13.4-13.5 统计图表与统计估计（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

13.4-13.5 统计图表与统计估计 教学目标 1.知识与技能 会绘制频数分布表频率分布直方图茎叶图散点图 能利用样本估计总体分布总体均值方差百分位数 掌握各类统计图表的信息读取方法 2.过程与方法 经历数据整理图表绘制数据分析的完整过程 提升数据处理与数据分析能力 体会用样本估计总体的统计思想 教学重难点 重点 频数分布直方图的绘制与解读 样本数字特征百分位数的计算 茎叶图散点图的识别与信息提取 难点 频率分布直方图中均值百分位数的估算 区分不同统计图表的适用场景 理解样本估计总体的统计思想 知识点01 频率分布表与频率分布直方图 1.频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图． 第一步，求极差 极差为一组数据中__最大值与最小值__的差． 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取_左闭右开___区间，最后一组数据取闭区间． 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是，作出频率分布表， 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)表示__． 2.频率分布折线图 取各相邻小矩形上底边的____中点____，用线段顺次连接各点，就得到频率分布折线图． 知识点02 散点图 绘制散点图：根据一般经验，很多数据之间具有一定的相关性，例如身高与体重、收入与支出等，我们可以通过绘制散点图，来展示这种相关性． 选择身高作为横坐标，体重作为___ 纵坐标_____，在直角坐标系中绘制出相应的____点____，就得到了身高和体重的散点图． 知识点03 估计总体的数字特征 1.（1）总体均值：一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，，…，，则__ __________________________，为总体均值，又称总体平均数． （2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的个变量值中．不同的值共有个（）个，不妨记为，，…，，其中出现的频数为，则总体均值还可以写成加权平均数的形式______________． （3）样本均值：如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，…，，则称____ _______________ _________为样本均值，又称样本平均数． 2．（众数：观测数据中出现____次数最多____的数是众数，用表示． 3．中位数：将一组观测数据按___从小到大_____的顺序排列后，我们称处于__中间位置_____的数是中位数，用表示，具体而言，当数据的个数是___奇数_____时，处于___中间_____位置的数就是中位数；当数据的个数是___偶数_____时，则中间两个数的平均数即为中位数． 4．极差：将一组数据中的最大值与最小值统称为__极值______，将____最大值与最小值____之差称为极差，也称全距，用R表示． 5．样本方差（方差）：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据，，…，，用表示这n个数据的均值，则称____ ____＝________为这n个数据的样本方差，也简称为方差． 6．标准差：标准差是方差的__算术平方根 ______．总体方差为，总体标准差σ＝________，样本方差为，样本标准差s＝________． 7．分层抽样中的全部样本方差 如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为，，样本均值分别为，，样本方差分别为，，则全部样本方差为________． 知识点04 百分位数 一组数的分位数 一组数的分位数是这样一个值，它使得这组数据中___至少有_____的数据小于或等于这个值，且至少有________的数据大于或等于这个值． 计算一组个数据的分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算的值． 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则分位数为第项数据；若是整数，则分位数为第项与第项数据的平均数．特别的，中位数就是_____分位数___________．常用的分位数还有分位数，分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，称为四分位数． 题型01 补全频率分布直方图 【典例1】为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，则________，________.    【变式1】某校抽取了100名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来（如图所示），则可以得出分数在区间的人数为________． 【变式2】某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图如图，则________． 【变式3】（24-25高二下·上海虹口·期末）某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为_____．    题型02 由频率分布直方图计算频数，频率，样本容量 【典例1】某学校为了解学生对于数学学习的重视程度，从学校内随机抽取100名学生，统计了他们每天用于数学学习的时间（单位：分钟），将样本数据分为，，，，五组，整理得到如图所示频率分布直方图．则数学学习时间在区间内的频率为______；的值为______． 【变式1】从某网络平台推荐的影视作品中抽取200部，统计其评分数据，将所得200个评分数据分为6组：，，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图： 则评分在区间内的影视作品数量是__________部. 【变式2】如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（    ） A．4 B．16 C．12 D．18 【变式3】某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 题型03 频率分布直方图的实际应用 【典例1】（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 【变式1】为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 【变式2】供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（     ） A．在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B．在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C．在这位居民中，月份人均用电量为度 D．从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 【变式3】平均数､中位数和众数都描述了数据的集中趋势，下列说法错误的是（    ） A．如果频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多 B．与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息 C．对分类型数据，比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数 D．如果频率分布直方图在“右边”拖尾，那么平均数小于中位数 题型04 观察茎叶图比较数据特征 【典例1】某校高一年级的某次月考后，随机统计了甲、乙两个班各10名学生的物理成绩（满分100分），得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是（   ）    A．甲班10名学生物理成绩的中位数是86 B．乙班10名学生物理成绩的众数是77 C．甲班10名学生物理成绩的方差比乙班10名学生物理成绩的方差小 D．乙班10名学生物理成绩的极差是24 【变式1】某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两家商店营业额的极差相同 B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同 C．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高 D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差 【变式2】（2024·上海杨浦·一模）在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（    ） A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 【变式3】黄瓜是日常生活中非常受欢迎的一种蔬菜．某地引进结果多且市场销售快的甲、乙两种黄瓜品种，为了进一步了解两个品种，农业科技人员各随机选择5棵，将其结果数进行统计，如图．由图可知，以下结论正确的是（    ） A．甲品种的平均结果数高于乙品种的平均结果数 B．甲品种结果数的中位数大于乙品种结果数的中位数 C．甲品种结果数的方差小于乙品种结果数的方差 D．甲品种结果数不少于30的概率是0.4，乙品种结果数不少于30的概率是0.6 题型05 由散点图判断是否线性相关 【典例1】在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者数据，以及根据这些数据绘制出的散点图 日期 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 人数 100 109 115 118 121 134 141 152 168 175 186 203 下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系.其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【变式2】在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式3】下列图中，能反映出相应两个变量之间具有线性相关关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型06 平均数，众数，中位数的计算 【典例1】数据，，，，，，的中位数和众数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】某工厂抽检了个零件，并统计了零件的直径（单位：）的数据，得到如下表格： 直径 频数 由表可知这个零件的直径的中位数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】某班10名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：72，85，78，90，68，85，95，78，85，74，则这组数据的众数与中位数分别为（ ） A．85，81.5 B．85，85 C．78，81.5 D．85，79 【变式3】某高中为了解学生视力情况，按分层随机抽样方法分别从高一、高二、高三年级按照的比例随机抽取部分学生进行调查，结果显示高一年级学生平均视力为，高二年级学生平均视力为，高三年级学生平均视力为，则可估计该校全体学生的平均视力为_________ 题型07 方差标准差与极差的计算 【典例1】样本数据，，，，的极差为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知一组数据为：3，4，6，7，9，12，则下列说法正确的是（    ） A．中位数为6，极差为8 B．中位数为6，极差为9 C．中位数为6.5，极差为8 D．中位数为6.5，极差为9 【变式2】下列样本数据中，方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，3，5，7，7 D．2，2，5，8，8 【变式3】小明和小华参加有奖答题活动，每局共10个选择题，现将每局他们答对题目数整理成如下表所示的两组数据．那么下列说法中正确的是（　　） 小明 5 6 6 6 7 小华 7 7 6 7 8 A．小明的平均数大于小华的平均数 B．两人的中位数相同 C．两人的众数相同 D．小明的方差与小华的方差相同 题型08 数据变化后的平均数，方差计算 【典例1】有一组样本数据，，，…，的平均数为，极差为，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中 ，则新样本数据的平均数和极差分别为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（多选）科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据，，，，，已知该组数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为．对原始数据进行线性变换，得到一组新数据，，，，．若新数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知一组互不相同的样本数据，，，…，的平均数、中位数和方差分别为，，，其中和分别是这10个数中的最小值和最大值，设，数据，，，…，的平均数、中位数和方差分别为，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知样本数据、、、、的方差，则样本数据、、、、的平均数为_________． 题型09 新加入或剔除数据对平均数，众数，中位数方差的影响 【典例1】（多选）设互不相等的一组数据的平均数为，方差为，现从中去掉一个数据后的平均数为，方差为，下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】已知样本数据，，，的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（     ） A．17.8 B．18.8 C．19.8 D．20.8 【变式2】已知一组样本数据共有个数，其平均数为，方差为．将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为，则新的样本数据的方差最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知某5个数的平均数为3，方差为4，若再添加一个数3，则这6个数的方差为（   ） A．3 B． C．2 D． 题型10 两组数据合并后的平均数与方差的计算 【典例1】在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为________；身高方差为________． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则． 【变式1】某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的平均数为________分，方差为________． 【变式2】某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1，乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5，则这20个人的视力的方差为______. 【变式3】某学校将数学成绩在130分及以上的称为“优秀水平”，其余成绩称为“一般水平”．现在统计某个班级高一期末考试的数学成绩，其中“优秀水平”有10人，“一般水平”有40人．“优秀水平”成绩的平均分为135，方差为，“一般水平”成绩的平均分为120分，方差为10．已知该班成绩的方差为50，则______________． 题型11 百分位数的计算 【典例1】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 【变式1】（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知一组数据为，则这组数据的第70百分位数是______． 【变式2】（25-26高三上·上海闵行·期末）某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（25-26高二下·上海·期末）某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数为87，则____________． 1．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）从校高一年级学生中抽取若干名学生测量他们的身高，其中最大值为189cm，最小值为152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为151.5，则组数为________. 2．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． (1)求分数在的频率及班级参加测试的人数； (2)求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 3．（26-27高三上·上海·开学考试）某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示， 则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为_____. 2        8 3   2   3   6   6   8 4   0   5 5   2  4   8 4．（25-26高二下·上海闵行·期中）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 5．（25-26高二上·上海黄浦·期末）以下是“我国2019-2024年居民人均服务性消费支出（单位：元）统计图”.关于2020-2024年的数据，下列说法错误的是（   ）. A．2021年是这五年中居民人均服务性消费支出增长率最高的年份 B．2020年和2022年居民人均服务性消费支出增长率为负，其余年份为正 C．2024年居民人均服务性消费支出的增长率高于2023年 D．居民人均服务性消费支出增长率有增有减 6．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； 7．（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： (1)估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； (2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 8．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组：，，…，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取40%的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？并且估计本次竞赛的平均分； (2)已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差． 9．（24-25高二上·上海·期末）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 乙 分别求出甲、乙预赛成绩的平均数和方差，并从统计学的角度选派一人参加决赛． 10．（2026·上海·三模）小明连续记录了7天自己每天花在课外阅读上的时间（单位：min），分别为70，42，54，90，55，47，58，则这组数据的第60百分位数是__________． 11．（25-26高二下·上海·阶段检测）陶老师为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示. (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第30百分位数； (2)陶老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享.设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”.试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)陶老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这位学生的数据平均数为23小时.当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，求这位学生每周平均手机使用时长的方差（精确到0.1）. 12．（2026·上海徐汇·二模）已知实数满足，则的方差的最大值为__________. 13．（25-26高二上·上海松江·期中）某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位： ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024·上海·三模）对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为______． 15．（23-24高二上·上海宝山·阶段检测）为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分.先按照考生原始分从高到低按比例划定A+、A、B+、B、B-、C+、C、C-、D+、D、E共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A+和E级排名各占比5%，其余各级排名各占比10%.现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中的值； (2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； (3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差（结果精确到0.1）． 16．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的番号是____ ①甲球员连续5场得分都不低于24分   ②乙球员连续5场得分都不低于24分 ③丙球员连续5场得分都不低于24分   ④丙球员连续5场得分的第60百分位数大于24 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.4-13.5 统计图表与统计估计 教学目标 1.知识与技能 会绘制频数分布表频率分布直方图茎叶图散点图 能利用样本估计总体分布总体均值方差百分位数 掌握各类统计图表的信息读取方法 2.过程与方法 经历数据整理图表绘制数据分析的完整过程 提升数据处理与数据分析能力 体会用样本估计总体的统计思想 教学重难点 重点 频数分布直方图的绘制与解读 样本数字特征百分位数的计算 茎叶图散点图的识别与信息提取 难点 频率分布直方图中均值百分位数的估算 区分不同统计图表的适用场景 理解样本估计总体的统计思想 知识点01 频率分布表与频率分布直方图 1.频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图． 第一步，求极差 极差为一组数据中__最大值与最小值__的差． 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取_左闭右开___区间，最后一组数据取闭区间． 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是，作出频率分布表， 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)表示__． 2.频率分布折线图 取各相邻小矩形上底边的____中点____，用线段顺次连接各点，就得到频率分布折线图． 知识点02 散点图 绘制散点图：根据一般经验，很多数据之间具有一定的相关性，例如身高与体重、收入与支出等，我们可以通过绘制散点图，来展示这种相关性． 选择身高作为横坐标，体重作为___ 纵坐标_____，在直角坐标系中绘制出相应的____点____，就得到了身高和体重的散点图． 知识点03 估计总体的数字特征 1.（1）总体均值：一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，，…，，则__ __________________________，为总体均值，又称总体平均数． （2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的个变量值中．不同的值共有个（）个，不妨记为，，…，，其中出现的频数为，则总体均值还可以写成加权平均数的形式______________． （3）样本均值：如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，…，，则称____ _______________ _________为样本均值，又称样本平均数． 2．（众数：观测数据中出现____次数最多____的数是众数，用表示． 3．中位数：将一组观测数据按___从小到大_____的顺序排列后，我们称处于__中间位置_____的数是中位数，用表示，具体而言，当数据的个数是___奇数_____时，处于___中间_____位置的数就是中位数；当数据的个数是___偶数_____时，则中间两个数的平均数即为中位数． 4．极差：将一组数据中的最大值与最小值统称为__极值______，将____最大值与最小值____之差称为极差，也称全距，用R表示． 5．样本方差（方差）：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据，，…，，用表示这n个数据的均值，则称____ ____＝________为这n个数据的样本方差，也简称为方差． 6．标准差：标准差是方差的__算术平方根 ______．总体方差为，总体标准差σ＝________，样本方差为，样本标准差s＝________． 7．分层抽样中的全部样本方差 如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为，，样本均值分别为，，样本方差分别为，，则全部样本方差为________． 知识点04 百分位数 一组数的分位数 一组数的分位数是这样一个值，它使得这组数据中___至少有_____的数据小于或等于这个值，且至少有________的数据大于或等于这个值． 计算一组个数据的分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算的值． 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则分位数为第项数据；若是整数，则分位数为第项与第项数据的平均数．特别的，中位数就是_____分位数___________．常用的分位数还有分位数，分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，称为四分位数． 题型01 补全频率分布直方图 【典例1】为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取200名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出以下频率分布直方图，若的频率为0.48，则________，________.    【答案】 【分析】根据的频率计算出，再由频率分布直方图中各组矩形面积之和为1，即可求出. 【详解】由频率分布直方图可知组距为10，则， 又因为，解得. 【变式1】某校抽取了100名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来（如图所示），则可以得出分数在区间的人数为________． 【答案】25 【分析】由频率分布直方图可得x，据此可得答案. 【详解】由图，则. 从而分数在区间的人数为. 故答案为： 【变式2】某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行抽样分析，得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图如图，则________． 【答案】0.010 【分析】应用频率和为1计算求解参数. 【详解】由，得． 故选： 【变式3】（24-25高二下·上海虹口·期末）某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在之间的学生人数为_____．    【答案】5 【分析】由频率分布直方图可得，据此可估计大致人数. 【详解】 所以成绩在之间的学生人数为. 故答案为：5 题型02 由频率分布直方图计算频数，频率，样本容量 【典例1】某学校为了解学生对于数学学习的重视程度，从学校内随机抽取100名学生，统计了他们每天用于数学学习的时间（单位：分钟），将样本数据分为，，，，五组，整理得到如图所示频率分布直方图．则数学学习时间在区间内的频率为______；的值为______． 【答案】 【分析】利用小矩形面积的意义可求得内的频率，利用概率和为1计算可求得. 【详解】数学学习时间在区间内的频率为； 因为，解得. 故答案为：①；②. 【变式1】从某网络平台推荐的影视作品中抽取200部，统计其评分数据，将所得200个评分数据分为6组：，，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图： 则评分在区间内的影视作品数量是__________部. 【答案】85 【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的频率，进而得到影视作品数量. 【详解】评分在区间内的影视作品数量是部. 故答案为：85. 【变式2】如图是容量为50的样本频率分布直方图，则样本数据在内的频数是（    ） A．4 B．16 C．12 D．18 【答案】C 【详解】由样本频率分布直方图可知样本数据在内的频率为， 故对应的频数为. 【变式3】某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 【答案】C 【详解】从频率分布条形图中可得：阅读课外书为4本的频率是， 阅读课外书为5本的频率是. 每月阅读课外书数量不少于4本，包含阅读4本和阅读5本两种情况. 总频率为. 由频率估计概率，可知该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为. 题型03 频率分布直方图的实际应用 【典例1】（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1先求出，根据频率分布直方图性质直接求每个选项即可. 【详解】对于D，根据频率分布直方图可知：，可得，所以D正确. 对于A，成绩在的频数为：，故A正确； 对于B，图中所有小矩形面积之和表示所有区间内的频率之和，为1. B正确； 对于C，设成绩的中位数为，     ， 易得中位数在区间内，故C错误. 【变式1】为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【分析】根据饼状图和条形图提供的数据逐一分析判断选项． 【详解】由饼图可知，高一人数比高二人数多选项正确； 由条形图可知，成绩前200名中高一人数为人，B选项正确； 成绩前100名的学生中，高一人数为人， 故高三人数不超过人，C选项正确； 成绩第101名到第名的学生中，高一人数为人， 故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D选项错误， 故选：D 【变式2】供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（     ） A．在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人 B．在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人 C．在这位居民中，月份人均用电量为度 D．从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图逐一计算分析，求出12月份人数最多的一组，判断选项A正确；计算12月份用电不低于20度的频率与频数，判断选项B正确；计算12月份人均用电，判断选项C错误；求出用电量在的频数，再根据概率计算，求出选到的居民用电量在一组的概率，即可判断选项D正确. 【详解】对于A：根据频率分布直方图知，人数最多的一组是， 有（人），故选项A正确； 对于B：12月份用电量不低于20度的频率是， 有（人），故选项B正确； 对于C：12月份人均用电量为： （度），故选项C错误； 对于D，用电量在的有：人， 所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在一组的概率为，故选项D正确. 故选：C. 【变式3】平均数､中位数和众数都描述了数据的集中趋势，下列说法错误的是（    ） A．如果频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多 B．与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息 C．对分类型数据，比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数 D．如果频率分布直方图在“右边”拖尾，那么平均数小于中位数 【答案】D 【分析】根据一组数据的数字特征的含义理解，结合频率分布直方图即可判断. 【详解】对于A，因平均数是一组数据的平均水平，而中位数是将数据按照从小到大排列后，在最中间的那个数据或中间两个的平均数， 因频率分布直方图的形状对称，则平均数和中位数大体上差不多，故A正确； 对于B，因个别数据变动，往往会改变平均数，而不改变中位数，所以平均数反映出样本数据中的更多信息，故B正确； 对于C，因分类型数据往往是不连续的，用众数能更好地描述集中趋势，即C正确； 对于D，频率分布直方图在“右边”拖尾时，平均数应更偏向于拖尾，，而中位数两边的小矩形面积相等，故平均数必大于中位数，即D错误. 故选：D. 题型04 观察茎叶图比较数据特征 【典例1】某校高一年级的某次月考后，随机统计了甲、乙两个班各10名学生的物理成绩（满分100分），得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是（   ）    A．甲班10名学生物理成绩的中位数是86 B．乙班10名学生物理成绩的众数是77 C．甲班10名学生物理成绩的方差比乙班10名学生物理成绩的方差小 D．乙班10名学生物理成绩的极差是24 【答案】C 【分析】根据中位数的计算可判断A；根据众数的概念可判断B；根据方差的意义可判断C；根据极差的计算可判断D. 【详解】选项A：由茎叶图知甲班10名学生物理成绩的中位数为，故A正确． 选项B：由茎叶图知乙班10名学生物理成绩的众数为77，故B正确． 选项C：根据茎叶图可知甲班10名学生物理成绩的离散程度比乙班10名学生物理成绩的离散程度大， 所以甲班10名学生物理成绩的方差比乙班10名学生物理成绩的方差大，故C错误． 选项D：乙班10名学生物理成绩的极差是，故D正确． 故选：C. 【变式1】某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两家商店营业额的极差相同 B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同 C．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高 D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差 【答案】C 【分析】对于A，由极差的定义，即最大值减最小值即可判断；对于B，由中位数的定义判断即可（从小到大排列数据）；对于C，直接由茎叶图即可判断；对于D，由方差公式运算即可判断. 【详解】A选项：甲商店营业额的极差为10，乙商店营业额的极差为8，故A错误； B选项：甲商店营业额的中位数为32，乙商店营业额的中位数为30，故B错误； C选项：甲商店营业额超过3000元的天数为3，乙商店营业额超过3000元的天数为2，故从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高，故C正确； D选项：甲商店营业额的平均值为，乙商店营业额的平均值为， 故甲商店营业额的方差， 乙商店营业额的方差，则，故甲商店营业额的方差大于乙商店营业额的方差，故D错误. 故选：C. 【变式2】（2024·上海杨浦·一模）在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（    ） A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 【答案】B 【分析】分别计算甲乙的平均值和方差，对比得到答案. 【详解】甲的平均值为：， 甲的方差为： 乙的平均值为：， 乙的方差为：. 故甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 故选：B 【变式3】黄瓜是日常生活中非常受欢迎的一种蔬菜．某地引进结果多且市场销售快的甲、乙两种黄瓜品种，为了进一步了解两个品种，农业科技人员各随机选择5棵，将其结果数进行统计，如图．由图可知，以下结论正确的是（    ） A．甲品种的平均结果数高于乙品种的平均结果数 B．甲品种结果数的中位数大于乙品种结果数的中位数 C．甲品种结果数的方差小于乙品种结果数的方差 D．甲品种结果数不少于30的概率是0.4，乙品种结果数不少于30的概率是0.6 【答案】D 【分析】根据题意，由平均数，中位数以及方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意知，甲品种的平均结果数， 乙品种的平均结果数，所以A错误． 甲品种结果数的中位数是29，乙品种结果数的中位数是30，所以B错误． 甲品种结果数的方差， 乙品种结果数的方差， 所以C错误． 甲品种结果数不少于30的有2棵，概率， 乙品种结果数不少于30的有3棵，概率，所以D正确． 故选：D． 题型05 由散点图判断是否线性相关 【典例1】在以下4幅散点图中，和成正线性相关关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用散点图可直观看出是否线性相关和正相关． 【详解】对于A，由于散点图分散，估计没有线性相关关系，故A错误； 对于B，根据散点图集中在一条递增的直线附近，说明它们线性相关且是正相关，故B正确； 对于C，根据散点图集中在一条递减的直线附近，说明它们线性相关且是负相关，故C错误； 对于D，根据散点图集中在一条曲线附近，说明它们非线性相关，故D错误； 故选：B． 【变式1】2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者数据，以及根据这些数据绘制出的散点图 日期 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 人数 100 109 115 118 121 134 141 152 168 175 186 203 下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系.其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 【答案】B 【分析】作出散点图即可得出结论. 【详解】由题意， 做出散点图如下图所示，    由图可知， 日期与人数具有线性相关关系，但不是一次函数关系， ①正确，②错误， 故选：B. 【变式2】在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据变量间的散点图，结合散点图的分布情况，逐项判定即可求解. 【详解】A中，两个变量与之间具有函数关系，不是相关关系，不符合题意； B中，两个变量与构成的点在一条直线附近带状分布，所以两个变量之间是线性相关关系，符合题意； C中，两个变量与构成的点不在一条直线附近带状分布，所以两个变量之间不是线性相关关系，不符合题意； D中，两个变量与构成的点不在一条直线附近带状分布，所以两个变量之间不是线性相关关系，不符合题意. 故选：B. 【变式3】下列图中，能反映出相应两个变量之间具有线性相关关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A ，两个变量是确定的函数关系，不正确；对于B，散点呈带状分布，正确；对于CD，散点不呈带状分布，不正确. 【详解】对于A ，由图象可知，两个变量是确定的函数关系，不是相关关系，故A 不正确； 对于B，由散点图可知，散点呈带状分布，所以两个变量具有线性相关关系，故B正确； 对于CD，由散点图可知，散点不呈带状分布，所以两个变量不具有线性相关关系，故CD不正确； 故选：B 题型06 平均数，众数，中位数的计算 【典例1】数据，，，，，，的中位数和众数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】这组数据共有7个数，不是整数，所以取第4位数为中位数，即； 数据中84出现的次数最多，故众数为84. 【变式1】某工厂抽检了个零件，并统计了零件的直径（单位：）的数据，得到如下表格： 直径 频数 由表可知这个零件的直径的中位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意得，样本容量，中位数即是样本从小到大排列的第个， 因为，， 所以中位数为. 【变式2】某班10名同学的数学测验成绩（单位：分）分别为：72，85，78，90，68，85，95，78，85，74，则这组数据的众数与中位数分别为（ ） A．85，81.5 B．85，85 C．78，81.5 D．85，79 【答案】A 【详解】这组数据从小到大排列为：， 所以众数是85，中位数是． 【变式3】某高中为了解学生视力情况，按分层随机抽样方法分别从高一、高二、高三年级按照的比例随机抽取部分学生进行调查，结果显示高一年级学生平均视力为，高二年级学生平均视力为，高三年级学生平均视力为，则可估计该校全体学生的平均视力为_________ 【答案】 【分析】根据加权平均数公式求结论. 【详解】因为样本中高一、高二、高三年级的学生人数比为， 又高一年级学生平均视力为，高二年级学生平均视力为，高三年级学生平均视力为， 所以该校全体学生的平均视力为. 题型07 方差标准差与极差的计算 【典例1】样本数据，，，，的极差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将样本从小到大排列可得极差. 【详解】将样本从小到大排列得，，，，， 则极差为. 【变式1】已知一组数据为：3，4，6，7，9，12，则下列说法正确的是（    ） A．中位数为6，极差为8 B．中位数为6，极差为9 C．中位数为6.5，极差为8 D．中位数为6.5，极差为9 【答案】D 【详解】由题可得中位数是，极差是. 【变式2】下列样本数据中，方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，3，5，7，7 D．2，2，5，8，8 【答案】D 【详解】A：均值为，则方差为， B：均值为，则方差为， C：均值为，则方差为， D：均值为，则方差为， 所以方差最大的一组是D. 【变式3】小明和小华参加有奖答题活动，每局共10个选择题，现将每局他们答对题目数整理成如下表所示的两组数据．那么下列说法中正确的是（　　） 小明 5 6 6 6 7 小华 7 7 6 7 8 A．小明的平均数大于小华的平均数 B．两人的中位数相同 C．两人的众数相同 D．小明的方差与小华的方差相同 【答案】D 【分析】根据数据的平均数、中位数、众数、方差的计算方法求解即可. 【详解】对于A：小明的平均数为6，小华的平均数为7，故A错误； 对于B：小明的中位数为6，小华的中位数为7，故B错误； 对于C：小明的众数为6，小华的众数为7，故C错误； 对于D：小明的方差为， 小华的方差为，故D正确． 题型08 数据变化后的平均数，方差计算 【典例1】有一组样本数据，，，…，的平均数为，极差为，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中 ，则新样本数据的平均数和极差分别为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】由平均数和极差的定义判断． 【详解】由题意， 所以， ， 所以， 因为，（）所以，即新样本数据极差与原样本数据极差相等． 【变式1】（多选）科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据，，，，，已知该组数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为．对原始数据进行线性变换，得到一组新数据，，，，．若新数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A,，A正确； 对于B,，B错误； 对于C,，C正确； 对于D,，D正确． 【变式2】（多选）已知一组互不相同的样本数据，，，…，的平均数、中位数和方差分别为，，，其中和分别是这10个数中的最小值和最大值，设，数据，，，…，的平均数、中位数和方差分别为，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由中位数、平均数的定义及方差的定义和性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，因为，所以数据，，，…，的中位数，故A正确； 对于B，因为，由方差的性质可得：，故B正确； 对于C，因为，则， ，即， 而与不一定相等，故C错误； 对于D，相当于求，，…，的方差， 因为，分别是这10个数中的最小值和最大值，这两个数偏离平均值的距离更远， 减去，后数据更集中，离散程度变小，方差更小， 所以，故D错误. 【变式3】已知样本数据、、、、的方差，则样本数据、、、、的平均数为_________． 【答案】9或-7 【分析】设样本数据、、、、的平均数为，利用方差公式可求得的值，再利用平均数公式可求得样本数据、、、、的平均数. 【详解】设、、、、的平均数为，则， 所以， 所以 又因为，所以，解得或， 所以样本数据、、、、的平均数为或. 题型09 新加入或剔除数据对平均数，众数，中位数方差的影响 【典例1】（多选）设互不相等的一组数据的平均数为，方差为，现从中去掉一个数据后的平均数为，方差为，下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】本题主要考查平均数与方差的性质.利用去掉一个数据后平均数与方差的变化公式进行判断，注意方差公式中的分母变化. 【详解】设原数据总和，去掉后总和，新平均数. A项：若，则，正确. B项：若，则去掉的数据对原方差贡献为0，剩余数据平方和不变但个数减少， 故 所以，B错误. C项：若，则， 故，C正确. D项：若，方差不一定减小. 例如数据，，去掉（大于平均数），剩余， 计算得原方差，新方差，，故D错误. 综上，答案为AC. 【变式1】已知样本数据，，，的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（     ） A．17.8 B．18.8 C．19.8 D．20.8 【答案】C 【详解】依题意，，则新增数据的平均数为19，方差为0， 所以新样本数据的方差为 【变式2】已知一组样本数据共有个数，其平均数为，方差为．将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为，则新的样本数据的方差最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原数据为、、、，利用题中信息求出、的值，设增加的两个数据为、，根据平均数公式求出的值，再利用方差公式以及二次函数的基本性质可求得新数据方差的最小值. 【详解】设原数据为、、、， 则原数据的平均数为，所以， 原数据的方差为 ， 解得， 设增加的两个数据为、，则新数据的平均数为，解得， 新数据的方差为 ， 当且仅当时，等号成立，即新数据方差的最小值为. 【变式3】已知某5个数的平均数为3，方差为4，若再添加一个数3，则这6个数的方差为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设原5个数分别为，再添加一个数为， 则，，即，， 所以新数据的平均数为，方差为. 题型10 两组数据合并后的平均数与方差的计算 【典例1】在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为________；身高方差为________． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】 166 38 【分析】根据题意，利用平均数和分层抽样的总样本的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意知，男生有30人，其平均数和方差分别为170和10， 女生有20人，其平均数和方差分别为160和20，可得样本总数为人， 所以全体学生的平均身高为， 根据分层抽样总样本的方差的公式，可得 . 【变式1】某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86；二班48名同学的测验成绩的平均数为90分，方差为71．那么这90名同学本次测验成绩的平均数为________分，方差为________． 【答案】 【详解】设一班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；二班名同学的成绩平均分为，方差为，人数；名同学的总平均分为，总方差为. ∴ . ∵ 分层合并方差公式为， 代入得， 即总方差为. 【变式2】某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1，乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5，则这20个人的视力的方差为______. 【答案】0.86 【详解】设甲班12个人视力检测数据分别为，乙班8个人的视力检测数据分别为. 甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1， ，； 乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.5， ，. 这20个人的视力的平均数为； 方差 . 【变式3】某学校将数学成绩在130分及以上的称为“优秀水平”，其余成绩称为“一般水平”．现在统计某个班级高一期末考试的数学成绩，其中“优秀水平”有10人，“一般水平”有40人．“优秀水平”成绩的平均分为135，方差为，“一般水平”成绩的平均分为120分，方差为10．已知该班成绩的方差为50，则______________． 【答案】 【详解】该班成绩的平均分， 由， 所以. 题型11 百分位数的计算 【典例1】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）如图是体育社团的小组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在左边，个位数作为“叶”列在右边．组员身高的第60百分位数为___________ 【答案】166.5 【分析】直接利用百分位数计算公式即可； 【详解】由茎叶图可知共10个数据， ，是整数，第百分位数为第 6 项和第 7 项数据的平均值. 由茎叶图，可知第6项：166；第7项：167. 故第百分位数为. 【变式1】（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知一组数据为，则这组数据的第70百分位数是______． 【答案】9 【分析】根据70百分位数的定义计算即可得答案. 【详解】这组数据共有10个，且已按从小到大排列. 因为， 所以这组数据的第70百分位数是这组数据的第7个数与第8个数的平均值， 即为. 【变式2】（25-26高三上·上海闵行·期末）某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用频率分布条形图可读出， ，且A部门数据更为集中，即可得出结论. 【详解】根据频率分布条形图可知， ，即； 显然A部门得分数据较B部门更为集中，其方差更小，即. 【变式3】（25-26高二下·上海·期末）某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数为87，则____________． 【答案】 【详解】，因此该组数据的第 25 百分位数为该组数据从小到大排列后，第四位数和第五位数的平均数， 则，故. 1．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）从校高一年级学生中抽取若干名学生测量他们的身高，其中最大值为189cm，最小值为152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为151.5，则组数为________. 【答案】8 【详解】已知第一组下限为，组距为，最大值为. 计算最大值与第一组下限的差值为 组数需满足 因为组数必须为正整数，所以应向上取整，即. 2．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）某班部分同学参加英语测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图． (1)求分数在的频率及班级参加测试的人数； (2)求分数在之间的频数，计算频率分布直方图中间矩形的高； (3)若要从分数在之间的试卷中随机抽取两份进行数据分析，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）先由频率分布直方图求出分数在的频率，结合茎叶图中得分在的人数即可求得班级参加测试的人数； （2）根据茎叶图的数据，利用（1）中的总人数减去外的人数，即可得到内的人数，从而可计算频率分布直方图中间矩形的高； （3）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意的基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，分数在的频率为； 由茎叶图知，分数在之间的频数为2，所以班级参加测试的人数为. （2）分数在之间的频数为； 频率分布直方图中间的矩形的高为. （3）将之间的5个分数编号为，之间的2个分数编号为， 在之间的试卷中任取两份的基本事件为： 共21个， 其中，至少有一份分数在之间的基本事件有 共11个， 故至少有一份分数在之间的概率是. 3．（26-27高三上·上海·开学考试）某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示， 则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和为_____. 2        8 3   2   3   6   6   8 4   0   5 5   2  4   8 【答案】68 【详解】由茎叶图可得所有年龄数据（从小到大排列）：28，32，33，36，36，38，40，45，52，54，58，共11个数据. 中位数：11个数据的中位数为第6个数据，即38. 极差：最大值58减去最小值28，得. 因此中位数与极差之和为. 4．（25-26高二下·上海闵行·期中）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ (2)若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 【答案】(1) (2)平均数为，方差为 【分析】（1）先利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，再利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （2）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可． 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得， 则样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的学生人数为， 所以用分层抽样的方法应从考核成绩在的学生中抽取（人）． （2）由频率分布直方图知， 成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 所以这两组学生成绩的平均数为， 所以这两组学生成绩的总方差为． 5．（25-26高二上·上海黄浦·期末）以下是“我国2019-2024年居民人均服务性消费支出（单位：元）统计图”.关于2020-2024年的数据，下列说法错误的是（   ）. A．2021年是这五年中居民人均服务性消费支出增长率最高的年份 B．2020年和2022年居民人均服务性消费支出增长率为负，其余年份为正 C．2024年居民人均服务性消费支出的增长率高于2023年 D．居民人均服务性消费支出增长率有增有减 【答案】C 【分析】根据给定的柱状图，求出2020-2024各年居民人均服务性消费支出增长率，再逐项判断即得. 【详解】由柱状图得， 2020年居民人均服务性消费支出增长率， 2021年居民人均服务性消费支出增长率， 2022年居民人均服务性消费支出增长率， 2023年居民人均服务性消费支出增长率， 2024年居民人均服务性消费支出增长率， 对于A，2021年是这五年中居民人均服务性消费支出增长率最高的年份，A正确； 对于B，2020年和2022年居民人均服务性消费支出增长率为负，其余年份为正，B正确； 对于C，2024年居民人均服务性消费支出的增长率低于2023年，C错误； 对于D，居民人均服务性消费支出增长率有增有减，D正确. 故选：C 6．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； 【答案】(1)，平均数是 (2) 【分析】（1）根据直方图中小长方形的面积和为1求解，然后由平均数的定义计算即可； （2）根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后根据列举法求解. 【详解】（1）由题知，，解得， 平均数为：； （2）和两组的频率之比为， 由于共抽取5人，根据分层抽样性质可知在和两组分别抽取2人，3人， 假设来自的2人编号为，来自的3人编号为， 这5人中抽取2人，所有的可能是共10种情形， 2人来自同一组共有4种情形如下， 根据古典概型的计算公式，两人来自同一组的概率是. 7．（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： (1)估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； (2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【答案】(1)众数是，平均分是93 (2). 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得，结合众数和平均数的计算公式，即可求解； （2）利用列举法求得样本空间中样本点的总数及所求事件中所包含样本点的个数，利用古典概型的概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）由，可得． 即数学成绩在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 在频率为. 数学成绩在内的最多，所以众数是， 平均分是. （2）由题意可知，数学成绩在内的人数为（人），在内的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生， 则需在内抽取2人，分别记为、；[70，90)内抽取3人，分别记为、、， 记事件为“抽取的这2名学生至少有1人成绩在内”， 则样本空间为，共包含10个样本点， 而事件，包含7个样本点， 故，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为. 8．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组：，，…，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取40%的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？并且估计本次竞赛的平均分； (2)已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)晋级分数线定为分，估计平均分为分； (2)总平均数，总方差． 【分析】1）根据频率分布直方图求解计算即可. （2）根据平均数和方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为 （2）由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． 9．（24-25高二上·上海·期末）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 乙 分别求出甲、乙预赛成绩的平均数和方差，并从统计学的角度选派一人参加决赛． 【答案】，；，；选派甲参加决赛更合适 【分析】根据平均数和方差的公式计算即可求解. 【详解】由题意得，， 所以 ， ， 由，所以选派甲参加决赛更合适. 10．（2026·上海·三模）小明连续记录了7天自己每天花在课外阅读上的时间（单位：min），分别为70，42，54，90，55，47，58，则这组数据的第60百分位数是__________． 【答案】 【详解】对7个样本数据从小到大排序，可得：42,47,54,55,58,70,90；；因此排序后第5个数据就是第60百分位数，即58. 11．（25-26高二下·上海·阶段检测）陶老师为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示. (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第30百分位数； (2)陶老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享.设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”.试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)陶老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这位学生的数据平均数为23小时.当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，求这位学生每周平均手机使用时长的方差（精确到0.1）. 【答案】(1)13； (2)事件和事件不相互独立，理由如下： 由，解得， 所以女生中每周平均手机使用时长小于小时的人数为， 且女生中每周平均手机使用时长位于区间的有人，位于区间的有人. 由茎叶图可知，男生中每周平均手机使用时长小于小时的有人， 且男生中每周平均手机使用时长位于区间的有人. 因此总共抽取人，每周平均手机使用时长位于区间的共有人， 所以，， 若抽取的是名女生且恰好有人的每周平均手机使用时长位于区间的概率为， 所以， 因为， 所以事件和事件不相互独立. (3)2.5 【分析】（1）根据茎叶图判断出男生人数，然后由第30百分位数的计算公式求得结果. （2）分别求解出，，，然后根据与的关系作出判断. （3）先求出的值及男生数据，再根据平均数公式以及等差数列的性质求解出女生数据，最后计算出方差即可. 【详解】（1）由茎叶图可知男生总人数为，所以， 将男生每周平均手机使用时长从小到大排列，其中第，位的数据分别是，， 所以第百分位数为. （2）略 （3）由茎叶图和频率分布直方图可知， 个数据中，男生数据为，， 设女生的数据为，，，且， 由题意可知，解得，， 因为，，，成等差数列， 所以，， 因此这个数据分别为：，，，，，， 所以方差为， 所以这位学生每周平均手机使用时长的方差为. 12．（2026·上海徐汇·二模）已知实数满足，则的方差的最大值为__________. 【答案】 【详解】设分别对应，（）. 则， 所以的方差为： ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且. 所以当或时，该组数据的方差相等，且取得最大值，为. 所以该组数据方差的最大值为：. 13．（25-26高二上·上海松江·期中）某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位： ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将天数据从小到大排序为：，对于①，由平均数为3得，又极差为2，则，可推导，与平均值矛盾；对于②，根据中位数，纵数推导即可；对于③，根据题意可推导第天超过10即可判断；对于④，根据均值方差推导即可判断． 【详解】设“连续5天的日平均温度均低于”，将天数据从小到大排序为：， ①选项，，，若，则， 与平均数为矛盾，所以①选项正确； ②选项，中位数是，众数是，所以将数据从小到大排序后，第3个数是， 第个数为，所以个数据都小于，所以②选项正确； ③选项，众数是，极差为，如，第天超过，不符合，所以③选项错误； ④选项，， ，， 若，则，矛盾，所以④选项正确； 故选：C． 14．（2024·上海·三模）对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为______． 【答案】 【分析】就是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为；若不为整数，则5个数分别为，就的范围分类计算后可得m的所有可能值组成的集合. 【详解】不妨设，因为不在这组数据，故为正整数， 若为正整数，故，其中为正整数， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当时，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 若为不是整数，故，其中为正奇数， 设，其中为正整数， 则，且，故， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 综上，符合条件的为，， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与不等式有关的整数解问题，可先根据区间中含有的整数的个数初步确定参数的范围，再逐个讨论后舍去矛盾的情况即可. 15．（23-24高二上·上海宝山·阶段检测）为了让学生适应上海“3+3”的新高考模式，某校在高二期末考试中使用赋分制给等级考科目的成绩进行赋分.先按照考生原始分从高到低按比例划定A+、A、B+、B、B-、C+、C、C-、D+、D、E共5等11级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A+和E级排名各占比5%，其余各级排名各占比10%.现从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： (1)求图中的值； (2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； (3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的标准差（结果精确到0.1）． 【答案】(1)0.03 (2) (3)， 【分析】（1）借助频率之和为1即可得； （2）根据分层抽样，计算出每个区间中的人数，结合概率公式即可得； （3）借助平均数、方差与标准差的定义计算即可. 【详解】（1），解得； （2）由原始分在和中的频率之比为， 故抽取的6人中，原始分在中的有人，记为、， 原始分在中的有人，记为、、、， 则从人中抽取人所有可能的结果有： ，，，，，，，， ，，，，，，， 共个基本事件， 其中抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的结果有， ，，，，，，，， 共个基本事件， 故这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； （3）， ， 故其估计值为. 16．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的番号是____ ①甲球员连续5场得分都不低于24分   ②乙球员连续5场得分都不低于24分 ③丙球员连续5场得分都不低于24分   ④丙球员连续5场得分的第60百分位数大于24 【答案】①④ 【分析】本题需要根据甲乙丙三位球员得分数据所满足的不同条件，分别对每个选项进行分析判断.对于甲球员，依据中位数和众数的定义来判断得分情况；对于乙球员，通过结合中位数和平均数的定义，尝试构造反例来判断；对于丙球员，利用平均数和方差的定义，以及百分位数的定义来进行分析. 【详解】对于①： 设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 则，，且至少出现次，故，①正确； 对于②： 设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 则，，取， 可得其满足条件，但有2场得分低于24，②错误； 对于③： 设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 已知方差， 所以. 若，则，所以， 这与上式矛盾，所以， 那么. 又因为的平均数为，所以， 取，满足要求，但有一场得分低于24分，③错误； 对于④： 因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为， 若，则，此时，矛盾， 所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，④ 正确. 故答案为：①④. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $