第8章 第5节 双曲线(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

第5节　双曲线

课标解读

1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．　2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质．　3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．

1．双曲线的定义

提醒　(1)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；(2)当2a＞|F1F2|时，M点不存在．

2．双曲线的标准方程和性质

1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．

2．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

4．＝1(a>0，b>0)与＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，它们有相同的渐近线、相等的焦距．

5．焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.

1．(人A选修一P121T4改编)双曲线 的值为(　　)

A．1    B．9

C．1或9    D．9或13

解析：B　依题意c＝4，所以a2＋12＝16，即a＝2，因为|MF1|＝5，且|MF2|－|MF1|＝2a＝4，所以|MF2|＝9.故选B.

2．(人A选修一P121T3改编)已知曲线C的方程为＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是________．

解析：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，

则解得k<－1.故实数k的取值范围是(－∞，－1)．

答案：(－∞，－1)

3．(人A选修一P124T2改编)顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，e＝的双曲线的标准方程为________．

解析：由于两顶点的距离为2a＝8，故a＝4，由e＝，得c＝5，故b2＝

c2－a2＝9，所以双曲线的标准方程为＝1.

答案：＝1

4．(人A选修一P127习题T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程为________．

解析：把双曲线9y2－16x2＝144化成标准方程为＝1，所以a＝4且b＝3，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.

答案：y＝±x

考点一　双曲线的定义及其应用(师生共研)

　例1　(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是(　　)

A．x2＋＝1    B．x2－＝1

C．＋y2＝1    D．－y2＝1

解析：B　如图，当点P在y轴左侧时，连接ON，PF1，则|ON|＝＝2<|F1F2|＝4.同理，当点P在y轴右侧时，|PF1|－|PF2|＝2<|F1F2|＝4.故点P的轨迹是双曲线，易知2a＝2，2c＝4，故a＝1，c＝2，b＝，双曲线的方程为x2－＝1.故选B.

(2)已知点P(x0，y0)是双曲线E：－y2＝1上一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的周长为12＋2，则cos ∠F1PF2＝________，△PF1F2的面积为________．

解析：在双曲线E中，a＝2，b＝1，则c＝