第13章 统计（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

第十三章 统计复习讲义 教学目标 1．理解总体、样本与抽样的必要性，掌握两种抽样方法； 2．会列频率分布表、画直方图、茎叶图与散点图； 3．会计算平均数、方差、百分位数等数字特征； 4．会用样本估计总体，形成数据分析意识。 教学重难点 1．重点： （1）简单随机抽样与分层抽样； （2）频率分布直方图的绘制与阅读； （3）平均数、方差、百分位数的计算； （4）用样本估计总体的思想方法。 2．难点： （1）直方图纵轴的含义与面积计算； （2）百分位数的求法与依据数据做出合理推断。 知识点01 总体与样本 （1）总体与个体 所考察对象的全体叫做总体，其中每个考察对象叫做个体。 （2）样本与样本容量 从总体中抽取的一部分个体叫做样本，样本中个体的数目叫做样本容量。 （3）数据的获取 全面调查（普查）与抽样调查；抽样调查省时省力，但必须保证样本具有代表性。 知识点02 抽样方法 （1）简单随机抽样 抽签法、随机数表法；适用于总体容量较小的情况，每个个体被抽到的机会相等。 （2）分层抽样 当总体由差异明显的几部分组成时，按各部分所占的比例分配样本量；每层的抽样比相同：。 （3）两种抽样的比较 简单随机抽样操作简单；分层抽样样本的代表性更好，适用于层内差异小、层间差异大的总体。 知识点03 统计图表 （1）频率分布表与直方图 先分组（确定组距）、统计频数、计算频率；直方图的纵轴是"频率/组距"，各小矩形的面积之和为。 （2）茎叶图 茎为高位数字、叶为低位数字；保留原始数据，便于比较两组数据的分布。 （3）散点图 把两个变量的数据作为点的坐标描出，用于观察两个变量之间是否具有相关关系。 知识点04 统计估计 （1）估计总体分布 用样本的频率分布估计总体的分布。 （2）估计数字特征 平均数；方差；标准差为。 （3）百分位数 将数据从小到大排列，第百分位数是这样一个数：至少有的数据不超过它，也至少有的数据不小于它。 （4）用样本估计总体 样本要有代表性，估计才有意义；样本容量越大，估计越稳定。 知识点05 统计活动 （1）基本环节 确定调查方案；确定调查对象；收集数据；整理与分析数据；得出初步结论。 （2）数据分析 从图表中读取信息，用数字特征描述数据，对总体做出合理推断。 （3）常见易错 直方图的纵轴是"频率/组距"而不是频率；方差的单位是原数据单位的平方。 题型01 抽样方法 【典例1】 下列调查中，适合采用抽样调查的是（   ） A．调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级（1）班50名同学的视力情况 B．重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查重庆市中学生的周末作业完成时间 【答案】D 【分析】根据抽样调查的特点，它适用于总体较大、全面调查不经济或不现实的情况，分析选项即可. 【详解】对于A，调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级（1）班50名同学的视力情况：总体较小（仅50人），容易进行全面调查，不适合抽样调查， 对于B，重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检：安检涉及安全风险，必须对每位旅客进行全面检查，不适合抽样调查， 对于C，为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查：飞机零部件检查要求全面性，任何遗漏都可能造成安全事件，不适合抽样调查， 对于D，调查重庆市中学生的周末作业完成时间：调查对象是全市范围中学生，总体较大，适合抽样调查， 因此，适合采用抽样调查的是D， 故选：D. 【变式1】 下列调查方式合适的是（   ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【答案】C 【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查， 而不能将整批节能灯全部用于实验，故A错误； 对于B，要调查某个班级同学的身高，采用全面调查的方式，故B错误； 对于C，调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式，故C正确； 对于D，调查全市高中生每天的睡眠时间，采用抽样调查的方式，故D错误. 故选：C. 【变式2】 现有男志愿者120人，女志愿者80人，按性别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为15的样本，则女志愿者应抽取的人数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由抽样比计算即可得解. 【详解】由题可得分层随机抽样的抽样比为， 所以抽取一个容量为15的样本，则女志愿者应抽取的人数是. 故选：A 【变式3】 一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽一个容量为28的样本，那么男运动员应抽多少人（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】男运动员应抽的人数为. 题型02 频率分布表与直方图 【典例1】 某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长不超过30分钟的快递单数为（    ） A．20000 B．30000 C．40000 D．50000 【答案】C 【详解】由频率分布直方图可知，配送时长不超过30分钟的频率为， 所以，由此可估计这100000单快递中配送时长不超过30分钟的快递单数为. 【变式1】 如图所示是某样本的频率分布直方图，可以据此估计总体的中位数大约为___________． 【答案】13.5 【分析】由中位数的定义，可在频率分布直方图中利用计算特定区间的矩形面积来确定中位数. 【详解】因为样本中属于区间内的数据的频率为， 样本中属于区间内的数据的频率为， 所以样本数据的中位数属于区间， 设中位数为，， 则， 解得：. 【变式2】 从校高一年级学生中抽取若干名学生测量他们的身高，其中最大值为189cm，最小值为152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为151.5，则组数为________. 