第一次月考复习冲刺讲义（提高篇）（第10章+第11章） 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义（沪教版必修第三册）

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺讲义（基础篇） 题型01：平面及其基本性质 1.给出下列命题：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中正确的命题为__________． 【答案】①②④ 【分析】根据平面的基本性质，逐项判断选项即可得出结论. 【详解】对于①，由于梯形为平面图形，故四个顶点在同一平面内，所以①正确； 对于②，不妨设，，，，则、唯一确定一个平面， 所以，，所以，又，，所以， 所以，又，，所以，故三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面，所以②正确； 对于③，当这三点共线时，两个平面可以不重合，故③不正确； 对于④，因为两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内， 所以由直线在平面内的判定性质知满足条件的第四条直线必在该平面内，故④正确． 综上①②④正确． 故答案为：①②④． 2. 已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立． 【详解】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上， 因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立； “这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从而必要性不成立， 所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件. 故选：A. 3.平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 【答案】直线 【分析】根据已知得R、C既在平面上又在平面上，从而得答案． 【详解】根据题意，因为直线AB与直线l相交于点R，， 又平面与平面相交于直线l，所以平面β， 又点C在平面上，所以平面β， 因为平面γ，R点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线． 故答案为：直线． 4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证： (1)E､F､G､H四点共面； (2)EG与HF的交点在直线AC上. 【解析】（1）∵，∴. ∵E，F分别为AB，AD的中点，∴，且， ∴，∴E，F，G，H四点共面. （2）∵G，H不是BC，CD的中点，∴，∴， 由（1）知，故EFHG为梯形. ∴EG与FH必相交，设交点为M， ∴平面ABC，平面ACD， ∴平面ABC，且平面ACD， ∴，即GE与HF的交点在直线AC上. 题型02：空间图形的直观图 5. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm． 【答案】8 【分析】由斜二测画法的规则将图形还原为原图形，从而可求解. 【详解】由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上， 可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，即长度为， 其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：． 故答案为：． 6.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用斜二测画法还原直观图即得. 【详解】由题可知， ∴，还原直观图可得原平面图形，如图， 则， ∴， ∴原平面图形的周长为. 故选：B. 7. 如图，水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图为△A′O′B′，其中，，，则原平面图形△AOB中，OA的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过A′作y′轴的平行线，交x′轴于点C′，则，又，所以，，所以. 由直观图还原得△AOB，如图，则，，，由勾股定理可得. 题型03：空间中位置关系的判定（图形） 8.如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．异面 D．无法判断 【答案】C 【知识点】异面直线的判定 【分析】将正方体的展开图还原为正方体，在正方体中找到展开图中AB、CD对应的直线，再判断AB、CD的位置关系． 【详解】由题意，将正方体展开图还原为正方体，如图所示： 在正方体中找到对应的AB、CD两条直线，由图可知，AB与CD异面． 故选：C．    9.在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用异面直线的判定及公理的应用判定选项即可. 【详解】选项A中，平面内的两直线异面，则a与b异面； 选项B中，平面内的两直线异面，则a与b异面； 选项C中，平面内的两直线相交，两相交直线能确定一个平面， 则a与b有可能平行； 选项D中，平面内的两直线异面，则a与b异面． 故选：C． 10.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【解析】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A错误； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B错误； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C错误； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出平面，故D正确， 故选：D. 11. 已知在正方体中，，交于点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】C 【解析】连接，作出图形如图所示， 因为且，所以为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面， 同理可证，即可证明平面， 又，平面，所以平面平面， 故平面，故C正确； 对于A，因为，平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，同理可证平面，而与不平行，所以不垂直于平面，故B错误； 对于D，易知，而，，共面且与不平行，所以不垂直于，故D错误． 故选：C． 12.已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论： ①直线平面；    ②直线平面； ③直线平面；    ④直线平面CDE. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 对于①：如图1，连接，交于点F，连接DF，则点F是的中点，又D是AB的中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面，所以①正确. 对于②：如图2，取BC的中点F，连接DF，，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面，故②正确. 对于③：如图3，取BC的中点F，连接DF，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，连接EF，所以四边形是平行四边形，所以，显然EF与平面相交，则与平面相交，故③错误. 对于④：如图4，连接，交EC于点F，连接DF，则平面平面，若直线平面CDE，则，由于D是AB的中点，所以点F是的中点，而显然点F不是的中点，矛盾，故④错误. 故选：B. 13.下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A． B．  C．   D．   【答案】B 【解题思路】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【解答过程】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 14．如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．直线在平面内 【答案】A 【分析】根据正方体性质，结合线面平行的判定来判断即可. 【详解】根据正方体性质知道，平面，平面， 则平面. 故选：A. 题型04：空间中位置关系的确定（文字） 15. “直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的______条件．（用“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”填空） 【答案】必要非充分 【详解】利用线面垂直的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【分析】若直线垂直于平面内无数条直线，且这无数条直线平行，则直线与平面不一定垂直， 所以，“直线垂直于平面内无数条直线”“直线垂直于平面”； 若直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线， 所以，“直线垂直于平面内无数条直线”“直线垂直于平面”. 所以，“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 16．下列命题正确的是（   ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 【答案】C 【详解】对于A，一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错； 对于B，若三条直线两两相交交于一点时，例如三棱锥的侧棱，则三条直线可以不共面，B错； 对于C，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，且过一条直线可作无数个平面与已知直线平行，故C正确； 对于D，一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行或在平面内，故D错. 故选：C 17．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用线面平行和垂直的判定和性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，得可能平行、可能相交，也可能是异面直线，A错误； 对于B，由，，得平行，或，B错误； 对于C，若，，则，C正确； 对于D，由，，得可能平行、可能相交、也可能，D错误. 故选：C 18.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（    ） A．若，，，则⊥ B．若，，则 C．若，m ，，则 D．若，，则m与所成的角和n与所成的角相等 【答案】C 【分析】根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项. 【详解】A.，，则，又，则存在，，所以，A正确； B.，，则，故B正确； C. 当，可以存在，m ，，则C不正确； D. 时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等， 又，,则m与所成的角和n与所成的角相等，D正确. 故选：C. 19.设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】A 【分析】由平面与平面的位置关系判断AB；由直线与平面垂直的性质判断CD． 【详解】若，，则或相交，故A错误； 若，，则，故B正确； 若，，，则，故C正确； 若，，，则，则D正确． 故选：A． 20. 设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】A 【分析】利用线面、线线的位置关系可判断A选项；利用线面平行的性质定理可判断B选项；利用线面平行和线面垂直的性质定理可判断C选项；利用线面垂直和面面垂直的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若若，，则、平行、相交或异面，A错； 对于B选项，若，过直线作平面，使得， 由线面平行的性质定理可知，因为，，则，故，B对； 对于C选项，若，，，设， 在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可得， 因为，故，因为，，故，C对； 对于D选项，如下图所示： 因为，，， 设，在平面内作异于直线的直线，使得， 由面面垂直的性质定理得，由C选项可知， 因为，，则，故，D对. 故选：A. 题型05：空间几何体的概念与特征 21．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【答案】D 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 如图四棱柱， 满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误； 对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确． 故选：D. 22.下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】D 【解题思路】作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定义，即可判断D． 【解答过程】          图1                图2 对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 故选：D． 23.下列命题中：①有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；②有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥；③平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；④有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.其中的真命题有___________. 【答案】②③ 【解题思路】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【解答过程】对于①，如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故①错误； 对于②，棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故②正确； 对于③，平行六面体指的是底面是平行四边形的棱柱，因此平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故③正确； 对于④，有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故④错误. 故答案为：②③. 题型06：空间几何体的表面积与体积 24.若斜三棱柱的高为，侧棱与底面所成角为，相邻两侧棱之间距离为5，则该三棱柱的侧面积等于______. 【答案】120 【分析】根据线面角的定义，结合锐角三角函数定义进行求解即可. 【详解】设是斜三棱柱的高，因此侧棱与底面所成角为， 所以有， 因为相邻两侧棱之间距离为5， 所以该三棱柱的侧面积等于， 故答案为：120 25. 圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故， 则. 故答案为：. 26. 如图，，，，，那么直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________. 【答案】 【分析】分析可知几何体为圆台，利用台体体积公式可求得结果. 【详解】直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体为圆台， 且该圆台上底面圆的面积为，下底面面积为，圆台的高为， 因此，该几何体的体积为. 故答案为：. 27.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出正四棱台的高，再利用正四棱台的体积公式计算求解即可. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 则该正四棱台的体积为. 故选：C. 28.如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______． 【答案】 【分析】根据图形可求出与棱锥的体积之比，即可求出结果． 【详解】如图所示： 棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到， 设正四棱锥的体积为，为PB的中点，为PD的中点， 所以，而， 同理， 故棱锥的体积的为， 即棱锥与棱锥的体积之比为 故答案为：. 29.已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比___________． 【答案】## 【分析】根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式得出半径等于圆柱的高，再根据体积公式化简即可. 【详解】设圆柱的底面圆和球的半径为，圆柱的高为， 则由题意得，，则， 则. 故答案为： 30.已知球面上的三点A，B，C满足，，，球心到平面ABC的距离为，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】由题意可知为直角三角形，求出外接圆的半径，可求出球的半径，然后求球的表面积. 【详解】由题意，，，，则，可知， 所以外接圆的半径为， 因为球心到平面的距离为， 所以球的半径为：， 所以球的表面积为：. 故答案为：. 31.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正四面体的外接球半径为，则由可得， 设正四面体的高为，棱长为， 由于正四面体的底面为正三角形，因此底面外接圆的半径， 又外接球球心到底面的距离为， 故由勾股定理可得，， 代入，解得正四面体的高. 题型07：空间中的距离与角度问题 32.如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，连接，，分析可知是与所成的角或其补角，结合题意运算求解即可. 【详解】取的中点，连接，，    可知，，且，， 则是与所成的角或其补角，即是与所成的角或其补角． 因为，在中，． 且，可得，则，所以． 故选：A. 33.如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】若为中点，连接有，异面直线所成角即为，进而求其大小. 【详解】若为中点，连接，又M是的中点，则， 所以与所成角，即为与所成角， 令正方体棱长为2，则，，， 在△中，则. 故选：D 34.在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【解析】为中点，连接，如图所示， 在三棱柱中，平面，则平面， 平面，则， 为正三角形，为中点，则， 平面，，平面， 在平面内的射影为，则与平面所成角为， ，则，，， 中，， 所以与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 35.设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为___________. 【答案】 【分析】由已知条件可证是二面角的平面角，在中，，即可求出的大小. 【详解】 平面，平面，， 又是正方形，， ，平面， 平面，平面，， 是二面角的平面角， 在中，，， 二面角的大小为. 故答案为： 36. 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，为的中点，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明: 如下图所示，连接， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，作出辅助线，由线线平行，说明线面平行即可. （2）根据二面角的平面角的定义，作出二面角的平面角，再根据几何体的性质，设出边长，求出各线段长度，求出结果即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图所示，过点作于点，过点作于点， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，设， 因为，中，，则，所以， 因为，中，，所以， 因为为的中点，所以， ，，则， 故二面角的大小为． 37. 如图，在直三棱柱中，E、F分别为、的中点，，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，可得四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）利用相等可得答案. 【详解】（1）取中点，连接，则，， 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）点是中点，连接， 因为平面，平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，所以， 所以，，， 所以，， 所以为等腰三角形，则，且， 所以， 设点到平面的距离为，由得， 所以，所以，即点到平面的距离为. 38.如图，在正方体中，点、分别是棱、的中点. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直； （2）法一：利用几何法可得二面角，法二：建立空间直角坐标系，利用坐标法求二面角. 【详解】（1）如图所示，连接，，， 由为正方体， 可知，平面，又平面， ， ，分别为，中点， ，， ，且，平面， 平面， 平面， ； （2）设正方体棱长为， 法一： 如图所示，设，连接， 由（1）得平面， ，平面， ，， 二面角的平面角即为， 又， 在中，，， 所以，所以， 所以二面角的余弦值为，即二面角的大小为； 法二： 如图所示，以点为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 即，， 设平面的法向量，则，则， 令，则， 易知平面的一个法向量为， ， 二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为， 即二面角的大小为. 题型08：截面与轨迹问题 39.如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】取的中点，取的中点，连接，证明平面，再根据面面平行的性质可得的轨迹为线段，即可得解. 【解答过程】如图， 取的中点，取的中点，连接，则， 又面，面，所以平面， 又为的中点，所以， 又面，面，所以平面， 又，面，面，所以平面平面， 又因为是侧面上一点，且平面， 所以的轨迹为线段， ， 所以点的轨迹的长度为. 故选：B. 40. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为正方形，的中心，点在正方形内（含边界）运动，若直线与平面无交点，则点所形成的轨迹长度为______． 【答案】## 【分析】延长分别到，使，取正方形的中心，的中点，连接，交平面于，可证得平面，延长交于，则为点P所形成的轨迹，过作于，过作于，利用，可求出，从而可求出的长即可. 【详解】因为直线与平面无交点，所以平面DEF， 所以需要在平面上找一点，设为，使平面平面， 延长分别到， 使， 取正方形的中心，的中点，连接，交平面于， 因为在正方体中，F，O分别为正方形，的中心， 所以，， 所以四边形为平行四边形，可得， 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以∥平面， 延长交于，则为点P所形成的轨迹， 所以点P所形成的轨迹经过点O， 过作于，过作于， 则，所以， 所以，得，所以， 所以. 故答案为： 41.已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且平面，则动点P的轨迹（包含M，N）所围成图形面积为______. 【答案】 【分析】先证明平面平面，根据平面，得出平面，进而确定P的轨迹为正六边形，求解即可. 【详解】如图，分别取，，，，的中点E，F，G，H， 连接，，，，，，， 则，又平面，平面， 所以平面， 同理平面，又，平面， 所以平面平面， 在正方体中，易知平面， 所以平面， 又点P在正方体表面上运动， 故P点的轨迹为正六边形， 因为正方体的棱长为2，即， 所以，， 故正六边形的面积为. 故答案为：. 42.三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知可得三棱锥为正三棱锥，即可得三棱锥的高，设点在底面上的射影为，即可得，进而可得点的轨迹及其长度. 【解答过程】    如图所示， 由，， 可知三棱锥为正三棱锥， 设中点为， 则，，， 设点在底面上的射影为， 则平面，， 又为内部及边界上的动点，， 所以， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内部及边界上的部分， 如图所示，    ， ， 即，， 所以点的轨迹长度为， 故选：B. 题型09：空间中最值与范围问题 43.如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为___________．    【答案】12 【解题思路】根据已知几何体是母线长为6，上下底面半径分别为的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分，将其补为圆锥并将侧面展开，即可求蚂蚁爬行的最短路程. 【解答过程】由题意，几何体是母线长为6，上下底面半径分别为的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分， 所以，可将几何体补为母线长为12，底面半径为2的圆锥，再将其侧面展开如下图示，    所以圆环的一部分，即为圆台的侧面展开图，而， 所以为等边三角形，故蚂蚁爬行的最短路程为线段. 故答案为：12. 44.边长都是为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，，分别是对出线、上的动点，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，过点作，垂足为，结合平面几何知识求，证明，求，结合二面角的平面角的定义求，利用余弦定理求，再求其范围. 【详解】设， 过点作，垂足为，可知，可得， 且，连接GN， 则，即， 可得，且， 由题意可知，两个半平面所成的角为， 在中，由余弦定理可得 ， 即，对于二次函数， 因为，则，所以． 45. 如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】 当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 由正方体可知：， 所以. 故选：A 46.如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意，点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，三角形面积可取最大最小值。 【详解】如图，过C作直线l垂直于平面， 因为与平面所成的角分别为，则点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值， 于是，有，即， 所以，即， 所以的面积为， 所以， 故答案为: . 47.如图，为正方体，动点P在线段上，则∠APC的取值范围为________. 【答案】 【分析】连接，相交于，先证平面，得到，进而得到，，不妨设正方体边长为2，计算得到，则，故． 【详解】连接，相交于， 在正方体中，，平面， ， 又平面， 平面， 平面， ， 又为中点， ，则为的角平分线， ， ， 不妨设正方体边长为2，则， 当点在处时，取得最大值， 当时，取得最小值，设此时最小值为， ，解得， 综上， ， 则． 故答案为：． 48.正方体的棱长为为该正方体侧面内的动点（含边界），若分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积与角度的关系，列出分别与直线所成角的正切值之和的表达式，从而得到点的轨迹为在平面中以点为焦点的椭圆被平面所截曲线，可得点到平面的距离的取值范围，最后利用棱锥的体积公式计算得到答案即可. 【详解】在正方体中，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 整理可得点到点和点的距离之和为， 所以点的轨迹为在平面中以点为焦点的椭圆被平面所截曲线， 则点到平面的距离的最大值为1，此时点在中点的正上方； 最小值为时，点在点或者点的正上方， 所以四棱锥的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用空间向量解决空间角问题，涉及三角函数的计算以及空间点与点之间的距离的转化，其关键是通过计算得出动点P的轨迹方程，即， 结合椭圆的性质得出距离的取值范围，再根据锥体的体积公式即可解决问题. 题型10：空间中平行与垂直的证明 49. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又平面为菱形，所以， 又平面， 所以平面； （2）E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE， 则，又平面，平面， 所以平面. 50.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证： (1)平面； (2)平面平面. 【解析】（1）连接，交于点，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 又为的中点，所以， 因为平面，平面， 故平面； （2）平面，平面， ∴， ∵底面为矩形， . 又，平面， 平面. 又平面， 平面平面. 51.在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【解答】证明：（1），分别是，的中点． 所以，因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． 52.如图，在四棱锥中，，，，是棱上一点.   (1)若，求证：平面； (2)若平面平面，平面平面，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到，从而利用线面平行的判定定理即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理推得，，再利用线面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）连接交于点，连接，如图，    因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 又平面平面， 所以平面. （2）因为平面平面，，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面平面， 所以平面． 题型11：综合压轴题 53. 如图，等腰直角三角形中，，为中点，分别为边上的动点，且，将三角形沿折起，使点折至点的位置，二面角大小为，连接． （1）求证：平面； （2）若点为中点，求异面直线与所成的角的大小； （3）试判断直线与平面所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：由，得，则， 因此，而平面， 所以平面. （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）连接，由二面角的定义可得，再利用异面直线所成角的定义求解. （3）作于点，由线面平行的性质求出点到平面的距离，再利用线面角的意义列式求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由点为中点，，得是的中点，而为中点， 则，是异面直线与所成的角或其补角， 由（1）得是二面角的平面角，，令， 则是正三角形，，由（1）得，于是， 而，在等腰中，，则， 所以异面直线与所成的角的大小为. 【小问3详解】 作于点，由平面，平面，得， 而平面，则平面， 又平面，平面，于是平面， 点到平面距离等于点到平面距离， 设，直线与平面所成的角为， 则， 而，因此，令， 则，当且仅当时取等号， 因此，，又为锐角，则， 所以直线与平面所成的角的大小存在最大值，最大值为. 54.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，M是棱SB的中点. （1）求异面直线AM与SD所成角的余弦值； （2）求点A到平面的距离； （3）设N是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）利用空间点到面的距离公式进行求解即可； （3）利用空间夹角公式，利用换元法、余弦函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 又因为平面，平面， 所以，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 因为， 所以， 因此异面直线AM与SD所成角的余弦值为； 【小问2详解】 设平面的法向量为， ，， 于是有， 所以点A到平面的距离为； 【小问3详解】 设，， 设平面的法向量为，， ， 于是有， 设直线与平面所成角的大小为， ， 令，， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的大小的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺讲义（基础篇） 题型01：平面及其基本性质 1.给出下列命题：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面．其中正确的命题为__________． 2.已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证： (1)E､F､G､H四点共面； (2)EG与HF的交点在直线AC上. 题型02：空间图形的直观图 5. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm． 6.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为（    ） A． B． C． D．8 7. 如图，水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图为△A′O′B′，其中，，，则原平面图形△AOB中，OA的长为（   ） A． B． C． D． 题型03：空间中位置关系的判定（图形） 8.如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为（    ）    A．相交 B．平行 C．异面 D．无法判断   9.在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ） A. B. C. D. 10.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（    ） A．B．C．D． 11. 已知在正方体中，，交于点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 12.已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论： ①直线平面；    ②直线平面； ③直线平面；    ④直线平面CDE. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A． B．  C．   D．   14．如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．直线在平面内 题型04：空间中位置关系的确定（文字） 15. “直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的______条件．（用“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”填空） 16．下列命题正确的是（   ） A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 17．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 18.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（    ） A．若，，，则⊥ B．若，，则 C．若，m ，，则 D．若，，则m与所成的角和n与所成的角相等 19.设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 20. 设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 题型05：空间几何体的概念与特征 21．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 22.下列关于空间几何体的论述，正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 23.下列命题中：①有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；②有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥；③平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；④有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.其中的真命题有___________. 题型06：空间几何体的表面积与体积 24.若斜三棱柱的高为，侧棱与底面所成角为，相邻两侧棱之间距离为5，则该三棱柱的侧面积等于______. 25. 圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 26. 如图，，，，，那么直角梯形绕直线旋转一周形成的几何体的体积为___________. 27.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 28.如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______． 29.已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比___________． 30.已知球面上的三点A，B，C满足，，，球心到平面ABC的距离为，则球的表面积为______． 31.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为（    ） A． B． C． D． 题型07：空间中的距离与角度问题 32.如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 33.如图，在正方体中，M、N分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 34.在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 . 35.设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为___________. 36. 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，为的中点，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小． 37. 如图，在直三棱柱中，E、F分别为、的中点，，. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 38.如图，在正方体中，点、分别是棱、的中点. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 题型08：截面与轨迹问题 39.如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 40. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为正方形，的中心，点在正方形内（含边界）运动，若直线与平面无交点，则点所形成的轨迹长度为______． 41.已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且平面，则动点P的轨迹（包含M，N）所围成图形面积为______. 42.三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 题型09：空间中最值与范围问题 43.如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为___________．    44.边长都是为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为，，分别是对出线、上的动点，且，则的取值范围是______． 45. 如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 46.如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 47.如图，为正方体，动点P在线段上，则∠APC的取值范围为________. 48.正方体的棱长为为该正方体侧面内的动点（含边界），若分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为__________. 题型10：空间中平行与垂直的证明 49.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 50.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证： (1)平面； (2)平面平面. 51.在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 52.如图，在四棱锥中，，，，是棱上一点.   (1)若，求证：平面； (2)若平面平面，平面平面，求证：平面. 题型11：综合压轴题 53. 如图，等腰直角三角形中，，为中点，分别为边上的动点，且，将三角形沿折起，使点折至点的位置，二面角大小为，连接． （1）求证：平面； （2）若点为中点，求异面直线与所成的角的大小； （3）试判断直线与平面所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 54.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，M是棱SB的中点. （1）求异面直线AM与SD所成角的余弦值； （2）求点A到平面的距离； （3）设N是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $