31.2.2 三角形相似的判定-【课课练】2026-2027学年九年级下册数学同步训练（人教版·新教材）

第三十一章相似 31.2.2三角形相似的判定 033 念学习目标 第三十一章 1.了解相似三角形的概念，能准确找出两个相似三角形的对应边、对应角. 2.了解相似三角形的判定定理，能选择合适的方法判定两个三角形相似. 夯实五分钟 难度：☆ 1.下列各选项中的两个图形不一定相似的是 ( A.有一个角是35的两个等腰三角形 B.两个等腰直角三角形 C.有一个角是120°的两个等腰三角形 D.两个等边三角形 2.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是BC,AB边 上的点，连接EF,FD,DE.若EF⊥DE,则图中 ①②③④四个三角形一定相似的是（ 4.两边 且夹角 的两个三角形 ① 相似， ② 5.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点 夕 ③ ④ (DE不平行于BC).若使△ADE与△ABC相 A.①和② B.②和③ 似，则只需要添加 即可.（只 C.③和④ D.①和④ 需添加一个条件) 3.在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB 上确定点D,使△ACD∽△CBD,根据作图痕迹 判断，下列选项正确的是 ( 素养稳提升 难度：☆☆ 6.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点 0,E,F分别是边AD,AB的中点，EF交AC于 点儿侧肥值为 5 课课练同步训练数学九年级下册) 11.如图，在6×6的正方形网格中，点A,B,C均 A.1 B. D. 第三 在格点上，请按要求作图 (1)在图1中画一个格点△ADE,使△ADE∽ 0 △ABC; (2)在图2中画一条格点线段BP,交AC于点 章 F B Q,使CQ=2AQ. (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点 P从点A出发沿AB边运动，速度为2cm/s,动 点Q从点B出发沿BC边运动，速度为4cm/s. 如果P,Q两动点同时运动，那么第( )s时， 图1 图2 △QBP与△ABC相似： A.0.8 B.0.8或2 12.如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别在 C.1.25或2 D.1.25 BC,AC上，且BD=CE,AD与BE相交于点F. 8.如图，锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线 △AEF与△BEA相似吗？请说明理由 CE和BF相交于点D,请写出图中的两对相似 三角形： .(用相 似符号连接) B (第8题) (第9题) 9.如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，有下 列条件：①∠2=∠A;②∠1=∠CBA:③BC B:④e-0B 13.在①PD·PB=PC·PA,②∠BAP=∠CDP, CD ③PD·AB=DC·PB这三个条件中选择 AC BC AB 其中不能得出△ABC和 个，补充在下面的问题中，使命题正确，并 △BCD相似的是： .(填序号) 证明， 10.如图，已知在△ABC和△ADE中，ACAB AB AD 问题：如图，已知四边形ABCD的两条对角线 ∠BAD=∠CAE.求证：△ABC△ADE. 交于点P,且 (填序号).求证： D △ABP∽△DCP. 6 第三十一章相似⑨ 中考一点通 难度：☆☆☆ 第 14.如图，已知矩形ABCD及对角线AC. 15.如图1，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点， 三 连接AC,过点C作直线CD⊥AB于点D (AD<DB),E是线段DB上任意一点（点D, B除外)，直线CE交⊙O于点F.连接AF交 B 直线CD于点G. (1)过点B作AC的垂线，垂足为E;(要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)结合图形猜想△ABE∽△CAD,请将下面 的证明过程补充完整 证明：.四边形ABCD是矩形， 图1 图2 ·.AB∥ ,∠D= °（矩形 (1)求证：AC2=AG·AF. 的对边平行，每个角都是直角)， (2)若E是线段AD(点A除外)上任意一点， .∠BAE=∠ACD( 上述结论是否仍然成立？若成立，请在 :BE⊥AC, 图2中画出图形并给予证明；若不成立， ∴.∠AEB=90°， 请说明理由 ∴.∠AEB=∠D, ∴.△ABE∽△CAD( 7BC BE 1 ·ACDE2 又BC=2 AC=4 5.解：题图中共有三对相似三角形，分别 是△AEF∽△ABC,△AEG∽△ABD, △AGF∽△ADC. 素养稳提升 6.C【解析】设AE=CB=x. .'AB∥CD,EF∥CD, CE CF EF∥AB,·CACB 六5中x,解得=20， 54 经检验x=20是该分式方程的解」 DE CE 1 .AB//CD,BE-AE4' 7.6解析L,LC=2 .AB=6,BC=4,DF=15, 615-EF 八4En,解得EF=6 8.解：.EF∥AB,.△DEF∽△DAB, EF DE AB DA DE 1 DE:EA=1:2, 'DA 3' EF 1 AB 3 又.EF=4,∴.AB=12 ,四边形ABCD是平行四边形， .∴.CD=AB=12. 参考答案及解析 中考一点通 9.解：(1)该证明的剩余部分如下： BD AB CD AE' ∠2=LACE,∠1=∠E. .AD平分∠BAC,∴.∠1=∠2， .∠ACE=∠E,.AC=AE, AB AB_BD 即ABBD AC AE CD' ""AC CD (2)AD平分∠BAC,AB=11,AC=15, AB BD 11 AC CD 15' 11 ∴.BD==CD, 15 ∴.BC=BD+CD= 26 CD, 15 15 ∴.CD=BC. 26 :E是BC的中点，CE=2BC CF CE 13 :EF∥AD,ACCD15' .CF=13. 31.2.2三角形相似的判定 夯实五分钟 1.A2.C3.C 4.成比例相等 5.∠ADE=∠C(答案不唯一) 素养稳提升 6.B7.B 8.△ABF∽△DBE,△ACE∽△DCF(答 案不唯一) 9.③ 3 课课练同步训练数学九年级下册 10.证明：.∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE, 即∠DAE=∠BAC. ..AB AD ·ACAE' AB AC 六ADAE' .△ABC∽△ADE. 11.解：(1)如图1所示，△ADE即为所 求.（答案不唯一）》 图1 (2)如图2所示，线段BP即为所求， (答案不唯一) 图2 12.解：相似.理由如下： .·△ABC是等边三角形， .∴.∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB =BC BD=CE, .△ABD≌△BCE(SAS), .∴.∠BAD=∠CBE. ,:∠ABC=∠BAC=60°， .∴.∠ABC-∠CBE=∠BAC-∠BAD, 即∠ABE=∠FAE. 4 RJ 又∠AEF=∠BEA, '.△AEF∽△BEA 13.解：选择条件①，证明如下： ·PD·PB=PC·PA, PA PB PD PC' 又∠APB=∠DPC, ∴.△ABP∽△DCP. 选择条件②，证明如下： .∠APB=∠DPC,∠BAP=∠CDP, .△ABP∽△DCP 选择条件③，无法证明. 中考一点通 14.（1)解：如图所示 (2)CD;90;两直线平行，内错角相 等：两角分别相等的两个三角形 相似： 提示：，四边形ABCD是矩形， .AB∥CD,∠D=90°（矩形的对边平 行，每个角都是直角)， ∴.∠BAE=∠ACD(两直线平行，内错 角相等) .·BE⊥AC, .∴.∠AEB=90°， .∠AEB=∠D, :.△ABE∽△CAD(两角分别相等的 两个三角形相似). 15.（1)证明：如图1，连接CB. 图1 .AB是⊙O的直径，CD⊥AB, ∴.∠ACB=∠ADC=90° 又∠CAD=∠BAC, .△CAD∽△BAC, ∴.∠ACD=∠ABC .AC=AC. .∠ABC=∠AFC, ∴.∠ACD=∠AFC. 又∠CAG=∠FAC, .△ACG∽△AFC, AC AG AFAC” .AC2=AG·AF (2)若E是线段AD(点A除外)上任 意一点，上述结论仍然成立.证明 如下： ①当点E与点D重合时，点F与点G 重合，AG=AC,画出图形如图2所示. F(G) 图2 ∵CD⊥AB, ..AC=AF,AC=AF, 参考答案及解析 .AC2=AG·AF; ②当点E与点D不重合（不含点A)》 时，画出图形如图3所示 图3 证明类似(1). 综上，若E是线段AD(点A除外)上 任意一点，上述结论仍成立. 31.2.3相似三角形的性质 夯实五分钟 1.C2.D3.64.1:9 素养稳提升 5.A6.B7.D8.A9.D 10.1011.3 12.解：(1)如图，记AD与PQ,EH的交 点分别为点K,R D G C 设EF=2xcm,则EH=5xcm. 由矩形的性质，得EH∥BC, 易证△AEH∽△ABC, EH AR BC AD 即5x-80-2x 12080, 5