【答案】8 【详解】已知第一组下限为，组距为，最大值为. 计算最大值与第一组下限的差值为 组数需满足 因为组数必须为正整数，所以应向上取整，即. 【变式3】 某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据_____. 【答案】 【分析】根据题干先确定分数低于60分的频率，涉及的区间包括两个部分，通过观察直方图列方程组，即可求解. 【详解】样本中分数低于60分的有15人，属于区间，，由于学生中随机抽取了100名， 因此分数在，的频数为，因此这两个区间内的频率和为， 设区间的频率为，则，解得. 故答案为：. 题型03 茎叶图与散点图 【典例1】 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数分别是  （     ） A．45，45 B．45，46 C．46，45 D．47，45 【答案】C 【分析】直接根据茎叶图知识求出中位数和众数即可． 【详解】根据题意，有30个数据，所以中位数为排序后第15和16个数的平均值：     ，众数为出现最多的数，为45. 故选：C. 【变式1】 下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的分布特征可直接判断 【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1. 故选：A 【变式2】 下列关于散点图的说法中，正确的是（    ） A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图 B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系 C．从散点图中可以看出两个量的因果关系 D．从散点图中无法看出数据的分布情况 【答案】B 【分析】根据散点图的概念判断即可. 【详解】散点图不适合用于展示百分比占比的数据，另外数据量较少的数据也不适合用散点图表示，故A错误； 散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故B正确，C错误； 散点图中能看出数据的分布情况，故D错误. 故选：B 【变式3】 如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 【答案】166.5 【分析】直接利用百分位数计算公式即可； 【详解】由茎叶图可知共10个数据， ，是整数，第百分位数为第 6 项和第 7 项数据的平均值. 由茎叶图，可知第6项：166；第7项：167. 故第百分位数为. 题型04 数字特征 【典例1】 一组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知共个数据，中位数为第个数据. 【变式1】 已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设有个数据，则原数据总和为，引入数据后，新总和为， 因此新平均数. 原样本方差为，根据方差定义，可得原数据的离均差平方和. 添加数据后，新增偏差平方项，因此新方差. 由于，因此. 【变式2】 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（     ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】D 【详解】已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4， 则，解得. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. 【变式3】 样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】数据从小到大排列：，共个数据， ， 为非整数，向上取整结果为，对应有序数据中的第个数据， 因为第个数据是， 所以这组数据的第百分位数是，对应选项为C. 题型05 用样本估计总体 【典例1】 某社区共有1200名老年居民和800名中青年居民，通过分层随机抽样的方法，得到老年居民、中青年居民每周的锻炼时长的平均数分别为10小时和4小时，则社区这2000名居民每周的锻炼时长平均数估计为（   ） A．7小时 B．7.2小时 C．7.6小时 D．8小时 【答案】C 【详解】社区这2000名居民每周的锻炼时长平均数估计为小时. 【变式1】 某中学三个年级学生共2 000人，且各年级人数比例如扇形图所示．现因举办校庆活动，以按比例分配的分层随机抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则志愿服务小组共有学生 ____________人． 【答案】 【详解】由扇形图可知，高三学生人数占总人数的比例为， 已知高二学生人数占总人数的比例为， 所以高一学生人数占总人数的比例为， 设志愿服务小组共有学生人， 根据分层抽样的原理可知， 解得， 故志愿服务小组共有学生人． 【变式2】 某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格： 由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定共有个数小于等于，再结合百分位数定义求结论. 【详解】因为被抽检的零件中，直径小于或等于的零件共有个， 且， 所以这个零件的直径的第百分位数为． 【变式3】 某学校为了解学生对于数学学习的重视程度，从学校内随机抽取100名学生，统计了他们每天用于数学学习的时间（单位：分钟），将样本数据分为，，，，五组，整理得到如图所示频率分布直方图．则数学学习时间在区间内的频率为______；的值为______． 【答案】 【分析】利用小矩形面积的意义可求得内的频率，利用概率和为1计算可求得. 【详解】数学学习时间在区间内的频率为； 因为，解得. 故答案为：①；②. 题型06 统计图表综合 【典例1】 某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【答案】C 【详解】由条形统计图可知，演讲社团的人数为30，由扇形统计图可知， 演讲社团的人数占选取学生总人数的，所以选取的学生总人数为. 由扇形统计图可知，舞蹈社团和英语协会的人数占比均为， 所以舞蹈社团和英语协会的人数均为； 又由条形统计图可知，合唱社团的人数为70， 所以绘画社团的学生数为. 【变式1】 如图是2024年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m、n均为数字中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是（    ） A．甲选手得分的方差与n的值无关 B．甲选手得分的中位数一定不大于乙选手得分的中位数 C．甲选手得分的众数与m的值无关 D．甲选手得分的平均数一定小于乙选手得分的平均数 【答案】A 【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，根据茎叶图可以分别求出甲选手和乙选手得分的平均数、中位数、众数的值或表达式，再逐项判断可得答案. 【详解】对于A，甲选手去掉一个最高分和一个最低分后，只有， 所以甲选手得分的方差与n的值无关，故A正确； 对于B，甲选手去掉一个最高分和一个最低分， 乙选手去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手得分的中位数是， 乙选手得分的中位数是，故B错误； 对于C，甲选手去掉一个最高分和一个最低分后， 当，甲选手得分的众数是，当，甲选手得分的众数是和，故C错误； 对于D，甲选手去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手得分的平均数是 ，乙选手去掉一个最高分和一个最低分后， 乙选手得分的平均数是，因为其中m为数字中的一个， 所以，故D错误. 故选：A. 【变式2】 某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用频率分布条形图可读出， ，且A部门数据更为集中，即可得出结论. 【详解】根据频率分布条形图可知， ，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即. 【变式3】 如图所示是某校高一年级学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的百分比为________. 【答案】 【详解】某校高一年级学生总数为(人)， 骑自行车人数为90，骑自行车人数占高一年级学生总数的百分比为. 题型07 数据分析与决策 【典例1】 为了解某中学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，每个被调查者接受调查前会被告知自己的编号．调查人员向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷质地均匀的一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（编号从1至800）中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是（     ） A．40人 B．80人 C．160人 D．200人 【答案】B 【详解】由题意可以估计回答问题（1）的学生有人，其中有人回答“是”． 因此回答问题（2）的人中有40人回答“是”．由此可以估计这人中有人闯过红灯． 【变式1】 某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．改革后，其他收入减少 B．改革后，外出打工收入是改革前的 C．改革后，养殖收入增加了一倍 D．改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 【答案】D 【分析】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，作出表格，结合表格依次判断选项即可. 【详解】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，且 选项A：根据表格可知改革后其他收入增加，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：由题图可知，改革后种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大，故D正确． 【变式2】 已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为样本数据，，……，的平均数为2， 所以，，……，的平均数为，因此选项AB均不正确. 因为样本数据，，……，的方差为3， 所以，，……，的方差为，因此选项C不正确，选项D正确. 【变式3】 已知项数不少于2的有穷数列中各数不全相等，它们的方差为，若数列中各数的方差为，则______． 【答案】 【详解】设数列的平均数为，则， 对于数列的平均数为，则， 所以． 1．样本数据2，1，3，9，7，5，6的中位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把原数据2，1，3，9，7，5，6，排序后得到1，2，3，5，6，7，9. 该样本共有7个数据，中位数是排序后位于正中间的第个数据，对应数值为5. 2．某班8名学生一次物理测试的成绩如下：67，73，76，81，85，88，89，92，则这组数据的中位数为（   ） A．81 B．83 C．84 D．85 【答案】B 【分析】根据中位数的概念求解即可. 【详解】由题意可得该组数据的中位数为. 3．样本数据的极差为（    ） A．18 B．14 C．10 D．6 【答案】A 【详解】样本数据中最大值为，最小值为，所以极差为． 4．样本数据16，24，10，30，12，14，40的中位数为（   ） A．24 B．16 C．15 D．20 【答案】B 【分析】先将样本数据从小到大排序，从而可判断得解 【详解】样本数据从小到大排序为10，12，14，16，24， 30， 40；可得中位数为16. 5．某单位有职工750人，其中青年职工250人，中年职工350人，老年职工150人，为了了解该单位职工的心理健康情况，用按比例分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为7人，则样本容量为（   ） A．15 B．25 C．35 D．75 【答案】A 【分析】根据题意，设样本容量为，利用分层抽样的定义和运算方法，列出方程，即可求解. 【详解】由题意知，该单位中中年职工的人数为350人，且样本中中年职工为7人， 设样本容量为，可得，解得. 故选：A． 6．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50.从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05 65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（   ） A．37 B．20 C．05 D．09 【答案】D 【详解】从随机数表第1行的第7列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号， 符合条件的编号有37，14，05，11，09，所以选出来的第5个个体的编号为09. 7．采用简单随机抽样从个体数为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体前两次未被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分步乘法概率公式求得最终结果. 【详解】第一次抽取：总共有个个体，未被抽到的概率为 ； 第二次抽取：已经抽走个非个体，剩余个个体，仍未被抽到的概率为 ； 第三次抽取：已经抽走个非个体，剩余个个体，被抽到的概率为 ； 所以所求概率为 . 8．样本数据1，2，4，5，8的极差为________. 【答案】7 【分析】利用极差的定义最大值减去最小值即可得到极差. 【详解】由极差的定义得到样本数据1，2，4，5，8的极差为 . 故答案为：7 1．下列说法正确的是（   ） A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则 C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D．若的标准差为4，则的标准差是8 【答案】D 【分析】对于A，由百分位数的定义即可判断；对于B，由平均数公式列方程即可判断；对于C，由分层抽样的性质即可判断；对于D，由标准差的性质即可判断. 【详解】对于A，因为5个数据从小到大排列为1，3，5，6，8，且，所以第60百分位数是，则A错误. 对于B，一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，可知，解得，B错误. 对于C，因为在分层抽样中，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，所以C错误. 对于D，因为的标准差为4，所以它的方差为16， 而的方差为，所以它的标准差是8，故D正确. 故选：D. 2．已知一个样本容量为10的样本的平均数为6，方差为2.现将样本中的5个数据去掉，这5个数据的平均数为5，方差为1，则余下的5个数的方差为（    ） A．1.2 B．0.8 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用方差与平均数的意义计算可求得方差. 【详解】因为样本容量为10的样本的平均数为6，所以样本数据的总和为， 又去掉的5个数据的平均数为5，所以剩余的5个数据的总和为， 所以剩余的5个数据的平均数为， 因为原来样本容量为10的样本的方差为2，所以， 所以， 又又去掉的5个数据的方差为1，所以， 解得， 所以余下的5个数的平方和为， 所以余下的5个数的方差为 故选：C. 3．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 4．已知数据：6、46、29、15、4，这5个数据的第20百分位数是（    ） A．26 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【详解】将这组数据从小到大排列为：4、6、15、29、46， 由，故这5个数据的第20百分位数是. 5．某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（   ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 【答案】A 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解。 【详解】，故这组数据的75%分位数为， 故选：A 6．一组数据，，，，频率分布直方图如图所示．若（，，，），则估计数据，，，，的中位数为__________． 【答案】 【详解】由频率分布直方图估计，，，，的中位数为. 若（，，，），则估计数据，，，，的中位数为. 7．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先由频率分布直方图求出的频率，结合茎叶图中得分在的人数即可求得本次考试的总人数； （2）根据茎叶图的数据，利用（1）中的总人数减去外的人数，即可得到内的人数，从而可计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】（1）分数在的频率为， 由茎叶图知：分数在之间的频数为2，全班人数为． （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为． （3）将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共10个， 其中，至少有一个在之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在之间的概率是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 统计复习讲义 教学目标 1．理解总体、样本与抽样的必要性，掌握两种抽样方法； 2．会列频率分布表、画直方图、茎叶图与散点图； 3．会计算平均数、方差、百分位数等数字特征； 4．会用样本估计总体，形成数据分析意识。 教学重难点 1．重点： （1）简单随机抽样与分层抽样； （2）频率分布直方图的绘制与阅读； （3）平均数、方差、百分位数的计算； （4）用样本估计总体的思想方法。 2．难点： （1）直方图纵轴的含义与面积计算； （2）百分位数的求法与依据数据做出合理推断。 知识点01 总体与样本 （1）总体与个体 所考察对象的全体叫做总体，其中每个考察对象叫做个体。 （2）样本与样本容量 从总体中抽取的一部分个体叫做样本，样本中个体的数目叫做样本容量。 （3）数据的获取 全面调查（普查）与抽样调查；抽样调查省时省力，但必须保证样本具有代表性。 知识点02 抽样方法 （1）简单随机抽样 抽签法、随机数表法；适用于总体容量较小的情况，每个个体被抽到的机会相等。 （2）分层抽样 当总体由差异明显的几部分组成时，按各部分所占的比例分配样本量；每层的抽样比相同：。 （3）两种抽样的比较 简单随机抽样操作简单；分层抽样样本的代表性更好，适用于层内差异小、层间差异大的总体。 知识点03 统计图表 （1）频率分布表与直方图 先分组（确定组距）、统计频数、计算频率；直方图的纵轴是"频率/组距"，各小矩形的面积之和为。 （2）茎叶图 茎为高位数字、叶为低位数字；保留原始数据，便于比较两组数据的分布。 （3）散点图 把两个变量的数据作为点的坐标描出，用于观察两个变量之间是否具有相关关系。 知识点04 统计估计 （1）估计总体分布 用样本的频率分布估计总体的分布。 （2）估计数字特征 平均数；方差；标准差为。 （3）百分位数 将数据从小到大排列，第百分位数是这样一个数：至少有的数据不超过它，也至少有的数据不小于它。 （4）用样本估计总体 样本要有代表性，估计才有意义；样本容量越大，估计越稳定。 知识点05 统计活动 （1）基本环节 确定调查方案；确定调查对象；收集数据；整理与分析数据；得出初步结论。 （2）数据分析 从图表中读取信息，用数字特征描述数据，对总体做出合理推断。 （3）常见易错 直方图的纵轴是"频率/组距"而不是频率；方差的单位是原数据单位的平方。 题型01 抽样方法 【典例1】 下列调查中，适合采用抽样调查的是（   ） A．调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级（1）班50名同学的视力情况 B．重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查重庆市中学生的周末作业完成时间 【变式1】 下列调查方式合适的是（   ） A．要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B．要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C．调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D．调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【变式2】 现有男志愿者120人，女志愿者80人，按性别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为15的样本，则女志愿者应抽取的人数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】 一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽一个容量为28的样本，那么男运动员应抽多少人（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 题型02 频率分布表与直方图 【典例1】 某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长不超过30分钟的快递单数为（    ） A．20000 B．30000 C．40000 D．50000 【变式1】 如图所示是某样本的频率分布直方图，可以据此估计总体的中位数大约为___________． 【变式2】 从校高一年级学生中抽取若干名学生测量他们的身高，其中最大值为189cm，最小值为152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为151.5，则组数为________. 【变式3】 某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据_____. 题型03 茎叶图与散点图 【典例1】 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数分别是  （     ） A．45，45 B．45，46 C．46，45 D．47，45 【变式1】 下列图中，线性相关性系数最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 下列关于散点图的说法中，正确的是（    ） A．任意给定统计数据，都可以绘制散点图 B．从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系 C．从散点图中可以看出两个量的因果关系 D．从散点图中无法看出数据的分布情况 【变式3】 如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 题型04 数字特征 【典例1】 一组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】 已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（     ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【变式3】 样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型05 用样本估计总体 【典例1】 某社区共有1200名老年居民和800名中青年居民，通过分层随机抽样的方法，得到老年居民、中青年居民每周的锻炼时长的平均数分别为10小时和4小时，则社区这2000名居民每周的锻炼时长平均数估计为（   ） A．7小时 B．7.2小时 C．7.6小时 D．8小时 【变式1】 某中学三个年级学生共2 000人，且各年级人数比例如扇形图所示．现因举办校庆活动，以按比例分配的分层随机抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则志愿服务小组共有学生 ____________人． 【变式2】 某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格： 由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】 某学校为了解学生对于数学学习的重视程度，从学校内随机抽取100名学生，统计了他们每天用于数学学习的时间（单位：分钟），将样本数据分为，，，，五组，整理得到如图所示频率分布直方图．则数学学习时间在区间内的频率为______；的值为______． 题型06 统计图表综合 【典例1】 某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【变式1】 如图是2024年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m、n均为数字中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是（    ） A．甲选手得分的方差与n的值无关 B．甲选手得分的中位数一定不大于乙选手得分的中位数 C．甲选手得分的众数与m的值无关 D．甲选手得分的平均数一定小于乙选手得分的平均数 【变式2】 某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】 如图所示是某校高一年级学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的百分比为________. 题型07 数据分析与决策 【典例1】 为了解某中学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，每个被调查者接受调查前会被告知自己的编号．调查人员向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷质地均匀的一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（编号从1至800）中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是（     ） A．40人 B．80人 C．160人 D．200人 【变式1】 某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．改革后，其他收入减少 B．改革后，外出打工收入是改革前的 C．改革后，养殖收入增加了一倍 D．改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 【变式2】 已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】 已知项数不少于2的有穷数列中各数不全相等，它们的方差为，若数列中各数的方差为，则______． 1．样本数据2，1，3，9，7，5，6的中位数为（    ） A． B． C． D． 2．某班8名学生一次物理测试的成绩如下：67，73，76，81，85，88，89，92，则这组数据的中位数为（   ） A．81 B．83 C．84 D．85 3．样本数据的极差为（    ） A．18 B．14 C．10 D．6 4．样本数据16，24，10，30，12，14，40的中位数为（   ） A．24 B．16 C．15 D．20 5．某单位有职工750人，其中青年职工250人，中年职工350人，老年职工150人，为了了解该单位职工的心理健康情况，用按比例分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为7人，则样本容量为（   ） A．15 B．25 C．35 D．75 6．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50.从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66  67  40  37  14  64  05  71  11  05 65  09  95  86  68  76  83  20  37  90 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（   ） A．37 B．20 C．05 D．09 7．采用简单随机抽样从个体数为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体前两次未被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（   ） A． B． C． D． 8．样本数据1，2，4，5，8的极差为________. 1．下列说法正确的是（   ） A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则 C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D．若的标准差为4，则的标准差是8 2．已知一个样本容量为10的样本的平均数为6，方差为2.现将样本中的5个数据去掉，这5个数据的平均数为5，方差为1，则余下的5个数的方差为（    ） A．1.2 B．0.8 C．1 D．2 3．为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 4．已知数据：6、46、29、15、4，这5个数据的第20百分位数是（    ） A．26 B．6 C．5 D．4 5．某班级的老师随机抽查了该班8名同学周末在家学习的时长（单位：h），所得数据如下：3，4，4，5，6，6，7，8，则这组数据的75%分位数为（   ） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 6．一组数据，，，，频率分布直方图如图所示．若（，，，），则估计数据，，，，的中位数为__________． 7．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图. (1)求分数在的频率及全班人数； (2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $