第10章 空间直线与平面（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十章空间直线与平面复习讲义 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01平面及其基本性质 知识点02空间两直线的位置关系 2.知识清单 知识点03直线与平面的位置关系 知识点04平面与平面的位置关系 知识点05空间距离与角 题型01平面的基本性质 题型02异面直线与夹角 空间直线与平面 题型03直线与平面平行 3.题型精讲 题型04直线与平面垂直与线面角 题型05平面与平面平行 题型06二面角与面面垂直 题型07综合应用 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解平面的基本性质，掌握三个基本事实与三个推论： 教学目标 2.掌握线面、面面平行与垂直的判定与性质，能进行空间位置关系的证明： 3. 会求异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角； 4.掌握空间距离的转化与等体积法，初步形成空间想象能力。 1.重点： 教学重难点 (1)三个基本事实与三个推论： (2)线面平行、线面垂直的判定与性质： (3)面面平行、面面垂直的判定与性质： ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)异面直线所成角、线面角、二面角的求法。 2.难点： (1)空间想象能力：由图形与文字条件还原空间位置关系； (2)线面、面面位置关系的证明与角的计算中的转化与严谨表述。 知识清单 知识点01平面及其基本性质 (1)平面的概念与表示 平面是空间的基本元素之一，没有大小、厚薄，是无限延展的；通常用平行四边形表示平面，记作平面 a、平面B。 (2)基本事实1（直线在平面内） 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。作用：判定直线是否 在平面内。 (3)基本事实2（两平面相交） 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。作用：判定两个平面相交、确定 交线。 (4)基本事实3（确定平面） 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。作用：这是确定平面的基本依据。 (5)三个推论 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面：经过两条相交直线，有且只有一个平面：经过两 条平行直线，有且只有一个平面。 。B 平行四边形表示平面：A、B在面内则线AB在面内 直线过面内两点A、B,则直线在平面内 不共线三点A、B、C确定一平面 平面的表示 基本事实1 基本事实2 平面没有大小厚薄，无限廷展 直线上两点在面内，则整条直线在面内 两面有一个公共点，则有且只有一条过该点的交线 记作平面a、平面 作用：判定直线在平面内 作用：判定相交、确定交线 基本事实3 三个推论 共面证明思路 过不共线三点，有且只有一个平面 直线+线外一点/两相交直线/两平行直线 先由基本事实确定一个平面 作用：确定平面的依据 各确定一个平面 再证其余点线都在此平面内 知识点02 空间两直线的位置关系 (1)两种位置关系（按是否共面） ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 共面：相交（有唯一公共点）、平行（无公共点，在同一平面内）；异面：不同在任何一个平面内（既不 平行也不相交)。 (2)异面直线所成角 过空间任一点O分别作A‖a、bb,d'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b所成的角，范围 是(0,907 (3)平行公理 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传 递性)。 (4)异面直线的距离 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做它们的公垂线，公垂线段的长度叫做两条异面直线间的距离。 a与b不同在任何一个平面内（异面） 过点0作a1a.b1b.夹角0∈(0,901 位置关系分类 异面直线所成角 平行公理 共面：相交、平行：异面：不在任一平面内 平移相交后取锐角或直角 过线外一点有且只有一条平行线 异而既不平行也不相 范围0∈0.90] 平行于同一直线的两直线平行 等角定理 公垂线 反证法 两边分别平行的两角相等或互补 与两条异面直线都垂直相交的直线 证异面常用反证法 空创中同样成立 公垂线段长=异面直线闻距离 假设共面推出矛雨 知识点03 直线与平面的位置关系 (1)三种位置关系 直线在平面内：有无数个公共点；直线与平面相交：有且只有一个公共点：直线与平面平行：没有公共点。 相交与平行统称直线在平面外。 (2)直线与平面平行的判定与性质 判定：aEa,bca,alb,则a‖a。性质：a‖a,acB,anB=b,则allb (3)直线与平面垂直的判定与性质 判定：m,nca,mnn=P,11m,l上n,则l1a。性质：a1a,b1a,则ab (4)直线与平面所成的角 平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角：范围是[0,90]， 线面 垂直时为0°，线在面内或线面平行时为0°。 (5)三垂线定理 平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直： 3 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 逆定理同样成立。它是证明线线垂直的重要工具。 面内/相交/平行（后两者统称在平而外） m,nCa,m=P,1m,I1则1 斜线与它在面内射影所成的锐角：0E0,90门 线面平行的判定 线面平行的性质 线面垂直的判定 aga,bca,ab则aa ala,aC,anB=b则ab m,nCa,mn=P,m:上n 线线平行，则线面平行 线面平行，则线线平行 则a 线面垂直的性质 线面角 三垂线定理 a⊥a,b⊥a则ab 斜线与其射影的锐角：范国，90 而内直线上射影则而内直线上斜线 垂直于同一面的两直线平行 垂直，面内/平行可 逆定理同样成立 知识点04平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面平行：没有公共点；两个平面相交：有一条公共直线。两平面垂直是相交的特殊情形。 (2)平面与平面平行的判定与性质 判定：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质：两个平面平行，第三 个平面与它们都相交，则两条交线平行；夹在两个平行平面间的平行线段相等。 (3)二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱：在棱上任取一点，在 两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是[0,180]。 (4)平面与平面垂直 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平 面的一条垂线，则这两个平面垂直。性质：a上B,a∩B=l,aca,a⊥l,则a上B。 4 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 aⅡB:没有公共点 a内两相交直线都∥B则aⅡB a1.:np=1.aca,e11则a1 两种位置关系 面面平行的判定 面面平行的性质 平行（无公共点）/相交（一条交线） a内两相交直线都∥单 all.rna=a.ynp=b 垂直是相交的特例 则aBB 则：Ib:夹在平行而向的平行线段相等 二面角 面面垂直的判定 面面垂直的性质 棱+两个半平面：平面角在棱上取点 :个平面过另一个平面的一条垂线 a⊥B,anB=l,ac,al1 两射线均垂直于棱：范围0,180门 则两平面垂直 则a1P 知识点05 空间距离与角 (1)三种角 异面直线所成角： 0,90] 直线与平面所成的角 [0,90] 二面角： [0,180]. 求角的通法是作出 (或找出)平面角，再在三角形中计算。 (2)三种距离 点到直线的距离、点到平面的距离都指垂线段的长；两条平行线间的距离处处相等；两条异面直线的距离 指公垂线段的长。 (3)距离的转化与等体积法 线面距、面面距都可转化为点面距：在直线上（或一个平面内）任取一点，求点到平面的距离；当垂足 难以确定时，可用等体积法求点到平面的距离。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三种角：异面(0,901、线面0,901、二面角0,1801 人一二（停体陆香现在起时同 三种角 三种距离 距离的转化 异面(0,901：线面心，901：二面角,180门 点线距、点而距：垂线段长 线面距、面而距则点面距 通法：作出平面角，三角形中计算 平行线间处处相等：异面距=公垂线段长 在直线上或面内任取一点转化 等体积法 作平面角 规范表述 :半类底我 异面角：平移相交：线面角：找时影 先证后算：先说明角距离的作法依据 垂足雄定时首选 面角：棱上收点作垂线 再在可解三角形中求值 题型01 平面的基本性质 【典例1】下列说法错误的是() A.三点唯一确定一个平面 B.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C.平面不具有边缘，平面无限延展 D.若A、B两点均在平面Q内，则直线AB也在内 【变式1】如果空间四点A,B,C,D不共面，那么下列判断正确的是() A.直线AB与CD平行 B.直线AB与CD相交 C.A,B,C,D四点中可以有三点共线 D.A,B,C,D四点中不存在三点共线 【变式2】在如图所示的正方体或四面体中，P,,M,N分别是棱的中点，这四个点不共面的图有 () 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D M A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【变式3】如图，己知E,F,G,H分别是正方体ABCD-ABCD的棱AB,BC,CC,CD的中点， AB=2.证明：直线EF,HG,DC交于同一点： D H A B D E B 题型02 异面直线与夹角 【典例1)在正方体ABCD-ABCD中，异面直线AC与BB,所成的角的正切值为() A.1 B.2 c.5 D.2 【变式1】正方体ABCD-AB,CD中，直线CD与BB所成角大小为. D B D B 【变式2】在直三棱柱ABC-AB,C中，AB=AC=A4=2,AB L AC,M为BC的中点，则直线 7 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB,与C,M所成角的余弦值为， 【变式3】在正方体ABCD-AB,CD中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B,C所成角的余弦 值为 题型03 直线与平面平行 【典例1】在正方体ABCD-AB,CD中，以下直线与平面BC,D,平行的是() D A D A.直线AC B.直线AB C.直线CD D.直线A4 【变式1】已知m,n为空间中两条不同的直线，a,B为两个不同的平面，若mca,a∩B=n,则 mln是ml/p的 条件 【变式2】如图，已知点P在平行四边形ABCD所在平面外，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为 PF 线段PC上一点，当PAI1平面BEF时，FC D B 【变式3】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，ABIICD,AB=4,CD=2,点M在 棱PD上 8 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)当N为PB的中点时，求证：CN∥平面PAD: PM 2)若PB/平面MAC,求MD的值 题型04直线与平面垂直与线面角 【典例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为4的正方形， PA=4,E,F分别是棱CD,AD的中点，M是侧面PCD内的一个动点，若BD⊥平面MEF,则 动点M的轨迹长度为() D B A.2W2 B.3 C.2 D.23 【变式1】如图，正三棱柱ABC-AB,C的底面边长为1，侧棱长为√2，则直线BC与平面ABB4所 成角的大小是() B A B. 6 4 元-2 D. 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为2，E为AB的中点，PE⊥ 平面ABCD.若CD的中点为F,PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值 () A 2 5 2 0.5 【变式3】如图，四面体ABCD中，AB,BC,BD两两垂直，BC=BD=2,点E是CD的中点，若直 线 2 B与平面ACD所成角的正切值为4，则点B到平面ACD的距离为 A D E 题型05平面与平面平行 【典例1】已知m、n是两条不同的直线，、P是两个不同的平面，则下列命题一定成立的是() A.若aB,nl/a,mp,则m/m B.若aB,n⊥a,m⊥B,则m⊥n c.若a⊥B,m⊥a,n上B,则m⊥n D.若a上B,mllp,则m/a 【变式1】己知平面a、B、Y,若a/B,a∩y=a,B∩y=b,则直线a、b的位置关系是 (填“相交”、“平行”或“异面”) 【变式2】四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E∈PC,F∈PB,PE=3EC, 10 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PF=PB,若AF∥平面BDE,则九的值为 【变式3】如图，在四面体O-ABD中，E,F,H分别为棱OA,OB,OD上异于端点的点，且 OH OE OF OD OA OB B (1)求证：平面EFHI1平面ABD: (2)在线段BD上取点C(不在端点)，连接AC,证明：若点G为线段FH与OC的交点，则AC∥EG. 题型06二面角与面面垂直 【典例1】如图，二面角a-I-B的大小为l20°，A∈I,B∈1，C∈a,D∈B,AC⊥1，BD⊥1， 且AB=BD=AC=2,CD=() B A.25 B.√14 C.4 D.32 【变式1】如图，二面角a-l-B等于135°，A,B是棱I上两点，BD,AC分别在半平面a,B内， AC⊥I,BD⊥I,且AB=AC=2,BD=V2,则CD=() 11 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a D B B A.23 B.√6 c.V14 D.4 【变式2】在长方体ABCD-ABCD中，AB=4,BC=2,A4=1,则二面角B-AC-B的大小 为 【变式3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2,AD=5,点H在线段AD 上，AH=l,且PH⊥平面ABCD,平面PAB∩平面PCD=I. B (1)证明：AB/11: (2)证明：BH⊥PC: (3)若PH=2,求二面角B-PC-H的余弦值. 题型07综合应用 【典例1】在棱长均为2的正三棱锥P-ABC中，点M是AC的中点，点N是侧面PBC上的一个动点， 当MWN∥平面PAB时，动点N的轨迹的长度是() A 1 B. c.3 9. 【变式1】在长方体ABCD-ABCD中，A4=3,AB=3,AD=4,点M是棱AD的中点，点 N在棱A4上，且满足AN=2NA,P是侧面ADD,4内一动点（含边界），若CP∥平面CMN,则 线段CP长度的取值范围为() A.[3,] B.[3,4] c.[3,i3] D.[i,] 【变式2】如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，N为BS的中点，M为SC的中 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点.证明：点M在平面ADW内. 【变式3】如图，在菱形ABCD中，∠BAD=45°，AB=2,将△ABC沿AC翻折至△APC,连接 PB.PD D (1)证明：AC⊥PD: (2)若二面角P-AC-B的大小为135°，求PB的长. 强化训练 基础自测 1.已知，，3是空间中三条不同的直线，若1,4，则() A.4I4 B.111 C.1与3相交 D.1与是异面直线 2.三棱锥ABCD中，E,F,M,N分别是AB,AD,BC,CD的中点，求EF与MN的位置关系() A.平行 B.相交 C.异面 D.都有可能 3.如图，在三棱锥A-BCD中，E,F,G,H分别是边AC,CD,BD,AB的中点，且AD=BC,那么四 边形EFGH是() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 4.连接空间四边形ABCD四条边的中点，得到四边形EFGH,则EFGH是一个() A.菱形 B.矩形 C.平行四边形 D.空间四边形 5.如图，在直四棱柱ABCD-AB,CD中，直线C,D与4B的位置关系是() B D B) D A.异面 B.相交 C.平行 D.以上都有可能 6.已知m,是空间中两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列说法错误的是() A.若m⊥a,n/a,则m⊥n B.若m⊥a,m/n,则n⊥ C.若m/ln,n⊥a,m⊥B,则allB D.若m⊥a,m⊥n,则l∥a 7.如图，已知空间四边形ABCD,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点，且 CG=BC,CH=,DC.则直线H与EG的交点一定在直线上（注：不能填“Pr“BG) 3 3 G A E B 8.如图，一个水平放置的直角梯形OABC由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形OA'B'C',其中 14 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OA=4,B'C'=2,则原梯形中OC长度为 45° A 能力提升 1,己知△ABC,点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，若P到△ABC的三个顶 点的距离相等，则O是△ABC的() A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 2.如图，己知∠APB=90°，S为平面APB外一点，SP=4,点S到∠APB两边PA,PB的距离分 别为SF,SE,且SE=SF=2W5,则点S到平面APB的距离SO为() -0 E A.4 B.2V2 C.2 D.√2 3.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，在阳马 P-ABCD中，若PD⊥平面ABCD,且PD=AD=2CD=2,则二面角P-AB-D的余弦值为() A 5 c② 2 4.如图，△ABC和△ABD所在的平面互相垂直，且AC=BC，,AD=BD.设O为AB的中点，则下 列结论错误的是() 15 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.OC⊥平面ABD B.AB⊥平面COD C.AB⊥CD 0.<c00-4 5.如图，棱长为Q的正方体ABCD-AB'CD'中，E、F分别为AD、AB的中点，点G在上底面 B'CD'(含边界)上运动，若满足BCII平面EFG,则点G的轨迹长度为 D' G B F B 6.如图，在长方体ABCD-AB,CD中，AB=AD=1,A4=2,点P为棱DD的中点： D B A: B (1)证明：BD⊥AC: (2)证明：BD与AC是异面直线： (3)求二面角P-AC-B的大小. 7.如图，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中 点. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AC⊥PB (2)若PO⊥OB,求二面角P-AB-O的大小. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 第十章 空间直线与平面复习讲义 教学目标 1．理解平面的基本性质，掌握三个基本事实与三个推论； 2．掌握线面、面面平行与垂直的判定与性质，能进行空间位置关系的证明； 3．会求异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角； 4．掌握空间距离的转化与等体积法，初步形成空间想象能力。 教学重难点 1．重点： （1）三个基本事实与三个推论； （2）线面平行、线面垂直的判定与性质； （3）面面平行、面面垂直的判定与性质； （4）异面直线所成角、线面角、二面角的求法。 2．难点： （1）空间想象能力：由图形与文字条件还原空间位置关系； （2）线面、面面位置关系的证明与角的计算中的转化与严谨表述。 知识点01 平面及其基本性质 （1）平面的概念与表示 平面是空间的基本元素之一，没有大小、厚薄，是无限延展的；通常用平行四边形表示平面，记作平面α、平面β。 （2）基本事实1（直线在平面内） 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。作用：判定直线是否在平面内。 （3）基本事实2（两平面相交） 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。作用：判定两个平面相交、确定交线。 （4）基本事实3（确定平面） 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。作用：这是确定平面的基本依据。 （5）三个推论 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面。 知识点02 空间两直线的位置关系 （1）两种位置关系（按是否共面） 共面：相交（有唯一公共点）、平行（无公共点，在同一平面内）；异面：不同在任何一个平面内（既不平行也不相交）。 （2）异面直线所成角 过空间任一点分别作、，与所成的锐角（或直角）叫做异面直线、所成的角，范围是。 （3）平行公理 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。 （4）异面直线的距离 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做它们的公垂线，公垂线段的长度叫做两条异面直线间的距离。 知识点03 直线与平面的位置关系 （1）三种位置关系 直线在平面内：有无数个公共点；直线与平面相交：有且只有一个公共点；直线与平面平行：没有公共点。相交与平行统称直线在平面外。 （2）直线与平面平行的判定与性质 判定：，，，则。性质：，，，则。 （3）直线与平面垂直的判定与性质 判定：，，，，则。性质：，，则。 （4）直线与平面所成的角 平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角；范围是，线面垂直时为，线在面内或线面平行时为。 （5）三垂线定理 平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直；逆定理同样成立。它是证明线线垂直的重要工具。 知识点04 平面与平面的位置关系 （1）两种位置关系 两个平面平行：没有公共点；两个平面相交：有一条公共直线。两平面垂直是相交的特殊情形。 （2）平面与平面平行的判定与性质 判定：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质：两个平面平行，第三个平面与它们都相交，则两条交线平行；夹在两个平行平面间的平行线段相等。 （3）二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱；在棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是。 （4）平面与平面垂直 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。性质：，，，，则。 知识点05 空间距离与角 （1）三种角 异面直线所成角：；直线与平面所成的角：；二面角：。求角的通法是作出（或找出）平面角，再在三角形中计算。 （2）三种距离 点到直线的距离、点到平面的距离都指垂线段的长；两条平行线间的距离处处相等；两条异面直线的距离指公垂线段的长。 （3）距离的转化与等体积法 、都可转化为点面距：在直线上（或一个平面内）任取一点，求点到平面的距离；当垂足难以确定时，可用等体积法求点到平面的距离。 题型01 平面的基本性质 【典例1】 下列说法错误的是（    ） A．三点唯一确定一个平面 B．一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C．平面不具有边缘，平面无限延展 D．若A、B两点均在平面内，则直线也在内 【答案】A 【详解】对于A，过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故A错误； 对于B，经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故选项B正确； 对于C，由平面的概念可知，平面不具有边缘，平面无限延展，故选项C正确； 对于D，A、B两点均在平面内，则直线也在内，故选项D正确， 【变式1】 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断正确的是（    ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．A，B，C，D四点中可以有三点共线 D．A，B，C，D四点中不存在三点共线 【答案】D 【详解】若直线与平行或相交，则两条直线确定一个平面，可得四点共面，与题设矛盾，故A、B均错误. 若四点中有三点共线，则这条直线与第四个点确定一个平面，可得四点共面，与题设矛盾，因此四点中不存在三点共线，故C错误，D正确. 【变式2】 在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由中点构成的中位线和几何体的特征先判断是否平行，再判断是否在同一个平面内． 【详解】第一个图，如图：   分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面； 第二个图，如图：   为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作， 因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面； 第三个图，如图：    因和分别是相邻侧面的中位线，所以，， 所以，即四个点共面； 第四个图，如图：    因为平面，所以平面，所以与异面直线， 即四个点不共面． 故选：C 【变式3】 如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】 在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】略 题型02 异面直线与夹角 【典例1】 在正方体中，异面直线与所成的角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，把异面直线所成的角转化为直线与所成的角，在直角中，即可求解. 【详解】在正方体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即， 连接，因为平面，且平面，所以， 设正方体的棱长为，可得， 在直角中，可得， 所以异面直线与所成的角的正切值为. 【变式1】 正方体中，直线与所成角大小为__________．    【答案】 【详解】在正方体中，有， 所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为直线与所成的角为， 故直线与所成的角大小为. 【变式2】 在直三棱柱中，，，M为BC的中点，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】 【分析】由直三棱柱的性质得 . 取 的中点 , 则 , 于是 与 所成角可转化为 与 的夹角, 再在 中用余弦定理求解. 【详解】取 的中点 , 连接 , . 因为 为 的中点, 所以 , 且 . 在直三棱柱中, , 因此直线 与 所成角等于直线 与 的夹角. 由 , , 得 , 所以 . 又 平面 , 故 , 从而 , 即 . 同样, , , 所以 , 即 . 在 中, 由余弦定理得 . 【变式3】 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】连接、，证明出，则异面直线与所成的角即是直线与所成的角，即或其补角，分析可知是等边三角形，利用等腰三角形三线合一的性质求出的大小，即可得解. 【详解】连接、，在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以异面直线与所成的角即是直线与所成的角，即或其补角， 易知，故是等边三角形，则， 因为为的中点，所以平分，故， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型03 直线与平面平行 【典例1】 在正方体中，以下直线与平面平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】对于A，，与平面相交，故与平面相交，A错误. 对于B，，与平面相交，故与平面相交，B错误. 对于C，，平面，平面，则平面，C正确. 对于D，，与平面相交，故与平面相交，D错误. 【变式1】 已知m，n为空间中两条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，则是的________条件 【答案】充要 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理即可判断. 【详解】充分性：，，， 由 可得：； 必要性： 由可得：. 【变式2】 如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，___________． 【答案】 【分析】连接，连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的性质列式求解. 【详解】连接，连接，由，为线段上靠近的三等分点， 得，，由平面，平面平面， 平面，得，所以. 故答案为： 【变式3】 如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，点在棱上. (1)当为的中点时，求证：平面； (2)若平面，求的值. 【答案】(1)取棱的中点，记为点，连接、、， 在中，因为点、分别是、的中点， 所以是的中位线， 由此可得：，且， 已知底面为梯形，，，， 所以，且， 综合上述两点，可得，且， 因此，四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以由线面平行的判定定理可得：平面. (2)2 【分析】（1）取的中点，利用中位线定理和底面梯形的平行关系构造出平行四边形，从而证得线线平行，进而由线面平行的判定定理得证； （2）连接交于点，利用线面平行的性质定理证得，再结合底面梯形相似比求出，最后在中利用平行线分线段成比例定理求得. 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，连接， 因为底面中， 所以，， 因此， 根据相似三角形对应边成比例，可得： ， 即，所以， 即， 因为平面，平面平面，且平面， 所以由线面平行的性质定理可得：， 在中， 因此有：， 即，那么， 所以. 题型04 直线与平面垂直与线面角 【典例1】 如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点 构造平面，通过线面垂直判定证明平面，结合在面内确定轨迹为线段，再由中位线求出 长度得到轨迹长. 【详解】如图，取棱PD的中点G，连接FG，EG． 因为F，G分别是棱AD，PD的中点，所以． 因为平面ABCD，所以平面ABCD． 因为平面ABCD，所以． 由正方形的性质易证． 因为平面EFG，平面EFG，， 所以平面EFG，则平面EFG． 因为M是侧面PCD内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段EG． 因为，所以． 因为E，G分别是棱CD，PD的中点，所以， 即动点M的轨迹长度是． 【变式1】 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则直线与平面所成角的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接，如图所示，    在等边三角形中，由为的中点，则， 又平面，平面，所以， 由，平面，则平面， 所以斜线在平面内的射影为， 所以为直线与平面所成的角， 由正三棱柱的底面边长为，侧棱长为， 所以， 在等边三角形中有：， 在直角中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角的大小是. 【变式2】 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为2，为的中点，平面．若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的正切值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直得到线面角的平面角，从而求出的长.由线线平行得到异面直线的角，然后通过线面垂直得到线线垂直，由正切的定义求得结果. 【详解】由题意可知平面，平面，， 所以与平面所成角是，即， 所以， 因为，所以与所成角是， 平面，平面，平面平面， 又因为平面平面，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以 平面，平面， 所以， 所以在中. 【变式3】 如图，四面体中，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为______． 【答案】 【分析】通过证明平面，进而得出平面平面，过点作，垂足为，则长度即为点到平面的距离，且为直线与平面所成的角，利用三角函数及三角形等面积法求解即可. 【详解】 因为，是的中点，所以. 因为两两垂直， 平面，所以 平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，且平面平面， 过点作，垂足为，则平面， 所以长度即为点到平面的距离，且为在平面上的射影， 故为直线与平面所成的角， 在中，，则. 在中，，，所以， 所以， 由等面积法可知，即，解得. 故点到平面的距离为. 题型05 平面与平面平行 【典例1】 已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（     ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定定理、性质定理逐项判断各命题的真假即可. 【详解】对于A，若，，，则与的位置关系为平行、异面或相交，故A错误； 对于B，若，，由面面平行的性质可得，又，由线面垂直的性质可得，故B错误； 对于C，若，，则或，又： 当时，由线面垂直的性质可得； 当时，由线面垂直的定义可得，故C正确； 对于D，若，，则与的位置关系为、或与相交，故D错误. 【变式1】 已知平面、、，若，，，则直线、的位置关系是______（填“相交”、“平行”或“异面”） 【答案】 平行 【分析】利用面面平行的性质定理判断即可. 【详解】由，可得直线，， 又，则和没有公共点， 又，同在平面内，因此. 【变式2】 四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，若平面，则的值为________． 【答案】 【分析】设，连接，作交于，连接，证明平面平面，由面面平行的性质定理得，然后利用平行线的性质可求得. 【详解】设，连接， 作交于，连接， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又是平行四边形，所以是中点，所以是中点，即， 因为，即，所以，所以，从而， 由得，所以，而，所以. 【变式3】 如图，在四面体中，，，分别为棱，，上异于端点的点，且. (1)求证：平面平面； (2)在线段上取点（不在端点），连接，证明：若点为线段与的交点，则. 【答案】(1)证明：在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面； 同理可证得平面， 又因为，，平面， 所以平面平面． (2)证明：连接，显然与相交，交点为． 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以． 【分析】（1）根据题意证明平面，平面，再结合面面平行的判定定理即可证明； （2）连接，显然与相交，交点为，进而结合面面平行的性质定理得. 【详解】（1）略 （2）略 题型06 二面角与面面垂直 【典例1】 如图，二面角的大小为，，，，，，，且，（     ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】 以为邻边在平面内作平行四边形， 因为，所以， 因为，所以， 因为，二面角的大小为，所以， 又，根据余弦定理得， ， 因为，又，，所以平面，又 所以平面，即， 又，，根据勾股定理得. 【变式1】 如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】如图，分别在平面内构造矩形、，连接， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，又平行且相等，所以四边形为矩形， 因为二面角等于，，，所以， 因为，，所以在中， 因为，则 【变式2】 在长方体中，，，，则二面角的大小为______． 【答案】/ 【分析】先连接，过点作于，连接，再根据线面垂直的判定和性质证明，从而得到二面角的平面角，进而根据三角形的面积公式，勾股定理，及三角函数的定义即可求解． 【详解】连接，过点作于，连接， 在长方体中，有平面， 由平面，则， 又，，且平面，所以平面， 又平面，则， 所以是二面角的平面角． 在中，有，，则， 所以，即， 在中，有，所以， 所以二面角的大小为． 【变式3】 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面，平面平面. (1)证明：； (2)证明：； (3)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为底面是矩形，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为平面平面，平面，所以. (2)证明：因为平面，平面，所以. 矩形中，，，，则. 在中，. 在中，. 所以，所以为直角三角形，且. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理及线面平行的性质定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理、勾股定理及勾股定理逆定理证明即可. （3）过点作，交于点，连接；根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及二面角的定义得到即为二面角的平面角；在中，分别求出，，即可求出余弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点作，交于点，连接. 由（2）知，，因为平面，，所以平面. 又平面，所以，所以即为二面角的平面角. 因为平面，平面，所以. 在中，. 则. 因为平面，平面，所以. 在中，. 所以. 故二面角的余弦值为. 题型07 综合应用 【典例1】 在棱长均为2的正三棱锥中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，当平面时，动点的轨迹的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示取中点分别为和，连接. 是中点，是中点，. 又平面，平面，平面. 同理，是中点，是中点，. 又平面，平面，平面. ，平面，平面平面. 又平面平面，点是侧面上的一个动点， 且平面， 点的轨迹为线段. 正三棱锥的棱长均为2，，分别为，的中点， 是的中位线，故. 即动点的轨迹的长度是1. 【变式1】 在长方体中，，，，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，在上取点，使，连结、、，可得平面平面，则可得线段，由此可知当与的中点重合时，线段长度取最小值，当与点或点重合时，线段长度取最大值或，然后根据题中的数据进行计算即可.． 【详解】解：取中点，在上取点，使， 连结、、，则平面平面， ∵是侧面四边形内一动点（含边界），平面， ∴线段，∴当与的中点重合时，线段长度取最小值， 当与点或点重合时，线段长度取最大值或， ∵在长方体中，，，， 点是棱的中点，点在棱上，且满足， ∴，，． 且长度在最值之间连续不间断， ∴线段长度的取值范围是． 【变式2】 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，为的中点．证明：点在平面内． 【答案】证明：因为底面是平行四边形，所以 又为的中点，为的中点， 所以在中，由三角形中位线性质可得：，所以，因为两条平行线确定一个平面，所以，，，四点共面，即点在平面内. 【分析】先利用平行四边形得到，再利用三角形中位线得到，结合平行线的传递性即可证明. 【详解】略 【变式3】 如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接，． (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求的长． 【答案】(1)取的中点，连接，则 ， 所以 因为平面， 所以平面. 又平面，所以. (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证得平面，从而证得； （2）由二面角的定义，作出二面角的平面角，再根据余弦定理求得的长． 【详解】（1）略 （2）因为， 所以是二面角的平面角，所以. 中，， 所以， 所以. 所以. 中，. 所以. 1．已知是空间中三条不同的直线，若，则（    ） A． B． C．与相交 D．与是异面直线 【答案】A 【详解】选项A：因为，，所以； 选项B：由选项A可知，，所以和不垂直； 选项C：由选项A可知，，所以和不相交； 选项D：由选项A可知，，所以和共面. 2．三棱锥中，分别是的中点，求与的位置关系（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．都有可能 【答案】A 【分析】应用线线平行的传递性证明. 【详解】 ∵是中点， ∴ ∵是中点 ∴ ∴． 3．如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据中位线定理和平行公里，利用平行关系转化，即可判断. 【详解】因为H，G分别是，的中点，所以，且， 同理，且，所以四边形是平行四边形， 同理，且，且，又， 所以，故四边形为菱形. 故选：C. 4．连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【答案】C 【分析】连接，利用是的中位线，是的中位线，得到，且，即可得证. 【详解】 如图所示，在空间四边形中，分别为的中点， 连接， 是的中位线，所以，且. 同理，且. ，且. 四边形是一个平行四边形. 故选：C 5．如图，在直四棱柱中，直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．相交 C．平行 D．以上都有可能 【答案】A 【详解】在直四棱柱中， 因平面，平面，且，平面， 故直线与为异面直线. 6．已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】选项A：如图所示； 设，且，，，又，，A正确. 选项B：如图所示； 设，，且，，，， 又，，，，，且，，B正确. 选项C：设与分别为直线与直线上的单位向量，由，， 可设与分别为平面与平面的法向量， ，，，C正确. 选项D：当直线在平面上，且时，满足，但直线与平面不平行， D错误. 7．如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    【答案】 【分析】先证明直线与直线交于，再证明过点即可. 【详解】由题意与直线不平行，但共面，∴设，则平面，平面. ∵平面平面，，∴直线共点. 故答案为：. 8．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 【答案】 【分析】过点作，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据斜二测画法的规则还原原长即可. 【详解】 过点作，垂足为， 因为，，四边形为等腰梯形， 所以，所以， 所以原梯形中的长度为. 1．已知，点是平面外一点，点是点在平面上的射影，若到的三个顶点的距离相等，则是的（     ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】C 【详解】因为是在平面上的射影，所以平面 . 又 平面， 所以，，. 在，， 中， 由勾股定理得，，. 因为，所以   ，即. 于是点到三个顶点的距离相等， 即为三边垂直平分线的交点，即外心. 2．如图，已知，为平面外一点，，点到两边，的距离分别为，，且，则点到平面的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据三垂线定理，即可结合全等和勾股定理求解. 【详解】由于平面,平面,故, 且，, 因此,故， 又,所以, 平面，故平面， 平面，故, 同理可得, 又，因此四边形为正方形， 所以, 故选：B 3．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，在阳马中，若平面ABCD，且，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平面ABCD，底面为长方形， 所以,,, 所以平面， 所以, 所以就是二面角的平面角， 三角形是直角三角形，, 所以, , 所以二面角的余弦值为. 4．如图，和所在的平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定、性质逐项推理判断. 【详解】对于A，由为的中点，得，又平面平面， 平面平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，由选项A知，同理，而平面，则平面，B正确； 对于C，由平面，平面，得，C正确； 对于D，由平面，平面，得，而不一定相等，则不一定成立，D错误. 5．如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 【答案】/ 【分析】取，，，的中点分别为，，，,连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）上， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点的轨迹长度为. 6．如图，在长方体中，，，点为棱的中点. (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)求二面角的大小. 【答案】(1)在长方体中，，则四边形为正方形， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故. (2)假设、为共面直线， 因为直线，所以直线与点可以确定平面， 若、为共面直线，则平面， 由题意可知平面，矛盾，假设不成立，故与是异面直线. (3) 【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）利用反证法，假设、为共面直线，根据直线与点确定可以确定平面，且平面，推出矛盾，结合反证法的原理可证得结论成立； （3）设，连接，推导出二面角的平面角为，求出，即可得出，即为所求. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，连接，如下图所示： 因为平面，且，、平面， 所以，， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为为棱的中点，所以，且， 因为为的中点，所以， 在中，，所以， 故， 即二面角的大小为. 7．如图，三棱锥中，侧面与底面都是以为斜边的等腰直角三角形，为中点． (1)求证： (2)若，求二面角的大小． 【答案】(1)因为侧面与底面都是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以，， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，故. (2) 【分析】（1）证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）取线段的中点，连接、，不妨设，由二面角的定义可知二面角的平面角为，求出的长，可求出的正切值，即可得解. 【详解】（1）略 （2）取线段的中点，连接、，如下图所示： 不妨设，则， 因为为的中点，所以， 因为，，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为，，由勾股定理可得， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，故. 即二面角的大小为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $