31.4（第1课时）位似图形的概念及画法（分层作业，5大类型）数学新教材人教版九年级下册

31.4（第1课时）位似图形的概念及画法（解析版） 目 录 类型一、位似图形相关概念辨析 1 类型二、位似图形的识别 10 类型三、判断位似中心 14 类型四、求两个位似图形的相似比 24 类型五、放大或缩小图形 32 类型一、位似图形相关概念辨析 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点A，O，三点在同一直线上，， ，即， ∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意． 2．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点A，O，三点在同一条直线上，， ∴， ∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意． 3．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答． 【详解】解：∵以点为位似中心，把的各边长放大为原来的倍得到， ∴，，，点，，三点在同一条直线上． ∴， 只有选项C符合题意． 4．如图，已知，则下列说法不正确的是（     ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．是相似比 D．点B和点D，点C和点E是对应点 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴两个三角形是位似图形，点A是两个三角形的位似中心，故A、B正确，不符合题意； 或或是相似比，故C错误，符合题意； 点B和点D，点C和点E是对应点，故D正确，不符合题意． 5．如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 【答案】D 【分析】根据位似图形的周长之比等于位似比，位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，且周长比为， ∴由图形位似的性质可得： ，且相似比为， 如图与交于点， ∴点为位似中心， 由相似三角形面积比等于相似比的平方可得： 与的面积比为 故选： ． 【点睛】 6．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的对应边平行，位似图形相似，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，对应顶点所在的直线经过位似中心，来判断． 【详解】解：点为位似中心，把放大到原来的倍，得到， ∴点A，O，在同一直线上，，，， ∴点O到与的距离之比是， 故选项C错误. 7．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项正确，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 9．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念，得到四边形四边形，，，进一步得出，，进一步得，，再根据，即可得出答案． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，，， ，， ，． ， ， ． 10．如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为________． 【答案】9 【分析】根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：，与位似， ， ． 的面积为4， ． 11．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 12．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的面积是1，则的面积是______． 【答案】 【分析】根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于1， ∴的面积为． 13．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 【答案】9 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故答案为：9． 14．如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得． 【详解】解：补充条件，则， 所以与是以点为位似中心的位似图形． 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是__________．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质判断③正确；①错误；②正确；再由，可得，可得，可判断④正确． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，且相似比为，点，，三点在同一条直线上，故③正确； ∴，，，故①错误；②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 16．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 17．如图，与是位似图形，点O为位似中心．求证：． 【答案】证明：∵与是位似图形，点O为位似中心， ∴，且三点共线，三点共线， 又∵， ∴， ∴， ∴； 同理可证明． 【分析】根据位似三角形的性质得到，且三点共线，三点共线，则可证明，得到，据此可证明；同理可证明． 【详解】 略 类型二、位似图形的识别 18．下列图形中不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项中图形对应点连线不交于一点，不是位似图形； B选项中两个圆相似，对应点连线交于圆心，是位似图形； C选项中对应点连线交于一点，对应边平行，是位似图形； D选项中对应点连线交于一点，对应边平行，是位似图形． 19．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意． 20．下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 【详解】解：根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，故不是位似图形． 21．下列图中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【详解】解：经过对应顶点的直线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； D中的两个图形不符合位似图形的概念，故不是位似图形． 22．下列图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意． 23．下列图中的两个图形不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； D中的两个图形是相似三角形，但不符合概念，故不是位似图形． 24．下列图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、是位似图形，故本选项不符合题意； B、是位似图形，故本选项不符合题意； C、是位似图形，故本选项不符合题意； D、不是位似图形，故本选项符合题意． 25．下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 【详解】解：根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； D中的两个图形不符合位似图形的概念，两个三角形不相似，故不是位似图形． 26．下列图形中，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、是位似图形，故本选项不符合题意； B、是位似图形，故本选项不符合题意； C、是位似图形，故本选项不符合题意； D、不是位似图形，故本选项符合题意. 27．下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的概念，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：如果两个相似多边形，它们的对应顶点所在的直线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．按照定义可判断选项A、C、D的图形都是位似图形，均不符合题意． 故选：B． 28．如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 29．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 类型三、判断位似中心 30．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 31．如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及位似中心的确定，解题的关键是明确位似中心是对应顶点连线的公共交点，通过排除法排除无效对应情况，再验证有效对应下的交点． 先计算各线段长度确定位似比与初步对应关系；再根据位似中心在对应顶点连线上，验证四个选项是否在、上，排除、情况；最后针对的有效对应，求对应顶点连线的交点即位似中心． 【详解】解：假设、的对应情况成立: 设直线：，代入、，得，，即． 设直线：，代入、，得，，即． 验证选项A、：不在、上； B、：不在、上； C、：不在、上； D、：不在、上． 排除、的对应情况，仅保留． 设直线：，代入、，得． 设直线：，代入、，得． 联立，解得，，交点为． 故选：． 32．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点的坐标分别为，．若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出图中位似中心，再由正方形性质得到，进而判定，由相似比代值得到，再根据点的坐标及正方形性质得到相关线段长度，代入比例式解方程即可得到答案． 【详解】解：若正方形与正方形是位似图形，连接对应点并延长，如图所示： 则点就是位似中心， 点的坐标分别为，， ， ， ， 则， 点的坐标分别为，， ， 则， ， 即，解得， 的位似中心的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查求位似中心坐标，涉及正方形性质、图形与坐标、平行线性质、相似三角形的判定与性质、解方程等知识，熟记位似图形定义及位似中心的作法是解决问题的关键． 33．如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化的知识，掌握位似图形的性质是解题的关键； 首先根据两个四边形的顶点坐标的关系，可知四边形 与四边形为位似图形，再结合位似图形的性质分析判断各说法，即可解题． 【详解】解：根据各点坐标可看出四边形横纵坐标都乘2得到四边形，所以两个四边形形状相同，故①正确． 四边形边长扩大2倍为四边形的边长，所以，故②正确，③不正确． 由图知， 连接各个对应顶点的直线相交于点O，故④正确， 综上所述，说法正确的有①②④共3个 故选：C． 34．在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 35．如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心，根据位似中心的性质，通过连接，，，三者的连线交点就是位似中心． 【详解】解：与是位似图形， 和是对应点，和是对应点，和是对应点， 连接，，， 可得三者的连线交于点， 则就是位似中心． 故选：A． 36．如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 即位似中心是：． 37．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，一种是两个正方形在位似中心的异侧；另一种是两个正方形在位似中心的同侧． 【详解】解：正方形中、， ∴边长为， ∴，， 正方形中、， ∴边长为， ∴，， 分两种情况讨论： 情况1：两个正方形在位似中心的异侧 连接对应顶点和、和， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 情况2：两个正方形在位似中心的同侧 连接对应顶点和、和并延长， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 综上，这两个正方形的位似中心的坐标为或． 38．如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是_________．    【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、位似变换、一次函数与二元一次方程组、三角形全等的判定与性质，熟练掌握位似变换，确定位似中心的位置是解题的关键． 根据正方形的性质求得，，，，直线和直线的交点即为位似中心，利用待定系数法求得直线和直线的解析式，再建立二元一次方程组进行求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，点C和点F的坐标分别为，， ∴，，，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 把 ，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线和直线的交点即为位似中心， ∴建立方程组得，，解得：， ∴位似中心的坐标为：． 39．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 40．指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 【答案】①②和④中的两个图形都是位似图形，①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q 【分析】根据位似图形的定义，结合题目图形和条件即可判断①、②、③、④的图形是否为位似图形，再根据位似中心的定义即可指出位似图形的位似中心． 【详解】解：观察①②和④中的两个图形，结合题目所给条件，可得： ①②和④中的两个图形是相似图形，且对应点的连线相交于同一点，符合位似图形定义， ∴①②和④中的两个图形是位似图形，其中①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q． ∵③的图形是相似图形，但对应点的连线不相交于同一点，不符合位似图形定义， ∴③的图形不是位似图形． 类型四、求两个位似图形的相似比 41．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结果． 【详解】解：， 和的相似比为， ． 42．如图，已知 与 是位似图形，点 是位似中心，若 是 的中点，则   与 的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，，，且相似比为， ∴与的面积比是． 43．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结果． 【详解】解：， 和的相似比为， ． 44．如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质列方程求解即可． 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似三角形， ， ，， ， ． 45．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，得到，，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 46．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形性质，相似比为，对应边比为，对应点连线过位似中心，对应边互相平行，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此选出错误选项． 【详解】由题意知，与是位似图形，把放大为原图形的2倍得到， 因此相似比为． 选项A、因为相似图形的对应边成比例，所以，选项A正确； 选项B、因为位似图形的对应点的连线经过位似中心，因此点在同一直线上，选项B正确； 选项C、因为位似图形的周长比等于相似比，所以，选项C错误； 选项D、因为位似图形的对应边互相平行，所以，选项D正确． 47．如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为．若的面积是，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴，且相似比为， ∴， ∵， ∴， 故选C． 48．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9． 49．如图，和是位似三角形，，的周长为6，则的周长为（    ）． A．12 B．6 C．16 D．18 【答案】D 【详解】解：∵和是位似三角形，， ∴， ∵的周长为6， ∴， 解得：， 即的周长为18． 50．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 【答案】 【分析】利用位似图形的性质，可得与相似，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ． 51．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________． 【答案】 【分析】根据题意得出与的位似比，再由位似图形的周长比等于位似比求解即可． 【详解】解：以原点为位似中心，将放大后得到，且点，， ，即将放大倍后得到， 与的位似比为， 则由位似图形的性质可知，与的周长比是． 52．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】由得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：， ， 与是以点为位似中心的位似图形， ， ， 的周长为， ∴． 53．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即；结合图形可知、、共线且在上，利用求出的值，根据相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形 ，且相似比等于 与的周长之比等于 设，（） 与的周长之比是． 54．如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 【答案】(1)不是； (2) 【分析】（1）求出两个长方形的长宽之比，即可判断． （2）利用位似图形的性质，推出两个长方形的边长之比，即可解答． 【详解】（1）解：外部大长方形的长和宽之比为， 中空的长方形铁板的长，宽， 中空的长方形长和宽之比为， ， 大、小两个长方形不是位似图形； （2）解：中空的长方形铁板的长，宽， 当大、小两个长方形是位似图形时， 可得， 整理可得， 所以当m和的比值是时，大、小两个长方形是位似图形． 类型五、放大或缩小图形 55．如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的放大，三角形放大时，各角的度数不变，各边的长度变大，则周长和面积也变大，据此可得答案． 【详解】解：用放大镜观察一个三角形，看到的三角形的各边的长度扩大，各角的度数不变，则三角形的周长扩大，面积也扩大， ∴只有A选项的说法错误， 故选：A． 56．把图中的四边形ABCD缩小到原来的． 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位似中心的距离之比为______． 作法： （1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得______； （4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形． 【答案】 1:2 【解析】略 57．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，将放大得到，使得，且点位于第一象限，在图中画出（点A、B、C的对应点分别是点、、）； (2)直接写出点、的坐标． 【答案】(1)如图所示，即为所求． (2)点、的坐标分别为和 【详解】（1）略 （2）解：点、的坐标分别为和． 58．如图，已知四边形，以点O为位似中心画四边形，使它与四边形位似，且相似比为2． 【答案】如图，四边形即为所作： 【分析】根据位似的性质作图即可． 【详解】略 59．如图，在六边形中，是边的中点．以点为位似中心，画出与六边形的位似比为的一个位似六边形． 【答案】如图：六边形即为所求(答案不唯一) 【分析】连接、、、，再分别取、、、、、的中点，然后依次连接各中点即可． 【详解】解：六边形上的点、、、、、和六边形上的点、、、、、分别对应，并且它们的连线、、、、、都经过同一点，且， 故六边形与六边形是位似图形，位似比为． 60．如图，已知四边形．按下列要求分别画出它的一个位似四边形，且使新四边形与原四边形的位似比． (1)位似中心在四边形的外部． (2)位似中心在四边形的内部． (3)位似中心在四边形的一个顶点上． 【答案】(1)解：由题意，作图如下（答案不唯一）： (2)解：由题意，作图如下（答案不唯一）： (3)解：由题意，作图如下（答案不唯一）： 【分析】根据位似图形的性质，按要求画图即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 61．如图，已知．以点A为位似中心，画出一个，使与位似，且位似比为． 【答案】或 【分析】根据位似比确定原顶点的对应点，然后顺次连接对应点，即可得到所求三角形． 【详解】解∶如图：在线段上取点，满足．在线段上取点，满足，连接，所得即为所求的位似三角形． 图略 如图：在线段的反向延长线上取点，满足．在线段的反向延长线上取点，满足，连接，所得即为所求的位似三角形． 图略 62．如图，已知四边形，利用尺规作图作一个四边形，使四边形与四边形相似，且相似比为． 【答案】如图所示，四边形即为所求．（答案不唯一） 【分析】分别作射线、，连接并延长，分别在射线上截取， ，，依次连接即可． 【详解】略 63．在图中右边的方格图中描出左边方格图中所示图形的放大图形． 【答案】按放大原图形即可得到符合要求的放大图形，作图结果如图所示： 【分析】图形放大后形状不变，所有对应边长扩大相同倍数．解题时应先确定原图形所有顶点的位置，按照放大比例计算得到放大后各对应顶点的位置，再按原图形的顺序连接顶点并填充颜色即可，本题默认放大比例为． 【详解】解：略 1．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（     ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【分析】先利用位似的性质得到，则四边形与四边形相似比为3，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵四边形是四边形关于O点为位似中心的位似图形， ∴， ∴四边形与四边形相似比为3， ∴四边形的面积四边形的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，，以点C为位似中心，作的位似图形，点与原点O重合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可得到，，证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵以点C为位似中心，作的位似图形， ∴， ∴，， ∴与平行， ∴， ∴， ∵，点与原点O重合， ∴， ∴． 3．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 4．如图与是位似图形，位似中心为，，下列结论不正确的有（     ） A．与的相似比为 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似比等于对应点到位似中心的距离之比求出相似比，再结合相似三角形的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴、与的相似比为，该选项正确，不符合题意； 、由上可得：，该选项错误，符合题意； 、∵与是位似图形，且相似比为， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵与是位似图形，且相似比为， ∴，该选项正确，不符合题意． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点位似，点、的坐标分别为、，如果四边形的面积为3，那么四边形的面积是_____． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似图形是相似图形，其面积比等于相似比的平方，由对应点 和 的坐标求出相似比即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于原点位似 ， 四边形四边形 ， 点的坐标为，点的坐标为 ， 相似比为 ， ， 四边形的面积为 ， 四边形的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，，五边形的面积为S，则五边形的面积为______（用含S的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴五边形与五边形的位似比为， ∵五边形的面积为S， ∴五边形的面积为． 8．一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于x，y的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， ∴． 1．图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点，，均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画出以点为位似中心，且与位似比为的位似三角形； (2)在图2的上，找到一点，使； (3)在图3中，画出的高线． 【答案】(1)解：如图，三角形即为所求； (2)解：如图，点即为所求； (3)解：如图，即为所求； 【分析】（1）取的中点，连接，即可； （2）根据平行线分线段成比例定理可得为的中点，根据三角形的中线平分面积即可解决问题； （3）取格点上方第四个格点，连接交于点，易得，得到，得到，进而得到，即可得到. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，各个顶点的坐标分别为．以点O为位似中心，在第一象限内的直线的下方，作一个尽可能大的四边形，使其与四边形成位似关系．试找出由四边形的4个顶点分别组成的各个三角形中的一些特殊三角形，并求出该四边形的周长． 【答案】是等腰三角形，是等腰直角三角形，四边形的周长为． 【分析】设四边形与四边形的位似比为，以原点为位似中心的位似图形，对应点坐标满足原坐标乘位似比，据此得到，结合题意推出当时满足题意，利用两点间的距离公式求出对应的边长即可得到答案． 【详解】解：设四边形与四边形的位似比为 ∵， ∴， ∵在第一象限内的直线的下方，作一个尽可能大的四边形， ∴点的纵坐标都要不大于9， ∴， ∴， ∴当时满足题意， ∴满足题意的四边形的顶点坐标为， ∴，，， ，，， ∴， ∴是等腰三角形，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即是等腰直角三角形； ∵， ∴四边形的周长为． 3．“沙漏”初探，位似寻踪——二次函数图象的相似探究 数学社团开展二次函数图象探究活动中，胡老师带领同学们在绘制图象时，发现：过原点的两条正比例函数图象，与二次函数图象交于，，，四点，这四点与原点连线构成的图形形似“沙漏”（如图1）．通过对线段长度与夹角的测量分析，猜想：，结合，可以得到． (1)如图2，二次函数的表达式分别为和，过点作直线，交函数图象于，两点．试求的值． 【一般探究】 (2)如图3，若二次函数的表达式分别为（，为常数）和（，为常数），过点任意作直线，分别交二次函数图象于，两点．若直线绕点旋转，的值是否变化？请说明理由． 【归纳结论】 (3)二次函数的图象均可通过几何变换，化为顶点在坐标原点的形式．结合位似的定义以及探究过程可知：上述图象为位似图形，位似中心为坐标原点，位似比为某一常数．换言之，任意两个二次函数的图象都________．（填“相似”或“全等”） 【迁移拓展】 (4)若二次函数，以点为位似中心将二次函数图象按放大，直接写出放大后新的二次函数图象的表达式． 【答案】(1) (2)解：不变，理由如下： 联立与得：， 解得（舍去）， 即 同理可得 如图，作轴交y轴于M，作轴交y轴于N， ∵， ∴ ∴， ∵是与无关的常数， ∴的值不随直线旋转变化； (3)相似 (4) 或 【分析】（1）联立与求出，同理可得，根据勾股定理求出，，即可求出的值； （2）同（1）得，，作轴交y轴于M，作轴交y轴于N，证明，得到，可知的值不随直线旋转变化； （3）根据位似图形一定是相似图形作答即可； （4）设放大后新坐标为，根据位似的性质可知，或，，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：联立与得：， 解得：（舍去）， ∴， 同理可得 ∴，， ∴； （2）略 （3）解：位似图形一定是相似图形， 因此任意两个二次函数的图象都相似； （4）解：设放大后新坐标为， ∵以点为位似中心将二次函数图象按放大， ∴，或， 当，时，， 代入得， 即， 可知放大后新的二次函数图象的表达式为； 当，时，同理可得放大后新的二次函数图象的表达式为； 综上所述，放大后新的二次函数图象的表达式为 或． 4．如图，是正三角形，正方形的顶点E，F在边上，顶点N在边上． (1)在正三角形三边及其内部，以点A为位似中心，画出正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大；（不写画法，但要保留画图痕迹） (2)若，求（1）中所画正方形的边长． 【答案】(1) 如图，正方形为所作； (2) 【分析】（1）连接交于点，再作于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，顺次连接，则四边形为所作； （2）设正方形的边长为x，利用等边三角形的性质、直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为x，则， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， 即正方形的边长为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.4（第1课时）位似图形的概念及画法（原卷版） 目 录 类型一、位似图形相关概念辨析 1 类型二、位似图形的识别 5 类型三、判断位似中心 8 类型四、求两个位似图形的相似比 11 类型五、放大或缩小图形 14 类型一、位似图形相关概念辨析 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一直线上 C． D． 2．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 3．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点，，三点在同一条直线上 C． D． 4．如图，已知，则下列说法不正确的是（     ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．是相似比 D．点B和点D，点C和点E是对应点 5．如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 6．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍，得到．以下说法中错误的是（     ） A．点A，O，在同一直线上 B． C．点O到与的距离之比是 D． 7．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 8．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为________． 11．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 12．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的面积是1，则的面积是______． 13．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 14．如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 15．如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是__________．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 16．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 17．如图，与是位似图形，点O为位似中心．求证：． 类型二、位似图形的识别 18．下列图形中不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 19．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 20．下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 21．下列图中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 22．下列图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 23．下列图中的两个图形不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 24．下列图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 25．下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 26．下列图形中，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 27．下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 28．如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 29．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 类型三、判断位似中心 30．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 31．如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 32．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点的坐标分别为，．若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 33．如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ，四边形的各顶点坐标分别是 ， ， ， ．有下列说法：①四边形 与四边形的形状相同；②；③ ；④连接各对应顶点的直线相交于一点．其中说法正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 34．在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 35．如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 36．如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 37．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 38．如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是_________．    39．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    40．指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 类型四、求两个位似图形的相似比 41．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（     ） A． B． C． D． 42．如图，已知 与 是位似图形，点 是位似中心，若 是 的中点，则   与 的面积比是（    ） A． B． C． D． 43．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（     ） A． B． C． D． 44．如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 45．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 46．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 47．如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为．若的面积是，则的面积是（     ） A． B． C． D． 48．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 49．如图，和是位似三角形，，的周长为6，则的周长为（    ）． A．12 B．6 C．16 D．18 50．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 51．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，已知点，，则与的周长比是_________． 52．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的周长为，则的周长为______． 53．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 54．如图，一个中空的长方形铁板，外部大长方形的长和宽分别为和．大、小两个长方形左右边距为，上下边距为． (1)当时，大、小两个长方形是位似图形吗？ (2)当m和的比值是多少时，大、小两个长方形是位似图形？ 类型五、放大或缩小图形 55．如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（   ） A．三角形各角的度数扩大 B．三角形的各边的长度扩大 C．三角形的周长扩大 D．三角形的面积扩大 56．把图中的四边形ABCD缩小到原来的． 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位似中心的距离之比为______． 作法： （1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得______； （4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形． 57．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，将放大得到，使得，且点位于第一象限，在图中画出（点A、B、C的对应点分别是点、、）； (2)直接写出点、的坐标． 58．如图，已知四边形，以点O为位似中心画四边形，使它与四边形位似，且相似比为2． 59．如图，在六边形中，是边的中点．以点为位似中心，画出与六边形的位似比为的一个位似六边形． 60．如图，已知四边形．按下列要求分别画出它的一个位似四边形，且使新四边形与原四边形的位似比． (1)位似中心在四边形的外部． (2)位似中心在四边形的内部． (3)位似中心在四边形的一个顶点上． 61．如图，已知．以点A为位似中心，画出一个，使与位似，且位似比为． 62．如图，已知四边形，利用尺规作图作一个四边形，使四边形与四边形相似，且相似比为． 63．在图中右边的方格图中描出左边方格图中所示图形的放大图形． 1．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（     ） A．9 B．18 C．24 D．27 2．如图，在平面直角坐标系中，，以点C为位似中心，作的位似图形，点与原点O重合，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 4．如图与是位似图形，位似中心为，，下列结论不正确的有（     ） A．与的相似比为 B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点位似，点、的坐标分别为、，如果四边形的面积为3，那么四边形的面积是_____． 7．如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，，五边形的面积为S，则五边形的面积为______（用含S的代数式表示）． 8．一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则______． 1．图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点，，均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画出以点为位似中心，且与位似比为的位似三角形； (2)在图2的上，找到一点，使； (3)在图3中，画出的高线． 2．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，各个顶点的坐标分别为．以点O为位似中心，在第一象限内的直线的下方，作一个尽可能大的四边形，使其与四边形成位似关系．试找出由四边形的4个顶点分别组成的各个三角形中的一些特殊三角形，并求出该四边形的周长． 3．“沙漏”初探，位似寻踪——二次函数图象的相似探究 数学社团开展二次函数图象探究活动中，胡老师带领同学们在绘制图象时，发现：过原点的两条正比例函数图象，与二次函数图象交于，，，四点，这四点与原点连线构成的图形形似“沙漏”（如图1）．通过对线段长度与夹角的测量分析，猜想：，结合，可以得到． (1)如图2，二次函数的表达式分别为和，过点作直线，交函数图象于，两点．试求的值． 【一般探究】 (2)如图3，若二次函数的表达式分别为（，为常数）和（，为常数），过点任意作直线，分别交二次函数图象于，两点．若直线绕点旋转，的值是否变化？请说明理由． 【归纳结论】 (3)二次函数的图象均可通过几何变换，化为顶点在坐标原点的形式．结合位似的定义以及探究过程可知：上述图象为位似图形，位似中心为坐标原点，位似比为某一常数．换言之，任意两个二次函数的图象都________．（填“相似”或“全等”） 【迁移拓展】 (4)若二次函数，以点为位似中心将二次函数图象按放大，直接写出放大后新的二次函数图象的表达式． 4．如图，是正三角形，正方形的顶点E，F在边上，顶点N在边上． (1)在正三角形三边及其内部，以点A为位似中心，画出正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大；（不写画法，但要保留画图痕迹） (2)若，求（1）中所画正方形的边长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $