第11章 简单几何体（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

第十一章 简单几何体复习讲义 教学目标 1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，会画直观图； 2．掌握柱体、锥体、球的表面积与体积公式； 3．会处理组合体、截面、外接球与内切球问题； 4．体会"展开-化归"的思想方法。 教学重难点 1．重点： （1）柱、锥、球的表面积与体积； （2）组合体的分割与补形； （3）外接球与内切球。 2．难点： （1）空间想象：组合体的分割与截面作图； （2）外接球、内切球的球心定位。 知识点01 多面体与旋转体 （1）多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体；围成多面体的多边形叫做面，相邻两个面的公共边叫做棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 （2）旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做轴。 知识点02 柱体 （1）棱柱与圆柱 棱柱的两个底面平行且全等，侧棱平行且相等；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。圆柱由矩形绕一边所在直线旋转而成，母线长等于高。 （2）柱体的体积 体积（为底面积，为高）。 （3）柱体的表面积 表面积等于两个底面积与侧面积之和；圆柱的侧面积，表面积。 知识点03 锥体 （1）棱锥与圆锥 棱锥的一个面是多边形、其余各面是有公共顶点的三角形；底面是正多边形且顶点在底面中心正上方的棱锥叫正棱锥，侧面三角形的高叫斜高。圆锥由直角三角形绕直角边旋转而成。用平行于底面的平面截棱锥（圆锥），截面与底面之间的部分叫做棱台（圆台）。 （2）锥体的体积 体积。 （3）锥体的表面积 表面积等于底面积与侧面积之和；圆锥的侧面积（为母线长）。 知识点04 球 （1）球的概念 半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球；半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径。 （2）球的截面 用平面截球，截面是圆；球心与截面圆心的连线垂直于截面，且（为球半径，为截面圆半径，为球心到截面的距离）。 （3）球的表面积与体积 表面积，体积。 （4）外接球与内切球 棱长为的正方体，外接球半径，内切球半径。 知识点05 表面积与体积的综合 （1）组合体与等体积法 组合体用分割法或补形法处理；等体积法：同一几何体用两种方式表示体积，可求点到平面的距离。 （2）展开图与截面 侧面展开成平面图形，用两点之间线段最短求最短路径；作截面的常用方法是平行线法和延长交线找交点法。 题型01 结构特征与直观图 【典例1】 下列关于棱柱的说法中正确的是（     ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形是棱柱 C．有一个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 D．在斜棱柱的侧面中，可有超过个矩形 【答案】B 【分析】根据棱柱的定义、直棱柱和斜棱柱的性质，逐一分析各选项的正误，最终确定正确答案. 【详解】选项A：反例：将两个全等的斜棱柱沿底面拼接得到的几何体， 满足“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形”， 但不满足“所有相邻四边形的公共边互相平行”，不属于棱柱，故A错误， 选项B：平面多边形（含内部）沿某一方向平移时，初始和终止位置的两个多边形平行且全等， 多边形各边平移形成的面均为平行四边形，且所有侧棱互相平行，完全符合棱柱的定义，故B正确， 选项C：直棱柱的定义为侧棱与底面垂直的棱柱，若仅存在一个侧面与底面垂直，仅能推出侧棱垂直于底面的一组平行边， 无法推出侧棱与底面整体垂直，因此不是直棱柱，故C错误， 选项D：斜棱柱的侧棱与底面不垂直，侧面为矩形的充要条件是底面对应边与侧棱垂直， 在斜棱柱的侧面中，可有超过个矩形，则存在一条侧棱与底面多边形至少三条边所在直线平行， 但是底面最多有两条平行边与侧棱垂直，所以这些边所在直线必存在两条相交直线， 从而可知该侧棱与底面垂直，即棱柱为直棱柱，矛盾， 故斜棱柱侧面最多有个矩形，不可能超过个，故D错误. 【变式1】 有一个多面体，由六个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（    ） A．五棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征，结合多面体的面数与面的形状判断即可. 【详解】多面体共6个面，仅有1个面不是三角形，则其余5个面均为三角形， 可知非三角形的面为五边形（作为棱锥底面），5个三角形为共顶点的侧面， 总面数为，符合五棱锥的结构特征. A选项五棱柱共7个面，不符合面数要求； C选项四棱柱的6个面均为四边形，不符合“仅1个面不是三角形”的要求； D选项四棱锥共5个面，不符合面数要求. 【变式2】 六棱台的顶点数和棱的条数分别为（    ） A．6， B．，6 C．， D．， 【答案】C 【详解】由六棱台的性质可知，上、下底面各有6个顶点，共计个， 上、下底面各有6条边，侧棱有6条，共计条． 【变式3】 萤石是非常漂亮的一种矿物，其原石往往呈现正八面体形状.在如图所示的正八面体EABCDF中，EA与平面ABCD所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正八面体的结构特征和线面角的定义求解即可 【详解】设正八面体的棱长为a， 由题意得四棱锥和均为正四棱锥， 连接AC与EF的交点为正方形的中心， 则平面，即为直线EA与平面ABCD所成的角， 又，， 即，则， 所以， 故选：A 题型02 柱体的表面积与体积 【典例1】 已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件首先表示出圆柱的侧面积，然后利用均值不等式求解即可. 【详解】长方形长加宽的和为：， 不妨设矩形的长为，则矩形的宽为， 则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为， 从而圆柱的侧面积为， 当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值. 【变式1】 已知某正四棱柱的一个侧面的周长为12，设该正四棱柱的高为，则该正四棱柱的体积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正四棱柱的底面边长为x，由正四棱柱的一个侧面的周长为12，正四棱柱的高为， 可得，故， 则该正四棱柱的体积， 即. 【变式2】 三棱柱的底面是等腰直角三角形，，为的中点，平面，，则该三棱柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质，分别求解每个侧面的高，从而求出该三棱柱的侧面积． 【详解】取中点，连接，，． 因为平面，平面，所以，，． 因为三棱柱底面是等腰直角三角形，为的中点，所以． 又因为,平面，所以平面． 又因为平面，所以，则，四边形为矩形． 因为在该等腰直角三角形中，，为的中点， 所以，，则． 故矩形的面积为． 因为为中点，为的中点，所以，则． 由三垂线定理，可得，且, 故平行四边形的面积为，同理可得，平行四边形的面积也为． 故该三棱柱的侧面积为． 【变式3】 已知某圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆柱的底面半径，因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为， 则，则，所以该圆柱的侧面积为. 题型03 锥体的表面积与体积 【典例1】 在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，已知，，， ，所以， 绕直角边旋转一周，所得几何体为圆锥， 底面半径为，高为，母线长为， 所以. 【变式1】 在正三棱台中，，，三棱锥的体积为，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从三棱锥的体积可计算三棱锥高，利用正三棱台与三棱锥同高即可计算棱台的体积. 【详解】正三棱台中，，， 则，， 设正三棱台的高为，则三棱锥的高也为. 所以，则. 所以. 【变式2】 如图，已知四棱锥的体积为 是的平分线， ，若棱上的点 满足 ，则三棱锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设可得三棱锥 体积与四棱锥体积比例关系，据此可得答案. 【详解】设四边形面积为，则， 由题可得，又， 则，又注意到， 且与有相同的高，则. 因，则，设到平面距离为， 则， 从而. 【变式3】 已知圆锥的侧面展开图是周长为的半圆，则圆锥的表面积为______． 【答案】 【详解】设圆锥母线长为，底面半径为， 侧面展开图半圆周长：，解得， 半圆弧长：，该弧长等于圆锥底面周长，即，得， 所以圆锥表面积：. 题型04 球与外接内切球 【典例1】 某正方体的棱长为2，则它的内切球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】棱长为的正方体，其内切球半径为棱长的一半，即， 体积. 【变式1】 已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球表面积是圆柱侧面积的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【详解】设圆柱底面半径，轴截面为正方形，则圆柱的高． 所以外接球的直径，所以. 可得球表面积为，圆柱侧面积为， 所以，所以外接球表面积是圆柱侧面积的倍． 【变式2】 已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是球的直径，若平面平面，，，且三棱锥的体积为72，则球的表面积为________． 【答案】 【分析】利用直径所对圆周角为直角得到两个等腰直角三角形，结合面面垂直的性质求出三棱锥的高，通过体积求解球半径后计算球的表面积. 【详解】如图所示； 设球的半径为，由是球的直径，球心为的中点， 由直径所对圆周角为直角，，， 由，，与为等腰直角三角形，，且， 平面平面，平面平面，，平面， 平面， ， 解得， 设为球的表面积，所以. 【变式3】 已知一个正三棱柱存在内切球，且其外接球的体积为，则该三棱柱体积为_________ 【答案】 【分析】利用正三棱柱的性质，依题知其内切球和外接球是同心球，先求出外接球半径，再根据球心在底面的投影恰为底面正三角形的中心，由之求得底面三角形边长，从而可求体积. 【详解】设外接球的半径为，，解得. 因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为，连接的中心，则线段的中点即为球心，依题意，内切圆半径为， 得，则，解得，， 所以三棱柱体积为. 题型05 组合体、展开与截面 【典例1】 如图，正方体，为棱的中点，用过点，，的平面截正方体为两部分，其体积分别为，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出过点的截正方体截面并确定几何体形状，进而求出体积比. 【详解】在正方体中，取中点，连接，由为棱的中点， 得，则四边形为平行四边形，， 因此四边形为平行四边形，是过点的平面截正方体所得截面， 几何体是直三棱柱，， ，所以. 【变式1】 如图所示，一个玩具盒是由半个圆柱与一个正四棱柱组合成的几何体，圆柱的底面直径与高均为，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为该玩具盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正四棱柱的下底面面积为， 正四棱柱的侧面积为， 半圆柱的侧面积为， 半圆柱的两个底面可合成一个圆，其面积为， 所以玩具盒的表面积为. 【变式2】 已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形， 则圆柱的底面周长即为正方形的边长，正方形的边长即为圆柱的高， 所以正方形的边长为，圆柱的高为， 则圆柱侧面积为. . 【变式3】 正方体，，用过点，，的平面截正方体为两部分．其体积分别为，（），则的值是__________． 【答案】/0.2 【分析】根据给定条件，作出过点，，的截正方体截面并确定几何体形状，进而求出体积比. 【详解】在正方体中，取的靠近的三等分点，连接，如图所示， 由于，所以，，则四边形为平行四边形， 所以，，则四边形为平行四边形， 因此平行四边形是过点，，的平面截正方体所得的截面， 几何体是直三棱柱，， 由于正方体的体积， 所以，因此. 1．已知圆柱底面半径为，母线长为，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用圆柱侧面积公式计算可得. 【详解】因为圆柱底面半径，母线长， 所以圆柱的侧面积. 2．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为32的正方形，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由圆柱轴截面为正方形的性质求出底面半径和高，再代入圆柱表面积公式计算得结果 【详解】过直线的平面截得的截面为圆柱的轴截面。设圆柱的底面半径为，高为. 因为轴截面是正方形，所以轴截面的边长等于底面直径，也等于圆柱的高，即. 由正方形面积为32，可得，解得. 根据圆柱表面积公式： 两底面面积和： 侧面积： ,因此，故选C. 3．已知某圆柱的侧面积为，设O为该圆柱上底面的中心，A为下底面圆周上一点，若与底面所成角的正切值为2，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆柱的底面半径为，母线长为，由及进行求解． 【详解】如图所示： 设圆柱的底面半径为，母线长为， 由圆柱的侧面积为，得，得， 由与底面所成角的正切值为2，得，得， 解得， 故圆柱的体积为． 4．如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】设四棱柱的底面梯形的高为，的中点分别为，所求的水面高为，利用等体积法求解即可. 【详解】设四棱柱的底面梯形的高为， 的中点分别为， 所求的水面高为h， 则水的体积， 所以. 5．如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边 于地面上，再将容器以 为轴顺时针旋转，给出以下四个命题： ①有水的部分始终是棱柱； ②水面所在四边形 为矩形且面积不变； ③棱 始终与水面平行； ④当点 在棱 上且点 在棱 上（均不含端点）时， 不是定值. 则正确命题的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抓住棱柱定义和线面平行判定分析空间位置关系；水的体积恒定，旋转时横截面积不变，用来判断乘积是否为定值. 【详解】①有水部分的几何体，有两个面都垂直于，这两个面始终平行，若在棱上，由面面平行的性质知，//，而//，并且始终与水面平行，即有//，所以////EH，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱； 若点在棱上， EH //，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，①正确； ②水面是矩形，长度固定，但另一边会随旋转角度改变，因此矩形面积会变化，②错误； ③长方体中；平行于水面，不在水面平面内，由线面平行判定定理，水面，③正确； ④当点在棱上且点在棱上(均不含端点)时，有水部分的棱柱的底面为三角形，而水的体积不变，高不变，则底面面积不变， 即是定值， ④错误. 综上，①③正确，共个. 6．如图1，正三棱柱形容器中盛有水，水的体积为，侧棱，底面边长，当侧面水平放置时（如图2），水面的高度为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先算无水体积，再反推无水截面面积，利用相似三角形面积比等于高的平方比求出无水截面高度，最后利用原三角形的高减去无水截面的高，得出水面高度. 【详解】正三棱柱容器的总容积为， 则无水部分体积． 当侧面水平放置时，设无水部分的底面三角形面积为， 则．底面正三角形的高为， 设水平放置时无水部分底面的三角形高为， 则，解得， 所以水面高度为，故选B． 1．若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的小圆半径为________． 【答案】 【分析】依托球的截面几何性质，结合勾股定理建立球半径、球心到截面距离、截面小圆半径三者的数量关系，求解小圆半径即可. 【详解】根据球的截面基本性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面， 因此球的半径、球心到截面的距离、截面小圆的半径可构成直角三角形的三边， 由勾股定理得 ，解得，则小圆半径为. 2．在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为_________． 【答案】 【分析】利根据给定条件，借助正弦定理求出点到平面的距离，进而求得三棱锥的体积. 【详解】如图所示， 由为直角三角形，是的中点，得， 又，故, 所以为等边三角形，， ， 将沿折起，使、两点间的距离为，则, 因为，故点在平面上的投影为的外心， 设的外接圆半径为, 又因为，, 所以， 故， 所以, 所以. 3．已知正四棱锥的底面边长为，一个侧面等腰三角形的面积为.用一个平行于底面的平面截该棱锥，截面正方形的边长为，则所得棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正棱锥的性质计算正四棱锥的体积，再根据平行底面的平面截棱锥的性质可得所得棱台的体积. 【详解】正四棱锥每个侧面是等腰三角形，底面边长为，单个侧面面积为​. 设斜高为，由三角形面积公式​，解得斜高。 正四棱锥的高、底面中心到底边的距离（即底面正方形边长的一半，值为）、斜高构成直角三角形， 由勾股定理：， 所以原正四棱锥的体积. 截面平行于底面，截面正方形边长为，和底面边长比为， 因此截得的小正四棱锥和原棱锥的相似比为，截得的小正四棱锥和原棱锥的体积比为， 所以截得小正四棱锥的体积. 因此截得的棱台的体积. 因此所得棱台的体积为. 4．半径为的球中有一内接正四棱柱．当该正四棱柱的侧面积最大时，正四棱柱的高与球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球的半径和勾股定理可得到正四棱柱的高和底面边长之间的关系，根据棱柱侧面积公式和基本不等式可确定侧面积最大时，正四棱柱的高，由此可得结果. 【详解】设正四棱柱的高为，底面边长为，则正四棱柱底面外接圆半径为， ，即； 正四棱柱的侧面积， 当且仅当，即，时取等号， 当正四棱柱的侧面积最大时，正四棱柱的高与球的半径之比为. 5．已知圆柱的底面半径为1，高为4；是该圆柱的一条母线.若一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面绕两周到达点，则蚂蚁爬行的最短路程为________. 【答案】/ 【分析】将圆柱侧面展开即可求得结果. 【详解】 把圆柱沿母线剪开后展开，其中为底面圆周的2倍，点展开后的对应点， 由于圆柱的底面半径为1，所以， 则蚂蚁从点绕圆柱侧面两周到达点经过的最短路程为. 6．在三棱锥中，平面BCD，，若点均在球O的表面上，且，则球O的体积为________． 【答案】 【分析】据三棱锥的线面垂直、线线垂直特征，将其补为棱长为1的正方体，利用正方体外接球与三棱锥外接球的一致性求得球半径，再代入球的体积公式计算即可. 【详解】因为平面，且平面， 所以，，又， 故三条线段两两垂直，且长度均为1， 因此三棱锥的外接球等价于棱长为1的正方体的外接球， 而该正方体的体对角线长度为，即外接球的直径为，因此外接球半径， 故球O的体积为. 7．已知圆台的上底面的半径为5，下底面的半径为12，高为17．若圆台的上、下底面的圆周都在球上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆台外接球的几何特征，利用球心到上下底面距离、底面半径、球半径构成直角三角形，列方程求解球半径，再计算球的表面积即可. 【详解】设球心O在圆台M的内部，球O的半径为r．球心O到圆台M的上底面的距离为d， 则球心O到圆台M的下底面的距离为， 又，解得，则， 所以球O的表面积为． 8．已知四面体 PABC 的所有顶点都在球 的球面上，，，，，则球的表面积为_____． 【答案】 【分析】取中点，连接并延长交的外接圆于，连接，由勾股定理，余弦定理以及球的性质确定球心，并求出球的半径，即可求解球的面积公式. 【详解】取中点，连接并延长交的外接圆于，连接，，如图，    因为，所以，所以为外接圆的直径， 因为，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 故的外接圆圆心，即为球心，在中，， 所以，所以， 在中，， 在中，由余弦定理可得，所以， 在中，，即， 所以球的直径，所以. 9．已知，平面，若，则四面体的外接球（顶点都在球面上）的表面积为______________ 【答案】 【分析】先用余弦定理求，再由正弦定理求外接圆的半径，最后利用"平面时"求出外接球半径，代入球的表面积公式. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以. 由正弦定理得外接圆的半径满足，即. 因为平面，所以外接球的球心在过外心且垂直于平面的直线上； 又球心到、的距离相等，故球心到平面的距离为. 设外接球半径为，则，即， 所以外接球的表面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 简单几何体复习讲义 教学目标 1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，会画直观图； 2．掌握柱体、锥体、球的表面积与体积公式； 3．会处理组合体、截面、外接球与内切球问题； 4．体会"展开-化归"的思想方法。 教学重难点 1．重点： （1）柱、锥、球的表面积与体积； （2）组合体的分割与补形； （3）外接球与内切球。 2．难点： （1）空间想象：组合体的分割与截面作图； （2）外接球、内切球的球心定位。 知识点01 多面体与旋转体 （1）多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体；围成多面体的多边形叫做面，相邻两个面的公共边叫做棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 （2）旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做轴。 知识点02 柱体 （1）棱柱与圆柱 棱柱的两个底面平行且全等，侧棱平行且相等；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。圆柱由矩形绕一边所在直线旋转而成，母线长等于高。 （2）柱体的体积 体积（为底面积，为高）。 （3）柱体的表面积 表面积等于两个底面积与侧面积之和；圆柱的侧面积，表面积。 知识点03 锥体 （1）棱锥与圆锥 棱锥的一个面是多边形、其余各面是有公共顶点的三角形；底面是正多边形且顶点在底面中心正上方的棱锥叫正棱锥，侧面三角形的高叫斜高。圆锥由直角三角形绕直角边旋转而成。用平行于底面的平面截棱锥（圆锥），截面与底面之间的部分叫做棱台（圆台）。 （2）锥体的体积 体积。 （3）锥体的表面积 表面积等于底面积与侧面积之和；圆锥的侧面积（为母线长）。 知识点04 球 （1）球的概念 半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球；半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径。 （2）球的截面 用平面截球，截面是圆；球心与截面圆心的连线垂直于截面，且（为球半径，为截面圆半径，为球心到截面的距离）。 （3）球的表面积与体积 表面积，体积。 （4）外接球与内切球 棱长为的正方体，外接球半径，内切球半径。 知识点05 表面积与体积的综合 （1）组合体与等体积法 组合体用分割法或补形法处理；等体积法：同一几何体用两种方式表示体积，可求点到平面的距离。 （2）展开图与截面 侧面展开成平面图形，用两点之间线段最短求最短路径；作截面的常用方法是平行线法和延长交线找交点法。 题型01 结构特征与直观图 【典例1】 下列关于棱柱的说法中正确的是（     ）． A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形是棱柱 C．有一个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 D．在斜棱柱的侧面中，可有超过个矩形 【变式1】 有一个多面体，由六个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（    ） A．五棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 【变式2】 六棱台的顶点数和棱的条数分别为（    ） A．6， B．，6 C．， D．， 【变式3】 萤石是非常漂亮的一种矿物，其原石往往呈现正八面体形状.在如图所示的正八面体EABCDF中，EA与平面ABCD所成的角为（   ） A． B． C． D． 题型02 柱体的表面积与体积 【典例1】 已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值是（     ） A． B． C． D． 【变式1】 已知某正四棱柱的一个侧面的周长为12，设该正四棱柱的高为，则该正四棱柱的体积（    ） A． B． C． D． 【变式2】 三棱柱的底面是等腰直角三角形，，为的中点，平面，，则该三棱柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】 已知某圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 题型03 锥体的表面积与体积 【典例1】 在中，，，，将绕旋转一圈，所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】 在正三棱台中，，，三棱锥的体积为，则该棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 如图，已知四棱锥的体积为 是的平分线， ，若棱上的点 满足 ，则三棱锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【变式3】 已知圆锥的侧面展开图是周长为的半圆，则圆锥的表面积为______． 题型04 球与外接内切球 【典例1】 某正方体的棱长为2，则它的内切球体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球表面积是圆柱侧面积的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式2】 已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是球的直径，若平面平面，，，且三棱锥的体积为72，则球的表面积为________． 【变式3】 已知一个正三棱柱存在内切球，且其外接球的体积为，则该三棱柱体积为_________ 题型05 组合体、展开与截面 【典例1】 如图，正方体，为棱的中点，用过点，，的平面截正方体为两部分，其体积分别为，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 如图所示，一个玩具盒是由半个圆柱与一个正四棱柱组合成的几何体，圆柱的底面直径与高均为，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为该玩具盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3】 正方体，，用过点，，的平面截正方体为两部分．其体积分别为，（），则的值是__________． 1．已知圆柱底面半径为，母线长为，则它的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为32的正方形，则该圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知某圆柱的侧面积为，设O为该圆柱上底面的中心，A为下底面圆周上一点，若与底面所成角的正切值为2，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（   ） A．4 B．6 C． D． 5．如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边 于地面上，再将容器以 为轴顺时针旋转，给出以下四个命题： ①有水的部分始终是棱柱； ②水面所在四边形 为矩形且面积不变； ③棱 始终与水面平行； ④当点 在棱 上且点 在棱 上（均不含端点）时， 不是定值. 则正确命题的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图1，正三棱柱形容器中盛有水，水的体积为，侧棱，底面边长，当侧面水平放置时（如图2），水面的高度为（    ） A． B． C． D．1 1．若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的小圆半径为________． 2．在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为_________． 3．已知正四棱锥的底面边长为，一个侧面等腰三角形的面积为.用一个平行于底面的平面截该棱锥，截面正方形的边长为，则所得棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．半径为的球中有一内接正四棱柱．当该正四棱柱的侧面积最大时，正四棱柱的高与球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆柱的底面半径为1，高为4；是该圆柱的一条母线.若一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面绕两周到达点，则蚂蚁爬行的最短路程为________. 6．在三棱锥中，平面BCD，，若点均在球O的表面上，且，则球O的体积为________． 7．已知圆台的上底面的半径为5，下底面的半径为12，高为17．若圆台的上、下底面的圆周都在球上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知四面体 PABC 的所有顶点都在球 的球面上，，，，，则球的表面积为_____． 9．已知，平面，若，则四面体的外接球（顶点都在球面上）的表面积为______________ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $