第8章 立体几何初步 讲义-2027届高三数学一轮复习
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内容正文：
第八章 立体几何初步
2026—2027学年高考数学一轮复习 · 人教A版必修第二册
第一部分 近三年考情分析 1
一、考情总体定位 1
二、近三年真题考点统计 1
三、高频考点与考查频次 2
四、命题趋势与备考策略 2
第二部分 本章知识体系 3
一、本章知识网络总览 3
二、空间几何体的结构特征 4
三、立体图形的直观图 4
四、简单几何体的表面积 4
五、简单几何体的体积 5
六、平面的基本性质 5
七、空间中平行关系的判定与性质 5
八、空间中垂直关系的判定与性质 6
九、本章知识整合与记忆 6
第三部分 高考真题突破 7
考点一 空间几何体的结构特征与球的切接 7
考点二 几何体的表面积与体积 9
考点三 空间点线面的位置关系与平行、垂直判断 11
考点四 空间中的平行与垂直证明 13
考点五 空间角、距离与立体几何综合 15
第四部分 单元方法总结 18
一、运算技巧 18
二、图象应用 18
三、模型应用 19
四、易错提醒 19
第五部分 变式训练 20
第六部分 变式训练参考答案及解析 24
学业质量水平说明
· 水平一（基础达标）：认识柱、锥、台、球的结构特征，会用斜二测画法画直观图；掌握柱、锥、台、球的表面积与体积公式；理解平面基本性质，能判断空间点、线、面的平行与垂直关系。
· 水平二（综合应用）：能运用线面平行、垂直的判定定理与性质定理进行论证与计算；会求简单的异面直线所成角、线面角；能解决球的切接、体积与最值等综合问题。
核心素养导向
· 数学抽象：从实物中抽象出柱、锥、台、球等空间几何体，归纳其结构特征，建立空间图形模型。
· 逻辑推理：依据平面三公理、线面平行与垂直的判定和性质定理进行演绎推理，证明平行与垂直关系。
· 数学运算：熟练运用表面积与体积公式进行度量计算，结合勾股定理、余弦定理解三角形。
· 直观想象：借助直观图与空间想象认识几何体结构，由三视图还原实物，数形结合判断位置关系。
· 数学建模：把实际物体抽象为简单组合体，建立几何体模型解决包装、容积等问题。
· 数据分析：从几何体的数据特征中提取量的关系，结合公式作出估计与判断。
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第一部分 近三年考情分析
一、考情总体定位
立体几何初步是高中数学研究空间形式的起始内容，主要包括基本立体图形的结构特征、直观图画法、简单几何体的表面积与体积，以及空间点、直线、平面之间的位置关系。本章在高考中每年必考，常以选择、填空和解答题形式出现，重点考查几何体的表面积与体积计算、空间线面平行与垂直的判断和证明，以及异面直线所成角、线面角、球的切接等问题。
二、近三年真题考点统计
年份
卷型
题型
核心考点
2026
天津卷
选择
线面平行、面面平行与垂直的综合判断
2026
新课标全国Ⅱ卷
选择
台体体积的有关计算
2026
新课标全国Ⅰ卷
多选
线面垂直的证明、二面角
2026
北京卷
填空
三角形面积、余弦定理与锥体体积
2026
上海春考
解答
锥体体积、线面平行垂直与线面角
2025
天津卷
选择
线面关系、面面关系命题判断
2025
北京卷
填空
柱体锥体体积与垂直证明
2025
新课标全国Ⅱ卷
填空
圆柱结构特征与球的截面性质
2024
新课标全国Ⅰ卷
选择/解答
圆柱圆锥表面积、线面平行与面面垂直
2024
北京卷
选择
棱锥结构特征与线面、面面垂直证明
2024
新课标全国Ⅱ卷
选择
锥体台体体积与线面角
2024
天津卷
选择
柱体体积的有关计算
三、高频考点与考查频次
高频考点
考查频次
典型年份与卷型
难度定位
几何体表面积与体积
6次
2026全国Ⅱ/2026北京/2025北京/2024全国Ⅰ/2024全国Ⅱ/2024天津
中
线面平行、垂直的判断与证明
4次
2026天津/2026全国Ⅰ/2025天津/2024北京
中高
空间角（异面角、线面角）
1次
2026上海春考
中高
球的切接与截面
1次
2025全国Ⅱ
中
四、命题趋势与备考策略
1. 体积表面积常态化：柱、锥、台、球的体积与表面积是选择填空的高频考点，常结合余弦定理解三角形求底面积。
1. 平行垂直证明化：以棱柱棱锥为载体判断和证明线面平行、垂直是解答题第一问的固定套路，关键是找准判定定理所需条件。
1. 空间角直观化：异面直线所成角、线面角常以填空或解答小问出现，用平移法找角、解直角三角形求角。
1. 球的切接综合化：多面体与球的内切、外接问题常与截面结合，关键是确定球心位置与截面圆半径。
1. 组合体建模化：以实物、三视图为背景还原组合体，考查识图与度量的整体能力。
第二部分 本章知识体系
本部分按“知识系统化＋记忆高效化”两位一体独立编制，将第八章的知识按“认识结构特征—画出直观图—度量表面积体积—研究点线面位置关系”的内在逻辑组织成完整体系，不按考点罗列，重在呈现由整体到局部、由直观到推理的知识发生过程。
一、本章知识网络总览
（一）知识发生主线
本章以“从整体到局部、从直观到推理”为主线，沿“认识空间几何体的结构特征→画出直观图→度量表面积与体积→研究空间点线面位置关系（平行与垂直）”的链条展开：先识别柱锥台球及其组合体，再会算表面积与体积，最后用平面三公理与线面平行、垂直的判定和性质定理判断、证明位置关系。
（二）知识网络一览
知识板块
核心对象
一句话记忆
基本立体图形
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球
结构特征记底面与侧面
直观图
斜二测画法
横同纵半、角45°
表面积与体积
柱锥台球的表面积、体积公式
锥体别漏乘系数
平面基本性质
三个公理及其推论
点在线上、线在面内
位置关系
线线、线面、面面的平行与垂直
判定与性质互推
（三）核心概念与性质的联系
联系类型
具体内容
结构特征与度量
由几何体的结构决定展开图面积与体积公式
平行的判定与性质
线线平行⇄线面平行⇄面面平行
垂直的判定与性质
线线垂直⇄线面垂直⇄面面垂直
直观图与实物
斜二测画法是把空间图形平面化的桥梁
二、空间几何体的结构特征
（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边互相平行；侧棱平行且相等。棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。棱台：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分。
（2）圆柱、圆锥、圆台分别由矩形、直角三角形、直角梯形绕一条边旋转而成；球由半圆绕直径旋转而成。旋转体的轴截面是认识其结构的关键。
（3）组合体由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成，计算时要会分割与补形。
记忆技巧：棱柱棱锥棱台看底面多边形与侧棱；旋转体看轴、母线与截面圆。
三、立体图形的直观图
（1）斜二测画法：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴；画直观图时画成对应的x′轴与y′轴，夹角为45°（或135°）；平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半。
（2）直观图还原实物图时反向操作：y方向长度放大为原来的2倍，夹角还原为90°。
记忆技巧：斜二测：平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度减半，两轴夹角画成45°（或135°）。
四、简单几何体的表面积
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积等于侧面积与底面积之和，可借助侧面展开图计算。
（2）圆柱侧面积 S=2πrl，圆锥侧面积 S=πrl，圆台侧面积 S=π(r+r′)l；球的表面积 S=。其中 r、r′ 为底面半径，l 为母线长。
记忆技巧：表面积=侧面积+底面积；旋转体侧面展开为扇形或矩形。
五、简单几何体的体积
（1）柱体体积 V=Sh（棱柱、圆柱统一）；锥体体积 V=（棱锥、圆锥统一）。
（2）台体体积 V=，其中 S、S′ 分别为上下底面积；球的体积 V=。
（3）求体积常需先求底面积：三角形面积用 S= 或结合余弦定理求边长后代入。
记忆技巧：柱体V=Sh、锥体V=、台体V=，球V=。
六、平面的基本性质
（1）公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内。公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（2）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
（3）三个推论：直线与直线外一点、两条相交直线、两条平行直线都可确定一个平面。
记忆技巧：三公理是推理基础：两点定线入面、两平面交线、不共线三点定面。
七、空间中平行关系的判定与性质
（1）线面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
（2）面面平行判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质：两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行。
记忆技巧：线线平行⇄线面平行⇄面面平行，判定与性质定理相互转化。
八、空间中垂直关系的判定与性质
（1）线面垂直判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。性质：垂直于同一平面的两条直线平行。
（2）面面垂直判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
（3）异面直线所成角：平移为相交直线所成的锐角或直角；线面角是直线与它在平面内射影所成的角。
记忆技巧：线线垂直⇄线面垂直⇄面面垂直；线面垂直关键是找两条相交直线都垂直。
九、本章知识整合与记忆
（一）知识网络整合
回顾全章，一条主线贯穿始终：认识基本立体图形的结构特征→用斜二测画法画直观图→度量表面积与体积→以平面三公理为基础研究空间点线面的平行与垂直关系。“识图—画图—算量—证关系”是贯穿本章的基本活动。
（二）核心结论速记
内容
核心结论
记忆要点
柱体体积
V=Sh
棱柱、圆柱统一
锥体体积
V=
棱锥、圆锥统一
台体体积
V=
棱台、圆台统一
球
S=，V=
由球心与半径确定
线面平行
a∥b，b⊂α，a⊄α ⇒ a∥α
线线平行推线面平行
线面垂直
l⊥m，l⊥n，m∩n=P，m,n⊂α ⇒ l⊥α
需两条相交直线
（三）思想方法渗透
数形结合：由直观图想象几何体结构，把空间问题平面化；转化与化归：线线、线面、面面的平行（垂直）之间相互转化是证明的核心；分割补形：复杂组合体分割为简单几何体，或补形成规则图形求体积。
第三部分 高考真题突破
本部分按“考点解读 → 真题示例 → 解题步骤 → 答案 → 知识点睛 → 核心素养体现 → 变式训练”编排：每个考点先给出【考点解读】指明考查方向与破解关键，再精选近三年高考真题示例规范示范，最后配套变式训练，答案与解析统一见第六部分。
考点一 空间几何体的结构特征与球的切接
【考点解读】本考点考查柱、锥、台、球的结构特征识别、斜二测直观图以及多面体与球的切接、截面问题，多为基础选择、填空题。破解关键是抓住轴截面与球心位置。
【2025年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平一·基础）
如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）．
A．和； B．和； C．和； D．和．
解题步骤：
① 因为是正四棱台，
② 所以，
③ 故A错误，侧棱延长交于一点，
④ 所以与相交，
⑤ 故B错误，同理与也相交，
⑥ 所以四点共面，
⑦ 所以与相交，
⑧ 故C错误，与是异面直线，
⑨ 故D正确.
【答案】D
【知识点睛】① 考点定位：棱台结构特征、异面直线判定与公理应用；② 解题方法：由棱台定义还原为棱锥，结合异面直线判定定理判断；③ 易错防范：注意侧棱延长后交于一点。
【核心素养体现】直观想象与逻辑推理——由结构特征还原几何体。
【2025年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题】（水平一·基础）
一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________．
解题步骤：
① 圆柱的底面半径为，
② 设铁球的半径为r，且，
③ 由圆柱与球的性质知，即，，∴r=2.5.
【答案】
【知识点睛】① 考点定位：圆柱结构特征与球的截面性质；② 解题方法：利用截面圆半径、球心到截面距离与球半径构成直角三角形；③ 易错防范：注意截面不过球心时的半径关系。
【核心素养体现】数学运算与直观想象——截面勾股关系。
考点二 几何体的表面积与体积
【考点解读】本考点是高考高频考点，考查柱、锥、台、球的表面积与体积计算，常结合三角形面积与余弦定理。破解关键是准确选用公式、求对底面。
【2026年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题】（水平二·综合）
已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
解题步骤：
① 由题意，得棱台的上底面面积为，下底面面积为，
② 所以该棱台的体积为.
【答案】D
【知识点睛】① 考点定位：台体体积计算；② 解题方法：由上下底面积与高代入台体体积公式；③ 易错防范：区分台体与锥体公式。
【核心素养体现】数学运算——台体体积公式应用。
【2024年高考新课标全国Ⅰ卷数学真题】（水平一·基础）
已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
解题步骤：
① 设圆柱的底面半径为，
② 则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，
③ 所以即，
④ 故，
⑤ 故圆锥的体积为.
【答案】B
【知识点睛】① 考点定位：圆柱圆锥表面积与锥体体积；② 解题方法：展开图求表面积，V=求体积；③ 易错防范：表面积勿漏底面积。
【核心素养体现】数学运算——展开图与体积综合。
【2024年高考全国甲卷数学真题】（水平二·综合）
已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______．
解题步骤：
① 由题可得两个圆台的高分别为，，
② 所以.
【答案】
【知识点睛】① 考点定位：台体体积计算；② 解题方法：确定上下底半径与高后代入；③ 易错防范：注意单位与高的对应。
【核心素养体现】数学运算——台体度量。
考点三 空间点线面的位置关系与平行、垂直判断
【考点解读】本考点考查线线、线面、面面平行与垂直关系的命题判断，多为选择、填空题。破解关键是紧扣判定定理与性质定理，注意举反例。
【2026年高考天津卷数学真题】（水平二·综合）
正方体中，错误的是（ ）
A． B．平面
C．平面平面 D．平面平面
解题步骤：
① 本题判断正方体中四个线面、面面位置关系结论的正误，依正方体棱线关系对A、B、C、D四个选项逐项验证；
② 由题意，在正方体中，A项，，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确；B项，
③ 由几何知识得，，，，平面，平面，∴平面，
④ 故B正确；C项，∵，平面，平面，∴平面，
⑤ 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，∴平面平面，C正确；D项，
⑥ 设平面平面，则交线为，
⑦ 此时有，∴平面，∵平面，∴，连接，，
⑧ 由几何知识得，，则，
⑨ 故在中，由几何知识得，，∴三角形为等边三角形，，矛盾，
⑩ 故D错误.
【答案】D
【知识点睛】① 考点定位：正方体模型中线面、面面位置关系命题辨析；② 解题方法：借助正方体棱线关系，依判定定理逐项验证并举反例；③ 易错防范：面面平行须两条相交直线，仅一条线平行不成立。
【核心素养体现】逻辑推理——判定性质定理综合辨析。
【2025年高考天津卷数学真题】（水平一·基础）
若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
解题步骤：
① 对于A，若，则可平行或异面，故A错误；
② 对于B，若，则，故B错误；
③ 对于C，若，则存在直线，，
④ 所以由可得，故，C正确；
⑤ 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误.
【答案】C
【知识点睛】① 考点定位：线面关系、面面关系命题判断；② 解题方法：用长方体模型逐项验证；③ 易错防范：平行于同一平面的两直线未必平行。
【核心素养体现】直观想象与逻辑推理——模型举反例。
考点四 空间中的平行与垂直证明
【考点解读】本考点以棱柱、棱锥为载体考查线面平行、面面垂直的证明，是解答题第一问的固定题型。破解关键是在图中找出定理所需的线线关系。
【2024年北京高考数学真题】（水平二·综合）
如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
解题步骤：
① 设，分别取的中点，连接，
② 则，且，平面，可知平面，且平面，
③ 所以平面平面，过作的垂线，垂足为，即，
④ 由平面平面，平面，所以平面，
⑤ 由题意可得：，
⑥ 则，即，则，可得，
⑦ 所以四棱锥的高为.
【答案】D
【知识点睛】① 考点定位：棱锥中由线线垂直证线面垂直、面面垂直；② 解题方法：先找两组相交线垂直得线面垂直，再由面面垂直判定定理推证；③ 易错防范：证面面垂直须先找清两平面的交线。
【核心素养体现】逻辑推理——垂直关系链证明。
【2026年高考新课标全国Ⅰ卷数学真题】（水平二·综合）
在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ）
A． B．
C．当时，平面 D．当平面时，
解题步骤：
① 做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，
② 当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明 重合，由此证明平面，
③ 由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D.不失一般性作图如下，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，，连接，则，
④ 因为二面角为，所以，由已知，所以，
⑤ 所以，故，，B正确；当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近，此时趋向于，A错误；
⑥ 因为，，平面，所以平面，又平面，所以，若，不重合，结合，平面，可得平面，平面，
⑦ 所以，矛盾，所以重合，因为，，，平面，所以平面，
⑧ 故平面，C正确；因为平面，
⑨ 若平面，则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合，故与的夹角为，D错误.
【答案】BC
【知识点睛】① 考点定位：多选——线面垂直证明与二面角；② 解题方法：由线面垂直判定定理找两条相交垂线，二面角用定义找平面角；③ 易错防范：多选题漏选。
【核心素养体现】逻辑推理与直观想象——二面角平面角。
考点五 空间角、距离与立体几何综合
【考点解读】本考点综合考查异面直线所成角、线面角、点面距离与体积计算，常作解答题第二问。破解关键是平移找角、等体积法求距离。
【2025年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平二·综合）
已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________．
解题步骤：
① 过作交底面圆锥于点，连接，
② 因为，
③ 则为异面直线与所成角，
④ 所以，又，
⑤ 所以，即，
⑥ 因为，函数在上单调递减，
⑦ 所以，
⑧ 故异面直线与所成角的最小值为.
【答案】
【知识点睛】① 考点定位：求异面直线所成的角；② 解题方法：平移为相交直线，解三角形求锐角；③ 易错防范：异面角取锐角或直角。
【核心素养体现】直观想象——平移找异面角。
【2024年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题】（水平二·综合）
已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
解题步骤：
① 解法一：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的高为，
② 则，解得，分别过作底面垂线，垂足为，设，则，，可得，结合等腰梯形可得，即，解得，
③ 所以与平面ABC所成角的正切值为；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，
④ 则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.
【答案】B
【知识点睛】① 考点定位：锥体台体体积与线面角；② 解题方法：先算体积，再由射影找线面角；③ 易错防范：线面角是直线与射影的夹角。
【核心素养体现】数学运算与直观想象——体积与线面角。
【2024年高考全国甲卷数学真题】（水平二·综合）
如图，，，，,为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到的距离.
解题步骤：
① 由题意得，，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，
② （2）证明 平面，结合等体积法即可求解.
③ 取的中点，连接，，因为，且，所以四边形是平行四边形，
④ 所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，
⑤ 故.又平面，所以平面，易知.在中，，所以.
⑥ 设点到平面的距离为，由，得，得，故点到平面的距离为.
【答案】（1） 证明过程见解题步骤；（2）
【知识点睛】① 考点定位：证明线面平行与求点面距离；② 解题方法：判定定理证平行，等体积法求距离；③ 易错防范：等体积法转换顶点与底面。
【核心素养体现】逻辑推理与数学运算——等体积法求距离。
第四部分 单元方法总结
一、运算技巧
· 求体积先求底面积：三角形底面积用 S=，或用余弦定理求边长后代入。
· 等体积法求距离：换顶点与底面，由 V 不变求点到面距离。
· 组合体分割补形：把不规则体分割成柱锥台，或补成规则体再减去多余部分。
二、图象应用
· 斜二测：横同纵半、夹角45°；还原时纵向放大2倍。
· 旋转体抓住轴截面：轴截面是等腰三角形或矩形，量的关系集中于此。
· 球的切接：外接球球心到各顶点距离相等，内切球球心到各面距离相等。
三、模型应用
· 平行转化：线线平行⇄线面平行⇄面面平行，缺什么条件找什么线。
· 垂直转化：线线垂直⇄线面垂直⇄面面垂直，线面垂直必须找两条相交直线。
· 空间角：异面角平移相交，线面角找射影，都落到三角形里求解。
四、易错提醒
· 锥体体积漏系数1：棱锥圆锥都是 V=。
· 线面垂直误把“任意直线”当条件：判定只要求平面内两条相交直线。
· 异面直线所成角取钝角：异面角范围是(0，90°]，必须取锐角或直角。
· 表面积漏底：圆柱圆锥表面积是侧面积加底面积，别只算侧面。
· 斜二测还原长度：直观图里平行y轴的线段实际要放大为2倍。
第五部分 变式训练
考点一 空间几何体的结构特征与球的切接
变式1（2026年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题）：已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________．
变式2（2025年北京卷数学真题）：某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的一个多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为________．
考点二 几何体的表面积与体积
变式3（2024年天津高考数学真题）：在五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式4（2025年上海数学真题）：在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．
考点三 空间点线面的位置关系与平行、垂直判断
变式5（2024年天津高考数学真题）：已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
变式6（2024年高考全国甲卷数学真题）：设为两个平面，为两条直线，且，下述命题中正确的是
①若，则或 ②若，则或
③若且，则 ④若与，所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
考点四 空间中的平行与垂直证明
变式7（2025年上海数学真题）：如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．
（1）若直线PA与圆锥底面所成角为，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．
变式8（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）：如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
（1）若，证明：平面；
（2）若，且二面角的正弦值为，求．
考点五 空间角、距离与立体几何综合
变式9（2026年上海市春季招生统一文化考试数学试卷）：如图所示正四棱台，其中
（1）当时，求与平面所成角；
（2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积.
变式10（2024年上海数学真题）：如图为正四棱锥为底面的中心．
（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．
变式11（2026年北京卷数学真题）：在三棱锥中，，，，该三棱锥的底面积为________，体积为________．
第六部分 变式训练参考答案及解析
变式1 【答案】
解题步骤：
① 由球的体积公式，，解得，
② 设的外心为，连接，
③ 由题意知为该三棱锥的高，
④ 所以该三棱锥的外接球的球心在上，
⑤ 设在线段上，连接，
⑥ 设的边长为，
⑦ 由正弦定理可得，
⑧ 设，
⑨ 由题知，，解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图），
⑩ 所以，
⑪ 由三角形面积公式，.
【知识点睛】① 考点定位：三角形面积公式及其应用；② 解题方法：由几何体结构特征，将空间问题转化为平面三角形面积计算；③ 易错防范：注意底面形状与高的对应关系。
变式2 【答案】
解题步骤：
① 先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则.证明：设，， 在平面取一点，，在平面内过作直线，使得，作直线，使得，
② 因为平面平面，，故，而，故，同理，而，故 .下面回归问题.连接，因为且，故，同理，，而，
③ 故直角梯形与直角梯形全等，故，在直角梯形中，过作，垂足为，则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形，
④ 故，平面平面，平面平面，，平面，故平面，取的中点为，的中点为，的中点为，连接，则，同理可证平面，而平面，
⑤ 故平面平面，同理平面平面，而平面平面，故平面，故，
⑥ 故四边形为平行四边形，故.在平面中过作，交于，连接.则四边形为平行四边形，且，故，故四边形为平行四边形， 而平面，故平面，
⑦ 故平面平面，而，故，故几何体为直棱柱，而，
⑧ 故，因为，故平面，而平面，
⑨ 故平面平面，在平面中过作，垂足为，同理可证平面，而，故，故，
⑩ 由对称性可得几何体的体积为，故答案为：.
【知识点睛】① 考点定位：组合体（多面体）体积的分割计算；② 解题方法：把不规则多面体分割为柱、锥等基本体，分别求体积后求和或作差；③ 易错防范：分割后注意扣除挖去部分，高与底面须对应。
变式3 【答案】C
解题步骤：
① 用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，
② 因为，且两两之间距离为1。，
③ 则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，.
④ 故选：C.
【知识点睛】① 考点定位：斜棱柱（五面体）体积的直截面法；② 解题方法：取与侧棱垂直的直截面，体积等于直截面面积乘以侧棱长；③ 易错防范：直截面须与侧棱垂直，边长为1的等边三角形面积为四分之根号三。
变式4 【答案】
解题步骤：
① 因为且四边形为正方形，
② 故，而，
③ 故，
④ 故，
⑤ 故所求体积为，
⑥ 故答案为：.
【知识点睛】① 考点定位：正四棱柱体积公式的直接应用；② 解题方法：确定底面边长与高，代入体积等于底面积乘以高；③ 易错防范：区分正四棱柱与正四棱锥，勿漏乘高。
变式5 【答案】C
解题步骤：
① 对于A，若，，
② 则平行或相交，不一定垂直，故A错误.
③ 对于B，若，
④ 则或，故B错误.
⑤ 对于C，，过作平面，使得，因为，
⑥ 故，而，故，
⑦ 故， 故C正确.
⑧ 对于D，若，
⑨ 则，故D错误.
⑩ 故选：C.
【知识点睛】① 考点定位：空间线面平行、垂直命题的真假判断；② 解题方法：以长方体为模型，把直线、平面放入模型逐项验证并举反例；③ 易错防范：无数条直线平行不能推出线面平行，须两条相交直线。
变式6 【答案】A
解题步骤：
① 对命题①，判断直线l与平面α的平行条件是否满足，当，因为，，则，
② 当，因为，，则，当既不在也不在内，
③ 因为，，则且，故①正确；对②，若，
④ 则与不一定垂直，故②错误；对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，
⑤ 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，
⑥ 则，因为平面，平面，
⑦ 则平面，因为平面，，
⑧ 则，因为，则，故③正确；对④，
⑨ 若与和所成的角相等，如果，则，故④错误；综上只有①③正确.
【知识点睛】① 考点定位：面面平行与线线关系的多命题组合判断；② 解题方法：对四个命题逐一用判定定理验证，再统计正确命题个数；③ 易错防范：与两平面所成角相等不能推出两平面平行。
变式7 【答案】（1）；（2） 证明过程见解题步骤
解题步骤：
① 由题知，则根据中位线性质，，又平面，平面，
② 则平面。由于，底面圆半径是，
③ 则，又，则，又，
④ 则为等边三角形，则，
⑤ 于是且，则四边形是平行四边形，
⑥ 故，又平面，平面，故平面.又平面，
⑦ 根据面面平行的判定，于是平面平面，又，
⑧ 则平面，则平面
⑨ 证明平面平面，由题知，，即轴截面是等边三角形，
⑩ 故，底面周长为，则侧面积为：.
【知识点睛】① 考点定位：圆锥表面积的有关计算；② 解题方法：分清底面圆与侧面展开图，母线由底面半径与高求得；③ 易错防范：侧面积与底面积勿漏算。
变式8 【答案】（1） 证明过程见解题步骤；（2）
解题步骤：
① 因为 ，所以 ；又 ，，平面，所以平面，则 .
又 ，所以 ；而 ，所以 ，又 ，所以 .
② 过点D作于，再过点作于，连接，
③ 因为平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，
④ 所以平面，根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，即，即.
⑤ 因为，设，
⑥ 则，
⑦ 由等面积法可得，，又，而为等腰直角三角形，所以，
⑧ 故，解得，即.
【知识点睛】① 考点定位：线面平行的判定、二面角与线段长的求解；② 解题方法：线面平行走“线线平行→线面平行”，先由 PA⊥底面得 PA⊥AD，再由 AD⊥PB 得线面垂直；二面角可用几何法作棱的垂面得平面角，再解直角三角形；③ 易错防范：证线面平行必须写“AD⊄平面PBC”；由正弦值反求 AD 时注意余弦值符号与夹角为锐角。
变式9 【答案】（1）；（2） 证明过程见解题步骤，体积为 .
解题步骤：
① 连接、交于，连接、交于，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得，且，
② 所以四边形为平行四边形，所以，
③ 因为，平面，平面，所以平面。
④ 作到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小.过作平面ABCD于，连接，过分别作于于，连接，为在平面上的投影，
⑤ 由于平面，所以，
⑥ 由于平面，所以平面.
⑦ 由于平面，所以.
⑧ 所以，同理，，四边形为正方形，所以，为在平面上的投影，又因平面平面，
⑨ 所以与平面所成角即，，故与平面所成角为.
⑩ 由正棱台性质，与上下底面均垂直，则，
⑪ 因为，平面，所以平面，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，即:。又棱台的高为 3，上底面对角线长为 ，所以 ；又 ，代入上式得 .
【知识点睛】① 考点定位：锥体体积的有关计算；② 解题方法：找准底面与高，代入锥体体积公式；③ 易错防范：锥体体积注意别漏乘系数。
变式10 【答案】（1）；（2）
解题步骤：
① （1）由正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积。
（2）连接，可先证平面，
② 根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.又由正四棱锥性质，平面，
③ 由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，
④ 由可得，，故，
⑤ 根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是
⑥ 连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，
⑦ 由是中点，则，又平面，
⑧ 故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，
⑨ 设，则，，又线面角的范围是，
⑩ 故.即为所求.
【知识点睛】① 考点定位：旋转体的体积、直线与平面所成的角；② 解题方法：△POA 绕 PO 旋转得圆锥，先取底圆半径 AO 与高 PO 求出底面积，再按锥体体积公式求体积；线面角先证 BE⊥平面 ACE，得∠BOE 即为所求角，再在直角三角形 BOE 中由正弦值定角；③ 易错防范：锥体体积公式带分母系数，必须写成分式形式，不得漏乘；线面角范围是 (0，π/2)，正弦值要结合范围取角。
变式11 【答案】底面积
解题步骤：
① 先由底面三角形的边长求面积。
② 由，可知点在底面上的投影为的外心，法一：底面三角形中，，. 取中点，连接，
③ 则，.在中，，故底面面积.
④ 由可知，点在底面上的投影为的外心.在中，
⑤ 由余弦定理得，且，故.
⑥ 由正弦定理，的外接圆半径，则高，三棱锥的体积.
⑦ 综上，底面面积为，体积为.法二：在中，已知，.
⑧ 由余弦定理得，且，故，.
⑨ 所以底面面积.由可知，点在底面上的投影为的外心.
⑩ 由正弦定理，的外接圆半径，则高，三棱锥的体积.
⑪ 综上，底面面积为，体积为.
【知识点睛】① 考点定位：三角形面积公式及其应用；② 解题方法：由几何体结构特征，将空间问题转化为平面三角形面积计算；③ 易错防范：注意底面形状与高的对应关系。
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$第八章 立体几何初步
2026—2027学年高考数学一轮复习 · 人教A版必修第二册
第一部分 近三年考情分析 1
一、考情总体定位 1
二、近三年真题考点统计 1
三、高频考点与考查频次 2
四、命题趋势与备考策略 2
第二部分 本章知识体系 3
一、本章知识网络总览 3
二、空间几何体的结构特征 4
三、立体图形的直观图 4
四、简单几何体的表面积 4
五、简单几何体的体积 5
六、平面的基本性质 5
七、空间中平行关系的判定与性质 5
八、空间中垂直关系的判定与性质 6
九、本章知识整合与记忆 6
第三部分 高考真题突破 7
考点一 空间几何体的结构特征与球的切接 7
考点二 几何体的表面积与体积 9
考点三 空间点线面的位置关系与平行、垂直判断 11
考点四 空间中的平行与垂直证明 13
考点五 空间角、距离与立体几何综合 15
第四部分 单元方法总结 18
一、运算技巧 18
二、图象应用 18
三、模型应用 19
四、易错提醒 19
第五部分 变式训练 20
学业质量水平说明
· 水平一（基础达标）：认识柱、锥、台、球的结构特征，会用斜二测画法画直观图；掌握柱、锥、台、球的表面积与体积公式；理解平面基本性质，能判断空间点、线、面的平行与垂直关系。
· 水平二（综合应用）：能运用线面平行、垂直的判定定理与性质定理进行论证与计算；会求简单的异面直线所成角、线面角；能解决球的切接、体积与最值等综合问题。
核心素养导向
· 数学抽象：从实物中抽象出柱、锥、台、球等空间几何体，归纳其结构特征，建立空间图形模型。
· 逻辑推理：依据平面三公理、线面平行与垂直的判定和性质定理进行演绎推理，证明平行与垂直关系。
· 数学运算：熟练运用表面积与体积公式进行度量计算，结合勾股定理、余弦定理解三角形。
· 直观想象：借助直观图与空间想象认识几何体结构，由三视图还原实物，数形结合判断位置关系。
· 数学建模：把实际物体抽象为简单组合体，建立几何体模型解决包装、容积等问题。
· 数据分析：从几何体的数据特征中提取量的关系，结合公式作出估计与判断。
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第一部分 近三年考情分析
一、考情总体定位
立体几何初步是高中数学研究空间形式的起始内容，主要包括基本立体图形的结构特征、直观图画法、简单几何体的表面积与体积，以及空间点、直线、平面之间的位置关系。本章在高考中每年必考，常以选择、填空和解答题形式出现，重点考查几何体的表面积与体积计算、空间线面平行与垂直的判断和证明，以及异面直线所成角、线面角、球的切接等问题。
二、近三年真题考点统计
年份
卷型
题型
核心考点
2026
天津卷
选择
线面平行、面面平行与垂直的综合判断
2026
新课标全国Ⅱ卷
选择
台体体积的有关计算
2026
新课标全国Ⅰ卷
多选
线面垂直的证明、二面角
2026
北京卷
填空
三角形面积、余弦定理与锥体体积
2026
上海春考
解答
锥体体积、线面平行垂直与线面角
2025
天津卷
选择
线面关系、面面关系命题判断
2025
北京卷
填空
柱体锥体体积与垂直证明
2025
新课标全国Ⅱ卷
填空
圆柱结构特征与球的截面性质
2024
新课标全国Ⅰ卷
选择/解答
圆柱圆锥表面积、线面平行与面面垂直
2024
北京卷
选择
棱锥结构特征与线面、面面垂直证明
2024
新课标全国Ⅱ卷
选择
锥体台体体积与线面角
2024
天津卷
选择
柱体体积的有关计算
三、高频考点与考查频次
高频考点
考查频次
典型年份与卷型
难度定位
几何体表面积与体积
6次
2026全国Ⅱ/2026北京/2025北京/2024全国Ⅰ/2024全国Ⅱ/2024天津
中
线面平行、垂直的判断与证明
4次
2026天津/2026全国Ⅰ/2025天津/2024北京
中高
空间角（异面角、线面角）
1次
2026上海春考
中高
球的切接与截面
1次
2025全国Ⅱ
中
四、命题趋势与备考策略
1. 体积表面积常态化：柱、锥、台、球的体积与表面积是选择填空的高频考点，常结合余弦定理解三角形求底面积。
1. 平行垂直证明化：以棱柱棱锥为载体判断和证明线面平行、垂直是解答题第一问的固定套路，关键是找准判定定理所需条件。
1. 空间角直观化：异面直线所成角、线面角常以填空或解答小问出现，用平移法找角、解直角三角形求角。
1. 球的切接综合化：多面体与球的内切、外接问题常与截面结合，关键是确定球心位置与截面圆半径。
1. 组合体建模化：以实物、三视图为背景还原组合体，考查识图与度量的整体能力。
第二部分 本章知识体系
本部分按“知识系统化＋记忆高效化”两位一体独立编制，将第八章的知识按“认识结构特征—画出直观图—度量表面积体积—研究点线面位置关系”的内在逻辑组织成完整体系，不按考点罗列，重在呈现由整体到局部、由直观到推理的知识发生过程。
一、本章知识网络总览
（一）知识发生主线
本章以“从整体到局部、从直观到推理”为主线，沿“认识空间几何体的结构特征→画出直观图→度量表面积与体积→研究空间点线面位置关系（平行与垂直）”的链条展开：先识别柱锥台球及其组合体，再会算表面积与体积，最后用平面三公理与线面平行、垂直的判定和性质定理判断、证明位置关系。
（二）知识网络一览
知识板块
核心对象
一句话记忆
基本立体图形
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球
结构特征记底面与侧面
直观图
斜二测画法
横同纵半、角45°
表面积与体积
柱锥台球的表面积、体积公式
锥体别漏乘系数
平面基本性质
三个公理及其推论
点在线上、线在面内
位置关系
线线、线面、面面的平行与垂直
判定与性质互推
（三）核心概念与性质的联系
联系类型
具体内容
结构特征与度量
由几何体的结构决定展开图面积与体积公式
平行的判定与性质
线线平行⇄线面平行⇄面面平行
垂直的判定与性质
线线垂直⇄线面垂直⇄面面垂直
直观图与实物
斜二测画法是把空间图形平面化的桥梁
二、空间几何体的结构特征
（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边互相平行；侧棱平行且相等。棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。棱台：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分。
（2）圆柱、圆锥、圆台分别由矩形、直角三角形、直角梯形绕一条边旋转而成；球由半圆绕直径旋转而成。旋转体的轴截面是认识其结构的关键。
（3）组合体由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成，计算时要会分割与补形。
记忆技巧：棱柱棱锥棱台看底面多边形与侧棱；旋转体看轴、母线与截面圆。
三、立体图形的直观图
（1）斜二测画法：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴；画直观图时画成对应的x′轴与y′轴，夹角为45°（或135°）；平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半。
（2）直观图还原实物图时反向操作：y方向长度放大为原来的2倍，夹角还原为90°。
记忆技巧：斜二测：平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度减半，两轴夹角画成45°（或135°）。
四、简单几何体的表面积
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积等于侧面积与底面积之和，可借助侧面展开图计算。
（2）圆柱侧面积 S=2πrl，圆锥侧面积 S=πrl，圆台侧面积 S=π(r+r′)l；球的表面积 S=。其中 r、r′ 为底面半径，l 为母线长。
记忆技巧：表面积=侧面积+底面积；旋转体侧面展开为扇形或矩形。
五、简单几何体的体积
（1）柱体体积 V=Sh（棱柱、圆柱统一）；锥体体积 V=（棱锥、圆锥统一）。
（2）台体体积 V=，其中 S、S′ 分别为上下底面积；球的体积 V=。
（3）求体积常需先求底面积：三角形面积用 S= 或结合余弦定理求边长后代入。
记忆技巧：柱体V=Sh、锥体V=、台体V=，球V=。
六、平面的基本性质
（1）公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内。公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（2）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
（3）三个推论：直线与直线外一点、两条相交直线、两条平行直线都可确定一个平面。
记忆技巧：三公理是推理基础：两点定线入面、两平面交线、不共线三点定面。
七、空间中平行关系的判定与性质
（1）线面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
（2）面面平行判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质：两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行。
记忆技巧：线线平行⇄线面平行⇄面面平行，判定与性质定理相互转化。
八、空间中垂直关系的判定与性质
（1）线面垂直判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。性质：垂直于同一平面的两条直线平行。
（2）面面垂直判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
（3）异面直线所成角：平移为相交直线所成的锐角或直角；线面角是直线与它在平面内射影所成的角。
记忆技巧：线线垂直⇄线面垂直⇄面面垂直；线面垂直关键是找两条相交直线都垂直。
九、本章知识整合与记忆
（一）知识网络整合
回顾全章，一条主线贯穿始终：认识基本立体图形的结构特征→用斜二测画法画直观图→度量表面积与体积→以平面三公理为基础研究空间点线面的平行与垂直关系。“识图—画图—算量—证关系”是贯穿本章的基本活动。
（二）核心结论速记
内容
核心结论
记忆要点
柱体体积
V=Sh
棱柱、圆柱统一
锥体体积
V=
棱锥、圆锥统一
台体体积
V=
棱台、圆台统一
球
S=，V=
由球心与半径确定
线面平行
a∥b，b⊂α，a⊄α ⇒ a∥α
线线平行推线面平行
线面垂直
l⊥m，l⊥n，m∩n=P，m,n⊂α ⇒ l⊥α
需两条相交直线
（三）思想方法渗透
数形结合：由直观图想象几何体结构，把空间问题平面化；转化与化归：线线、线面、面面的平行（垂直）之间相互转化是证明的核心；分割补形：复杂组合体分割为简单几何体，或补形成规则图形求体积。
第三部分 高考真题突破
本部分按“考点解读 → 真题示例 → 解题步骤 → 答案 → 知识点睛 → 核心素养体现 → 变式训练”编排：每个考点先给出【考点解读】指明考查方向与破解关键，再精选近三年高考真题示例规范示范，最后配套变式训练，答案与解析统一见第六部分。
考点一 空间几何体的结构特征与球的切接
【考点解读】本考点考查柱、锥、台、球的结构特征识别、斜二测直观图以及多面体与球的切接、截面问题，多为基础选择、填空题。破解关键是抓住轴截面与球心位置。
【2025年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平一·基础）
如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）．
A．和； B．和； C．和； D．和．
解题步骤：
① 因为是正四棱台，
② 所以，
③ 故A错误，侧棱延长交于一点，
④ 所以与相交，
⑤ 故B错误，同理与也相交，
⑥ 所以四点共面，
⑦ 所以与相交，
⑧ 故C错误，与是异面直线，
⑨ 故D正确.
【答案】D
【知识点睛】① 考点定位：棱台结构特征、异面直线判定与公理应用；② 解题方法：由棱台定义还原为棱锥，结合异面直线判定定理判断；③ 易错防范：注意侧棱延长后交于一点。
【核心素养体现】直观想象与逻辑推理——由结构特征还原几何体。
【2025年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题】（水平一·基础）
一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________．
解题步骤：
① 圆柱的底面半径为，
② 设铁球的半径为r，且，
③ 由圆柱与球的性质知，即，，∴r=2.5.
【答案】
【知识点睛】① 考点定位：圆柱结构特征与球的截面性质；② 解题方法：利用截面圆半径、球心到截面距离与球半径构成直角三角形；③ 易错防范：注意截面不过球心时的半径关系。
【核心素养体现】数学运算与直观想象——截面勾股关系。
考点二 几何体的表面积与体积
【考点解读】本考点是高考高频考点，考查柱、锥、台、球的表面积与体积计算，常结合三角形面积与余弦定理。破解关键是准确选用公式、求对底面。
【2026年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题】（水平二·综合）
已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
解题步骤：
① 由题意，得棱台的上底面面积为，下底面面积为，
② 所以该棱台的体积为.
【答案】D
【知识点睛】① 考点定位：台体体积计算；② 解题方法：由上下底面积与高代入台体体积公式；③ 易错防范：区分台体与锥体公式。
【核心素养体现】数学运算——台体体积公式应用。
【2024年高考新课标全国Ⅰ卷数学真题】（水平一·基础）
已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
解题步骤：
① 设圆柱的底面半径为，
② 则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，
③ 所以即，
④ 故，
⑤ 故圆锥的体积为.
【答案】B
【知识点睛】① 考点定位：圆柱圆锥表面积与锥体体积；② 解题方法：展开图求表面积，V=求体积；③ 易错防范：表面积勿漏底面积。
【核心素养体现】数学运算——展开图与体积综合。
【2024年高考全国甲卷数学真题】（水平二·综合）
已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______．
解题步骤：
① 由题可得两个圆台的高分别为，，
② 所以.
【答案】
【知识点睛】① 考点定位：台体体积计算；② 解题方法：确定上下底半径与高后代入；③ 易错防范：注意单位与高的对应。
【核心素养体现】数学运算——台体度量。
考点三 空间点线面的位置关系与平行、垂直判断
【考点解读】本考点考查线线、线面、面面平行与垂直关系的命题判断，多为选择、填空题。破解关键是紧扣判定定理与性质定理，注意举反例。
【2026年高考天津卷数学真题】（水平二·综合）
正方体中，错误的是（ ）
A． B．平面
C．平面平面 D．平面平面
解题步骤：
① 本题判断正方体中四个线面、面面位置关系结论的正误，依正方体棱线关系对A、B、C、D四个选项逐项验证；
② 由题意，在正方体中，A项，，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确；B项，
③ 由几何知识得，，，，平面，平面，∴平面，
④ 故B正确；C项，∵，平面，平面，∴平面，
⑤ 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，∴平面平面，C正确；D项，
⑥ 设平面平面，则交线为，
⑦ 此时有，∴平面，∵平面，∴，连接，，
⑧ 由几何知识得，，则，
⑨ 故在中，由几何知识得，，∴三角形为等边三角形，，矛盾，
⑩ 故D错误.
【答案】D
【知识点睛】① 考点定位：正方体模型中线面、面面位置关系命题辨析；② 解题方法：借助正方体棱线关系，依判定定理逐项验证并举反例；③ 易错防范：面面平行须两条相交直线，仅一条线平行不成立。
【核心素养体现】逻辑推理——判定性质定理综合辨析。
【2025年高考天津卷数学真题】（水平一·基础）
若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
解题步骤：
① 对于A，若，则可平行或异面，故A错误；
② 对于B，若，则，故B错误；
③ 对于C，若，则存在直线，，
④ 所以由可得，故，C正确；
⑤ 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误.
【答案】C
【知识点睛】① 考点定位：线面关系、面面关系命题判断；② 解题方法：用长方体模型逐项验证；③ 易错防范：平行于同一平面的两直线未必平行。
【核心素养体现】直观想象与逻辑推理——模型举反例。
考点四 空间中的平行与垂直证明
【考点解读】本考点以棱柱、棱锥为载体考查线面平行、面面垂直的证明，是解答题第一问的固定题型。破解关键是在图中找出定理所需的线线关系。
【2024年北京高考数学真题】（水平二·综合）
如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
解题步骤：
① 设，分别取的中点，连接，
② 则，且，平面，可知平面，且平面，
③ 所以平面平面，过作的垂线，垂足为，即，
④ 由平面平面，平面，所以平面，
⑤ 由题意可得：，
⑥ 则，即，则，可得，
⑦ 所以四棱锥的高为.
【答案】D
【知识点睛】① 考点定位：棱锥中由线线垂直证线面垂直、面面垂直；② 解题方法：先找两组相交线垂直得线面垂直，再由面面垂直判定定理推证；③ 易错防范：证面面垂直须先找清两平面的交线。
【核心素养体现】逻辑推理——垂直关系链证明。
【2026年高考新课标全国Ⅰ卷数学真题】（水平二·综合）
在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ）
A． B．
C．当时，平面 D．当平面时，
解题步骤：
① 做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，
② 当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明 重合，由此证明平面，
③ 由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D.不失一般性作图如下，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，，连接，则，
④ 因为二面角为，所以，由已知，所以，
⑤ 所以，故，，B正确；当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近，此时趋向于，A错误；
⑥ 因为，，平面，所以平面，又平面，所以，若，不重合，结合，平面，可得平面，平面，
⑦ 所以，矛盾，所以重合，因为，，，平面，所以平面，
⑧ 故平面，C正确；因为平面，
⑨ 若平面，则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合，故与的夹角为，D错误.
【答案】BC
【知识点睛】① 考点定位：多选——线面垂直证明与二面角；② 解题方法：由线面垂直判定定理找两条相交垂线，二面角用定义找平面角；③ 易错防范：多选题漏选。
【核心素养体现】逻辑推理与直观想象——二面角平面角。
考点五 空间角、距离与立体几何综合
【考点解读】本考点综合考查异面直线所成角、线面角、点面距离与体积计算，常作解答题第二问。破解关键是平移找角、等体积法求距离。
【2025年上海市春季招生统一文化考试数学试卷】（水平二·综合）
已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________．
解题步骤：
① 过作交底面圆锥于点，连接，
② 因为，
③ 则为异面直线与所成角，
④ 所以，又，
⑤ 所以，即，
⑥ 因为，函数在上单调递减，
⑦ 所以，
⑧ 故异面直线与所成角的最小值为.
【答案】
【知识点睛】① 考点定位：求异面直线所成的角；② 解题方法：平移为相交直线，解三角形求锐角；③ 易错防范：异面角取锐角或直角。
【核心素养体现】直观想象——平移找异面角。
【2024年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题】（水平二·综合）
已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
解题步骤：
① 解法一：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的高为，
② 则，解得，分别过作底面垂线，垂足为，设，则，，可得，结合等腰梯形可得，即，解得，
③ 所以与平面ABC所成角的正切值为；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，
④ 则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.
【答案】B
【知识点睛】① 考点定位：锥体台体体积与线面角；② 解题方法：先算体积，再由射影找线面角；③ 易错防范：线面角是直线与射影的夹角。
【核心素养体现】数学运算与直观想象——体积与线面角。
【2024年高考全国甲卷数学真题】（水平二·综合）
如图，，，，,为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到的距离.
解题步骤：
① 由题意得，，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，
② （2）证明 平面，结合等体积法即可求解.
③ 取的中点，连接，，因为，且，所以四边形是平行四边形，
④ 所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，
⑤ 故.又平面，所以平面，易知.在中，，所以.
⑥ 设点到平面的距离为，由，得，得，故点到平面的距离为.
【答案】（1） 证明过程见解题步骤；（2）
【知识点睛】① 考点定位：证明线面平行与求点面距离；② 解题方法：判定定理证平行，等体积法求距离；③ 易错防范：等体积法转换顶点与底面。
【核心素养体现】逻辑推理与数学运算——等体积法求距离。
第四部分 单元方法总结
一、运算技巧
· 求体积先求底面积：三角形底面积用 S=，或用余弦定理求边长后代入。
· 等体积法求距离：换顶点与底面，由 V 不变求点到面距离。
· 组合体分割补形：把不规则体分割成柱锥台，或补成规则体再减去多余部分。
二、图象应用
· 斜二测：横同纵半、夹角45°；还原时纵向放大2倍。
· 旋转体抓住轴截面：轴截面是等腰三角形或矩形，量的关系集中于此。
· 球的切接：外接球球心到各顶点距离相等，内切球球心到各面距离相等。
三、模型应用
· 平行转化：线线平行⇄线面平行⇄面面平行，缺什么条件找什么线。
· 垂直转化：线线垂直⇄线面垂直⇄面面垂直，线面垂直必须找两条相交直线。
· 空间角：异面角平移相交，线面角找射影，都落到三角形里求解。
四、易错提醒
· 锥体体积漏系数1：棱锥圆锥都是 V=。
· 线面垂直误把“任意直线”当条件：判定只要求平面内两条相交直线。
· 异面直线所成角取钝角：异面角范围是(0，90°]，必须取锐角或直角。
· 表面积漏底：圆柱圆锥表面积是侧面积加底面积，别只算侧面。
· 斜二测还原长度：直观图里平行y轴的线段实际要放大为2倍。
第五部分 变式训练
考点一 空间几何体的结构特征与球的切接
变式1（2026年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题）：已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________．
变式2（2025年北京卷数学真题）：某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的一个多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为________．
考点二 几何体的表面积与体积
变式3（2024年天津高考数学真题）：在五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式4（2025年上海数学真题）：在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．
考点三 空间点线面的位置关系与平行、垂直判断
变式5（2024年天津高考数学真题）：已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
变式6（2024年高考全国甲卷数学真题）：设为两个平面，为两条直线，且，下述命题中正确的是
①若，则或 ②若，则或
③若且，则 ④若与，所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
考点四 空间中的平行与垂直证明
变式7（2025年上海数学真题）：如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．
（1）若直线PA与圆锥底面所成角为，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．
变式8（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）：如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
（1）若，证明：平面；
（2）若，且二面角的正弦值为，求．
考点五 空间角、距离与立体几何综合
变式9（2026年上海市春季招生统一文化考试数学试卷）：如图所示正四棱台，其中
（1）当时，求与平面所成角；
（2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积.
变式10（2024年上海数学真题）：如图为正四棱锥为底面的中心．
（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．
变式11（2026年北京卷数学真题）：在三棱锥中，，，，该三棱锥的底面积为________，体积为________．
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