （2）f(x)＝|sin x|＋cos x. 解：（1）f(x)＝sin＝－cos ，x∈R. 又f(－x)＝－cos＝－cos ＝f(x)， 所以函数f(x)＝sin是偶函数． （2）函数的定义域为R， 又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以此函数是偶函数． 15.已知函数f(x)＝2cos. （1）求f(x)的单调递增区间； （2）求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值． 解：（1）令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)， 解得－≤x≤－(k∈Z)． ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2. 即x＝－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2. 16.已知函数y＝sin x＋|sin x|. （1）画出函数的简图； （2）此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解：（1）y＝sin x＋|sin x|＝的图象如图所示： （2）由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π. 17.已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 解：（1）由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. （3）解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 知识点一、周期性 1.周期函数与周期 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 注意：并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如常数函数f(x)＝c没有最小正周期. 3.正弦函数、余弦函数的周期性 函数 y=sin x y=cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 4.函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0) 的周期. 知识点二、正弦、余弦函数的奇偶性和对称性 1.正弦、余弦函数的奇偶性 函数 图像 定义域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性 （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)，当φ＝kπ，k∈Z时为奇 函数；当φ＝+kπ，k∈Z时为偶函数. （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)，当φ＝kπ，k∈Z时为偶 函数；当φ＝+kπ，k∈Z时为奇函数. 3.正弦函数和余弦函数的对称性 函数 对称性 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 知识点三、正弦、余弦函数的单调性 函数 图像 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 单调性 单调递增区间：， 单调递减区间：， 单调递增区间：， 单调递减区间：， 对称性 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 知识点四、正弦型、余弦型函数的单调性 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0) （1）定义域：R； （2）值域：[-A，A]； （3）单调性 ①当ω>0时，把ωx＋φ看作一个整体，由，解出x的取值范围即为函数的单调递增区间；由，解出x的取值范围即为函数的单调递减区间； ②当ω<0时，先由诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则函数y＝Asin(－ωx－φ)的单调递减区间为原函数的单调递增区间，单调递增区间为原函数的单调递减区间. 2.函数y＝Acos(ωx＋φ)(A>0) （1）定义域：R； （2）值域：[-A，A]； （3）单调性 ①当ω>0时，把ωx＋φ看作一个整体，由，解出x的取值范围即为函数的单调递增区间；由，解出x的取值范围即为函数的单调递减区间； ②当ω<0时，先由诱导公式转化为y＝Acos(－ωx－φ)，再将－ωx－φ看作一个整体，利用余弦函数的单调性求解. 题型一：正弦型、余弦型函数的周期及应用 例1.求下列函数的周期： （1）f(x)＝cos(2x+)； （2）f(x)＝|sin x|. 跟踪训练： 1.下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 2.函数的最小正周期（    ） A． B． C． D． 3.下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 4.设为正数，若函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：正弦型、余弦型函数的奇偶性和对称性 例1.判断下列函数的奇偶性． （1）f(x)＝sin xcos x. （2）f(x)＝＋. （3）f(x)＝|cos(x+)|. 例2.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 跟踪训练： 1.(1)下列函数中周期为，且为偶函数的是(　　) A．y＝sin 4x B．y＝cos x C．y＝sin(4x+) D．y＝cos(x) (2)函数f(x)＝x2cos(x+)的奇偶性是________． 2.已知函数f(x)＝sin(x+)，则函数f(x)为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 3.下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 5.函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 6.已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 题型三：三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 例1.（1）定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且 当x∈[0,)时，f(x)＝sin x，则f ()等于(　　) A. B. C. D. （2）把（1）中“偶函数”变成“奇函数”，其它不变，则f ()的值为 ． （3）若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f (x+)＝－f(x)，f ()＝1，则f ()的值为 ． 跟踪训练： 1.函数y＝f(x)是R上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝3，则f(2 020)＝ ． 2.奇函数f(x)满足f(x+)＝f(x)，当x∈(，0)时f(x)＝cos x，则f ()的值为 ． 3.已知f(x)是以π为周期的偶函数，当x∈[0,]时，，f(x)=1－sinx，则当x∈[,3π]时，f(x)= ． 4.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 题型四：求与正弦型、余弦型函数有关的函数的单调区间 例1.（1）求函数y＝2sin(x－)的单调区间． （2）求函数f(x)＝2sin(x－)，x∈[0,2π]的单调区间． （3）求函数y＝sin的单调递增区间． 例2.函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 跟踪训练： 1.函数y＝sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为 ． 2.函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 3.函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 4.函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 题型五：已知单调性求参数的范围 例1.已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练： 1.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 3.已知函数，，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 题型六：利用单调性比较大小 例1.比较下列各组数的大小： （1）sin 220°与sin 230°； （2）cos与cos ； （3）sin()与cos(). 跟踪训练： 1.若，则（   ） A． B． C． D． 2.设，，，，则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. 3.不通过求值，比较下列各组数的大小： （1）； （2）. 4.比较下列各组数的大小： （1）cos()与cos； （2）cos 1与sin 2. 题型七：求正弦型、余弦型函数的值域与最值 例1.求下列函数的值域： （1）y＝cos(x+)，x∈[0,]； （2）y＝cos2x－4cos x＋5，x∈R. 例2.已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 例3.若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练： 1.函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 2.函数在上的值域为（     ） A． B． C． D． 3.已知f(x)＝2sin＋1，x∈[0,]，求f(x)的最大值和最小值． 4.若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.若函数在有最小值无最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2.函数y＝－cos x在区间[,]上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 3.设函数f(x)＝sin(2x)，x∈R，则f(x)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 4.下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．sin 168°<cos 10°<sin 11° 5.函数f(x)＝sin()，x∈R的最小正周期为 ． 6.函数y＝3－4cos(2x+)的最大值为 ，此时自变量的取值集合为 ． 7.已知f(x)为奇函数，且周期为，若 f()＝－1，则f ()＝ ． 8.函数f(x)＝cos()的单调递减区间是__________． 1.函数f(x)＝sin()，x∈R的最小正周期为(　　) A. B．π C．2π D．4π 2.对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)在(,)上单调递增 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2 3.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可以是(　　) 4.(多选)下列不等式中成立的是(　　) A．sin()>sin() B．cos 400°>cos C．sin 3>sin 2 D．sin>cos  5.(多选)函数f(x)＝sin(2x＋φ)是R上的偶函数，则φ的值可以是(　　) A. B．π C. D．－ 6.如果函数f(x)＝cos(ωx+)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为(　　) A．3 B．6 C．12 D．24 7.(多选)设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的一个周期为2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x)的一个零点为x＝ D．f(x)在()上单调递减 8.函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，且f(－3)＝－3.则f(99)＝ . 9.函数f(x)＝sin()，x∈[0，π]的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 10.设函数f(x)＝3sin(ωx+)，ω>0，x∈R，且以为最小正周期．若f()＝，则sin α的值为 . 11.已知函数f(x)＝sin(+)是奇函数，则φ∈[，]时，φ的值为 . 12.函数f(x)＝3cos2x－4cos x＋1，x∈[，]，当x＝ 时，f(x)最小且最小值为 . 13.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝，则f() 的值等于 . 14.判断下列函数的奇偶性． （1）f(x)＝sin； （2）f(x)＝|sin x|＋cos x. 15.已知函数f(x)＝2cos. （1）求f(x)的单调递增区间； （2）求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值． 16.已知函数y＝sin x＋|sin x|. （1）画出函数的简图； （2）此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 17.已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $