专题12.1随机现象与样本空间 (4大题型+能力提升）讲义- 2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题12.1 随机现象与样本空间 知识点一、随机现象 1.概率是描述一个随机现象中某个事件发生可能性的大小的一种度量，要理解随机性和可能性大小 2.随机现象：具有不确定性的现象，或者说具有随机性，是相对确定的。可简单分为：可随意重复的（随机试验）与不可随意重复的。 3．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母表示； (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 知识点二、样本点与样本空间 定义1：一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现（发生）的结果所组成的集合称为一个样本空间，用表示，其中的元素称为基本事件或者样本点。 定义2：一个事件是指满足所述条件的所有基本事件全体。如果其中某个基本事件发生，就说这个事件发生。因为样本空间是基本事件的全体，所以事件是样本空间的一个子集。 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为基本事件或样本点 用表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用表示样本空间 事件与基本事件的区别 基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，不同的基本事件不可能同时发生．而事件可以由若干个基本事件组成．　　　　 知识点三　三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 题型01：随机现象与随机实验的判断 【名师点拨】随机现象：具有不确定性的现象称为随机现象，或者说具有随机性的现象，其无法预确切预测到结果，但对出现某个结果的可能性大小，还是可以预期的。 随机实验：随机现象可简单分为可随意重复的与不可随意重复的，可以重复的随机现象称为随机试验。其特点：①相同条件下可重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 【例1】下列现象中,随机现象的个数为( ) ①明天是阴天; ②方程有两个不相等的实根; ③在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆; ④一个三角形的大边对小角,小边对大脚. A.1 B.2 C.3 D.4 【例2】已知关于的方程，当时，“该方程有实数解”是随机现象，求的范围． 【跟踪训练】 1.下面现象中是随机现象的是(　　): ①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为2,2,5。 A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 2.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次,其中正面朝上恰有5次是(　　) A.确定性现象 B.随机现象 C.不可能现象 D.无法确定 3．以下现象是随机现象的是 （ ） A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾 B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为 C．走到十字路口，遇到红灯 D．三角形内角和为180° 4.在下列现象中，随机现象是 ．（选填序号） ①汽车排放尾气会污染环境； ②实数a、b都不为0，则； ③任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面； ④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面； ⑤函数（）在定义域内为严格增函数； ⑥三个小球全部放入两个盒子中，其中一个盒子里有三个球． 题型02：确定样本点与样本空间 【名师点拨】1．主要策略有三种：列表法、树状图法、列举法. 2．求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点．对于样本点个数的计算，要保证列举出的试验结果不重不漏．写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结果是否与顺序有关． 【例3】连续掷3枚硬币： （1）写出这一试验的样本空间； （2）求这个试验的基本事件的个数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？ 【例4】写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【例5】甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点总数； (3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的样本点． 【跟踪训练】 1. “抛掷一枚骰子观察点数”的样本空间为 . 2. 同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用表示结果，记A为“所得点数之和小于6”，则事件A包含的基本事件的个数为 ． 3. 做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有 种． 4.从4名男同学、2名女同学中选出3人构成一组.该活动包含了多少个基本事件？ 5.连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是正面朝上还是反面朝上． (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)用集合表示事件M＝“恰有2枚正面朝上”． 5.根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间． (1)任意抽取1张，记录它的花色； (2)任意抽取1张，记录它的点数； (3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数； (4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和． 题型03：事件类型的判断 【例6】“是实数，”这一事件是（ ） A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 【例7】对满足的非空集合、，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件；   ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件；   ④“若，则”是必然事件. 其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪训练】 1.下面四个选项中，是随机现象的是（ ） A．刻舟求剑 B．水中捞月 C．流水不腐 D．守株待兔 2.若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 3.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 4.在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有2件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 5．给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件；③“明天兰州要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的序号是(　　) A．①②③　B．②③④　　C．①②④　　D．①③④ 6.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： ①某人购买福利彩票一注，中奖500万元； ②三角形的内角和为180°； ③没有空气和水，人类可以生存下去； ④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上； ⑤从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； ⑥科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现； 题型04：综合提升 【例8】用X表示10次射击中命中目标的次数，分别说明下列集合所代表的随机事件的含义． (1)A＝{X＝8}； (2)B＝{1≤X≤9}； (3)C＝{X≥1}； (4)D＝{X<1}． 【例9】做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出： (1)这个试验的样本空间Ω； (2)这个试验的结果的个数； (3)指出事件A＝{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)}的含义． （4）写出“出现点数之和大于8”的所有样本点，并指出事件B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}的含义． 【例10】设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数． (2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛． ①用所给编号列出样本空间； ②记M为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，列出事件M包含的样本点． 一、填空题 1．在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则“取出的球是白球”为 　　___________现象（填“随机”或“确定性”）． 2．在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的球是白球”为________事件(填“必然”、“随机”或“不可能”). 3．下列事件中，属于随机现象的序号是 　　． ①明天是阴天； ②方程x2+1＝0有两个不相等的实数根； ③明天吴淞口的最高水位是4.5米； ④三角形中，大角对大边． 4.为了丰富高一学生的课外生活，某校高一年级要组建数学､计算机､辩论三个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，不考虑选报的先后顺序，则该试验的样本点的个数为 . 5.从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω＝　　． 6.袋中装有形状与质地相同的3个球，其中黑色球2个，记为B1、B2，白色球一个，记为W．从袋中任取2个球，请写出该随机试验的一个不等可能的样本空间：Ω1＝　　，请写出该随机试验的一个等可能的样本空间：Ω2＝　　． 7．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点共有________个． 8．从四双不同的袜子中，任取五只，其中至少有两只袜子是一双，这个事件是________(填“必然”、“不可能”或“随机”)事件． 9．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个样本空间为________，满足“它是偶数”的样本点个数为________． 二、选择题 10.下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹 11．先后抛掷2枚质地均匀的一角､五角的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是（ ） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上” 12．下列事件中，随机事件的个数为(　　) ①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的四张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气层下，水在4 ℃时结冰． A．1 B．2 C．3 D．4 13．一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有(　　) A．(男，女)，(男，男)，(女，女) B．(男，女)，(女，男) C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) D．(男，男)，(女，女) 14．有两个事件，事件A：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件B：367人中至少有2人生日相同．下列说法正确的是(　　) A．事件A，B都是随机事件 B．事件A，B都是必然事件 C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件 15.如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是(    ) A．A灯亮，B灯不亮 B．A灯不亮，B灯亮 C．A，B两盏灯均亮 D．A，B两盏灯均不亮 16.已知为实验的样本空间，随机事件，则下列不正确的是（    ） A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且 C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件 17．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点的个数为(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 18.在古典概率模型中，是样本空间，是样本点，是随机事件，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 19．给出下列事件： ①函数在定义域内为增函数； ②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利； ③一所学校共有名学生，有名学生的生日相同； ④若集合、、满足，，则； ⑤在标准大气压下，河流在时结冰； ⑥从、、中任选两数相加，其和为偶数. 其中属于随机事件的是 ，属于必然事件的是 ，属于不可能事件的是 （填序号）. 20.从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生． (1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间； (2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间． 21.有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序. （1）写出这个试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件：“A在两侧”；“B，C两人相邻”. 22．设集合M＝{1，2，3，4}，a∈M，b∈M，(a，b)表示一个样本点． (1)“a＋b＝5”这一事件包括哪几个样本点？“a<3且b>1”呢？ (2)“ab＝4”这一事件包含哪几个样本点？“a＝b”呢？ 23．指出下列试验的样本空间： (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球； (2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差． 24．做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出： (1)试验的样本空间Ω； (2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点； (3)事件“出现点数相等”包含的样本点； (4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点． 25．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合． (1)写出该事件的样本空间； (2)写出事件A、事件B包含的样本点； (3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？ 26.现有编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两名记者的编号分别为，，且”． (1)共有多少个基本事件？并列举出来； (2)列举出抽取的两名记者编号之和小于17，但不小于11的基本事件 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 专题12.1 随机现象与样本空间 知识点一、随机现象 1.概率是描述一个随机现象中某个事件发生可能性的大小的一种度量，要理解随机性和可能性大小 2.随机现象：具有不确定性的现象，或者说具有随机性，是相对确定的。可简单分为：可随意重复的（随机试验）与不可随意重复的。 3．随机试验的概念和特点 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母表示； (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 知识点二、样本点与样本空间 定义1：一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现（发生）的结果所组成的集合称为一个样本空间，用表示，其中的元素称为基本事件或者样本点。 定义2：一个事件是指满足所述条件的所有基本事件全体。如果其中某个基本事件发生，就说这个事件发生。因为样本空间是基本事件的全体，所以事件是样本空间的一个子集。 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为基本事件或样本点 用表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用表示样本空间 事件与基本事件的区别 基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，不同的基本事件不可能同时发生．而事件可以由若干个基本事件组成．　　　　 知识点三　三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 题型01：随机现象与随机实验的判断 【名师点拨】随机现象：具有不确定性的现象称为随机现象，或者说具有随机性的现象，其无法预确切预测到结果，但对出现某个结果的可能性大小，还是可以预期的。 随机实验：随机现象可简单分为可随意重复的与不可随意重复的，可以重复的随机现象称为随机试验。其特点：①相同条件下可重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 【例1】下列现象中,随机现象的个数为( ) ①明天是阴天; ②方程有两个不相等的实根; ③在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆; ④一个三角形的大边对小角,小边对大脚. A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：①③是随机现象,②④是不可能发生的现象,故选B. 【例2】已知关于的方程，当时，“该方程有实数解”是随机现象，求的范围． 【答案】． 【分析】先分类讨论得到有实数解时，的取值范围，结合“该方程有实数解”是随机现象即可得到答案 【详解】解： 当时，原方程变成解得，故满足“该方程有实数解”； 当时，要使有实数解， 则，解得，则且； 故要使有实数解， ， 当时，“该方程有实数解”是随机现象， 则与的交集不是空集，且后者不是前者的子集， 所以的范围． 【跟踪训练】 1.下面现象中是随机现象的是(　　): ①某项体育比赛出现平局;②抛掷一枚硬币,出现反面;③全球变暖会导致海平面上升;④一个三角形的三边长分别为2,2,5。 A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 【答案】A 2.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次,其中正面朝上恰有5次是(　　) A.确定性现象 B.随机现象 C.不可能现象 D.无法确定 【答案】B 3．以下现象是随机现象的是 （ ） A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾 B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为 C．走到十字路口，遇到红灯 D．三角形内角和为180° 【答案】C 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】A. 标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾,是必然事件； B. 长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件； C. 走到十字路口，遇到红灯，是随机事件； D. 三角形内角和为180°，是必然事件. 故选C 【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4.在下列现象中，随机现象是 ．（选填序号） ①汽车排放尾气会污染环境； ②实数a、b都不为0，则； ③任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面； ④将一枚硬币连掷三次，结果出现三次正面； ⑤函数（）在定义域内为严格增函数； ⑥三个小球全部放入两个盒子中，其中一个盒子里有三个球． 【答案】③④⑥ 【分析】根据给定条件，利用随机事件、不可能事件、必然事件的定义逐一判断各个命题作答. 【详解】对于①，汽车排放的尾气一定会污染环境，①是必然事件； 对于②，因实数a、b都不为0，则，，②是不可能事件； 对于③，正方体的4个顶点可能在一个平面内，也可能不在同一平面内，③是随机事件； 对于④，一枚硬币连掷三次，出现的结果有3次反面、2次反面1次正面、1次反面2次正面，3次正面，④是随机事件； 对于⑤，函数（）在定义域内为严格减函数，⑤是不可能事件； 对于⑥，三个小球全部放入两个盒子中，某个盒子中可能有0个球、1个球、2个球、3个球，⑥是随机事件. 所以随机现象是③④⑥. 故答案为：③④⑥ 题型02：确定样本点与样本空间 【名师点拨】1．主要策略有三种：列表法、树状图法、列举法. 2．求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点．对于样本点个数的计算，要保证列举出的试验结果不重不漏．写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结果是否与顺序有关． 【例3】连续掷3枚硬币： （1）写出这一试验的样本空间； （2）求这个试验的基本事件的个数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？ 【答案】（1）答案见解析；（2）8；（3）｛正，反，正｝，｛正，正，反｝，｛反，正，正｝ 【解析】（1）Ω＝｛正，正，正｝，｛正，反，正｝，｛正，正，反｝，｛正，反，反｝， ｛反，正，正｝，｛反，反，正｝，｛反，正，反｝，｛反，反，反｝； （2）基本事件的个数是8； （3）“恰有两枚正面向上”包含以下三个基本事件： ｛正，反，正｝，｛正，正，反｝，｛反，正，正｝． 【例4】写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4，然后可列出样本空间； （2）设正品为，次品为，然后根据题意列出样本空间. 【详解】（1）如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ，． （2）设正品为，次品为，样本空间． 【例5】甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点总数； (3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的样本点． 【答案】(1) (2)6 (3)事件“甲、乙相邻”包含4个样本点：，，，．事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含3个样本点：，， 【分析】先标记，结合题意列出所有可能的样本点，进而即可得到符合题意的样本点. 【详解】（1）从左到右记这三个位置分别为1，2，3，则这个试验的样本空间为 ， 其中第1个数表示甲坐的位置号，第2个数表示乙坐的位置号． （2）由（1）知这个试验的样本点总数是6． （3）由（1）知， 事件“甲、乙相邻”包含4个样本点：，，，． 事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含3个样本点：，，． 【跟踪训练】 1. “抛掷一枚骰子观察点数”的样本空间为 . 【答案】 【分析】根据样本空间的概念即可求出． 【解析】因为抛掷一枚骰子，向上点数有，所以样本空间为． 故答案为：． 2. 同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用表示结果，记A为“所得点数之和小于6”，则事件A包含的基本事件的个数为 ． 【答案】10 【分析】根据事件A的描述直接写出事件A的所有可能组合. 【解析】由题设，事件A包含的基本事件为、、、、、、、、、共10种. 故答案为：10 3. 做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有 种． 【答案】36 【分析】直接采用列举法即可求出结果数. 【解析】将这个试验的所有结果一一列举出： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36种． 故答案为：36. 4.从4名男同学、2名女同学中选出3人构成一组.该活动包含了多少个基本事件？ 【答案】20个 【解析】4名男同学分别记为,2名女同学分别记为, 选出的3人构成的一组记为,表示一个基本事件, 从4名男同学、2名女同学中选出3人的不同结果为: , ,共20个, 所以该活动包含了20个基本事件. 5.连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是正面朝上还是反面朝上． (1)写出这个试验的样本空间Ω； (2)用集合表示事件M＝“恰有2枚正面朝上”． 解：(1)画树状图如图所示． 因此这个试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}． (2)“恰有2枚正面朝上”包含(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个样本点． 故M＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}. 5.根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间． (1)任意抽取1张，记录它的花色； (2)任意抽取1张，记录它的点数； (3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数； (4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和． 【答案】(1){红心，方块，黑桃，梅花} (2) (3)答案见解析 (4) 【分析】（1） 一副扑克牌有四种花色，进而写出样本空间即可； （2）由扑克牌的点数1～6写出样本空间即可； （3）用列表表示所有结果，进而可得样本空间； （4）一次抽取2张，计算两张点数之和，进而可得样本空间. 【详解】（1）一副扑克牌有四种花色， 所以样本空间为{红心，方块，黑桃，梅花}． （2）扑克牌的点数是从1～6， 所以样本空间为. （3）依次抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示． 1 2 3 4 5 6 1 (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) 故样本空间为 . （4）一次抽取2张，则 ， ， ， ， 所以样本空间为． 题型03：事件类型的判断 【例6】“是实数，”这一事件是（ ） A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】A 【解析】由于是实数，故恒成立， 所以是实数，”这一事件是必然事件.故选：A 【例7】对满足的非空集合、，有下列四个命题： ①“若任取，则”是必然事件；   ②“若，则”是不可能事件； ③“若任取，则”是随机事件；   ④“若，则”是必然事件. 其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】①：因为，，所以，因此“若任取，则”是必然事件， 故本命题是真命题； ②：当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此“若，则”是随机事件，故本命题是假命题； ③：任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立， 因此“若任取，则”是随机事件,故本命题是真命题； ④：因为，所以一定有，显然“若，则”是必然事件， 故本命题是真题． 因此①③④为真命题.故选：B 【跟踪训练】 1.下面四个选项中，是随机现象的是（ ） A．刻舟求剑 B．水中捞月 C．流水不腐 D．守株待兔 【答案】D 【解析】A，B为不可能现象，C为必然现象，D为随机现象故选：D 2.若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 【答案】D 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可. 【详解】随机试验的样本空间为， 则事件是随机事件，故A正确； 事件是必然事件，故B正确； 事件是不可能事件，故C正确； 事件是不可能事件，故D错误. 故选：D 3.从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 【答案】B 【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解． 【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件， 故选：B． 4.在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有2件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 【答案】D 【分析】根据必然事件的概念进行判断. 【详解】因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品. 故选：D 5．给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件；③“明天兰州要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的序号是(　　) A．①②③　B．②③④　　C．①②④　　D．①③④ 解析：选C　①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件，①正确；②“当x为某一实数时，可使x2<0”不可能发生，没有哪个实数的平方小于0，是不可能事件，②正确；③“明天兰州要下雨”是随机事件，故③错；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故④正确. 6.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： ①某人购买福利彩票一注，中奖500万元； ②三角形的内角和为180°； ③没有空气和水，人类可以生存下去； ④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上； ⑤从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； ⑥科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现； 解：①购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件； ②所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件； ③空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件； ④同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件； ⑤任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件； ⑥由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件； 题型04：综合提升 【例8】用X表示10次射击中命中目标的次数，分别说明下列集合所代表的随机事件的含义． (1)A＝{X＝8}； (2)B＝{1≤X≤9}； (3)C＝{X≥1}； (4)D＝{X<1}． 解：(1)A＝{X＝8}表示“恰有8次命中目标”． (2)B＝{1≤X≤9}表示“命中目标次数为1到9次”． (3)C＝{X≥1}表示“命中目标次数为1到10次”． (4)D＝{X<1}表示“没有一次命中目标”． 【例9】做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出： (1)这个试验的样本空间Ω； (2)这个试验的结果的个数； (3)指出事件A＝{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)}的含义． （4）写出“出现点数之和大于8”的所有样本点，并指出事件B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}的含义． 【解】　(1)这个试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． (2)这个试验的结果的个数为36. (3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7. （4）事件“出现的点数之和大于8”的所有样本点为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)． 事件B的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数相同． 【例10】设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数． (2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛． ①用所给编号列出样本空间； ②记M为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，列出事件M包含的样本点． 解析：(1)甲、乙、丙三个乒乓球协会共有运动员27＋9＋18＝54(人)，则应从甲协会抽取27×＝3(人)，应从乙协会抽取9×＝1(人)，应从丙协会抽取18×＝2(人)． 故从甲、乙、丙三个乒乓球协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2. (2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}． ②事件M包含的样本点为(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)． 一、填空题 1．在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则“取出的球是白球”为 　　___________现象（填“随机”或“确定性”）． 【分析】利用随机现象的定义直接求解． 【解答】解：在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球， 有可能取出的球是红球，也有可能取出的球是白球， 则“取出的球是白球”为随机现象． 故答案为：随机． 【点评】本题考查随机现象的判断，考查随机现象的定义等基础知识，是基础题． 2．在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的球是白球”为________事件(填“必然”、“随机”或“不可能”). 【解析】可能取出白球，也可能取出来红球，所以取出来的球是白球为随机事件． 答案：随机 3．下列事件中，属于随机现象的序号是 　　． ①明天是阴天； ②方程x2+1＝0有两个不相等的实数根； ③明天吴淞口的最高水位是4.5米； ④三角形中，大角对大边． 【分析】对于①③，根据生活经验判断即可；对于②④，利用数学知识即可判断． 【解答】解：对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象； 对于②，由x2+1＝0得x2＝﹣1，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件； 对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件； 综上：属于随机现象的序号是①③． 故答案为：①③． 【点评】本题考查随机事件的定义，属于基础题． 4.为了丰富高一学生的课外生活，某校高一年级要组建数学､计算机､辩论三个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，不考虑选报的先后顺序，则该试验的样本点的个数为 . 【答案】3 【分析】用列举法一一列举出该试验包含的样本点，从而得出结论． 【解析】解：该试验包含的样本点的情况有：{数学,计算机}、{数学,辩论}、{计算机,辩论}， 共计3个样本点. 故答案为：3． 5.从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间Ω＝　　． 【分析】取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品，由此能求出样本空间． 【解答】解：取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品． 所以样本空间Ω＝{0，1，2，3，4}． 故答案为：{0，1，2，3，4}． 【点评】本题考查样本空间的求法，涉及到等可能事件、列举法等基础知识，意在考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题． 6.袋中装有形状与质地相同的3个球，其中黑色球2个，记为B1、B2，白色球一个，记为W．从袋中任取2个球，请写出该随机试验的一个不等可能的样本空间：Ω1＝　　，请写出该随机试验的一个等可能的样本空间：Ω2＝　　． 【分析】结合基本试验，由等可能及不等可能事件的含义可求． 【解答】解：从袋中任取2个球的所有可能情况有WB1、WB2，B1B2，共3种情况， 其中不等可能事件有WB1，B1B2，或WB2，B1B2， 等可能事件有WB1、WB2， 故答案为：{WB1，B1B2}；{WB1、WB2}． 【点评】本题主要考查了等可能事件的定义的应用，属于基础题． 7．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点共有________个． 【解析】1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，2＋3＝5，3＋4＝7，2＋4＝6. 答案：5 8．从四双不同的袜子中，任取五只，其中至少有两只袜子是一双，这个事件是________(填“必然”、“不可能”或“随机”)事件． 【解析】四双袜子任取5个必有一双袜子被取出来． 答案：必然 9．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个样本空间为________，满足“它是偶数”的样本点个数为________． 答案：Ω＝{1，2，…，10}　5 二、选择题 10.下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹 【答案】A 【分析】判断出四个现象是随机现象还是确定性现象，从而选出正确答案. 【详解】A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象. 故选：A 11．先后抛掷2枚质地均匀的一角､五角的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是（ ） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上” 【答案】A 【详解】 “至少一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”、“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、“一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”3个样本点，故A正确； “只有一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、 “一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”2个样本点，故B错误； “两枚硬币都是正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”1个样本点，故C错误； “两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、 “一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”2个样本点，故D错误. 故选：A. 12．下列事件中，随机事件的个数为(　　) ①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1，2，3，4的四张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气层下，水在4 ℃时结冰． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】选C.①张涛有可能获得冠军为随机事件；②抽到的学生可能是李凯也可能不是，为随机事件；③1号签可能抽到也可能抽不到，为随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时不会结冰，为不可能事件． 13．一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有(　　) A．(男，女)，(男，男)，(女，女) B．(男，女)，(女，男) C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) D．(男，男)，(女，女) 【解析】选C.第一个孩子可能是男孩，也可能是女孩，第二个孩子同样可能是男孩或女孩，所以所有的样本点为 (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女). 14．有两个事件，事件A：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件B：367人中至少有2人生日相同．下列说法正确的是(　　) A．事件A，B都是随机事件 B．事件A，B都是必然事件 C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件 【解析】选C.事件A为随机事件，可能是偶数也可能是奇数．B为必然事件，因为一年最多有366天，367人至少有两个人同一天生日． 15.如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是(    ) A．A灯亮，B灯不亮 B．A灯不亮，B灯亮 C．A，B两盏灯均亮 D．A，B两盏灯均不亮 【答案】C 【详解】由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B两盏灯均亮. 故选：C. 16.已知为实验的样本空间，随机事件，则下列不正确的是（    ） A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且 C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件 【答案】C 【分析】根据必然事件和不可能事件的定义，再结合样本空间为有限和无限的情况，判断选项. 【详解】A.当为必然事件，且，故A正确； B. 为不可能事件，且，故B正确； C. 若，则不一定为必然事件，若样本空间是区间，但质点落在区间的概率也是1，此时不是必然事件，故C错误； D. 若，则不一定为不可能事件，若样本空间是区间，但质点落在处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确. 故选：C 17．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点的个数为(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 【解析】选B.一枚骰子抛两次，样本点一共36个，方程有实数根，需要满足 b2－4c≥0.样本点满足b2－4c≥0的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)， (4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)， (6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共19个． 18.在古典概率模型中，是样本空间，是样本点，是随机事件，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由古典概型的概念即可得到结果. 【详解】由古典概率模型可知，， 故选:A 三、解答题 19．给出下列事件： ①函数在定义域内为增函数； ②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利； ③一所学校共有名学生，有名学生的生日相同； ④若集合、、满足，，则； ⑤在标准大气压下，河流在时结冰； ⑥从、、中任选两数相加，其和为偶数. 其中属于随机事件的是 ，属于必然事件的是 ，属于不可能事件的是 （填序号）. 【答案】 ②③ ④⑥ ①⑤ 【分析】利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断①②③④⑤⑥，可得结论. 【解析】①中函数在定义域为减函数，说法不正确，故为不可能事件； ②中可能张怡宁胜利也可能小学生胜利，故为随机事件； ③中，因为，所以，有可能有名学生的生日相同，也有可能没有名学生的生日相同，故为随机事件； ④中，根据集合的包含关系，④中说法正确，故为必然事件； ⑤中的说法不正确，故为不可能事件； ⑥中任意两奇数和均为偶数，说法正确，故为必然事件. 故答案为：②③；④⑥；①⑤. 20.从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生． (1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间； (2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）由题意结合列举法即可得解. 【详解】（1）有放回简单随机抽样时，样本空间为： ,共16个样本点. （2）不放回简单随机抽样时，样本空间为： ,共12个样本点. 21.有A，B，C，D四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序. （1）写出这个试验的样本空间； （2）用集合表示下列事件：“A在两侧”；“B，C两人相邻”. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【分析】（1）根据树状图写出样本空间；（2）参照（1）中得到的总的样本空间，找出符合事件的样本点，得到相应的样本空间。 【详解】解：（1）该试验的样本点用树状图表示，如图所示：    所以样本空间可表示为 . （2） ； . 【点睛】本题考查样本空间，可用画树状图的方法将样本点逐一写出来。 22．设集合M＝{1，2，3，4}，a∈M，b∈M，(a，b)表示一个样本点． (1)“a＋b＝5”这一事件包括哪几个样本点？“a<3且b>1”呢？ (2)“ab＝4”这一事件包含哪几个样本点？“a＝b”呢？ 【解析】(1)“a＋b＝5”这一事件包括以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1). “a<3且b>1”这一事件包括以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4). (2)“ab＝4”这一事件包括以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1). “a＝b”这一事件包括以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4). 23．指出下列试验的样本空间： (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球； (2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差． 【答案】(1) {红球，白球}，{红球，黑球}，{白球，黑球} (2) 【分析】根据题意利用列举法分析求解. 【解析】（1）由题意可得： {红球，白球}，{红球，黑球}，{白球，黑球}. （2）由题意可知：；； ；； ；； 即试验的样本空间． 24．做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出： (1)试验的样本空间Ω； (2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点； (3)事件“出现点数相等”包含的样本点； (4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6) (4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1) 【分析】列举法写出样本点即可. 【解析】（1）试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． （2）“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点： (3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6). （3）“出现点数相等”包含以下6个样本点： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6). （4）“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点： (1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1). 25．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合． (1)写出该事件的样本空间； (2)写出事件A、事件B包含的样本点； (3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？ 【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)45 【分析】（1）根据样本空间的知识写出样本空间. （2）根据样本空间写出事件A、事件B包含的样本点. （3）通过各车站准备的车票种类求得正确答案. 【解析】（1）＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}． （2）A：S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10； B：S7，S8，S9，S10. （3）铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种， 从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种， 合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)； 26.现有编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号表示事件“抽到的两名记者的编号分别为，，且”． (1)共有多少个基本事件？并列举出来； (2)列举出抽取的两名记者编号之和小于17，但不小于11的基本事件． 【答案】(1)36个，列举见解析 (2)列举见解析 【分析】（1）共有36个基本事件，列举可得； （2）由（1）可知事件“抽取的两名记者编号之和小于17但不小于11”共含有15个基本事件，一一列举即可. 【详解】（1）解：共有36个基本事件，列举如下：，，，，，，， ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，， ，，，，． （2）解：抽取的两名记者编号之和小于17但不小于11的基本事件有15个， 列举如下：，，，，，，，，，，，，，，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $