第8章 第6节 抛物线(教师用书Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

第6节　抛物线

课标解读

1．了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用．　2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质．　3.了解抛物线的简单应用．

1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；

(3)定点不在定直线上．

提醒　定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．

2．抛物线的标准方程和几何性质

 

 

与抛物线焦点弦有关的结论

如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；

(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝；

(3)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2p；

(4)焦半径：|AF|＝＝；

(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

1．(人A选修一P132例1改编)抛物线y2＝－4x的焦点坐标是(　　)

A．(－2，0)    B．(－1，0)

C．(0，－1)    D．(0，－2)

解析：B　抛物线y2＝－4x中，p＝2，则焦点坐标为(－1，0)．故选B.

2．(人A选修一P133T3(2)改编)若抛物线y＝2x2上的一点M到其焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)

A．1    B．  

C．    D．

解析：D　抛物线y＝2x2的焦点在y轴上，焦点坐标为，准线方程为y＝－，设M(x，y)，由抛物线的定义可知，|MF|＝y＋＝1，解得y＝.故选D.

3．(人A选修一P136T1改编)顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－2，1)的抛物线方程为____________________．

解析：依题意，设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，将M(－2，1)代入得(－2)2＝a×1，则a＝4，所以所求抛物线方程为x2＝4y.

答案：x2＝4y

4．(人A选修一P135例4改编)已知直线l过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是12，AB的中点到x轴的距离是4，则此抛物线的方程是__________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝4，|AB|＝y1＋y2＋p＝8＋p＝12，所以p＝4，故抛物线的方程为x2＝8y.

答案：x2＝8y

考点一　抛物线的定义及其应用(自主练透)

1．(2025·福建福州一模)在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　)

A．y2＝2x    B．y2＝4x

C．y2＝－4x    D．y2＝－8x

解析：D　由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.故选D.

2．(2025·广西梧州一模)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0，2)到该抛物线焦点F的距离为，则m＝(　　)

A．4    B．3  

C．    D．

解析：D　抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－，根据抛物线的定义，可得点(x0，2)到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，可得2＋，解