31.2.2（第2课时）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（分层作业）数学新教材人教版九年级下册

31.2.2（第2课时）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （解析版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 13 C.拓展培优 28 1．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 2．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用SAS判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 3．如图，在中，，分别是上的点，连接．添加下列条件，其中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用． 根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：∵， A．若添加，能证明，不符合题意； B．若添加，能证明，不符合题意； C．若添加，能证明，不符合题意； D．若添加，不能证明，符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等．关键是分析每个选项中的条件是否符合相似三角形的判定规则． 【详解】解：在和中，为公共角． 选项A：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项B：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项C：∵，即，且， ∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，； 选项D：∵，即，但该比例对应的角不是公共角，不满足相似三角形的判定条件， ∴不能判定． 故选：D． 5．已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键掌握两角对应相等或两边对应成比例且夹角相等（）等判定方法．已知，结合各选项条件判断与是否相似． 【详解】解：∵， 选项A：∵，且，∴，故A能判定相似，不符合题意； 选项B：∵，且，∴，故B能判定相似，不符合题意； 选项C：∵，即，且，∴，故C能判定相似，不符合题意； 选项D：∵，即，但夹角与不一定相等，故D不能判定相似，符合题意 ． 故选：D． 6．能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 7．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．， ， 即， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．， ， 又，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 8．如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案. 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴. 故答案为：，，. 9．在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】根据，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 10．在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 11．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 12．如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可． 【详解】解：∵∠A=∠A， ∴添加或或（答案不唯一）． 13．如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【答案】54或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 已知，只需要夹边成比例即可得到与相似，再分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴与相似时，或 ∴或 ∴或， 故答案为：54或． 14．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． (1)若，则与是否相似？为什么？ (2)若，则与是否相似？为什么？ 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)与相似，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据两角相等，两三角形相似证明即可； （2）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，；，，． (2)，． 【答案】(1)，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴； (2)与不一定相似，理由如下： ∵，， ∴， ∵两组边的夹角与的大小关系不确定， ∴与不一定相似． 【详解】（1）略 （2）略 16．已知：在和中，，，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，，， ∴，， ∴． 又∵． ∴． 【详解】略 17．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， 又， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】略 18．如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． (2)． 【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用三边对应成比例判定相似求解； （2）先由，可得，再证明，接着利用勾股定理求得，从而可求得，再利用相似三角形的性质列出比例式求得，然后正切的定义求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． 19．如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵且， ∴， ∴， ∴， 即； (2)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据两边对应成比例及其夹角相等判定，再利用相似三角形的性质即可证明； （2）由得到，则有，再根据两边对应成比例及其夹角相等即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的证明，利用两边成比例且夹角相等证明三角形相似是解题的关键． 首先根据得到，再根据即可求证． 【详解】略 21．如图，已知． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ 则 ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，故，整理得，即可作答． （2）由，得，再结合，故，即可作答． 【详解】（1）略． （2）略． 22．如图，已知，点在上，添加下列条件中的一个：①；②；③；④，能判定的条件的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判定即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，则，故①能判定； 当时，则，故②能判定； 当，不是夹角的对应边比，不能判定，故③不能判定； ④，不能判定，故④不能判定； 综上，能判定的条件的个数为个． 23．如图，线段，交于点，连接，．添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意有：， A项，，结合，利用两角分别对应相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； B项，，结合，利用两角分别对应相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； C项，，无，无法利用两边成比例且夹角相等来判定与相似，故此项符合题意； D项，，结合，利用两边成比例且夹角相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； 故选：C． 24．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意． 选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意． 25．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵， ∴， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，不符合题意； D、∵，夹角和不一定相等， ∴不能证明，符合题意． 26．如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由对顶角相等及已知线段比例，利用相似三角形判定定理即可得出结论． 【详解】解：由图可知 即①和③相似． 27．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 28．如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似和平行线的判定方法，解题的关键是能够根据对应边成比例的条件判断出三角形相似，并确定对应角．由及可得，从而得到，无法得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 无法推出． 从而嘉嘉错误，淇淇正确． 故选： ． 29．如图①所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B以每秒2个单位的速度出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P，Q出发时间为，的面积为S．已知S与t的函数关系图象如图②（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③直线的表达式为；④当时，与相似．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据图②可以判断三角形的面积变化分为三段，判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到，再根据F、G是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【详解】解：根据图②可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是每秒2个单位长度， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵从F到G用了秒， ∴，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴点P到达点C的时间为（秒）， ∴， 设直线的表达式为 将，代入得， 解得 ∴直线的表达式为，故③正确； 当时，， ∴点P在上，如图， 此时，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 30．在与中，有下列条件：①；②；③；④．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有_______组． 【答案】3 【分析】枚举所有任取两个条件的组合，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：从4个条件中任取两个，共得到6种组合，逐一判断如下： 取①②， ∵，， ∴，三边对应成比例，可判定； 取①③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取①④，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②④， ∵，， ∴两边对应成比例且夹角相等，可判定； 取③④， ∵，， ∴两角对应相等，可判定； 综上，能判定相似的共有3组． 31．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 32．如图，平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为__． 【答案】或 【分析】结合相似三角形的判定找出可能成比例的线段：或，设，则，分别由或推出，，再结合有且只有两个点进行分类讨论即可求解． 【详解】解：， ， 当或时，与相似， 四边形是平行四边形， ， 设，则， 当时，， ， 当时，， ， 有且只有两个点， 有两种情况， 第一种情况：有两个相等的实数根， ， 或， 又， ； 第二种情况：有两个不等的实数根，且是它的一个根， ，， 或， 又， ； 综上，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定、平行四边形的性质、根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定． 33．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 34．如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】根据两边成比例且夹角相等证明即可． 【详解】略 35．如图，在矩形中，，． (1)尺规作图：作出边的中点，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)证明：∵四边形是矩形， ∴，， 由作图可知为的中点， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】先作的垂直平分线，然后连接，即可； 由矩形的性质可得，，根据作图可知为的中点，则，所以，从而可证． 【详解】（1）略； （2）略． 36．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 【答案】证明：， ，即， 又， ． 【分析】根据可得，结合可证． 【详解】略 37．如图，在正方形中，是上的点，且，是的中点．与是否相似，为什么？ 【答案】解：相似．理由如下： 设正方形的边长为，则， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 又， ∴． 【分析】设正方形的边长为，证明，即可证明． 【详解】略． 38．如图是由小正方形组成的网格，点A，B，C，D，E，F均在格点上，，网格中的这两个三角形相似吗?请说明理由． 【答案】解：相似．理由如下： 设小正方形的边长为1，由勾股定理，得，，， 又， ， 又， ． 【分析】先利用勾股定理推导出，再根据相似三角形的判定可证得结论． 【详解】略 39．完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． 40．如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）由，两边同时加，推得；结合已知边的比例关系，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得； （2）由得对应角，结合对顶角，可证．根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断A； 利用两边对应成比例且夹角相等，可以证明，由此判断B； 由2对角分别相等，可以证明，由此判断C； 由已知条件判定不成立，由此判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又是的中点， ∴， ∴， ∴， 又是上一点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A成立； 又 ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴， 故B成立； ∵， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故C成立； ，但， ∴不成立， 故D不成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质证明，利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 42．如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 令，根据勾股定理求出相关边长，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，， ∴； ， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴与不相似， 该选项错误，不符合题意； C.令，由勾股定理得， ∵， ∴，且， ∴， ∴该选项正确，符合题意； 故选：C． 43．如图，正方形的边长为4，E是对角线上的动点，以为斜边向右侧作等腰直角，点G在上且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，交于点O，首先证明，作直线交于点M，交于点N，证明时线段的垂直平分线，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，解答即可． 【详解】解：连接，交于点O， 根据题意，正方形的边长为4，E是对角线上的动点， ， ， ， 以为斜边向右侧作等腰直角， ， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 作直线交于点M，交于点N， ∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为， 在中，， ， ． ， ， ， 的最小值为． 44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点，与轴交于点，点是内任意一点，且，则的最小值为____． 【答案】 【分析】根据一次函数解析式求出点和点的坐标，得到和的长度，在上取点使得，构造，从而得到，将求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短，当，，三点共线时和最小，最小值为线段的长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，如图所示： 把代入可得：， ∴， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 在中，． 45．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 【答案】 【分析】（1）根据正方形性质，在正方形中，，在正方形中，，，从而判定是等腰直角三角形，得到，数形结合表示出计算即可得到答案； （2）先根据等腰直角三角形性质得到、，进而判定，再由相似三角形的性质得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）在正方形中，， 在以为对角线作正方形，，，则是等腰直角三角形， ， 则； （2）在等腰中，；在等腰中，； 则， ，， ， 则， ，即， 解得． 【点睛】熟记等腰直角三角形的判定与性质，结合图形找准判定两个三角形相似的方法是解决问题的关键．尤其是第二问中，借助等腰直角三角形边的关系得到是判定两个三角形相似的核心． 46．【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.2.2（第2课时）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （原卷版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 5 C.拓展培优 9 1．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，分别是上的点，连接．添加下列条件，其中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 5．已知是四边形的对角线，，下列补充的条件中，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 6．能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 7．如图，已知，点在上，添加下列条件后，仍无法判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当___________或___________或___________时，与相似． 9．在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 10．在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 11．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 12．如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 13．如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 14．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接． (1)若，则与是否相似？为什么？ (2)若，则与是否相似？为什么？ 15．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，；，，． (2)，． 16．已知：在和中，，，，，．求证：． 17．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 18．如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 19．如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 20．如图，，，求证：． 21．如图，已知． (1)求证：； (2)求证：． 22．如图，已知，点在上，添加下列条件中的一个：①；②；③；④，能判定的条件的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．如图，线段，交于点，连接，．添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 24．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 25．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 26．如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 27．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 28．如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 29．如图①所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B以每秒2个单位的速度出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P，Q出发时间为，的面积为S．已知S与t的函数关系图象如图②（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③直线的表达式为；④当时，与相似．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．在与中，有下列条件：①；②；③；④．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有_______组． 31．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 32．如图，平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为__． 33．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 34．如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：． 35．如图，在矩形中，，． (1)尺规作图：作出边的中点，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 36．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 37．如图，在正方形中，是上的点，且，是的中点．与是否相似，为什么？ 38．如图是由小正方形组成的网格，点A，B，C，D，E，F均在格点上，，网格中的这两个三角形相似吗?请说明理由． 39．完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 40．如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 41．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 42．如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 43．如图，正方形的边长为4，E是对角线上的动点，以为斜边向右侧作等腰直角，点G在上且，连接，，则的最小值为________． 44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点，与轴交于点，点是内任意一点，且，则的最小值为____． 45．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 46．【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $