31.2.2（第1课时）两角分别相等的两个三角形相似（分层作业）数学新教材人教版九年级下册

31.2.2（第1课时）两角分别相等的两个三角形相似（解析版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 11 C.拓展培优 22 1．在和中，已知，则这两个三角形（     ） A．不一定相似 B．一定相似 C．全等 D．无法判定 【答案】B 【分析】已知一组对应角相等，计算得到另一组对应角相等，即可判定相似． 【详解】解：∵在中，， ． ∵， ， ． 2．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即D选项符合题意， 选项A、B、C均不符合题意， 故选：D 3．如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 4．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．由角平分线的定义和平行线性质以及已知条件，得到，，再判定相似的三角形即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴一共有4对相似三角形， 故选：A． 5．如图，在中，，分别是上的点，连接．添加下列条件，其中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用． 根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：∵， A．若添加，能证明，不符合题意； B．若添加，能证明，不符合题意； C．若添加，能证明，不符合题意； D．若添加，不能证明，符合题意； 故选：D． 6．如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等．关键是分析每个选项中的条件是否符合相似三角形的判定规则． 【详解】解：在和中，为公共角． 选项A：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项B：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项C：∵，即，且， ∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，； 选项D：∵，即，但该比例对应的角不是公共角，不满足相似三角形的判定条件， ∴不能判定． 故选：D． 7．如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为点， 即这样的直线可以作3条． 故选：C． 8．如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定；根据直角三角形两锐角互余，求证角相等是解题的关键． 可证得，所以相似三角形有3对． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴共有3对相似三角形． 故选：B． 9．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（    ） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理，等腰三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； D、角为钝角，则顶角只能为，此时等腰三角形的形状可以确定， ∴都含有一个的内角的两个三角形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 10．如图，锐角中，，是高，它们相交于O，则图中与相似的三角形有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】此题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法结合题目中的已知信息找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①，， ， ， ； ②，， ， ， ， ； ③，， ， ； 有3个三角形与相似． 故选：B． 11．在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，结合已知可得，，由两角相等可证． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴，， ∴． 12．将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 13．如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，从而可根据平行的性质，得到，从而可判断，，，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 15．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 16．顶角相等的两个等腰三角形相似吗？有一个底角相等的两个等腰三角形相似吗？请说明理由． 【答案】（1）顶角相等的两个等腰三角形相似， 理由：设两个等腰三角形分别为和，，，且顶角， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）； （2）有一个底角相等的两个等腰三角形相似， 理由：设两个等腰三角形分别为和，，，且底角， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【分析】（1）设两个等腰三角形分别为和，，，且顶角，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，即可证明； （2）设两个等腰三角形分别为和，，，且底角，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，即可证明； 【详解】略 17．如图，，请指出图中的相似三角形． 【答案】图中的相似三角形为，． 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：，， ； ，， ． 18．已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为的内接四边形， ，， ，， ，， ． 【分析】根据圆内接四边形可得，，根据两角对应相等即可得证． 【详解】略 19．如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明：∵，，∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论． 【详解】略 20．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， ； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两组对应角相等的三角形相似直接判定即可得到答案； （2）由（1）中得到，代入值计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ， ∴， ． 21．如图，已知，点在上，添加下列条件中的一个：①；②；③；④，能判定的条件的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判定即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，则，故①能判定； 当时，则，故②能判定； 当，不是夹角的对应边比，不能判定，故③不能判定； ④，不能判定，故④不能判定； 综上，能判定的条件的个数为个． 22．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成图示样子，A为公共顶点，，下列结论正确的是（     ） ①    ② ③    ④ A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形性质得出，结合图形隐含条件，利用两角对应相等判定三角形相似． 【详解】解：和是全等的等腰直角三角形，， ， 在和中，，， ，故②正确； ， ， ， 又∵， ， 又∵， ，故③正确； 是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故①错误； 与不一定相等，故④错误， 综上所述，正确的是②③． 23．如图，线段，交于点，连接，．添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意有：， A项，，结合，利用两角分别对应相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； B项，，结合，利用两角分别对应相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； C项，，无，无法利用两边成比例且夹角相等来判定与相似，故此项符合题意； D项，，结合，利用两边成比例且夹角相等，可以判定与相似，故此项不符合题意； 故选：C． 24．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意． 选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意． 25．如图，，点E在上，点F在上，相交于点O，则图中相似三角形共有（     ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．以下命题，错误的是（     ） A．底角相等的两个等腰三角形一定相似 B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 C．两边之比是的两个等腰三角形一定相似 D．两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似 【答案】D 【详解】解：A、等腰三角形两底角相等，若底角对应相等，则三个内角对应相等，两三角形相似，故A正确； B、直角三角形有一个直角，若再有一个锐角对应相等，则两角对应相等，两三角形相似，故B正确； C、设等腰三角形两边长分别为和，若腰长为，底边长为，则，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；故只能是底边长为，腰长为，此时三边比为，化简得，所有满足条件的三角形三边对应成比例，一定相似，故C正确； D、举反例：第一个等腰三角形顶角为，腰长为，腰上的高在三角形内部，由直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得高为，高与腰的比为； 第二个等腰三角形顶角为，腰长为，腰上的高在腰的延长线上，顶角的外角为，同理得高为，高与腰的比为， 两三角形腰上的高与腰的比相等，但顶角分别为和，内角不对应相等，故不相似，故D错误． 27．下列条件中，不能判定和相似的是（     ） A．，， B．，， C．，，，， D．，，，， 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定条件逐一验证，注意两边成比例时相等的角需为夹角． 【详解】解：A、，， ， ， ，不符合题意； B、，，， ， ，不符合题意； C、，， ， 又， ，不符合题意； D、，， ，但是与的夹角，是与的夹角，不是与的夹角，不能判定与相似，符合题意． 28．下列四组图形中，一定相似的图形是（     ） A．两个直角三角形 B．各有一个角是的两个等腰三角形 C．两个矩形 D．有两边之比都等于的两个三角形 【答案】B 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项． 【详解】解：A. 两个直角三角形，仅一组直角对应相等，其余角与边的对应关系不确定，不一定相似，∴不符合题意； B. 各有一个角是的两个等腰三角形，为钝角，只能为顶角，底角均为，三组角对应相等，一定相似，∴符合题意； C. 两个矩形，对应角均为直角相等，但对应边的比值不一定相等，不一定相似，∴不符合题意； D. 有两边之比都等于的两个三角形，两边的夹角不一定相等，不一定相似，∴不符合题意． 29．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏． 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 即图中相似三角形的对数为6对． 30．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 31．如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得，观察各选项中是否满足即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 32．如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】观察图形可知为和的公共角，结合相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解： 在和中， ， 当添加条件或者或者时 ， ． 33．如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出两个与相似的三角形，可以是，（答案不唯一）． 故答案为：，（答案不唯一）． 34．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 35．如图，在正方形中，E为边上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【分析】过点作交即为点，然后结合正方形的性质证明即可． 【详解】解：过点作交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 36．如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．求证：． 【答案】证明：∵的平分线交于点， ， 由题意， ∴, ∴， ∴， ∴． 【分析】由条件分别证明，，即可证明题目． 【详解】略 37．如下图，在中，E为上一点，连接，点F在线段上，且满足．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 【分析】由平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，再证明，即可证明． 【详解】略． 38．如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． 【答案】∵平分， ∴. ∵， ∴. 即. 又∵， ∴. 又∵， ∴. 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可. 【详解】略 39．已知：如图，在中，，E为边上一点，，垂足为D．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 40．已知：如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵，， ∴． 【详解】（1）略 （2）略 41．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 42．如图，为等边三角形的外接圆，为延长线上一点，连接与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若是的直径，则． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①③④ 【分析】根据等边三角形的性质得到，，由同弧所对的圆周角相等可判断①；根据可得，据此可判断②；根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，再由，可证明，据此可判断③；由直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形的性质可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴不成立，故②错误； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，故③正确； 当是的直径时，， 又∵， ∴，故④正确； ∴正确的有①③④． 43．如图，方格纸中每个小方格的边长均为，请用无刻度的直尺在线段上找到点，使．如果要求呢？假如方格纸足够大，任意两格点连线记为线段，试用无刻度的直尺在线段上找到点，使（为正整数）． 【答案】解：： 如图，画，，连接交于点， ， ， ， ， ； ： 如图，画，，连接交于点， ， ， ， ， ； ： 同上，过点作，过点作，使，连接交于点， 此时． 【分析】过、作一组互相平行的线段，长度比分别为、、，连接两条线段的端点，与的交点即为对应的点． 【详解】略 44．如图，以四边形的边为直径的⊙O正好经过，且与边相交于点，是的切线，连接，，，，． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)当时，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ， ， ， ， ， ∴． (2) (3) 【详解】（1）略 （2） 解：连接， ∵为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的长为． （3） （3）解：是的切线， ， ， ，， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ，，， ， ． 45．【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.2.2（第1课时）两角分别相等的两个三角形相似（原卷版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 4 C.拓展培优 9 1．在和中，已知，则这两个三角形（     ） A．不一定相似 B．一定相似 C．全等 D．无法判定 2．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 3．如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 5．如图，在中，，分别是上的点，连接．添加下列条件，其中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（  ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 8．如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 9．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（    ） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 10．如图，锐角中，，是高，它们相交于O，则图中与相似的三角形有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 12．将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 13．如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 14．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 15．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 16．顶角相等的两个等腰三角形相似吗？有一个底角相等的两个等腰三角形相似吗？请说明理由． 17．如图，，请指出图中的相似三角形． 18．已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．求证：． 19．如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 20．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．如图，已知，点在上，添加下列条件中的一个：①；②；③；④，能判定的条件的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成图示样子，A为公共顶点，，下列结论正确的是（     ） ①    ② ③    ④ A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 23．如图，线段，交于点，连接，．添加下列一个条件后，仍无法判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 24．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 25．如图，，点E在上，点F在上，相交于点O，则图中相似三角形共有（     ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 26．以下命题，错误的是（     ） A．底角相等的两个等腰三角形一定相似 B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 C．两边之比是的两个等腰三角形一定相似 D．两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形一定相似 27．下列条件中，不能判定和相似的是（     ） A．，， B．，， C．，，，， D．，，，， 28．下列四组图形中，一定相似的图形是（     ） A．两个直角三角形 B．各有一个角是的两个等腰三角形 C．两个矩形 D．有两边之比都等于的两个三角形 29．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 30．已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 31．如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 32．如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 33．如图，的高相交于点O，请写出两个与相似的三角形__________． 34．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 35．如图，在正方形中，E为边上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 36．如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．求证：． 37．如下图，在中，E为上一点，连接，点F在线段上，且满足．求证：． 38．如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． 39．已知：如图，在中，，E为边上一点，，垂足为D．求证：． 40．已知：如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：． (2)求证：． 41．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 42．如图，为等边三角形的外接圆，为延长线上一点，连接与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若是的直径，则． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 43．如图，方格纸中每个小方格的边长均为，请用无刻度的直尺在线段上找到点，使．如果要求呢？假如方格纸足够大，任意两格点连线记为线段，试用无刻度的直尺在线段上找到点，使（为正整数）． 44．如图，以四边形的边为直径的⊙O正好经过，且与边相交于点，是的切线，连接，，，，． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)当时，求的长． 45．【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $