31.3 相似三角形的应用-【课课练】2026-2027学年九年级下册数学同步训练（人教版·新教材）

课课练同步训练数学九年级下册 .·∠BMA=90°，∠DMC=90°， .∠BMD+∠DMA=90°， ∠DMA+∠AMC=90°， .∠BMD=∠AMC. .:∠BDM=∠ACM=90°， .∴.△BMD∽△AMC, BM MD OC 六AM MC-MC≠L, .∴.BM≠AM, .不存在△ABM是以AB为底的等 腰直角三角形的情况， ③如图2，取AB的中点E,过点E作 AB的垂线，交x轴于点F,与直线y= mx(m>0)交于点M,连接BM,AM 则△ABM为等腰三角形， 图2 易知点E的坐标为(1,2). ·AB=25,.AE=5」 .·∠FEA=∠BOA=90°，∠FAE= ∠BAO, ∴.△FAE∽△BAO, AF AE 即AFv5 AB AO' 252 ..AF=5, ∴.F0=AF-0A=5-2=3, 8 RJ .点F的坐标为(-3,0)， 设直线EF的解析式为y=x+e,则 (-3k+e=0, k+e=2, 〔.1 k= 2, 解得 e=- -2’ 13 :.直线EF的解析式为y=2x+2 .当y=mx(m>0)与EF平行时，两 直线没有交点， 1 .m72’ 由①可知，当m=1时，△ABM是以 AB为底的等腰直角三角形， .当△ABM是以AB为底的等腰三 角形，且△ABM为锐角三角形时，m 的取值范围为2<m<1. 31.3 相似三角形的应用 夯实五分钟 15 1.B2.A 3. 4.9 素养稳提升 5.A6.A7.C8.B9.D 10.4W311.9m12.12 13.解：设其他两条边的实际长度分别为 x m,y m. 由题意，得=、y25 0.040.040.05 解得x=y=20. 答：其他两条边的实际长度都是20m. 14.解：.BC∥EF,AB⊥BC,CE⊥EF, ∴.∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90°， .∴.△ABC∽△CED, AB_BC,即624 ·CEED'即0.8ED' 解得ED=1.2. .·CE⊥EF,FH⊥EF, ∴.∠CED=∠HFD=90° 又∠CDE=∠HDF, .∴.△CED∽△HFD, CE ED HF FD' 即081.2 4 FD 解得FD=6, ∴.EF=ED+FD=7.2m. 答：河的宽度EF约为7.2m. 15.解：(1)如图，连接P1D1,P2D2 ①P ②P 桌面 D D2K 易知PD1P2D2, .△PD10△P2D20, PD DO P2D2 D20' 1_1 即 22 b=,且b1=3.2cm,, (2)b2 2 cm,l=8 cm, .3.28 :.2-乙，解得L2=5, 参考答案及解析 答：②号“E”的测量距离12应为 5 cm. 中考一点通 16.解：设BC=xm.如图，标示点H. B CE G 根据题意可得，∠ACB=∠DCE,∠B= ∠DEC=90°， .△ABC∽△DEC, AB_BC,即AB x 六DEEC,即1.20.9 4 解得AB=3 点B,C,E,G在同一水平线上，且 AB,DE,FG均垂直于BG,DE=FG=1. 2m, .四边形HBED、四边形DEGF、四边 形HBGF均为矩形， Aǖ=(3-1.2)m ·∠AFH=45°， ..∠BAF=90°-∠AFH=45°， .∴.AH=HF=BG, 4 六3-1.2=x+0.9+2.1, 解得x=12.6, AB=3×12.6=16.8(m) 答：雕像的高度AB为16.8m. 9 课课练同步训练数学九年级下册 17.解：如图，过点D作DG⊥AB,分别交 AB,EF于点G,H,则EH=AG=CD= 1.2m, DH=EC=0.8 m,DG=CA=30 m. 77 77777777777 .EF∥AB,∴.△BGD∽△FHD BG DG ·FHDH 由题意知，EF=1.7m, .'FH=EF-EH=0.5 m. BG 30 0.50.8 解得BG=18.75, ∴.AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈ 20.0(m). 答：楼高AB约为20.0m 31.4位似 夯实五分钟 1.C2.C3.D 4.（4,6)或(-4，-6) 5.（1)解：如图所示，△A'B'C即为所作 点A'的坐标为(-2,6). 8 9-876543-2-0 10 RJ (2)(2x,2y). (3)1:3. 素养稳提升 6.C7.D8.D 9.6 10.(0,2)或(4，-4) 11.（1)解：如图所示，四边形OA'B'C即 为所作 16 (2)(-2m,-2n). 提示：四边形OABC∽四边形 OA'B'C',相似比是1：2，且四边形 OA'B'C在第三象限，故对应点P'的 坐标是(-2m,-2n). 12.解：如图所示 13.解：.四边形OBCD与四边形OEFG 位似，位似中心是原点0， 点C与点F是对应顶点，且点O,C,F 的坐标分别是(0,0)，(3,7)，（9,21)， ∴.对应点坐标扩大到了原来的3倍第三十一章相似( 目31.3相似三角形的应用 08g ©学习目标 第三十一章 1.会将实际问题转化为相似三角形问题， 2.会利用相似三角形的判定和性质解决简单的实际问题. 夯实五分钟 难度：☆ 1.荣荣同学的身高为1.6m.某一时刻，她在阳3.物理课上我们学习过凸透镜成像规律.如图， 光下的影长为2m,与她邻近的一棵树的影长 蜡烛AB的高为15cm,蜡烛AB与凸透镜的距 为6m,则这棵树的高为 ) 离BE为32cm,蜡烛的像CD与凸透镜的距离 A.3.2mB.4.8mC.5.2m D.5.6m DE为8cm,则像CD的高为 cm. 2.如图，在B处立一根垂直于井口的木杆BD,从 木杆的顶端D观察点C处，视线DC与井口的 直径AB相交于点E.如果测得AB=1.6m, BD=1m,BE=0.2m,那么AC= (第3题) (第4题) 4.恒恒用两根小木棍AC,BD自制成一个如图所 示的“X形”测量工具，AC与BD交于点O,OA= OB,OC=OD,OB=3OD.现将其放进一个锥形 瓶，经测量，CD=3cm,则该锥形瓶底部的内径 A.7m B.7.4mC.8m D.9.2m AB的长为 cm 素养稳提升 难度：☆☆ 5.一根1.5m长的标杆直立在水平地面上，它在 二楼 山天花板 阳光下的影长为2.1m,此时一棵水杉树的影 2.2m 长为10.5m,则这棵水杉树的高为 一楼 A.7.5m B.8m 地面 -10m C.14.7m D.15.75m A.5.5mB.6.2mC.11m D.22m 6.如图，某超市在一楼至二楼之间安装有自动扶 7.一把椅子的侧面示意图如图所示，已知DE∥ 梯，超市一楼天花板与地面平行.张强扛着箱 子（人与箱子的总高度约为2.2m)乘自动扶 AB,DE=30 cm.CB=2CE.CA=CB 梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两 地面上A,B两点之间的距离为 () 层楼之间的高度约为 A.30 cm B.40 cm C.48 cm D.60 cm 11 课课练同步训练数学九年级下册J 三 工■ 777777 B A E mmn7ihmmmm BC D (第7题) (第8题) (第11题)》 (第12题) 章 8.周末晚上，小明陪父母在马路上散步.如图，他 12.如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光 由灯下点A处前进4m到达点B处时，测得影 下形成影子AC(AC>AB),木杆绕点A按逆 子BC的长为1m.已知小明的身高为1.6m, 时针方向旋转，直至到达地面的过程中，影子 若他继续往前走4m到达点D处，则此时影子 的长度发生变化.已知AE=4m,在旋转过程 DE的长为 中，影长的最大值为5m,最小值为4m,且影 ( 长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高 A.1 m B.2 m C.3m D.4 m 9.光的反射演示器能直观地呈现光的反射原理. 度为 m. 13.有一块三角形的草地，它的一条边长为 如图，恒恒同学拿激光笔从左边点C处发出光 线，经平面镜点O处反射后，落在右边光屏BE 25m.在图纸上，这条边的长为5cm,其他两 上的点D处(B,C两点均在量角器的边缘上， 条边的长都为4cm,求其他两条边的实际 0为量角器的中心，A,O,B三点共线，AC⊥ 长度 AB,DB⊥AB).他在实验中记录了以下数据： ①水平线段AB的长为96cm;②铅垂高度AC 的长为48cm.如果恒恒想使反射点D沿DB 方向下降35cm,那么点A沿OA方向移动的 距离为 ( A.48 cm B.36 cm C.24 cm D.12 cm 14.如图，恒恒想用学过的知识测算河的宽度 A时 EF.在河对岸有一棵高4m的树GF,树GF B时汝 汝 在河里的倒影为HF,GP=HF.恒恒在岸边调 整自己的位置.当恒恒恰好站在点B处时，看 到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点 (第9题) (第10题) C到水面EF的距离CE=0.8m,AB=1.6m, 10.如图，恒恒在A时测得垂直于地面的树的影 BC=2.4m,AB⊥BC,CE⊥EF,FH⊥EF,GF⊥ 长为4m,B时又测得该树的影长为12m,若 EF,BCEF,视线AH与水面EF的交点为D. 两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为 请你根据以上测量方法及数据，求河的宽 m. 度EF 11.小明利用光线测古城墙CD高度的示意图如 图所示.如果镜子P与古城墙的距离PD= B 12m,镜子P与在点B处的小明的距离BP= E 2m,小明刚好从镜子中看到古城墙顶点C, 小明眼睛距地面的高度AB=1.5m,那么该 古城墙的高度是 12 第三十一章相似回 15.如图，在水平桌面上有两个“E”,当点P1,P2, (2)若b,=3.2cm,b2=2cm,①号“E”的测量 0在一条直线上时，在点0处用①号“E”测 距离1=8cm,要使测得的视力相同，则 第 得的视力与用②号“E”测得的视力相同. ②号“E”的测量距离1，应为多少厘米？ 三 (1)图中b1,b2,l1,L2满足怎样的关系式？ 2)P 桌面 D. 章 中考一点通 难度：☆☆☆ 16.小明和小丽很想知道一座雕像的高度AB,于17.小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来 是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量， 到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子 测量方案如下：如图，首先，小明在点C处放 针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体 置一平面镜，他从点C后退0.9m到，点E处 测量情况如下： 时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时 如图，小明边移动边观察，发现站到点E处 测得小明眼睛到地面的距离DE为1.2m.然 时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落 后，小明继续后退到点G处，用测倾器测得雕 在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时， 像的顶端A的仰角为45°，此时，EG=2.1m, 测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m, 测倾器的高度FG=1.2m.已知点B,C,E,G EC=0.8m,CA=30m. 在同一水平线上，且AB,DE,FG均垂直于 已知点A,E,C在同一水平线上，小明的身高 BG,求雕像的高度AB. EF是1.7m,请你帮小明求出楼高AB.(结 果精确到0.1m) 13