专题01 投影与三视图（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册
|
2份
|
62页
|
3人阅读
|
0人下载
内容正文：
专题01 投影与三视图
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 1
题型一、平行投影与影长比 1
题型二、中心投影与正投影 3
题型三、由实物判断三视图 5
题型四、画小立方块的三视图 6
题型五、由三视图求体积表面积 7
题型六、小立方块的个数与表面积 9
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 10
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题围绕平行投影用物高与影长成正比，中心投影借光源、物顶、影端三点共线构造相似三角形求影长；三视图牢记 "长对正、高平齐、宽相等"，先定主视方向，看得见画实线、被遮挡画虚线；由三视图还原柱锥后求体积表面积；小立方块个数分 "最多"" 最少 " 枚举，表面积注意底面与遮挡面
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 混淆平行投影与中心投影，直接套用影长、物高比例关系；
2. 画三视图漏画遮挡部分的虚线，长宽方向对应出错；
3. 还原几何体时认错立体形状，体积、表面积计算出错；
4. 小立方块计数混淆最多、最少情况，表面积漏算遮挡面；
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、平行投影与影长比
典例1如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ）
A．3m B．3.6m C．4m D．4.8m
解题模板
1．同一时刻、同一地点，平行光下物高与影长成正比，即 ＝；
2．影子落在台阶、墙、坡上时，先沿水平方向把影长“折”回同一平面，再统一列比例；
3．所求线段不在同一三角形内时，作垂线补出矩形与相似三角形，分两段求和．
变式1-1（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．
（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为__________°．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式__________．
变式1-2如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
变式1-3公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为____________（取）．
题型二、中心投影与正投影
典例2（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置．
(1)在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为 ；(填“变长”或“变短”)
(2)当小亮离开灯杆的距离时，身高为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？
解题模板
1．点光源、物顶、影端三点共线，光线与物、地面围成两个相似直角三角形；
2．同一光源下“物高∶影长”的比值随位置改变，判断影子变长变短要看物与光源的水平距离；
3．建立平面直角坐标系时，把光源、杆顶、影端三点的坐标写出来，用相似比或直线方程求解．
变式2-1（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为______．
变式2-2（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为．
(1)求路灯的高度．
(2)当秒时，求影子的长？
(3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．
①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）；
②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒；
变式2-3（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线．
(1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
(2)路灯的高度是____________m．
(3)设的坡角为．
①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
题型三、由实物判断三视图
典例3（2026·浙江绍兴·二模）如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ）．
A． B． C． D．
解题模板
1．先定主视方向，再把物体向三个投影面“压平”：看得见的轮廓画实线，被挡住的画虚线；
2．组合体逐块投影再叠加，挖去、切口的部分会在俯视图或左视图上留下内部轮廓；
3．判定“取走一块后视图怎么变”，只需盯住被取走那一块在三个方向上的投影位置．
变式3-1（2026·浙江杭州·二模）如图，从某个立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半），得到的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
变式3-2（2026·浙江·模拟预测）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若将标号为①的小正方体取走，得到的新几何体的主视图与俯视图，与原几何体的主视图与俯视图对比，下列说法正确的是（ ）．
A．主视图一样，俯视图一样 B．主视图一样，俯视图不一样
C．主视图不一样，俯视图一样 D．主视图不一样，俯视图不一样
变式3-3（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
题型四、画小立方块的三视图
典例4（2022·浙江金华·模拟预测）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
解题模板
1．俯视图先定“位置”，主视图定“层高”，左视图定“前后排”，三者互为依据；
2．俯视图上的数字就是该位置叠放的块数，画主视图取每列最大值，画左视图取每行最大值；
3．画完用“长对正、高平齐、宽相等”三条回查，格数对不上就是画错了．
变式4-1（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，小正方体的棱长为1厘米．
【探究】（1）在图①中，请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
【应用】（2）请求出图①中的几何体的表面积（包括底面）是多少？
【拓展】（3）在图②中的几何体中，若几何体的上表面（包括五角星）涂上黄色油漆，涂色的面积是多少？
变式4-2（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）若干个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示对应位置小正方体的个数：
(1)请画出该几何体的主视图与左视图．
(2)现在还有一些相同的小正方体，如果要保持俯视图和主视图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体．
变式4-3一个由10个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示．
(1)在给定的虚线方格图中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
(2)给这个几何体添加一些相同的小立方块，如果从左面和上面看到的形状图保持不变，请直接写出最多可以添加多少个小立方块？
题型五、由三视图求体积表面积
典例5（25-26九年级下·北京·单元测试）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
解题模板
1．先由俯视图定底面形状与尺寸，再由主视图定高，最后补出母线或斜高；
2．柱体 V＝Sh、锥体 V＝，表面积逐面相加，注意“有没有盖”“有没有挖空”；
3．三视图给出的是长度而非面积，先读出各边实长，再代公式，别把图上长度当面积用．
变式5-1（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的体积是______．（结果保留根号）
变式5-2（2025九年级·全国·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
变式5-3（25-26九年级上·全国·期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是____________．
题型六、小立方块的个数与表面积
典例6（25-26七年级上·山西运城·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这样的几何体最多需要小立方块的个数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
解题模板
1．最多：俯视图每个位置都叠到主视图允许的最高层；最少：每一列至少有一个位置取到最高层；
2．已知两个视图求个数，先由俯视图定位置，再用另一个视图给每列设上限，逐个取极值；
3．堆砌体表面积按前、后、左、右、上、下六个方向分别数格子，相对的两个面面积相等．
变式6-1一个几何体由大小相同的立方块搭成，该几何体的三种视图如图所示，则搭成该几何体的立方块的个数为______个．
变式6-2将个棱长为1的正方体积木摆成一堆，则形成的几何体表面积最小是______．
变式6-3由n个大小相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则n的值不可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
压轴1（2026·浙江丽水·模拟预测）如图是某种榫构件的示意图，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
压轴2如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度约为（ ）．（参考数据：）
A． B．
C． D．
压轴3如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（ ）．
A． B．3 C．4 D．5
压轴4（2024·浙江·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （ ）
A． B． C． D．
压轴5（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______．
压轴6（2026·浙江丽水·二模）榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________．
压轴7（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为_________．
压轴8（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度．
压轴9（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为，落在斜坡上的影长为，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，的标杆竖立在斜坡上的影长为，求旗杆的高度．
压轴10如图，一个立体图形从正面看到的是图形A，从上面看到的是图象B，这个立体图形是( )，它的体积是( )立方厘米．如果用一个长方体（或正方体）盒子包装它，这个盒子的容积至少( )立方厘米．
压轴11（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，．
(1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
(2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度．
压轴12物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．
(1)请确定a，c的值．
(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值．
(3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
压轴13（2025·江西萍乡·二模）如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度随时间变化的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
压轴14（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
压轴15（25-26七年级上·广东揭阳·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（ ）
A． B． C． D．
压轴16（25-26九年级下·浙江·单元复习）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，如果需要的小正方体个数最多为个，最少为个，则的值为_____________．
压轴17（25-26七年级上·四川成都·期中）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1． 如果塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是____________，如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是____________个．
压轴18（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）小林所在的综合实验小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）．
(1)图是综合实践小组同学制作的图形，其中_____（填序号）经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
(2)综合实践小组间学用制作的个正方体纸盒摆成如图所示的几何体．
①在图中画出从正面观察图几何体看到的形状图；
②如果在图几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加_____个正方体纸盒．
压轴19（22-23九年级下·浙江金华·阶段检测）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得
(1)求点O，M之间的距离．
(2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度．
压轴20（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？
1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
专题01 投影与三视图
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 1
题型一、平行投影与影长比 1
题型二、中心投影与正投影 5
题型三、由实物判断三视图 14
题型四、画小立方块的三视图 16
题型五、由三视图求体积表面积 19
题型六、小立方块的个数与表面积 22
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 25
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
本专题围绕平行投影用物高与影长成正比，中心投影借光源、物顶、影端三点共线构造相似三角形求影长；三视图牢记 "长对正、高平齐、宽相等"，先定主视方向，看得见画实线、被遮挡画虚线；由三视图还原柱锥后求体积表面积；小立方块个数分 "最多"" 最少 " 枚举，表面积注意底面与遮挡面
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 混淆平行投影与中心投影，直接套用影长、物高比例关系；
2. 画三视图漏画遮挡部分的虚线，长宽方向对应出错；
3. 还原几何体时认错立体形状，体积、表面积计算出错；
4. 小立方块计数混淆最多、最少情况，表面积漏算遮挡面；
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、平行投影与影长比
典例1如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ）
A．3m B．3.6m C．4m D．4.8m
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可．
【详解】解：作，，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由题意得，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
解题模板
1．同一时刻、同一地点，平行光下物高与影长成正比，即 ＝；
2．影子落在台阶、墙、坡上时，先沿水平方向把影长“折”回同一平面，再统一列比例；
3．所求线段不在同一三角形内时，作垂线补出矩形与相似三角形，分两段求和．
变式1-1（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．
（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为__________°．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式__________．
【答案】
【分析】本题主要考查三角函数的应用
（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可；
（2）根据题意在，，中，根据得出．
【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度，
∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为；
故答案为：；
（2）解：由题意知，赤道式日晷“晷面”和“晷针”互相垂直，则，，
又∵
在中，
在中，
在中，
∴
∴
故答案为：．
变式1-2如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解．
【详解】解：由平行投影可知与是位似图形，
，
，
与的位似比为，
，
，
故选：D．
变式1-3公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为____________（取）．
【答案】
【分析】此题为平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．
【详解】连接，过作于，
由题意可知，
∴
∵圆锥底面周长为．
∴，解得，
∵,
∴
∴小山包的高为．
故答案为：．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．
题型二、中心投影与正投影
典例2（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置．
(1)在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为 ；(填“变长”或“变短”)
(2)当小亮离开灯杆的距离时，身高为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？
【答案】(1)变短
(2)小亮的影长是米
【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定及性质，解题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答．
（1）根据题意可得他在地面上的影子的变化情况为变短；
（2）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可．
【详解】（1）解：在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为变短，
故答案为：变短；
（2）解：设米，则当米时，米，
，
即，
；
当米时，设小亮的影长是米，
，
，
．
即小亮的影长是米．
解题模板
1．点光源、物顶、影端三点共线，光线与物、地面围成两个相似直角三角形；
2．同一光源下“物高∶影长”的比值随位置改变，判断影子变长变短要看物与光源的水平距离；
3．建立平面直角坐标系时，把光源、杆顶、影端三点的坐标写出来，用相似比或直线方程求解．
变式2-1（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为______．
【答案】
【分析】本题考查了中心投影，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，过轴于点，交于点，由两端的坐标分别为，，所以轴，，则有，，然后证明，则有，再代入求值即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过轴于点，交于点，
∵两端的坐标分别为，，
∴轴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
变式2-2（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为．
(1)求路灯的高度．
(2)当秒时，求影子的长？
(3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．
①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）；
②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒；
【答案】(1)9.6米
(2)米
(3)①米；②
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，列代数式，一次函数中的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由证，用相似比求高度；
（2）由证，代入求长度；
（3）①用相似比表示出、，相加得的表达式；
②计算的表达式，计算1秒内移动的距离即为在地面上移动的速度．
【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米，
，，
，
∴，，
，
，
，
，
答：路灯的高度为米；
（2）解：，
米，
∵米，米，
∴米，米，
，
，
∴，，
，
，
，
，
，
答：的长是米；
（3）解：①由（1）（2）得，，
当运动秒后，米，则米，
设米，米，
，
解得：；
，
解得；
米，
故答案为：米；
②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是，
米，
当秒时，
米，
当秒时，
米，
∴1秒时间内移动的距离为：
米，
影子的顶端在地面上移动的速度是米秒．
故答案为：．
变式2-3（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线．
(1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
(2)路灯的高度是____________m．
(3)设的坡角为．
①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）
【答案】(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处
(2)6
(3)①线段的倾斜程度更大；②
【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处；
（2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是；
（3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可；
②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小．
本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：，
横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处．
（2）解：由题意得：，
解得：，
∴路灯的高度是，
故答案为：6．
（3）①解：∵，设直线的解析式为，
把代入，得，
∴．
为小明在坡上任意一点，
∴此时m，影长m，m，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∴线段的倾斜程度更大；
②如图，
：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则，
：小明走到灯下处，到达，则，
对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度，
设，其中，，表示小明在间，影长，
依题意，，则
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
同理可得
∴
由（2）可得，，
即
∴
∴
设，其中，
当接近时，，则，则随的增大而增大
当接近时，，则，则随的增大而减小，
当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大．
综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况，
故答案为：．
题型三、由实物判断三视图
典例3（2026·浙江绍兴·二模）如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据主视图是从几何体正前方看到的形状即可解答．
【详解】
解：从该几何体正前方看到的形状是．
解题模板
1．先定主视方向，再把物体向三个投影面“压平”：看得见的轮廓画实线，被挡住的画虚线；
2．组合体逐块投影再叠加，挖去、切口的部分会在俯视图或左视图上留下内部轮廓；
3．判定“取走一块后视图怎么变”，只需盯住被取走那一块在三个方向上的投影位置．
变式3-1（2026·浙江杭州·二模）如图，从某个立方体上挖去一个小立方体（边长是大立方体的一半），得到的几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，注意看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线，即可求解．
【详解】解：∵从上面看该几何体，其最大轮廓是大立方体的顶面，为一个大正方形
又∵挖去的小立方体位于大立方体的右前上方
∴从上往下看时，大正方形的右下角部分露出了下一层的水平面
∵该露出的面是可见的
∴其轮廓线应画为实线
∴俯视图是一个大正方形，且右下角有一个小正方形 ，
故选：A．
变式3-2（2026·浙江·模拟预测）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若将标号为①的小正方体取走，得到的新几何体的主视图与俯视图，与原几何体的主视图与俯视图对比，下列说法正确的是（ ）．
A．主视图一样，俯视图一样 B．主视图一样，俯视图不一样
C．主视图不一样，俯视图一样 D．主视图不一样，俯视图不一样
【答案】C
【分析】先分别画出标号为①的小正方体取走前后的主视图和俯视图，然后对比即可解答．
【详解】解：标号为①的小正方体取走前的主视图和俯视图如下：
标号为①的小正方体取走后的主视图和俯视图如下：
所以标号为①的小正方体取走前后的主视图不一样，俯视图一样．
变式3-3（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据简单几何体的三视图定义进行判断即可．
【详解】解：由图可知，左视图为：
故选：C．
题型四、画小立方块的三视图
典例4（2022·浙江金华·模拟预测）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，结合几何体的排列情况，确定从左面看所得到的图形的列数及每列正方形的个数即可．
【详解】解：俯视图分为前后两行：后排（俯视图上方行）的数字最大为2，前排（俯视图下方行）的数字最大为1．
从几何体左侧观察，几何体的后排对应左视图的左列，前排对应左视图的右列，因此左视图左列高度为2（2个正方形上下排列），右列高度为1（1个正方形靠下），形状为：第一行仅左侧1个正方形，第二行左右共2个正方形；
故该几何体的左视图是．
解题模板
1．俯视图先定“位置”，主视图定“层高”，左视图定“前后排”，三者互为依据；
2．俯视图上的数字就是该位置叠放的块数，画主视图取每列最大值，画左视图取每行最大值；
3．画完用“长对正、高平齐、宽相等”三条回查，格数对不上就是画错了．
变式4-1（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，小正方体的棱长为1厘米．
【探究】（1）在图①中，请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
【应用】（2）请求出图①中的几何体的表面积（包括底面）是多少？
【拓展】（3）在图②中的几何体中，若几何体的上表面（包括五角星）涂上黄色油漆，涂色的面积是多少？
【答案】
（1）画出相应的图形如下：
（2）；（3）
【分析】题目主要考查从不同方向看几何体，求几何体的表面积，理解题意，熟练掌握这些基础知识是解题关键．
（1）根据从不同方向看几何题画图即可；
（2）根据（1）中结果，求表面积即可；
（3）根据图形求上表面面积即可．
【详解】解：（1）略；
（2）
答：表面积是．
（3）
答：上表面的涂色面积是．
变式4-2（24-25九年级上·河南郑州·阶段检测）若干个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示对应位置小正方体的个数：
(1)请画出该几何体的主视图与左视图．
(2)现在还有一些相同的小正方体，如果要保持俯视图和主视图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体．
【答案】(1)
主视图与左视图如下，
(2)3
【分析】（1）根据俯视图中各位置小正方体的个数来确定主视图和左视图的形状即可；
（2）在保持俯视图和主视图不变的前提下，分析可添加小正方体的位置和数量即可得解．
本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握由俯视图确定主视图和左视图的方法以及根据视图不变确定可添加小正方体数量的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：主视图有列，每列小正方体的个数分别为，，；
左视图有列，每列小正方体的个数分别为，；
（2）解： 要保持俯视图和主视图不变，
∴ 最多可以再添加个小正方体
故答案为：．
变式4-3一个由10个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示．
(1)在给定的虚线方格图中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
(2)给这个几何体添加一些相同的小立方块，如果从左面和上面看到的形状图保持不变，请直接写出最多可以添加多少个小立方块？
【答案】(1)
解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图1所示；
(2)4个
【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可；
（2）在从上面看到的图形上的相应位置标注可能添加的最多时的小正方体的个数即可．
【详解】（1）略
（2）解：在从上面看的图形的相应位置标可能摆放的最多小正方体的个数，所以最多可添加4个小立方块．
题型五、由三视图求体积表面积
典例5（25-26九年级下·北京·单元测试）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查三棱锥的三视图的判断与应用，几何体的体积的求法．判断几何体的形状，利用三视图的数据，然后求解几何体的体积即可．
【详解】
解：由题意可知，几何体是底面是等腰三角形，底边长为2，高为1，三棱锥的高为，侧棱与底面等腰三角形的顶点垂直，三棱锥的体积为：．
故选：A．
解题模板
1．先由俯视图定底面形状与尺寸，再由主视图定高，最后补出母线或斜高；
2．柱体 V＝Sh、锥体 V＝，表面积逐面相加，注意“有没有盖”“有没有挖空”；
3．三视图给出的是长度而非面积，先读出各边实长，再代公式，别把图上长度当面积用．
变式5-1（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的体积是______．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查三视图、正三角形的性质、勾股定理．根据三视图可知该几何体为三棱柱，底面为高是的正三角形，根据正三角形的几何性质及勾股定理求出正三角形的边长和面积，再根据三棱柱的体积公式即可求解．
【详解】解：由三视图可知该机器零件为三棱柱，如图：
三棱柱底面是高为的正三角形：
如图，正三角形，过A作，
∴，，
∴，
设，则，
则，
∴，
∴，
∴正三角形的面积为，
故这个几何体的体积是．
故答案为：．
变式5-2（2025九年级·全国·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查的是几何体的体积及由三视图判断几何体，解题的关键是先判断几何体的形状，然后求其体积．
由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，从而求出它的体积．
【详解】解：该几何体的形状是直四棱柱，由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为，，
所以棱柱的体积为：．
故选：C．
变式5-3（25-26九年级上·全国·期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是____________．
【答案】
【分析】由三视图可知，该几何体底面是直角边为的等腰直角三角形，高为的三棱柱，根据三棱柱的表面积公式求解即可．
【详解】解：这个几何体的表面积为：
；
故答案为．
题型六、小立方块的个数与表面积
典例6（25-26七年级上·山西运城·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这样的几何体最多需要小立方块的个数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，应分别根据从前面、上面和左侧面的形状，综合起来考虑整体形状．根据题意可以得到该几何体从正面和上面看最有多少个小立方体，综合考虑即可解答本题．
【详解】解：根据从上面看到的图可得，第一层有5个小立方体；
根据从正面看到的图可知：共有2层，第二层最多有4个小立方体，
∴搭成该几何体最多需要小立方块的个数是（个），
故选：B．
解题模板
1．最多：俯视图每个位置都叠到主视图允许的最高层；最少：每一列至少有一个位置取到最高层；
2．已知两个视图求个数，先由俯视图定位置，再用另一个视图给每列设上限，逐个取极值；
3．堆砌体表面积按前、后、左、右、上、下六个方向分别数格子，相对的两个面面积相等．
变式6-1一个几何体由大小相同的立方块搭成，该几何体的三种视图如图所示，则搭成该几何体的立方块的个数为______个．
【答案】6
【分析】本题考查了由三视图还原几何体，解题的关键是从三个方向确定每一行每一列上的立方块的个数． 先由俯视图确定该几何体的下层的小立方块个数，然后由主视图确定该几何体每一列的层数，最后用左视图作一验证，即可得到答案．
【详解】解：由俯视图可知，该几何体的下层有4个小立方块；结合主视图可知，该几何体的左边两列都有两层，右边一列只有一层，前后两排各有一个，再结合用左视图验证，可得搭成该几何体用了6个立方块．
故答案为：6．
变式6-2将个棱长为1的正方体积木摆成一堆，则形成的几何体表面积最小是______．
【答案】
【分析】本题考查立体图形，熟练掌握立体图形表面积的计算方法是解题的关键，根据个棱长为1的正方体积木摆成一堆，当每个小正方体相互重合的面最多时表面积最小，即可得到答案．
【详解】解：将个棱长为1的正方体积木摆成一堆，如图，
此时几何体表面积最小，
表面积的最小值为：，
故答案为：．
变式6-3由n个大小相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则n的值不可能是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
左视图、俯视图是分别从物体左面、上面看，所得到的图形．
【详解】解：从俯视图发现有5个立方体，从左视图发现第二层最多有3个立方块，最少有1个立方块，
所以最多有8个立方块，最少有6个立方块，
故n的值可以是6、7、8．不可能是9．
故选：D．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
压轴1（2026·浙江丽水·模拟预测）如图是某种榫构件的示意图，其左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，重难点在于理解左视图的观察角度以及不可见轮廓线的画法，左视图是从几何体的左面向右面投射所得的图形，能够反映物体的高和宽，在画三视图时，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．
【详解】选项：中间是一条实线，这表示分界线是看得见的，符合上部长方体与下部长方体前后宽度相等的情况，符合题意；
选项：中间是一条虚线，这表示分界线存在但不可见，通常出现在上部长方体比下部长方体窄(前后宽度小)的情况，与题意不符；
选项：形状呈“凸”字形，这是从正面看得到的主视图，不是左视图；
选项：形状呈长条状且有两条虚线，这是从上面看得到的俯视图，不是左视图．
压轴2如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度约为（ ）．（参考数据：）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正六边形的性质以及等边三角形的判定与性质得到，然后解，即可求，即可求解．
【详解】解：根据题意，作出实际图形的上底，
连接对角线，交于点G，交于点O，由题意得，
∵六边形是正六边形，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
由正六边形是轴对称图形得，
∴，
∴，
∴胶带的长至少．
故选：A．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、立体图形的三视图和学生的空间想象能力，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
压轴3如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（ ）．
A． B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、勾股数的应用等知识点，根据左视图的形状，求得左视图的宽成为解题的关键．
根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，再根据底面运用等面积法求得长方形的长即可．
【详解】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5，
∴俯视图为直角三角形，且斜边为5，
∴斜边上的高为
∴左视图为长方形，其长为6，宽为，即．
故选：Ａ．
压轴4（2024·浙江·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积求法以及由三视图判断几何体的形状，要注意圆锥的侧面积的计算公式是．根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．根据已知条件可得圆锥底面半径和母线长，即可求得圆锥的侧面积．
【详解】解：∵一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，
∴这个几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为2，
因此圆锥的侧面积为．
故选：B．
压轴5（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则______．
【答案】
【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得．
【详解】解：如图，延长，交直线于点，
由题意得：，
设，则，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和，
∴，
解得，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
压轴6（2026·浙江丽水·二模）榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________．
【答案】
【分析】根据三视图的数据，确定线段所在直角三角形的两条直角边长度，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据三视图的定义，可得：
在水平方向上，线段对应的直角边长度为：
，
在竖直方向上，线段对应的直角边长度为．
由勾股定理，得：
，
，
，
．
答：主视图上线段的长度为．
压轴7（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为_________．
【答案】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提．
先判断这个几何体的形状，再根据表面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体是截去了圆柱后的剩余部分，且圆柱的底面圆的半径为2，高为3．
故该几何体的表面积为．
故答案为：．
压轴8（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度．
【答案】电线杆的高度为米
【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可．
【详解】解：如图， 过点G作于点Q，于点P，
根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，
∵米，米，宽米，米，
∴米，，米，
∵点G是的中点，
∴米，
∴（米），
∵实际高度和影长成正比例，
∴，
∴，
∵米，
∴，
∴，
∴（米）．
答：电线杆的高度为米．
压轴9（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）广场上有一旗杆，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为，落在斜坡上的影长为，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，的标杆竖立在斜坡上的影长为，求旗杆的高度．
【答案】旗杆的高度为
【分析】本题主要考查了平行投影，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
过点C作，交于点P，过点P作于点Q，根据相似三角形的性质求出，在中利用等腰直角三角形的性质求出，根据即可解决问题．
【详解】解：过点C作，交于点P，过点P作于点Q，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴．
在中，，∵，
∴，
∴，
∴．
答：旗杆的高度为．
压轴10如图，一个立体图形从正面看到的是图形A，从上面看到的是图象B，这个立体图形是( )，它的体积是( )立方厘米．如果用一个长方体（或正方体）盒子包装它，这个盒子的容积至少( )立方厘米．
【答案】 圆锥 96
【分析】本题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积（容积）公式等知识点，灵活运用相关公式是解题的关键．
根据从正面看到的图形是三角形、从上面看到的图形是圆即可确定该立体图形成为圆锥；再根据圆锥的体积公式、长方体的体积公式即可解答．
【详解】解：由从正面看到的图形是三角形、从上面看到的图形是圆可得该立体图形为圆锥；
该圆锥的体积为：（立方厘米）；
要包装该圆锥，最小需要底面边上为4厘米，高为6厘米的长方体，则该盒子的容积为：（立方厘米）．
故答案为：圆锥，，96．
压轴11（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，．
(1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
(2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，加得到的长度约为．
（2）在直角三角形中，已知，，利用含 30 度角的直角三角形性质求出，则，在直角三角形中，，利用正弦求出，用减去得到琴码垫高的高度为．
【详解】（1）解：由题意得，，所以，，都是直角三角形．
在中，，，．
，
．
在中，，，．
，
．
．
（2）解：在中，，，．
根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，
．
由题可知．
在中，，，
，
．
琴码垫高的高度为．
压轴12物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．
(1)请确定a，c的值．
(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值．
(3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得时，，再利用正切函数即可求解；
（3）先求得时，函数的最大值和最小值，再相似比即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，代入函数解析式得，
把，代入函数解析式得，
即，
解得．
（2）解：由（1）得函数解析式为，
把代入得，
则．
（3）解：∵，
∴当时，y取得最小值，，
当时，y取得最大值，，
∵旗杆与直杆的长度比为，
∴，
∴m的取值范围为，
即．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正切函数的定义，相似比的意义，用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
压轴13（2025·江西萍乡·二模）如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度随时间变化的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、利用函数的图象解决实际问题等知识点，正确理解函数的图象表示的意义是解题的关键．
该三视图表示的容器上面是圆台、上面细、下面粗，圆台下面是圆柱分两部分讨论水面上升情况即可解答．
【详解】解：该三视图表示的容器上面是圆台，上面细，下面粗，圆台下面是圆柱，随着时间的增加，水面高度逐渐增加，开始时是匀速增加。上面细，高度增加得越来越快，即B选项符合题意．
故选B．
压轴14（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了三视图和一元二次方程的解法，解决此题的关键是根据三视图的面积得到长方体的长和宽用x表示出来，得到关于x的一元二次方程求解即可；
【详解】解：∵，，
又∵长方体的高为，
∴长方体的长为，宽为，
∴，
即，
解得：，
∵为正数，
∴取，
故选：A．
压轴15（25-26七年级上·广东揭阳·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．结合主视图(从正面看的图形)和俯视图(从上面看的图形)，分析每一列、每一行小立方体的可能层数，从而确定小立方体的最多个数．
【详解】解：第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)，每个位置最多叠层，
因此第列最多有个小立方体；
第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)每个位置最多叠层，
因此第列最多有个小立方体；
第列(主视图最高层俯视图中第列有个位置(第行)，最多叠层，
因此第列最多有个小立方体；
∴总个数将三列的最多个数相加：．
故选：C．
压轴16（25-26九年级下·浙江·单元复习）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下图所示，如果需要的小正方体个数最多为个，最少为个，则的值为_____________．
【答案】22
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，解题的关键是发展空间想象能力．
根据从正面看到的图形易得这个几何体共有3层，由从上面看到的图形可得第一层立方体的个数，由从正面看到的图形可得第二层立方体的可能的个数，从而求出m、n的值，再相加即可．
【详解】解：综合从正面和上面看到的图形，这个几何体的底层有6个小正方体，
第二层最少有2个，第3层最少有1个，
因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：，
第二层最多有5个，第3层最多有2个，
因此搭成这样的一个几何体至多需要小正方体木块的个数为：，
∴，
故答案为：22．
压轴17（25-26七年级上·四川成都·期中）若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1． 如果塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是____________，如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是____________个．
【答案】 7 4
【分析】本题考查了立体图形的表面积问题，解决本题的关键是得到上下所有正方体露在外面的上面面积之和为1，每增加一层相当于增加4个侧面．
若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面；若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面；若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面；根据规律分别计算外露面积即可．
【详解】解：若只有一层（即只有一个）时，每个面的面积是1，共露出5个面，所以外露面积为：；
若有两层，则第二层每个侧面的面积是，与一层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：；
若有三层，则第三层的每个侧面的面积是，与两层相比，多了4个侧面，所以外露面积为：；
∴塔形有2个正方体组成，则露在外面的面积是7；如果露在外面的面积是超过8，则正方体的个数至少是4个．
故答案为：7，4．
压轴18（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）小林所在的综合实验小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）．
(1)图是综合实践小组同学制作的图形，其中_____（填序号）经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
(2)综合实践小组间学用制作的个正方体纸盒摆成如图所示的几何体．
①在图中画出从正面观察图几何体看到的形状图；
②如果在图几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加_____个正方体纸盒．
【答案】(1)
①③④
(2)
①如图所示：
②
【分析】本题考查简单组合体，展开图折叠成几何体等知识．
（）根据要求动手操作可得结论；
（）①根据主视图的定义画出图形即可；
②根据要求作出判断即可．
【详解】（1）解：图是综合实践小组同学制作的图形，其中①③④经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
故答案为：①③④；
（2）① 略
②如果在图的几何体上再添加一些大小相同的正方体形纸盒，如图
原几何体的俯视图：从上面看，左边一列有个正方体，中间一列有个正方体，右边一列有个正方体，
原几何体的左视图：从左面看，左边一列有个正方体，右边一列有个正方体，
∵保持从上面看到的形状图和从左面看到的形状图不变，如图
最多可以再添加个正方体形纸盒．
故答案为：．
压轴19（22-23九年级下·浙江金华·阶段检测）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得
(1)求点O，M之间的距离．
(2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点O作、的平行线，交于H，根据平行线分线段成比例得出点H是的中点，得出，再由正切函数求解即可；
（2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，利用相似三角形的判定和性质得出，确定四边形是平行四边形，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图，过点O作、的平行线，交于H，
由题意可知，点O是的中点，
∵，
∴，
∴点H是的中点，
∵，
∴，
∴，
又∵由题意可知：
∴，
∴，
解得，
∴点O、M之间的距离等于；
（2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，
∵，
∴，
∵由题意可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，，，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴叶片外端离地面的最大高度等于．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例和相似三角形的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
压轴20（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？
【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm
【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．
（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；
（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.
【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得：，
解得：x=120，
经检验：x=120是分式方程的解，
王诗嬑的影子长为120cm；
（2）正确，
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，
过点F作FG⊥CE于点G，
由题意可得：BC=100，CF=100，
∵斜坡坡度，
∴，
∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，
，
解得：m=20，
∴CG=60，FG=80，
∴BG=BC+CG=160，
过点F作FH⊥AB于点H，
∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，
FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，
可知四边形HBGF为矩形，
∴，
∴AH==200，
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，
故高圆柱的高度为280cm.
【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．
1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
