5.4.3 正切函数的性质与图象教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课　题

5.4.3 正切函数的性质与图象

课　型

新授课

课时数

1

授课时间

第      周第      课时

教学目标

（学科核心素养）

1．掌握正切函数图象的画法（三点两线法），理解并记住正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性，能运用这些性质解决求定义域、比较大小、解不等式、求单调区间等基本问题。

2．类比正弦函数、余弦函数的研究方法，经历“借助正切线画图象—观察图象特征—归纳函数性质”的完整探究过程，体会数形结合与类比归纳的思想方法，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象素养。

3．通过自主探究与合作交流，感受正弦、余弦、正切三类函数知识之间的内在联系，体验探究的乐趣，增强学好数学的信心。

教学重点

正切函数的图象画法与五条基本性质，以及性质的简单应用。

教学难点

利用正切线作正切函数的图象；理解“正切函数在每一个区间上是增函数，但在其定义域上不具有单调性”。

教学方法

类比探究　　讲练结合

教学过程

一、复习检测（导入新课）

1．回顾：前面研究正弦函数、余弦函数时，我们经历了怎样的过程？——先用描点法画出图象，再结合图象，按“定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性”的顺序研究性质。

2．问题1：正切函数与正弦、余弦函数有什么联系？（其中）。

3．问题2：能否类比研究正弦函数、余弦函数的方法，画出正切函数的图象，进而归纳出它的性质？

学生活动：学生回顾旧知，口答两个问题，明确本节课“先作图象、再探性质”的研究思路。

设计意图：以旧引新，把“研究一个函数，先看图象再提性质”的一般观念迁移到正切函数，让学生的探究有章可循，发展数学抽象素养。

二、探究新知

（一）正切函数的图象

1．正切线。如图1，设角的终边与单位圆交于点，过点（单位圆与轴正半轴的交点）作单位圆的切线，则这条切线平行于轴。当角的终边绕原点旋转时，终边（或其反向延长线）与这条切线交于点。当时，有向线段的数量与角的正切值相等，即。我们把有向线段叫做角的正切线。

2．用正切线画图。把区间内每一个角对应的正切线竖立到直角坐标系中横坐标为的位置，再用光滑曲线把各条正切线的端点连接起来，就得到在该区间上的图象（如图2）。

观察图2可以发现：当从增大到时，图象从左向右不断上升，并且向左、向右分别无限逼近直线和，但永远不会与它们相交。

3．三点两线法。作在上述区间上的简图时，只需取三个关键点、、和两条直线、，然后连线成图，

这种画法称为“三点两线法”。

4．周期性与正切曲线。由诱导公式可知，正切函数是周期函数，是它的最小正周期。把在区间内的图象向左、向右平移个单位长度，就得到在整个定义域内的图象（如图3），把它叫做正切曲线。

正切曲线是由被一系列与轴平行的直线（）所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的，这些直线叫做正切曲线的渐近线，正切曲线与它们无限接近但永不相交。

学生活动：学生在学案上用“三点两线法”独立作出在区间内的简图，同桌互查三个关键点与两条渐近线是否准确。

设计意图：以正切线为“脚手架”，把单位圆中的三角函数线与函数图象建立联系，让学生亲历作图过程，在观察图象特征的过程中自然归纳性质，渗透数形结合思想，发展直观想象素养。

（二）正切函数的性质

教师活动：引导学生对照正切曲线，仿照正弦函数、余弦函数的研究顺序，逐项讨论并完成下表。