第12章 概率初步（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

第十二章 概率初步复习讲义 教学目标 1．理解随机现象与样本空间，会列举样本点； 2．掌握古典概型的概率公式，会求简单事件的概率； 3．掌握事件的关系与运算、互斥与对立的判断； 4．理解独立性与用频率估计概率的思想。 教学重难点 1．重点： （1）古典概型的概率计算； （2）事件的关系与运算（互斥、对立）； （3）概率的加法公式； （4）事件的独立性与用频率估计概率。 2．难点： （1）样本点的有序与无序、避免重复计数； （2）“至少”型问题转化为对立事件的计算。 知识点01 随机现象与样本空间 （1）随机现象 在一定条件下，可能出现不同结果、且事先无法确定哪种结果出现的现象叫做随机现象。 （2）样本空间 随机试验的一切可能结果组成的集合叫做样本空间，记作；其中的每个结果叫做样本点，记作。 （3）随机事件 样本空间的子集叫做随机事件；必然事件为，不可能事件为空集。 （4）事件的表示 用大写字母、、表示事件；事件发生即试验结果属于集合。 知识点02 古典概型 （1）两个特征 样本空间只含有有限个样本点；每个样本点出现的可能性相等。 （2）概率公式 若事件包含个样本点，样本点总数为，则。 （3）计数方法 列举法（列表、树状图）、分类加法计数、分步乘法计数；注意区分有序与无序。 （4）常见模型 摸球、抽签、掷骰子、选代表等；同一问题中"一次性抽取"与"逐个不放回抽取"常等价。 知识点03 事件的关系与运算 （1）包含与相等 若发生必有发生，则；若且，则。 （2）并事件与交事件 表示、至少有一个发生；（记作）表示、同时发生。 （3）互斥与对立 若为空集，则、互斥（不能同时发生）；若且为空集，则、对立，记作。 （4）概率的加法公式 ；若、互斥，则；。 知识点04 频率与概率 （1）频率 在次重复试验中，事件发生的次数与试验次数的比值叫做事件发生的频率。 （2）频率的随机性 频率随试验次数的变化而波动，不是一个固定的常数。 （3）概率与频率的关系 大量重复试验中频率稳定于某个常数，这个常数叫做事件的概率；频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值。 知识点05 随机事件的独立性 （1）定义 若，则事件、相互独立。 （2）性质 若、相互独立，则与、与、与也都相互独立。 （3）"至少有一次"问题 次独立重复试验中事件至少发生一次的概率为，用对立事件计算最简便。 题型01 样本空间与事件 【典例1】 做投掷一颗骰子的试验，观察骰子出现的点数，则事件“出现奇数点”用集合表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】骰子六个面的数字分别为：，其中奇数有，所以事件“出现奇数点”用集合表示为. 【变式1】 在青岛上合峰会答谢宴会上，各国领导人所用餐具都是精心定做的，在选某种餐具时从16个同类产品（其中有14个正品，2个次品）中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是（   ） A．三个都是正品 B．三个都是次品 C．三个中至少有一个是正品 D．三个中至少有一个是次品 【答案】C 【详解】16个同类产品中，只有2个次品，抽取3个产品，A是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是随机事件. 【变式2】 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用集合的形式分别表示事件，再根据集合之间的包含关系及交集，并集的概念进行运算，即可判断A，B，C，D. 【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D 【变式3】 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次向下的面上的数字分别为，，则的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记两次结果为，则样本空间为 ， 记为事件，则， 所以． 题型02 古典概型 【典例1】 掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是（   ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 【答案】B 【分析】逐个分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立即可求解. 【详解】选项A：和为5的可能组合有、、、，共4种，概率为，非必然事件． 选项B：两骰子最小点数为1，最小和为，因此和必定大于1，概率为1，是必然事件. 选项C：两骰子最大和为，无法超过12，概率为0，为不可能事件. 选项D：和为偶数的概率为，可能发生但不必然. 【变式1】 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，它们之和不超过8的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助列举法计算即可求解概率. 【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数， 有，，，，，， ，，，共10种情况， 其中三个数之和不超过8的有： ，，，，共4种情况， 所以这三个数之和不超过8的概率为. 【变式2】 某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将6盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶，若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设6盒牛奶依次编号为1、2、3、4、5、6，规定1、2为中奖牛奶； 从6盒中随机抽取2盒，所有可能的组合为，，，，，，，，，，，，，，，共有15种抽取方法，其中能中奖的组合为，，，，，，，，，共有9种抽取方法；则能中奖的概率. 【变式3】 从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从，，，，这五个数中任取两个数， 有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、6和8、6和9、7和8、7和9、8和9共10种取法， 取出的两个数互质的可能有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、7和8、7和9、8和9共8种， 故这两个数互质的概率为. 题型03 事件关系与运算 【典例1】 一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（    ） A．至少摸出1个白球 B．至少摸出1个红球 C．摸出2个白球 D．摸出2个白球或摸出2个红球 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项． 【详解】对于A，“至少摸出1个白球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，A错误； 对于B，“至少摸出1个红球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，B错误； 对于C，“摸出2个白球”与“摸出1个白球1个红球”是互斥事件，但还有种“摸出2个红球”的情况， 故两者不是对立事件，C正确； 对于D，“摸出2个白球或摸出2个红球”与“摸出1个白球1个红球”是既互斥又对立的事件，故.D错误. 【变式1】 已知事件满足，则下列说法正确的是（   ） A．A与互为对立事件 B．若，则 C．若A与互斥，则 D．若A与相互独立，则 【答案】B 【分析】根据独立事件、互斥事件、对立事件的概念计算判断即可. 【详解】对A，由，但并未表明事件是否为互斥事件，所以无法判断A与互为对立事件，故错误； 对B，若，则，故正确； 对C，若A与互斥，则，故错误； 对D，若A与相互独立，则，故错误. 故选：B 【变式2】 已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过“至少一个不发生”的概率求出，再用概率加法公式求得，最后利用对立事件算出都不发生的概率. 【详解】， ， ， . 【变式3】 在5件产品中，有3件正品和2件次品，从中任意抽出2件产品，设事件“2件产品都是正品”，事件“至少有1件次品”，事件“至少有1件正品”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．事件与事件是互斥事件 D．事件与事件是对立事件 【答案】D 【详解】设，，分别表示3件正品，用，分别表示2件次品. 则样本空间为， ，， . 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，由古典概型的概率公式，得，故B错误. 对于C，因为，所以事件与不互斥，故C错误； 对于D，因为，，所以与为对立事件，故D正确. 题型04 概率的加法公式 【典例1】 设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 【答案】C 【分析】依据概率的基本性质、对立事件、事件包含关系、互斥事件的定义逐一验证选项，判断是否必然成立。 【详解】对于A：是事件的对立事件，满足且，由概率加法公式可得，故A一定成立； 对于B：若，说明事件的全部样本点都属于事件，所以，故B一定成立； 对于C：若，由概率加法公式得，当且仅当即时，才有，若存在公共样本点，该等式不成立，故C不一定成立； 对于D：若与互斥，根据互斥事件定义得，空集的概率为0，因此，故D一定成立. 【变式1】 已知两个随机事件和，其中，，，则____ 【答案】0.2 【分析】根据和概率事件的计算公式进行计算． 【详解】由概率的基本性质，对于任意两个随机事件，有 将，，，代入公式得． 【变式2】 设，是两个随机事件，且，，则的取值范围是__________ 【答案】 【详解】由于，当时等号成立． 而，故，当为必然事件时等号成立． 因此的取值范围是． 【变式3】 从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张．事件为“抽得红桃K”，事件为“抽得黑桃”，则概率_________（结果用最简分数表示）． 【答案】 【详解】，，且事件与事件互斥， ． 题型05 事件的独立性 【典例1】 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（     ） A．两人均成功破译的概率为 B．恰有一人成功破译的概率为 C．密码被成功破译的概率为 D．密码破译失败的概率为 【答案】C 【分析】A：两人均成功为独立事件同时发生，直接用概率乘法公式计算即可判断；B：恰有一人成功分两种互斥情形，分别计算后相加即可验证结果；C：密码被破译等价于至少一人成功，利用对立事件（两人均失败）简化计算；D：密码破译失败即两人均未成功，用独立事件乘法计算两人同时失败的概率即可. 【详解】设“甲成功破译密码”为事件，“乙成功破译密码”为事件， 由题意可知、为相互独立事件，且，， 因此，. 选项A：两人均成功破译的概率为，故A错误； 选项B：恰有一人成功破译的概率为，故B错误； 选项C：密码被成功破译等价于至少有一人成功破译，其对立事件为两人均未破译， 因此对应概率为，故C正确； 选项D：密码破译失败等价于两人均未破译，对应概率为，故D错误. 【变式1】 甲、乙两人各进行一次射击，若两人击中目标的概率都是0.6，则恰有一人击中目标的概率是（   ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.64 【答案】C 【分析】恰有一人击中目标可分为甲击中且乙未击中、甲未击中且乙击中两种互斥情形，分别用独立事件的乘法公式求概率，再相加. 【详解】甲、乙两人射击的结果相互独立，甲未击中目标的概率为，乙未击中目标的概率为. 甲击中且乙未击中的概率为. 甲未击中且乙击中的概率为. 这两种情形互斥，所以恰有一人击中目标的概率为. 【变式2】 三个臭皮匠破解同一道填空题，三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，，则该填空题被破解的概率为__________． 【答案】 【分析】遇到 “至少一人成功” 的独立概率问题，优先算对立事件（所有人都失败），再用 1 减去该概率，简化计算. 【详解】“该填空题被破解” 的对立事件：三个人全都没破解. 因为三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，， 所以三人都没有破解的概率为, “则该填空题被破解的概率为. 【变式3】 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为__________． 【答案】 【详解】由题意可知，乙只投1次包含两种情况： 甲第1次未中，乙第1次投中，比赛结束. 甲第1次未中，乙第1次未中，甲第2次投中，比赛结束. 所以乙只投了1个球的概率 题型06 频率与概率 【典例1】 ，两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为0.8．若采用三局两胜制举行一次比赛，采用随机模拟的方法估计获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5，6，7表示获胜；8，9表示获胜，这样能体现获胜的概率为0.8．因为采用三局两胜制，所以每3个随机数为一组．例如，产生30组随机数： 034  743  738  636  964  736  614  698  637  162 332  616  804  560  111  410  959  774  246  762 428  114  572  042  533  237  322  707  360  751 据此估计，获胜的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由30组随机数，采用三局两胜制得到获胜的有698，959，共两组，用频率估计获胜的概率近似为. 【变式1】 一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：2个；3个； x个；5个；4个； 2个，并且样本在之间的频率为0.2，则________；根据样本的频率分布估计，数据落在内的概率约为________． 【答案】 4 0.7/ 【详解】由题意，则， 样本中数据落在内的频率为， 所以估计总体中数据落在内的概率约为0.7． 【变式2】 一个不透明的袋子里装有红、白两种小球总计20个，除颜色外其余完全相同，有放回地随机摸取100次球，发现有61次是红球，则估计袋子内红球的个数约为（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【详解】袋子内红球的个数约为（个）. 【变式3】 一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的6个红球，2个黄球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量的重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中约有黑球_____个. 【答案】2 【详解】设黑球个数为，则，得，故袋中约有黑球个 题型07 综合应用 【典例1】 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个绿球，每次从中随机摸出1个球，有放回地连续摸球两次．下列事件中，与事件“至多一次摸到红球”互为对立事件的是（   ） A．至少一次摸到红球 B．两次都摸到红球 C．只有一次摸到红球 D．两次都没有摸到红球 【答案】B 【详解】设两次有放回摸球中摸到红球的次数为随机变量，则的所有可能取值为. 事件“至多一次摸到红球”即，包含“两次均未摸到红球（）”和“仅一次摸到红球（）”两类基本事件. 根据对立事件的定义，的对立事件为，即，对应事件为“两次都摸到红球”. 【变式1】 设集合为平面中点构成的集合，.从中随机取一个点(不包含)，该点与构成的直线与轴平行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设中随机取一个点，且点不与点重合， 若直线与轴平行，则，可知， 设样本空间为，直线与轴平行为事件A， 则，， 所以该点与构成的直线与轴平行的概率为. 【变式2】 某商场顾客购买生活物品时只用现金支付的概率为0.48，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.12，则不用现金支付的概率为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】使用互斥事件概率公式求解. 【详解】设事件A为不用现金支付，则． 【变式3】 甲、乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得1个积分，负者得0个积分，记两人积分之差的绝对值为3时比赛结束且积分多者获胜，赛制规定两人最多进行5局棋类比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时甲获胜的概率为_____. 【答案】 【分析】分甲3：0获胜和甲4：1获胜两种情况讨论，结合独立事件概率求法运算求解. 【详解】①当甲3：0获胜时，获胜的概率为； ②当甲4：1获胜时，则乙只能在前三局获胜一局，有三种可能， 则甲获胜的概率为； 综上所述：比赛结束时甲获胜的概率为. 1．下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【答案】D 【分析】根据确定性事件和随机事件的定义判断. 【详解】选项A，C是不可能事件，它们的概率都是0，正确． 选项B是必然事件，概率是1，正确． 选项D不是必然事件，概率不是1，D错误． 故选：D. 2．在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【详解】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 3．一只不透明的口袋中装有9张卡片，每张卡片上分别标记一个卡片号，依次为1～9这9个数．若“从中任取一张卡片，结果卡片号为2或为4或为8”记为事件，“从中任取一张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得事件为，从中任取一张卡片，结果卡片号为2或为4， 因为不透明的口袋中装有9张卡片， 所以样本空间， 而事件包含的样本点为， 所以. 4．已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球2个白球，从中一次摸出3个球.记“摸出的球中恰有1个红球”，“摸出的球中恰有2个红球”，“摸出的球中至少有1个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】袋子中只有2个红球、2个白球，一次摸出3个球，结果只能是“1红2白”或“2红1白”，所以“恰有1个红球”，“恰有2个红球”，“至少有1个白球”=（必然事件），“都是白球”=（不可能事件）. 与互斥且，二者对立；、，均不互斥；与满足但，故互斥但不对立的是与. 5．从1，2，3这3个数中随机抽取2个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数记为，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】先列举出全部基本事件，再判断满足的事件个数，利用古典概型概率公式求出概率即可. 【详解】从1，2，3中随机抽取2个不同的数，共有3种等可能的情况： ①抽取1，2，则，剩余数为3，此时； ②抽取1，3，则，剩余数为2，此时； ③抽取2，3，则，剩余数为1，此时； 在总共3种等可能的情况中，满足的情况有2种，因此． 6．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异，从袋中随机摸出1个球，观察标号，设事件“标号为奇数”，“标号为偶数”，“标号小于4”，“标号大于4”，则下列说法错误的是（   ） A． B．与互为对立事件 C． D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】古典概型概率公式计算各事件概率，判断AC；根据互斥事件、对立事件概念判断BD. 【详解】选项A：事件（标号为奇数）包含1、3、5共3个基本事件，因此，A正确； 选项B：对立事件要求：两事件互斥，且它们的并集是整个样本空间，是“标号小于4”，是“标号大于4”，标号既不属于也不属于，不是整个样本空间，因此与不是对立事件，B错误； 选项C：事件（标号小于4）包含1、2、3共3个基本事件，因此，C正确； 选项D：（奇数）和（偶数）不可能同时发生，因此是互斥事件，D正确. 7．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________. 【答案】 【详解】根据题意得：两个骰子点数之和为10的样本点为：， 所以事件. 8．在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是________． 【答案】/0.25 【详解】试验的样本空间，两位数能被4整除记为事件A，，有3个样本点. ∴所求事件的概率. 1．已知，，若从集合，中各任取一个数，，则为整数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 若从集合，中各任取一个数，的样本空间 ，共有6个样本点. 则满足为整数的有共4个样本点，则概率为. 2．设集合，，从所有函数中随机选取一个，则满足函数为常函数的概率为____________ ． 【答案】/ 【分析】分析可知函数共有个，且要使为常函数，则，进而可知共有个，结合古典概型运算求解即可. 【详解】由题意可知：函数共有个， 要使为常函数，则，理由如下： 若，则对任意，， 则都等于同一个常数（或），故为常函数； 若为常函数，取和，则， 假设，若，，则，，则， 若，，则，，则， 二者不相等，与为常函数矛盾，所以； 满足条件的函数个数：，有种取法；任意，有种取法，故共有个， 所以满足函数为常函数的概率为. 3．一盒中有大小、形状完全相同的个红球和个白球，从盒中随机摸出个球，则两球都是白球的概率为______. 【答案】 【详解】将个白球分别记为、，个红球分别记为、， 从上述个小球中随机摸取个小球，记事件个小球都是白球， 则样本空间为，， 故，故两球都是白球的概率为. 4．从集合中依次不放回地随机抽取两个不同的数，分别记为和．已知是偶数，则的概率为____________． 【答案】/ 【详解】根据题意序列有，共6种， 其中符合的有，共3种， 则对应概率． 5．如图是一个古典概型的样本空间及事件A和B，其中，，，，则__________． 【答案】 【分析】利用集合的运算性质求出事件包含的样本点数，再根据古典概型概率公式求解. 【详解】由题意可知，，，，， 因为事件表示属于但不属于的样本点构成的集合， 根据集合的运算性质，有，所以， 根据古典概型的概率公式，可得. 6．某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.7，则他连续射击两次都命中的概率是____________． 【答案】 7．甲、乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得1个积分，负者得0个积分，记两人积分之差的绝对值为3时比赛结束且积分多者获胜，赛制规定两人最多进行5局棋类比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时甲获胜的概率为_____. 【答案】 【分析】分甲3：0获胜和甲4：1获胜两种情况讨论，结合独立事件概率求法运算求解. 【详解】①当甲3：0获胜时，获胜的概率为； ②当甲4：1获胜时，则乙只能在前三局获胜一局，有三种可能， 则甲获胜的概率为； 综上所述：比赛结束时甲获胜的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 概率初步复习讲义 教学目标 1．理解随机现象与样本空间，会列举样本点； 2．掌握古典概型的概率公式，会求简单事件的概率； 3．掌握事件的关系与运算、互斥与对立的判断； 4．理解独立性与用频率估计概率的思想。 教学重难点 1．重点： （1）古典概型的概率计算； （2）事件的关系与运算（互斥、对立）； （3）概率的加法公式； （4）事件的独立性与用频率估计概率。 2．难点： （1）样本点的有序与无序、避免重复计数； （2）“至少”型问题转化为对立事件的计算。 知识点01 随机现象与样本空间 （1）随机现象 在一定条件下，可能出现不同结果、且事先无法确定哪种结果出现的现象叫做随机现象。 （2）样本空间 随机试验的一切可能结果组成的集合叫做样本空间，记作；其中的每个结果叫做样本点，记作。 （3）随机事件 样本空间的子集叫做随机事件；必然事件为，不可能事件为空集。 （4）事件的表示 用大写字母、、表示事件；事件发生即试验结果属于集合。 知识点02 古典概型 （1）两个特征 样本空间只含有有限个样本点；每个样本点出现的可能性相等。 （2）概率公式 若事件包含个样本点，样本点总数为. ，则。 （3）计数方法 列举法（列表、树状图）、分类加法计数、分步乘法计数；注意区分有序与无序。 （4）常见模型 摸球、抽签、掷骰子、选代表等；同一问题中"一次性抽取"与"逐个不放回抽取"常等价。 知识点03 事件的关系与运算 （1）包含与相等 若发生必有发生，则；若且，则。 （2）并事件与交事件 表示、至少有一个发生；（记作）表示、同时发生。 （3）互斥与对立 若为，则、互斥（不能同时发生）；若且为空集，则、对立，记作。 （4）概率的加法公式 ；若、互斥，则；。 知识点04 频率与概率 （1）频率 在次重复试验中，事件发生的次数与试验次数的比值叫做事件发生的频率。 （2）频率的随机性 频率随试验次数的变化而波动，不是一个固定的常数。 （3）概率与频率的关系 大量重复试验中频率稳定于某个常数，这个常数叫做事件的概率；频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值。 知识点05 随机事件的独立性 （1）定义 若，则事件、相互独立。 （2）性质 若、相互独立，则与、与、与也都相互独立。 （3）"至少有一次"问题 次独立重复试验中事件至少发生一次的概率为，用对立事件计算最简便。 题型01 样本空间与事件 【典例1】 做投掷一颗骰子的试验，观察骰子出现的点数，则事件“出现奇数点”用集合表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】 在青岛上合峰会答谢宴会上，各国领导人所用餐具都是精心定做的，在选某种餐具时从16个同类产品（其中有14个正品，2个次品）中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是（   ） A．三个都是正品 B．三个都是次品 C．三个中至少有一个是正品 D．三个中至少有一个是次品 【变式2】 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次向下的面上的数字分别为，，则的概率为（     ） A． B． C． D． 题型02 古典概型 【典例1】 掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是（   ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 【变式1】 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，它们之和不超过8的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式2】 某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将6盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶，若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式3】 从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 题型03 事件关系与运算 【典例1】 一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（    ） A．至少摸出1个白球 B．至少摸出1个红球 C．摸出2个白球 D．摸出2个白球或摸出2个红球 【变式1】 已知事件满足，则下列说法正确的是（   ） A．A与互为对立事件 B．若，则 C．若A与互斥，则 D．若A与相互独立，则 【变式2】 已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】 在5件产品中，有3件正品和2件次品，从中任意抽出2件产品，设事件“2件产品都是正品”，事件“至少有1件次品”，事件“至少有1件正品”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．事件与事件是互斥事件 D．事件与事件是对立事件 题型04 概率的加法公式 【典例1】 设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 【变式1】 已知两个随机事件和，其中，，，则____ 【变式2】 设，是两个随机事件，且，，则的取值范围是__________ 【变式3】 从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张．事件为“抽得红桃K”，事件为“抽得黑桃”，则概率_________（结果用最简分数表示）． 题型05 事件的独立性 【典例1】 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（     ） A．两人均成功破译的概率为 B．恰有一人成功破译的概率为 C．密码被成功破译的概率为 D．密码破译失败的概率为 【变式1】 甲、乙两人各进行一次射击，若两人击中目标的概率都是0.6，则恰有一人击中目标的概率是（   ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.64 【变式2】 三个臭皮匠破解同一道填空题，三人能否破解相互独立，他们破解出该填空题的概率分别为，，，则该填空题被破解的概率为__________． 【变式3】 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为__________． 题型06 频率与概率 【典例1】 ，两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为0.8．若采用三局两胜制举行一次比赛，采用随机模拟的方法估计获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5，6，7表示获胜；8，9表示获胜，这样能体现获胜的概率为0.8．因为采用三局两胜制，所以每3个随机数为一组．例如，产生30组随机数： 034  743  738  636  964  736  614  698  637  162 332  616  804  560  111  410  959  774  246  762 428  114  572  042  533  237  322  707  360  751 据此估计，获胜的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式1】 一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：2个；3个； x个；5个；4个； 2个，并且样本在之间的频率为0.2，则________；根据样本的频率分布估计，数据落在内的概率约为________． 【变式2】 一个不透明的袋子里装有红、白两种小球总计20个，除颜色外其余完全相同，有放回地随机摸取100次球，发现有61次是红球，则估计袋子内红球的个数约为（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 【变式3】 一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的6个红球，2个黄球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量的重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中约有黑球_____个. 题型07 综合应用 【典例1】 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个绿球，每次从中随机摸出1个球，有放回地连续摸球两次．下列事件中，与事件“至多一次摸到红球”互为对立事件的是（   ） A．至少一次摸到红球 B．两次都摸到红球 C．只有一次摸到红球 D．两次都没有摸到红球 【变式1】 设集合为平面中点构成的集合，.从中随机取一个点(不包含)，该点与构成的直线与轴平行的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 某商场顾客购买生活物品时只用现金支付的概率为0.48，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.12，则不用现金支付的概率为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式3】 甲、乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得1个积分，负者得0个积分，记两人积分之差的绝对值为3时比赛结束且积分多者获胜，赛制规定两人最多进行5局棋类比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时甲获胜的概率为_____. 1．下列关于事件的概率的说法不正确的是（   ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 2．在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 3．一只不透明的口袋中装有9张卡片，每张卡片上分别标记一个卡片号，依次为1～9这9个数．若“从中任取一张卡片，结果卡片号为2或为4或为8”记为事件，“从中任取一张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，则（   ） A． B． C． D． 4．已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球2个白球，从中一次摸出3个球.记“摸出的球中恰有1个红球”，“摸出的球中恰有2个红球”，“摸出的球中至少有1个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．从1，2，3这3个数中随机抽取2个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数记为，则（    ） A．1 B． C． D．0 6．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异，从袋中随机摸出1个球，观察标号，设事件“标号为奇数”，“标号为偶数”，“标号小于4”，“标号大于4”，则下列说法错误的是（   ） A． B．与互为对立事件 C． D．与为互斥事件 7．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号，2号），记随机事件“两个骰子点数之和为10”，样本点用的形式表示，事件__________. 8．在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是________． 1．已知，，若从集合，中各任取一个数，，则为整数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，从所有函数中随机选取一个，则满足函数为常函数的概率为____________ ． 3．一盒中有大小、形状完全相同的个红球和个白球，从盒中随机摸出个球，则两球都是白球的概率为______. 4．从集合中依次不放回地随机抽取两个不同的数，分别记为和．已知是偶数，则的概率为____________． 5．如图是一个古典概型的样本空间及事件A和B，其中，，，，则__________． 6．某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.7，则他连续射击两次都命中的概率是____________． 7．甲、乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得1个积分，负者得0个积分，记两人积分之差的绝对值为3时比赛结束且积分多者获胜，赛制规定两人最多进行5局棋类比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时甲获胜的概率为_____. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $