3.2 探索三角形相似的条件（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础判定到综合应用再到跨情境拓展，适配新授课分层教学需求，强化推理与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|三角形相似三种判定方法及黄金分割|基础选择、填空、证明题，强化抽象能力与推理意识| |B组能力进阶|相似判定综合、动态问题、黄金分割应用|多解与开放性试题，培养推理能力与应用意识| |C组思维拔高|真实情境（提琴/杠杆）、传统文化（象棋盘）、跨知识结合|复杂情境题，发展创新意识与数学眼光| |拓展链接中考|黄金分割、动态几何、作图与证明|中考真题，提升模型观念与数据意识|

分层作业 2 探索三角形相似的条件 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用两角对应相等判定相似 题型02 利用三边对应成比例判定相似 题型03 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型04 选择或补充条件使两个三角形相似 题型05 相似三角形的判定综合 题型06 黄金分割 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用两角对应相等判定相似 1．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 2．将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是_______________． 3．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 4．如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F．求证：． ( 题型0 2 )利用三边对应成比例判定相似 5．已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 6．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为______． 7．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 8．已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若．求证：． ( 题型0 3 )利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 9．在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 10．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 12．如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若，求证：． ( 题型0 4 )选择或补充条件使两个三角形相似 13．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 14．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 16．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件：____________（不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） ( 题型0 5 )相似三角形的判定综合 17．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是嘉嘉和琪琪的做法．下列说法不正确的是（    ） 嘉嘉的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． 琪琪的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． A．嘉嘉的证明过程没有问题 B．琪琪的证明过程没有问题 C．嘉嘉添加的条件没有问题 D．琪琪添加的条件有问题 18．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上，且，连接．若，，的长为_____． 20．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． ( 题型0 6 )黄金分割 21．（25-26九年级上·广东清远·期末）把长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·山西·三模）摄影三分法是一种广泛应用于摄影、绘画及设计等艺术领域的构图方法，其构图源于黄金分割．已知黄金分割比为，某张风景照竖版尺寸的总高度为，画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值恰好为黄金分割比，则该风景照画面主体的高度约为（    ） A． B． C． D． 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·三模）如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 4．如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．如图，在四边形中，，，，，在边上选一点，使得与相似，则满足条件的点的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则下列高度最接近水面高度的是（    ） A． B．9 C．7 D．5.7 7．（2026·陕西西安·三模）黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为_____． 8．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有____个． 10．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 11．如图，正方形的边长为4，，那么当______时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 12．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 13．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 14．（2026·广东广州·二模）已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 1．【真实情境】如图的提琴模型中，点是的黄金分割点，即满足，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．【真实情境】（2026·浙江台州·一模）如图是笔直杠杆的示意图．已知，支点离水平地面的高度为．当杠杆的端点落到地面时，端点离地面的高度为，则的长度为_______． 3．【开放性试题】将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 4．【传统文化】在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 5．【与一元二次方程结合】如图，平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为__． 1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 3．（2026·江西·中考真题）如图，，分别在的边，的延长线上，，，，，求的长． 4．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 5．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2探索三角形相似的条件 目录 A组巩固过关 题型01利用两角对应相等判定相似 题型02利用三边对应成比例判定相似 题型03利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型04选择或补充条件使两个三角形相似 题型05相似三角形的判定综合 题型06黄金分割 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 颗型01 利用两角对应相等判定相似 1.△CBD一△ABC(答案不唯一) 2.△MCB 3.D 4.【解析】证明：由作图可知：AE=AF, .∠AEF=∠AFE ,∠BCD=∠AED, .∠BCD=∠AFE, .180°-∠BCD=180°-∠AFE,即∠BCA=∠AFD, ,AB‖DE, .∠BAC=∠D, ∴.△ABC~△DAF. 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02 利用三边对应成比例判定相似 5.2 6.135°7.55° 8.【解析】证明：，∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°， ,∠A=∠BCD ,E是BC的中点， .DE-EC-C .∠ECD=∠EDC, ∴.∠EDC=∠A, ∠F=∠F, ∴.△FCD~△FDA. 题型03 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 5 9.相似 10.D 11.54或2 12.【解析】证明：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O, .∴.OB=OD,AO=OC, .AO2=OF.OB, CO DO .0C2=OFOD,即oFCo AO DO OFCO 又：∠AOF=∠DOC, ∴.△AOF~△DOC 题型04 选择或补充条件使两个三角形相似 13.D14.C 15.∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB AB_AC APAC AC=AP或AC=AB） (答案不唯一) 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB_BC 16.∠BAC=∠DCE(或∠ACB=∠CED或∠ACE=90°或AC⊥CE或CDDE (答案不唯 一) 题型05 相似三角形的判定综合 17.B 18.B 19.920.6 题型06 黄金分割 21.B 22.B 0 B组 能力进阶 8 1.D2.C3.C4.B 5.c6.A7.6-25)8.5 cm 9.610.7.2 1. 2V5.4/5 5或 5 12.【解析】(1)解：∠ABC=90°+45°=135°， BC=V22+2=8=2V2: 故答案为：135°：22. (2)解：△ABC一△(. 证明：在4×4的正方形方格中， ∠ABC=135°，∠=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠i」 :AB=2,BC=22,FE=2,DE=V2, 0品 BC22-2. FE 2 AB_BC DE FE ∴.△ABC一△迴乙. 13.【解析】(1)证明：.四边形ABCD是菱形， ∴.ADBC, 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AEB=∠DAE, 又.∠B=∠AED, ∴.△ABE一△DEA: (2)解：.四边形ABCD是菱形， .AD‖BC, ∴.∠AEB=∠DAE, AE BE ·可添加DAEA: 使△ABE一△DEA: (3)解：四边形ABCD是菱形， .∴.AB=DA, 又'.△ABE~△DEA, 品 即AB·AD=AE·DE, .AB2=AE·DE, .AE=3,DE=6, ∴AB2=18, ∴.AB=V18=3V2 即菱形ABCD的边长为3V2.」 14.【解析】(1)解：，AB=AC,CD平分∠ACB交AB于点D,∠B=72°， :.∠ACB=∠B=72,∠BCD=2∠ACB=36, .∠BDC=180°-∠BCD-∠B=72°： (2)解：如图，△就即为所求； 证明：旋转， ∴.BD=DE,∠DBC=∠=72， .∠BED=∠DBC=72°， ∴.∠BDE=180°-2×72°=36°，∠CEG=180°-∠DEB-∠=36°， 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠BDE=∠CEG, 又，∠DBC=∠ECG=72°， ∴.△CEG一△BDE. C组 思维拔高 1.D2.1203.△CDA(或△BAE) 4.②5.4或5 拓展 链接中考 1.V5-1/-1+V5 2.R/5-1m 3.【解析】解：DE‖BC, ∠B=∠D,∠C=∠E, '.△ABC一△ADE, .AB=BC ·ADDE .AD=3,AB=5,DE=5, s .BC=25 3 4.【解析】(1)证明：由作图可知，∠DAC=∠B. 又，∠C=∠C, .△ACD△BCA. (2)解：，∠BAC=108°，AB=AC, .∠B=∠C=36° 由(1)得∠DAC=∠B=36° ∴，∠BAD=∠BAC-∠DAC=72° .∠ADB=180°-∠B-∠BAD=72, ∴.∠ADB=∠BAD, ..BD=AB=AC. 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)知△ACD一△BCA, CD AC AC BC ,BD=AC且CD=BC-BD, BC-BDBD BD BC ∴.BCBC-BD=BD :BD=AB=4,设BC=x,则x(x-4)=42,即x2-4x-16=0. 解得x=2+25或x=2-2V5(舍去). .BC的长为2+25. 5.【解析】[问题初探]解：设AB=1,AC=x,则CB=1-x. .CB_AC ·ACAB1 1-x_x x 1' 解得：x21,x=15 2 ·(舍)， AC_5-1 ·AB 2 5-1 黄金比为2一 [问题再探]如图，点P即为AC的黄金分割点： B P C 图2 [知识迁移]证明：，四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形， ∴，∠EAB=∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF, ,点C为线段AB的黄金分割点， AC BC AB AC' :8派 CD_BC 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△EAB一△BCD: [延伸拓展]证明：，五边形ABCDE是正五边形， .∠BAE=∠AED= 5-2×180°=108°，AB=AE=DE, 5 ,∠ABE=∠AEM=∠DAE=∠ADE=号×180-108=36 .∠DME=∠AEM+∠DAE=36°+36°=72， .∠DEM=∠AED-∠AEM=108°-36°=72°， .∠DME=∠DEM, ∴.DM=DE=AE, .∠DAE=∠DAE,∠ADE=∠AEM=36°， ∴.△AME△AED, 地 0脱 ∴.点M是AD的黄金分割点 717 分层作业 2 探索三角形相似的条件 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用两角对应相等判定相似 题型02 利用三边对应成比例判定相似 题型03 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型04 选择或补充条件使两个三角形相似 题型05 相似三角形的判定综合 题型06 黄金分割 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用两角对应相等判定相似 1．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵是斜边上的高，∴，∵，∴，同理：，． 2．将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是_______________． 【答案】 【解析】四边形是矩形，，，由折叠的性质可得：，，，，． 3．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，∴，故D选项正确，符合题意；根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意． 4．如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F．求证：． 【解析】证明：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． ( 题型0 2 )利用三边对应成比例判定相似 5．已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 【答案】 【解析】当时，．理由如下：∵，∴可设（），∴，，，∴，∴，符合题意，故答案为： ． 6．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为______． 【答案】 【解析】由题意，得，，，，，，，，，，． 7．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】 【解析】，，，．． 8．已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若．求证：． 【解析】证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ( 题型0 3 )利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 9．在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【解析】∵在Rt中，．∴∴，，∴，∵，∴． 10．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】∵，∴当时，，，，． 11．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【答案】54或 【解析】∵，∴与相似时，或，∴或，∴或，故答案为：54或． 12．如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若，求证：． 【解析】证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴， 又， ． ( 题型0 4 )选择或补充条件使两个三角形相似 13．（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 14．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 15．（2025·山东济宁·二模）如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件______，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 16．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件：____________（不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 【答案】（或或或或）（答案不唯一） ( 题型0 5 )相似三角形的判定综合 17．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是嘉嘉和琪琪的做法．下列说法不正确的是（    ） 嘉嘉的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． 琪琪的做法： 添加条件． 证明：∵，， ∴． A．嘉嘉的证明过程没有问题 B．琪琪的证明过程没有问题 C．嘉嘉添加的条件没有问题 D．琪琪添加的条件有问题 【答案】B 18．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 19．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上，且，连接．若，，的长为_____． 【答案】9 【解析】∵，∴，∵是角平分线，∴∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：． 20．如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 【答案】6 【解析】四边形是矩形，，．，，，．，，，，，，，，，共有6对相似三角形． ( 题型0 6 )黄金分割 21．（25-26九年级上·广东清远·期末）把长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵黄金分割中，较长线段与原线段的比值为，又∵原线段长为，∴较长线段的长为 . 22．（2026·山西·三模）摄影三分法是一种广泛应用于摄影、绘画及设计等艺术领域的构图方法，其构图源于黄金分割．已知黄金分割比为，某张风景照竖版尺寸的总高度为，画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值恰好为黄金分割比，则该风景照画面主体的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该风景照画面主体的高度为，∵ 画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值为黄金分割比，总高度为，黄金分割比，∴，即该风景照画面主体的高度约为． 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴，∵，，∴， 选项A：图中所作为的角平分线，故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线，得，∴，∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线，∴，故不满足； 选项D：图中所作为，∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 3．（2026·上海·三模）如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 【答案】C 【解析】在中，，则，在中，，则 ， 对于A选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法A正确； 对于B选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法 B 正确； 对于C选项：当分割线经过点A时，设交于点M，则为，为， ，是直角三角形，，，是钝角三角形，直角三角形与钝角三角形不可能相似，不存在与相似；同理，当分割线经过点D时，是直角三角形，是钝角三角形，不存在与相似，说法C不正确； 对于D选项：当分割线经过点B且时，均为等腰直角三角形，， 当分割线经过点E且时，均为含 的直角三角形，， 故说法D正确 ． 4．如图所示，有下列条件：，，，，，其中能使的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解析】，∴； ，∴，即，∵，∴； ，∴，∵，∴，∴，∵，∴； ，∴； ，∴，无法得到， 所以一共有4个． 5．如图，在四边形中，，，，，在边上选一点，使得与相似，则满足条件的点的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】设，则，∵与相似，∴①当时，∴，∴，解得，经检验，是分式方程的解且符合题意，②当时，∴，∴，解得，经检验，，是分式方程的解且符合题意，综上，满足条件的点的个数有个． 6．（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音符．若，则下列高度最接近水面高度的是（    ） A． B．9 C．7 D．5.7 【答案】A 【详解】根据题意，可知，∵，∴，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 7．（2026·陕西西安·三模）黄金分割具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为_____． 【答案】 【解析】点是线段的黄金分割点，且，，，，． 8．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【解析】∵是的平分线上一点，则，若，则，∵，∴，∴． 9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有____个． 【答案】6 【解析】，，．连接，，，． ， ．同理可找到，，，，和相似，共6个． 10．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【解析】∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∵，，，∴，∴． 11．如图，正方形的边长为4，，那么当______时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 【答案】或 【解析】四边形是正方形，，正方形的边长为4，，在中，由勾股定理得：，与相似，分两种情况： ①，即，解得； ②，即，解得， 因此，当或时，与相似． 12．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【解析】（1）解：， ； 故答案为：； ． （2）解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵， ，， ， ∴． ∴， ∴． 13．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【解析】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 14．（2026·广东广州·二模）已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【解析】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； （2）解：如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 1．【真实情境】如图的提琴模型中，点是的黄金分割点，即满足，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵点P是的黄金分割点，即点P满足，∴为较长线段，则．，． 2．【真实情境】（2026·浙江台州·一模）如图是笔直杠杆的示意图．已知，支点离水平地面的高度为．当杠杆的端点落到地面时，端点离地面的高度为，则的长度为_______． 【答案】120 【解析】如图，作水平地面于点，，，，，，，，，． 3．【开放性试题】将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【答案】（或） 【解析】和是两个全等的等腰直角三角板，，，，同理可得． 4．【传统文化】在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【解析】设每个小正方形的边长为1，计算“帅”“相”“兵”所在位置构成三角形的三边长度，依次设三边长度为a，b，c，根据勾股定理可得：设“马”“车”“炮”所在位置构成三角形的三边长度分别为m，n，p， ①当“马”落在①时，，计算三边比例关系，，所以三边不成比例，则两三角形不相似，故①错误； ②当“马” 落在②时，，计算三边比例关系：，所以三边成比例，则两三角形相似 ，故②正确； 当“马”落在时，，计算三边比例关系：，所以三边不成比例，则两三角形不相似，故错误； ④ 当“马”落在④时，，计算三边比例关系：，所以三边不成比例，则两三角形不相似，故④错误； 综上：②正确. 5．【与一元二次方程结合】如图，平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为__． 【答案】或 【解析】，，当或时，与相似，四边形是平行四边形，，设，则，当时，，，当时，，，有且只有两个点，有两种情况，第一种情况：有两个相等的实数根，，或，又，；第二种情况：有两个不等的实数根，且是它的一个根，，，或，又，；综上，的值为或． 1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】/ 【解析】∵四边形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴四边形是矩形，∴．又∵，∴． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 【答案】 【解析】∵黄金矩形中，且，∴，∵四边形是正方形，，，∵四边形是正方形，，，，∵四边形是正方形，，∴“黄金螺线”的长为，． 3．（2026·江西·中考真题）如图，，分别在的边，的延长线上，，，，，求的长． 【解析】解：， ，， ， ． ，，， ， ． 4．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【解析】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 5．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【解析】[问题初探]解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探]如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移]证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展]证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $