4.5 相似三角形的性质（第1课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

4.5相似三角形的性质（第1课时） 题型一：重心概念辨析 1．（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 2．（26-27八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（     ） A．三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形的外角等于两个内角之和 C．在中，， 则为钝角三角形 D．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 【答案】D 【分析】根据钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上，可判断A，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可判断B，根据三角形内角和为，可判断C错误，根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，可判断D． 【详解】A∵钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上， ∴不是所有三角形高线交点都在三角形内部，故A错误． B.∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴选项缺少限制条件，故B错误． C.∵三角形内角和为，， ∴最大角为， ∴是直角三角形，不是钝角三角形，故C错误． D.根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，故D正确． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．三角形的三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 C．在中，，则为钝角三角形 D．三条线段长度分别为，，，则这三条线段可以组成一个三角形 【答案】B 【分析】根据三角形的高线，中线，内角和定理，三角形的三边关系逐一分析即可. 【详解】解：选项A：锐角三角形三条高线的交点在三角形内部，钝角三角形三条高线所在直线的交点在三角形外部，直角三角形三条高线的交点在直角顶点，因此A错误； 选项B：根据三角形重心的定义，三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心，因此B正确； 选项C：∵ ，三角形内角和为， ∴ 最大角，为直角三角形，因此C错误； 选项D：∵ ，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴ 这三条线段不能组成三角形，因此D错误. 4．（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中线及重心的定义． 逐一分析每个选项，结合三角形的相关定义和性质判断其正确性． 【详解】解：A、根据三角形三边关系，任意两条线段长度之和必须大于第三条线段，并非任意三条线段都能围成三角形，此选项不符合题意； B、三角形的角平分线是线段，而非射线，此选项不符合题意； C、三角形的三条高所在的直线相交于一点，但钝角三角形的高会交于三角形外部，并非高本身一定相交于一点，此选项不符合题意； D、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，此选项符合题意． 故选：D． 5．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）一个三角形的重心是该三角形（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．以上都是 【答案】C 【分析】根据三角形三条中线的交点是三角形的重心解答即可．本题考查了三角形的重心，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据三角形三条中线的交点叫作三角形的重心， 故选：C． 6．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了三角形的角平分线、中线和高．根据三角形的角平分线的定义和三角形重心的定义进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，故该选项不符合题意； B、三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，故该选项符合题意； C、三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，故该选项不符合题意． D、三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型二：利用尺规作图做出重心 1．（26-27七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 【答案】(1) 如图所示； (2) 的重心O如图所示； (3)24 【分析】本题考查了利用网格的特点作图． （1）根据轴对称的特点，作出图形即可； （2）利用长方形的特点找到边，的中点，两条中线的交点即可为重心； （3）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形的面积为． 故答案为：24． 2．（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的重心． 【答案】(1)如图所示，的垂直平分线即为所求： (2)如图所示，的重心O即为所求： 【分析】（1）取格点E，F，由网格的特征可知，四边形是正方形，由正方形的性质可知，则的垂直平分线即为所求； （2）分别作出的边的中点，连接交于点O，则点O为的重心． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26七年级下·上海普陀·期末）已知，请根据不同条件与要求完成以下作图任务： 任务一：尺规作图 如图1，已知，请用直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)求作边上的中线； 任务二：无刻度直尺作图 已知的顶点均在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹） (2)在图2中作边上的中线； (3)在图3中作边上的高． 【答案】(1)解：边上的中线如图所示； (2)解：边上的中线如图所示； (3)解：边上的高如图所示． 【分析】（1）用尺规作线段的垂直平分线即可； （2）作出的边上的中线，两条中线交于点O，连接并延长即可； （3）作出的边上的高，两条高交于点G，连接并延长即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：略． 4．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，各点坐标分别为，，． (1)仅用直尺在给出的图形中画出的重心（不写作法）； (2)画出关于轴对称的图形，直接写出点，，的坐标和的面积； (3)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 解：如图，用直尺连接任意两条边的中点与对顶点，两条中线的交点即为点． (2) 如图，即为所求． 点，，；的面积为 (3) 解：为直角三角形，理由如下： 根据勾股定理，，，， ， ， 为直角三角形． 【分析】（1）连两条中线，交点即为重心； （2）根据“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数”，分别找出点，，的坐标；用割补法求三角形的面积； （3）利用两点间距离公式，根据勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形． 【详解】（1）略 （2） 解：关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数，点，，． 将放入长方形中采用割补法计算面积， 长方形长为，宽为，面积为， 周围三个直角三角形的面积分别为，，， 的面积为． 答：点，，；的面积为． （3）略 【点睛】本题考查三角形的重心概念，平面直角坐标系中的轴对称变换，三角形面积的计算，三角形形状的判定，掌握关于轴对称的点的坐标变化规律是解题关键． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)作出关于轴对称的（与，与，与为对称点），请直接写出点（ ， ）的坐标； (2)，，连接、，请你通过格点和无刻度的直尺，画出的重心，并直接写出点（ ， ）的坐标． 【答案】(1) 如图，点， (2)如图，由图可知：重心． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和轴对称的坐标变换、重心的定义等知识点 （1）根据图形的对称性，分别作A、B、C三点关于x轴对称的点、、，连接三点即得所求图形； （2）根据网格特点容易得到：的中点 在轴上， 中点坐标在y轴上，由此画出中线，交点即重心． 【详解】（1）略 （2）略 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为． (1)画出与关于轴对称的； (2)（2）在轴上确定点，使得与之和最小，直接写出点的坐标为 ； (3)仅用无刻度的直尺画出的重心．（保留作图痕迹） 【答案】(1) 解：如图1，△A1B1C1即为所求； (2) 解：如图2，点Q即为所求，点Q的坐标为， (3) 解：如图3，点G即为的重心． 【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别找出A、B、C关于y轴的对应点位置，再连接即可； （2）作出点B关于x轴的对应点，再连接A、，与x轴的交点即为所求； （3）分别求作各边上的中线，其中线交点即为所求作的点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 7．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)请在坐标系中画出； (2)画，使它与关于轴对称； (3)画出的重心点． 【答案】(1) 如下图，即为所作， (2) 如图，即为所作， (3) 如图，点即为所作 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，坐标与图形，三角形的重心，全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，三角形三条中线的交点为三角形的重心，采用数形结合的思想是解此题的关键 （1）在坐标系中，找出三点，再顺次连接即可； （2）在坐标系中，找出三点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据三角形三条中线的交点为三角形的重心，找出点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由格点可知点为的中点，连接，则为的中线， 在上取一点使，连接交于点， 则， ， ， ， ， 则点为的中点，连接，交于点，点即为所求． 题型三：根据重心的性质求面积 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 2．（26-27八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，的两条中线，交于点F，若四边形的面积为18，则的面积是（   ） A．54 B．51 C．42 D．41 【答案】A 【分析】连接并延长，交于点，得到三角形的三条中线，利用中线的性质得到，求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， 三角形三条中线必交于一点，为三角形的重心， 也是的中线， 由中线的性质得， 由是的中线，是的中线， ， 同理， ， ． 3．（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的总面积，再利用三角形重心的性质求出和 的值，最后与已知面积进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵、、的面积分别为、、， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，点O是的重心，，则四边形的面积是（     ） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】C 【分析】根据重心的性质可得，分别为的中点，再根据比例关系得到面积间的关系即可． 【详解】解：点O是的重心， ，分别为的中点， ， ， ， ， ． 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，中，，点O是的重心，过点C作交射线于点E，连接，若的面积是6，则四边形的面积为________． 【答案】 8 【分析】连接并延长交于点D，过点E作于点F，根据等腰三角形三线合一性质及重心定义可得且，结合证得四边形为矩形，利用角角边证明与全等，得到点O为的中点，再计算直角梯形的面积，最后求和即可． 【详解】解：连接并延长交于点D，过点E作于点F，如图， ，点是的重心， ，，， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ，， 在与中， ， ， ， 点O为的中点， 点D为的中点， 为的中位线， ， ，即， ， ， ． 6．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在一个的正方形网格中，点、、均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图的过程） (1)在图1中作出的高； (2)在图2中作出的重心，连接线段，然后直接写出的面积． 【答案】(1)解：如图所示即为所作， (2)如图所示点即为所求， ， 【分析】（1）利用网格构造等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质作图即可； （2）利用矩形的对角线互相平分，找到线段和线段的中点，作出边和边的中线，交点即为重心，连接，再利用三角形中线平分三角形面积和重心的性质即可求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：， 设的中点为，则， ∵的重心为， ∴的面积为． 7．（2026·浙江·模拟预测）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在图中标出的重心O． (2)如图2，在线段标出点E，在线段上标出点F，连接，使得与的面积比为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据重心的定义，分别作的边上的中线，交点即为所求； （2）取格点，使得，且，同理取格点，使得，且，则，又因为，所以，且相似比为，易得与的面积比为．． 【详解】（1）略 （2）略 8．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意可得点G是的重心，由重心的性质可得，据此求出的长即可得到答案； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再由（1）得，据此可得． 【详解】（1）解：∵在中，中线相交于点G， ∴点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴； 由（1）得， ∴， ∴． 9．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，，连接交于点G，连接． (1)当时，求的值； (2)当时，取边中点F，连接交于点H．已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质、三角形重心的性质、相似三角形的判定和性质，重点掌握平行线分线段成比例的性质是解决本题的关键． （1）根据可得，则，进而可得，再根据平行线分线段成比例的性质可得，结合即可求解； （2）根据题意可证G为的重心，则，求出的长，再根据题意可证结合G为的重心的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴D、E分别为和边中点． ∴G为的重心． ∴． ∵， ∴． ∵E为边中点、F为边中点， ∴． ∴． ∵G为的重心． ∴． ∴． ∴． 10．（2025·浙江绍兴·三模）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键； （1）过点作，得出，证明，进而可得，，得出，即可求解． （2）同（1）可得，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 题型四：根据重心的性质求线段长度 1．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，D，E分别为边，的中点，连接，交于点F，则线段的长为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】三角形三条中线的交点是重心，重心把每条中线分为两部分（重心到顶点的距离重心到对边中点的距离=），直角三角形中斜边中线等于斜边的一半． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵D，E分别为边，的中点， ∴，为的两条中线， ∴点F是的重心， ∴， 即， ∵E为的中点， ∴， ∴． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，点为中点，点为的重心，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在的延长线上取一点，使，连接，，延长交于点，先证四边形为平行四边形，再证 点为的中点，从而得，进而得，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出即可得到的长． 【详解】解：在的延长线上取一点，使，连接，，延长交于点， 点为的重心， ，为的中线， ，， 又， 四边形为平行四边形， ， 即 ， 直线、被平行线、所截， 根据平行线分线段成比例定理，得． ，即， ，即． 点为的中点， ， ， ， ， 为斜边上的中线，， ， ∴． 3．（2026·福建泉州·一模）如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】延长交于，由重心得，，即可求解． 【详解】解：延长交于， 点G是的重心，， ，， ， ． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，C是第三象限内的一点，连接、，分别交x轴、y轴于D、E两点．若O是的重心，则的长是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数解析式求出相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，根据重心确定中位线，进而即可求解． 【详解】解：直线中，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 由勾股定理得到：， ∵O是的重心， ∴D、E分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． 5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形重心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，合理作图是关键． 根据三角形的重心得到，证明，求出，再证明即可求解． 【详解】解：如图1所示，连接并延长交线段于点，与交于点，连接， ∵点为三角形的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2所示，过作于， ∵是的中线， ， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， ，即， ． 故选：B． 6．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，点是的重心，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了重心，斜边的中线等于斜边的一半．根据在中，，点是的重心，得，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，，点是的重心， ∴是边上的中线，， 则， 故选：C． 7．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为．则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质．根据重心的特性作出辅助线是解决问题的关键． 根据为重心确定为中位线，再根据为重心确定，最后证明相似利用比例关系求线段的长度即可． 【详解】解：为重心， 直线经过中点， 为重心， 直线经过中点， 直线和直线交于中点处， 连结，并延长，交于一点，连结，如图所示， 是的重心， ， ， P，Q分别是和的重心， ， ∴ ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 题型五：根据重心的性质求线段比值 1．（26-27九年级·湖南株洲·自主招生）如图，G为的重心，点D在延长线上，且，过D、G的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的性质与判定，添加平行线的辅助线构造相似三角形是解题的关键．延长交于点，过点作交延长线于点，根据重心的性质可得，，再根据得到，推出，通过证明得到，推出，再证明得到，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作交延长线于点， ∵G为的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，关键是由，推出．取中点M，连接，由三角形重心的性质得到，E是中点，由三角形中位线定理推出，，判定，推出，得到，求出，即可得到的值． 【详解】解：取中点M，连接， ∵点G是的重心， ∴，E是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（26-27九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，为的重心，点在延长线上，且，连接并延长交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，过点作交延长线于点，根据重心的性质可得，，再根据得到，推出，通过证明得到，推出，再证明得到，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作交延长线于点， ∵G为的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，为的重心，经过点，，分别交，于点，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接并延长交于点，根据重心的性质得出，再利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， ∵为的重心 ， ∴为的中线，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，已知在矩形中，点在边上，在的延长线上取点，连接、，的重心在线段上，连接，若四边形是菱形，那么的值为________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，由三角形重心的性质可得为的中线，，则，由矩形的性质可得，即，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵四边形为菱形， ∴， ∵的重心在线段上， ∴为的中线，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，已知点O是等腰直角三角形的重心，过点O作于点D，于点E，则的值是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了重心的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，证明A、O、D在同一条直线上，是等腰直角三角形，设，则，求得，据此求解即可． 【详解】解：作于点， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∵点O是等腰直角三角形的重心， ∴点O在上，且点D与点重合， ∴A、O、D在同一条直线上， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7.（25-26八年级下·上海·期中）在中，，，G是的重心． (1)求的长； (2)过点G作，分别交、于点D、E，猜想与的比值，并证明． 【答案】(1)8 (2) 解：比值为，证明如下： 如图，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴与的比值为． 【分析】（1）延长交于点，根据三角形的重心可得，，再由等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）连接，根据共高三角形面积比等于底之比进行转化求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵点G是的重心 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ （2）略 题型六：重心的性质解答题综合 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在中，，，是的重心． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1)10 (2)40 【分析】（1）延长交于点D，利用重心的意义得出，，再根据勾股定理求出，再根据重心的性质得出 即可求出答案． （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点D，    ∵G为重心， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解： 2．（2025·上海崇明·二模）如图，在中，，，．点在边上运动（不与、重合）， ，交与点，设的面积为． (1)求关于的函数关系式，及自变量的取值范围； (2)设与相交于点，当点是的重心时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，三角形重心的性质，解题的关键是证明相似． （1）证明，得出，即，得出．依题，由，即可得． （2）根据点是的重心，得出．代入（1）中结论得出．根据，即，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ， 即， ． ， ， 依题， 由， ． （2）解：是的重心， ． ． 与同高， ，即． ． 3．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的重心可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）先求出，再根据三角形的重心可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的比值为． （2）解：∵是的一条中线，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（26-27八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，E是的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：连接；连接，交于点F；连接，交于点P；作射线，交于点H． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 解：四边形是平行四边形，理由如下： ，E为的中点， ． ，四边形是平行四边形； (2) 证明：由（1）知四边形是平行四边形， F为中点， 是的中线， 是的中线， 是的中线， ，； (3) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形三线合一，三角形面积的计算，关键是看出三角形的重心和平行四边形对角线分成的四个三角形面积相等． （1）先证明再根据即可得出结论； （2）利用三角形中线交于一点和等腰三角形三线合一； （3）将四边形分割成、、，分别求出面积． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3） 解：E是的中点，F为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，． 题型六：利用重心的性质进行证明 1．（26-27九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·四川乐山·模拟预测）如图，平行四边形，E，F为上的点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求证：； (3)延长交于点，若P为中点，，，求的长 【答案】(1) 证明：连接，交于， 平行四边形， ， 在和中， ， ∴， ， 又， ， ， 四边形为菱形； (2) 证明：四边形为菱形， 垂直平分，，， ， ， 垂直平分， ， 又， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ∴； (3) 【分析】（1）连接，交于，证明，可得，然后利用平角定义即可解决问题； （2）根据菱形的性质证明，可得，然后证明，即可解决问题； （3）取中点，得到是的中位线，，，再由，得到，设，则， ，所以，设，则，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：取中点， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴，， 为中点， ∴， ∵， ∴， ， ， 设，则，， 由（2）得， 中，，， 中，，， ∴， 解得， ． 【点睛】此题属于四边形综合题，考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质定理是解题的关键． 3．（26-27九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，已知在中，中线，交于点，交于点． (1)如果，求和的长． (2)求证：． 【答案】(1)， (2) 证明：， ， 由（1）得， ， 点为重心， ， ， ． 【分析】（1）结合重心的性质、平行线分线段成比例定理推得，将，代入可得，又，即可求得； （2）证明，由相似三角形的性质可得，再由重心性质得到，即可证明． 【详解】（1）解：中线，交于点， 点为重心， ， ， ， ，， ， ． （2）略 【点睛】本题考查的知识点是重心的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握重心的性质． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点是的重心，过点作的平行线，分别交，于点，；过点作交于点．求证：． 【答案】 证明：连接并延长，交于点Q，如图所示： ∵点P是的重心， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 【分析】本题主要考查三角形的重心，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形的重心性质是解题的关键．连接并延长，交于点Q，根据重心的性质，得出，根据平行线分线段成比例定理，得出，从而得出，根据平行线分线段成比例定理得出即可． 【详解】略 5．（25-26八年级上·上海·寒假作业）如图，已知：在 中， 是 的重心，分别连接 、 和 ．求证： ． 【答案】 证明：如图，延长 、 和 ，与边 、、 分别交于点 、、，延长至点使得，连接， 是的重心， 点是边的中点，点是边的中点，点是边的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ， ， 同理，可得 ， 四边形是一个平行四边形， （平行四边形的对角线互相平分）， （三角形重心定理）， ， ， ， ． 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形中线的性质，如图，延长 、 和 ，与边 、、 分别交于点 、、，延长至点使得，连接，根据三角形重心的性质可得点是边的中点，点是边的中点，点是边的中点，易证四边形是一个平行四边形，推出，，得到，，即得出结论． 【详解】略 6．（26-27九年级上·河北沧州·期末）如图所示，已知中，为斜边上的高，为中点，为外心，交于．求证：． 【答案】 证明：如图，连接，连接交于， 为外心， ， ，， ． ， ， ， ， 为重心． ． ， ． 【分析】本题考查了三角形的外心和重心，以及相似三角形的判定与性质，是一道竞赛题，难度较大．如图，连接，连接交于，由为外心，可得，再由相似三角形判定可得，得出，从而得出，即可得，于是得出结论． 【详解】略． 题型一：重心的性质解答题压轴 1．（25-26八年级下·上海闵行·期末）利用长方形纸片，我们可以叠出不同形状的图形，并且获得一些有趣的结论： (1)如图①一张长方形纸片经过了以下两次折叠，第一次折叠后点落在边上的点处，第二次沿直线折叠后展开，请判断形成的四边形的形状，并说明理由． (2)如图②一张长方形纸片经过了以下三次折叠，第一次折叠后点落在边上，在第二次折叠中，如果沿矩形角线折叠后，点恰好落在边上的点处，第三次沿直线折叠后展开，如果，那么四边形的形状为 ，它的面积为 ． (3)如图③一张长方形纸片，点是边上一点，点为边上一点，和分别沿直线和折叠，点落在平面内点处，点落在平面内点处，点，点和点在同一直线上，如果点是的重心，，求线段和的长． 【答案】(1)四边形是正方形． 理由； 四边形是长方形， ，， 由第一次折叠知，点落在边上的点处，折痕为， ， 又， ， 在中，，， ， ， 又由折叠性质知， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形． (2)菱形，； (3) 【分析】（1） 第一次折叠使点落在边上的点处，折痕为，由折叠性质得，结合可知两角均为，从而推出且，再证四边形是矩形且邻边相等即可． （2） 由（1）得，第二次折叠后且，先判定判定四边形为平行四边形，再由邻边相等证得它是菱形，最后以为底、为高求面积． （3）先由折叠与重心性质推出，并证得，设，分别表示构造方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ， 由第二次折叠知，沿对角线折叠后点落在边上的点处， ，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴ 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， ，，， 菱形的高为， ． （3）解：设与交于点， 沿折叠后点落在点处， ，，， ． 沿折叠后点落在点处， ，，， ． 点、、在同一直线上， ，． 点是的重心，且过点， 为的中点，且， ，． 在和中， ，，， ， ， ， ， 且，即． 由折叠性质，，， ∴，， 又因为 、、、 四点共线，所以 、 分别是点 、 到直线 的垂线段， 已知 ，， 的面积为 利用矩形割补表示的面积为：   ∴ 由完全平方公式可得， ∴或（舍去） ． 2．（2026·山东青岛·二模）问题提出：以内部任意一点为中心，可以画出与成中心对称的． 数学兴趣小组提出了一个问题：当点处于不同位置时，两个三角形重叠部分的面积如何变化？ 问题分析：当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图（1）所示的平行四边形，如图（2）所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度不难发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 我们不妨从简单情形开始研究：的面积为． (1)探究一：如图（3），当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为，它的面积如何表示呢？ 我们可以运用特殊化的策略： ①若，的面积为________； ②若，的面积可表示为________． (2)探究二：如图（4），当两个三角形重叠部分为平行六边形，若，平行六边形的面积可表示为________． (3)拓展应用：在图（4）的情形下，直接写出平行六边形面积的最大值，并指出此时点的位置． 【答案】(1)①；② (2) (3)，是的重心 【分析】（1）①先证四边形是平行四边形，再证，即可得解； ②证明，可得，同理可得，再用的面积减去这两个面积即可得解； （2）连接，连接并延长交于点D，记的交点为K，，证明M，O，F共线，E，O，H共线，，，，设，则，可得，再进一步求解即可． （3）利用（2）中的式子求最值即可，求出，可得O是的重心． 【详解】（1）解：①由中心对称的性质得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②同理①可得：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：如图（4），连接，连接并延长交于点D，记的交点为K， ∵与关于O成中心对称，“平行六边形”， ∴M，O，F共线，E，O，H共线，， ∴, ∵ ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 同理：， ∴，即， 同理：， ∴，即， ∴， ∴平行六边形的面积 ； （3）解： 同理：， ∴， ∴的最小值为：， 此时， ∴，即， ∴“平行六边形”的面积的最大值为：； ∴， ∴； 同理：， ∴， ∴， ∴O是的重心． 3．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 【答案】(1)相等，； (2) 解：与的值相等，等于， 理由是：∵， ∴， ∵， ∴， 即与的值相等，等于． 【分析】（1）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可； （2）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设的中点为，连接， ∵是的重心， ∴即， ∵， ∴ ∴， 即与的值相等，且都等于； （2）略 4．（25-26九年级上·江苏南京·期末）确定重心位置 我们知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，其他平面图形的重心在什么位置呢？根据数学方法、物理知识，我们可以这样确定平面图形及其组合图形的重心位置： ①对称图形的重心在其对称中心或对称轴上； ②若图形由两部分组成，其重心位于连接这两部分重心的直线上； ③若图形由面积相等的两部分组成，其重心是这两部分重心连线的中点； ④若图形由面积不相等的两部分组成，其重心位置满足杠杆原理，关系如上． (1)在方格纸中，仅用无刻度直尺画出图1～图3中阴影所示图形的重心G的位置； (2)如图4，一般四边形的重心位置如何确定？请写出确定其重心位置的主要思路，并画出示意图． (3)在一张匀质平整卡纸上打了5个孔，打孔后的卡纸仍是轴对称的，具体尺寸如图5所示，求打孔后卡纸的重心比之前偏移了多少？（结果精确到，取3．） 【答案】(1)如图1，重心G即为所求： 如图2，重心G即为所求： 如图3，重心G即为所求： (2)①连接，将四边形分成和， ②分别作出和的重心，； ③由题意中的情况④可知，四边形的重心在上，且满足， ④设的面积为，的面积为，则，，故， ⑤在上重心G，使即可， 如图，四边形的重心位置示意图为所求： (3)打孔后卡纸的重心比之前偏移了 【分析】（1）结合题意针对不同方格纸内的图形作出对应的重心即可； （2）根据题意中情况④进行分析画图即可； （3）原图形为矩形，其重心在对角线，的交点处，取，的中点M，N，连接，打孔后，矩形分为矩形和矩形，分别作出对应的重心，结合情况④得出对应的关系式并将涉及的线段分别表示出，列出二元一次方程组并求解出的值，最后即可求得打孔后卡纸的重心比之前偏移的距离． 【详解】（1）解：对于图1： ∵该三角形是等腰三角形，属轴对称图形， ∴其重心在对称轴上； 对于图2： 设六边形图形面积为，等腰三角形图形面积为， ∵， ∴； 对于图3： 将多边形分成正方形和矩形，设正方形面积为，矩形面积为，取正方形重心为，矩形重心为，连接，连接方格纸对角线，与阴影图形的边长交点为N，与的交点为G，取正方形右上角的点M，连接， ∴， ∴， ∴， 由图形可知，， ∴， 即． （2）略 （3）解：如图，原图形为矩形，其重心在对角线，的交点处，取，的中点M，N，连接， 打孔后，矩形分为矩形和矩形， 分别作矩形的重心，矩形的重心， 连接，在线段上取一点， ∵，， ∴ ， ∵， ∴联立，解得， ∴， 即打孔后卡纸的重心比之前偏移了． 5．（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】 证明：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用： 证明：点是的重心， ， 又， ， ； 提升：应用中结论成立．证明： 如图，过点作交的延长线于点与的延长线相交于点， 则， ， ， 又， 而是的中点，即， ， ， 又， ， 故结论成立． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形的中位线，平行线分线段成比例： 证明：利用三角形的中位线和三角形的相似即可证明结论； 应用：利用三角形的重心和平行线分线段成比例即可证明； 提升：过点作交的延长线于点与的延长线相交于点，则，得到，进而推出，，即可证明． 【详解】证明：点为的重心， 点分别为线段的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∴得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用：略 提升：略 6．（25-26八年级上·广西钦州·期末）项目式学习． 【项目背景】我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态． 【探究1】关于三角形的重心还有哪些性质呢？ （1）如图2， 是的中线，它们面积的大小关系为： （填写，或）； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点O为的重心，求 ； （3）如图4，在中， 点O为的重心． 连接并延长， 分别交于点D， E． 若， 求的面积； 【探究2】小王向小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形A 与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A 的重心与图形B的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． 【答案】（1） （2） （3） （4）如图所示，直线即为所求． 【分析】（1）根据三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，据此判断与的关系． （2）利用三角形重心的性质，即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，来求解． （3）先根据重心性质得出线段比例关系，再结合垂直条件求出相关三角形面积，进而推导出的面积． （4）将图6的图形拆分为两个基本图形（三角形和长方形），分别确定它们的重心，连接重心的直线即为该图形重心所在直线． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 又∵和同高， ∴， 故答案为：． （2）∵点为的重心， ∴， ∴，，，， ∴即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：2． （3）连接并延长交于点． ∵点是的重心， ∴由（2）得，， ∵，， ∴，；，． ∵， ∴． ， ， ， ∵点是重心， ∴由（2）得， ∴． ∴， 故答案为：． （4）略 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质、三角形中线与面积的关系、图形的拆分与重心确定，熟练掌握三角形重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为以及等底同高三角形面积相等是解题的关键． 1．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心性质及直角三角形面积公式，首先根据直角三角形面积公式求出 的面积，再利用三角形重心的性质：重心与三个顶点连线将三角形分成面积相等的三个三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ 点 是的重心， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，四边形为平行四边形，E为的中点，点G为和的交点，点F为和延长线的交点．下列说法错误的是（   ） A． B．点G为的重心 C．四边形是平行四边形 D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，确定，即可判断A；利用平行四边形的判定即可判断C；结合平行四边形的性质及重心的定义即可判断B，无法证明，即可判断D 【详解】解：∵E是中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为的中线， ∵为的中线， ∴点G为的重心，选项B正确，不符合题意； 无法证明，选项D错误，符合题意 3．（2025九年级上·重庆·专题练习）如图，O是的重心．若的面积是12，则阴影部分的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ， ， 故选：D． 4．（26-27九年级上·山东临沂·期中）三边的长分别为，，的，它的重心为，外心为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形重心和外心的性质．根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用斜边上的中线为斜边长的一半求出中线的长度，然后由重心的性质求出的长度即可． 【详解】解：如图所示，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵外心为是直角三角形的外心， ∴在斜边的中点上， ∴， ∵是的重心， ∴． 故选：C． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线、重心，三角形面积，由题意可得，利用三角形重心性质可得，进而可得，即可判断结论A正确． 【详解】解：内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6， ， 的重心为G， ， ， 点D、G到的距离相等，且位于的同侧， ，故结论A正确；结论B错误； 又，， ∴，故选项C、D错误， 故选：A． 6．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题主要考查了重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵三角形的重心是三角形中线的交点， ∴它的重心在线段上． 故选：B． 7．（2025·浙江衢州·二模）如图，的中线交于点，连结，设的面积为的面积为的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形中线性质，推出点为的重心，以及，进而证明，，得到，，再结合三角形中线性质，三角形重心性质推出与的数量关系，即可得解． 【详解】解： 的中线交于点， ，点为的重心， ，， ，， ，即， ； 由中线性质可知，， 又， ， ， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中线性质，三角形中位线性质和判定，三角形重心性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 8．（26-27九年级上·江苏淮安·开学考试）在中，边上的中线等于，那么这个三角形的重心到顶点的距离是________． 【答案】4 【分析】根据三角形重心的性质，三角形的重心将中线分为长度比为的两段，重心到顶点的距离为对应中线长度的，代入中线的长度即可计算得到结果． 【详解】解：是的重心，是边上的中线， ， ， ． 9．（25-26八年级下·上海普陀·期末）在 中， ， ， ，那么 的重心G到斜边 的中点的距离是_____________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，即为的中点，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出中线的长，最后根据重心的性质计算的长即可得到结果． 【详解】解：连接并延长交于点 ， ∵是的重心， ∴是的中线，即为的中点， ∵ ， ∴ ， 在 中，， ， ， ∴由勾股定理得： ， ∴， 根据重心的性质可知， ∴， 即的重心到斜边中点的距离是． 10．（25-26八年级下·上海宝山·期中）如图，在中，点为重心，延长交于点，若平分，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据重心的定义得出是的中线，过点作，，结合平分，利用全等证得，用等腰三角形“三线合一”的性质判定，利用勾股定理求出的长，最后根据重心的性质求出的长． 【详解】解：点为的重心，延长交于点， 是的中线， 为的中点， ， 过点作，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 点为的重心， ． 11．（25-26八年级下·上海·期中）在等腰中，，，是的重心，将绕点旋转，使点恰好与点重合，此时点落在点处，连接，那么四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用等腰三角形三线合一，勾股定理，重心的性质以及旋转的性质，先求出是等边三角形，再求出的面积，最后计算四边形的面积即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，过点D作于点Q，连， ， ， 是的重心 ， 在上， ， 设，则， 由旋转的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 在中， ， ， ， 是等边三角形， 旋转角为， 是等边三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， 在中， ， ， 四边形 的面积． 12．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在如图所示的网格图中描出边的中点． (2)连接，在线段上描出一点，使得． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据网格的特点，连接的网格的对角线，与交于点； （2）根据三角形重心的性质，连接边上的中线，交于点，则． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 相似三角形的性质（第1课时） 题型一：重心概念辨析 1．（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 2．（26-27八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（     ） A．三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形的外角等于两个内角之和 C．在中，， 则为钝角三角形 D．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．三角形的三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 C．在中，，则为钝角三角形 D．三条线段长度分别为，，，则这三条线段可以组成一个三角形 4．（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 5．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）一个三角形的重心是该三角形（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．以上都是 6．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 题型二：利用尺规作图做出重心 1．（26-27七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 2．（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的重心． 3．（25-26七年级下·上海普陀·期末）已知，请根据不同条件与要求完成以下作图任务： 任务一：尺规作图 如图1，已知，请用直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)求作边上的中线； 任务二：无刻度直尺作图 已知的顶点均在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹） (2)在图2中作边上的中线； (3)在图3中作边上的高． 4．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，各点坐标分别为，，． (1)仅用直尺在给出的图形中画出的重心（不写作法）； (2)画出关于轴对称的图形，直接写出点，，的坐标和的面积； (3)判断的形状，并说明理由． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)作出关于轴对称的（与，与，与为对称点），请直接写出点（ ， ）的坐标； (2)，，连接、，请你通过格点和无刻度的直尺，画出的重心，并直接写出点（ ， ）的坐标． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为． (1)画出与关于轴对称的； (2)（2）在轴上确定点，使得与之和最小，直接写出点的坐标为 ； (3)仅用无刻度的直尺画出的重心．（保留作图痕迹） 7．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)请在坐标系中画出； (2)画，使它与关于轴对称； (3)画出的重心点． 题型三：根据重心的性质求面积 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，的两条中线，交于点F，若四边形的面积为18，则的面积是（   ） A．54 B．51 C．42 D．41 3．（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，点O是的重心，，则四边形的面积是（     ） A．24 B．18 C．12 D．9 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，中，，点O是的重心，过点C作交射线于点E，连接，若的面积是6，则四边形的面积为________． 6．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在一个的正方形网格中，点、、均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图的过程） (1)在图1中作出的高； (2)在图2中作出的重心，连接线段，然后直接写出的面积． 7．（2026·浙江·模拟预测）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在图中标出的重心O． (2)如图2，在线段标出点E，在线段上标出点F，连接，使得与的面积比为． 8．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 9．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，，连接交于点G，连接． (1)当时，求的值； (2)当时，取边中点F，连接交于点H．已知，求的长． 10．（2025·浙江绍兴·三模）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 题型四：根据重心的性质求线段长度 1．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，D，E分别为边，的中点，连接，交于点F，则线段的长为（     ） A． B． C．2 D．3 2．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，点为中点，点为的重心，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·一模）如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，C是第三象限内的一点，连接、，分别交x轴、y轴于D、E两点．若O是的重心，则的长是（　　） A． B．2 C． D． 5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，点是的重心，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为．则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 题型五：根据重心的性质求线段比值 1．（26-27九年级·湖南株洲·自主招生）如图，G为的重心，点D在延长线上，且，过D、G的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点是的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点、，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（26-27九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，为的重心，点在延长线上，且，连接并延长交于点，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，为的重心，经过点，，分别交，于点，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，已知在矩形中，点在边上，在的延长线上取点，连接、，的重心在线段上，连接，若四边形是菱形，那么的值为________． 6．（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，已知点O是等腰直角三角形的重心，过点O作于点D，于点E，则的值是________． 7.（25-26八年级下·上海·期中）在中，，，G是的重心． (1)求的长； (2)过点G作，分别交、于点D、E，猜想与的比值，并证明． 题型六：重心的性质解答题综合 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在中，，，是的重心． (1)求的长； (2)求． 2．（2025·上海崇明·二模）如图，在中，，，．点在边上运动（不与、重合）， ，交与点，设的面积为． (1)求关于的函数关系式，及自变量的取值范围； (2)设与相交于点，当点是的重心时，求的面积． 3．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 4．（26-27八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，E是的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：连接；连接，交于点F；连接，交于点P；作射线，交于点H． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求四边形的面积． 题型六：利用重心的性质进行证明 1．（26-27九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 2．（2026·四川乐山·模拟预测）如图，平行四边形，E，F为上的点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求证：； (3)延长交于点，若P为中点，，，求的长 3．（26-27九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，已知在中，中线，交于点，交于点． (1)如果，求和的长． (2)求证：． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点是的重心，过点作的平行线，分别交，于点，；过点作交于点．求证：． 5．（25-26八年级上·上海·寒假作业）如图，已知：在 中， 是 的重心，分别连接 、 和 ．求证： ． 6．（26-27九年级上·河北沧州·期末）如图所示，已知中，为斜边上的高，为中点，为外心，交于．求证：． 题型一：重心的性质解答题压轴 1．（25-26八年级下·上海闵行·期末）利用长方形纸片，我们可以叠出不同形状的图形，并且获得一些有趣的结论： (1)如图①一张长方形纸片经过了以下两次折叠，第一次折叠后点落在边上的点处，第二次沿直线折叠后展开，请判断形成的四边形的形状，并说明理由． (2)如图②一张长方形纸片经过了以下三次折叠，第一次折叠后点落在边上，在第二次折叠中，如果沿矩形角线折叠后，点恰好落在边上的点处，第三次沿直线折叠后展开，如果，那么四边形的形状为 ，它的面积为 ． (3)如图③一张长方形纸片，点是边上一点，点为边上一点，和分别沿直线和折叠，点落在平面内点处，点落在平面内点处，点，点和点在同一直线上，如果点是的重心，，求线段和的长． 2．（2026·山东青岛·二模）问题提出：以内部任意一点为中心，可以画出与成中心对称的． 数学兴趣小组提出了一个问题：当点处于不同位置时，两个三角形重叠部分的面积如何变化？ 问题分析：当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图（1）所示的平行四边形，如图（2）所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度不难发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 我们不妨从简单情形开始研究：的面积为． (1)探究一：如图（3），当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为，它的面积如何表示呢？ 我们可以运用特殊化的策略： ①若，的面积为________； ②若，的面积可表示为________． (2)探究二：如图（4），当两个三角形重叠部分为平行六边形，若，平行六边形的面积可表示为________． (3)拓展应用：在图（4）的情形下，直接写出平行六边形面积的最大值，并指出此时点的位置． 3．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期末）确定重心位置 我们知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，其他平面图形的重心在什么位置呢？根据数学方法、物理知识，我们可以这样确定平面图形及其组合图形的重心位置： ①对称图形的重心在其对称中心或对称轴上； ②若图形由两部分组成，其重心位于连接这两部分重心的直线上； ③若图形由面积相等的两部分组成，其重心是这两部分重心连线的中点； ④若图形由面积不相等的两部分组成，其重心位置满足杠杆原理，关系如上． (1)在方格纸中，仅用无刻度直尺画出图1～图3中阴影所示图形的重心G的位置； (2)如图4，一般四边形的重心位置如何确定？请写出确定其重心位置的主要思路，并画出示意图． (3)在一张匀质平整卡纸上打了5个孔，打孔后的卡纸仍是轴对称的，具体尺寸如图5所示，求打孔后卡纸的重心比之前偏移了多少？（结果精确到，取3．） 5．（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 6．（25-26八年级上·广西钦州·期末）项目式学习． 【项目背景】我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态． 【探究1】关于三角形的重心还有哪些性质呢？ （1）如图2， 是的中线，它们面积的大小关系为： （填写，或）； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点O为的重心，求 ； （3）如图4，在中， 点O为的重心． 连接并延长， 分别交于点D， E． 若， 求的面积； 【探究2】小王向小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形A 与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A 的重心与图形B的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． 1．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，四边形为平行四边形，E为的中点，点G为和的交点，点F为和延长线的交点．下列说法错误的是（   ） A． B．点G为的重心 C．四边形是平行四边形 D． 3．（2025九年级上·重庆·专题练习）如图，O是的重心．若的面积是12，则阴影部分的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（26-27九年级上·山东临沂·期中）三边的长分别为，，的，它的重心为，外心为，则的长是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 6．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 7．（2025·浙江衢州·二模）如图，的中线交于点，连结，设的面积为的面积为的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·江苏淮安·开学考试）在中，边上的中线等于，那么这个三角形的重心到顶点的距离是________． 9．（25-26八年级下·上海普陀·期末）在 中， ， ， ，那么 的重心G到斜边 的中点的距离是_____________． 10．（25-26八年级下·上海宝山·期中）如图，在中，点为重心，延长交于点，若平分，，，则的长为_______． 11．（25-26八年级下·上海·期中）在等腰中，，，是的重心，将绕点旋转，使点恰好与点重合，此时点落在点处，连接，那么四边形的面积为________． 12．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在如图所示的网格图中描出边的中点． (2)连接，在线段上描出一点，使得． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $