31.2.1（第1课时）平行线分线段成比例（分层作业）数学新教材人教版九年级下册

31.2.1（第1课时）平行线分线段成比例（原卷版） 目 录 类型一、由平行判定成比例的线段 1 类型二、由平行截线求相关线段的长或比值 5 类型一、由平行判定成比例的线段 1．下面是嘉嘉课堂笔记的一部分，其中，括号内应填入的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．如图，直线，直线分别交于点，，，直线分别交于点，，，与相交于点．若直线之间的距离相等，，则下列比例式中，不成立的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点O，点E在延长线上，与相交于点F．若，，则菱形的面积为（     ） A．95 B．96 C．97 D．98 6．已知线段a， b， c， 求作线段x， 使那么正确的作法是（     ） A． B． C． D． 7．如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知线段、、，求作线段，使得的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，则下列比例式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 11．已知：如图，直线，直线、分别与直线、、交于点、、和点、、，，、，则________． 12．如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 13．如图，与相交于点A，F，G分别是，上的点． （1）若，，则__________； （2）若，，则__________． 14．如图，若，，则的长为_____． 15．如图，，，． (1)填空：的值为______； (2)若，求的长． 16．如图，一组平行直线，，与直线，分别交于点，，和，，．若，，求的长． 17．如图，在中，，，，，求的长． 18．如图，在中，．求证：． 类型二、由平行截线求相关线段的长或比值 19．如图，，若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 20．如图，已知，，，则的长为（     ） A．3 B．9 C．12 D．18 21．如图，直线，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 22．如图直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 23．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．2 C．4 D．6 24．如图，直线，直线，，对应刻度尺上的刻度读数分别是，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 25．如图，，直线与分别相交于点和点，若，则(     ) A． B． C． D． 26．如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 27．图1是某班级摆放绿植的花架，其侧面示意图如图2所示，已知，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 28．如图，，若，，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 29．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，为（     ） A． B． C． D． 30．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 31．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56 32．如图，，直线a，b与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则DF的长是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 33．如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（     ）． A．9 B．7 C．5 D．6 34．如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．如果，，，那么的长是__________． 35．如图，已知，它们依次交直线于点、、，交直线于点、、，如果，，，那么的长是_____． 36．如图，，若，，则的长为_____． 37．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为________． 38．如图，直线，另外两条直线分别与这三条直线相交于点，，与点，，．若，，，则的长为________． 39．如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为___． 40．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，，，则的长为______． 41．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长为________． 42．如图，，若，，，则______． 43．如图，已知，，则的长为________． 44．如图，，，，那么________． 45．如图， 直线，，， 那么____________． 46．如图，，若，，则的值为______． 47．如图，直线，直线依次交直线、、于点A、C、E，直线依次交直线、、于点B、D、F，若，，求的长． 48．如图，已知，直线分别交、、于、、，直线分别交、、于、、，，，， (1)求的长； (2)将图中与的交点记作，，当为等腰三角形时，求的长． 49．如图，在中，点D在上，交于点E，，，，求的长． 50．如图，在中，D，E，F分别是边上的点，且．若，，求的长． 51．如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 52．如图，已知，分别求出和的值． 53．如图，在中，，且，若，求的长． 1．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，是的外角的平分线，求证：． 2．已知中，，的平分线交于点（如图）；点在边的延长线上，过点作，交边于点，连接． (1)如果，求证：； (2)如果，求证：； (3)如果四边形是菱形，求证：． 3．如图，在中，分别是上的点，且，，，，求的长． 4．根据图形回答问题 (1)如图①，，那么、、有什么关系？ (2)如图②，，那么与有什么关系？ 5．如图，在和中，已知，求的长． 6．已知线段a、b、c，求作线段x，使得． 7．已知线段、、，通过尺规作图，求作点，把线段分成两部分，使 1．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上． (1)在图中画一个以为边的平行四边形，点、在格点上，且平行四边形的面积为； (2)在图中画一个以为边的菱形（不是正方形），点、在格点上； (3)在图中的线段上取一点，使得 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、为格点，、为格线上的点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两个画图任务，每个任务的画线不超过五条． (1)在图1中将线段沿方向平移得线段（点与点对应，点与点对应）；再在上找一点，使得． (2)在图2中作点关于的对称点；再在线段上画点，使得． 3．已知，在中，，以为直径的交于点D，过圆心O作的平行线，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径； (3)若，求的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.2.1（第1课时）平行线分线段成比例（解析版） 目 录 类型一、由平行判定成比例的线段 1 类型二、由平行截线求相关线段的长或比值 12 类型一、由平行判定成比例的线段 1．下面是嘉嘉课堂笔记的一部分，其中，括号内应填入的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴括号内应填入的是． 2．如图，已知直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，即可求解． 【详解】解：∵直线， ∴，即 ∴． 3．如图，直线，直线分别交于点，，，直线分别交于点，，，与相交于点．若直线之间的距离相等，，则下列比例式中，不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合已知条件直线之间的距离相等，逐一分析每个选项是否成立． 【详解】解：，且之间的距离相等， ． ， ，故选项正确； ，， ， ，故选项正确； ， 选项错误； ， ， , ， ，故选项正确． 4．如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 5．如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点O，点E在延长线上，与相交于点F．若，，则菱形的面积为（     ） A．95 B．96 C．97 D．98 【答案】B 【分析】取的中点M，连接，由菱形的性质得出，，，，，，得出是的中位线，，由中位线的性质得出，由平行线的性质得出，进而求出，由角的关系以及三角形外角的定义和性质进一步得出，根据等角对等边得出，求出，利用勾股定理求出，，最后根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：取的中点M，连接， ∵四边形是边长为10的菱形， ∴，，，，，， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得到， ∴， ∴菱形ABCD的面积． 6．已知线段a， b， c， 求作线段x， 使那么正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，则，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，则，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，则,故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，则，故D选项错误． 7．如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出，结合求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 8．已知线段、、，求作线段，使得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系，找出符合即的图形． 【详解】解：A、选项中，即，不符合题意； B、选项中，即，即，符合题意； C、选项中，即，不符合题意； D、选项中，即，不符合题意． 9．如图，在中，，则下列比例式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一进行判定即可． 【详解】解：已知，根据平行线分线段成比例定理： A：，正确； B：，错误； C：，错误； D：，错误． 【点睛】分清对应线段，平行截得的上、下两段的比相等，不要把对应边弄颠倒． 10．如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，，， 不能得到， 故只有C选项符合题意. 11．已知：如图，直线，直线、分别与直线、、交于点、、和点、、，，、，则________． 【答案】9 【分析】先根据“平行线分线段成比例定理”列比例式求出的长，再根据即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，、， ∴， 解得， ∴． 12．如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 【答案】3 【分析】三条平行线截两条直线，对应的线段比值相等，得到和的比等于和的比，算出长度是的 2 倍；由与两段组成，总长为 9，也就是 3 份等于 9，求出长是 3． 【详解】解：已知直线，，，． 根据平行线分线段成比例定理： 得到，， 又因为，，把代入得： 故答案为：3． 【点睛】 13．如图，与相交于点A，F，G分别是，上的点． （1）若，，则__________； （2）若，，则__________． 【答案】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理由得到，结合题目条件即可得到解； （2）根据平行线分线段成比例定理由得到，利用等量代换即可得到解． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ． 14．如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 15．如图，，，． (1)填空：的值为______； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用平行线分线段成比例，直接写出对应线段的比值； （2）根据比值设参数，得出，再结合列关系求出． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：据（1）可知，， 设，， 可得， 则． 16．如图，一组平行直线，，与直线，分别交于点，，和，，．若，，求的长． 【答案】 【分析】先由平行线分线段成比例定理得，结合已知求出的长，再与相加即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，在中，，，，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即的长为． 18．如图，在中，．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题利用平行四边形对边平行的性质，得到两组平行线，借助平行线分线段成比例定理，通过等线段代换完成比例式的传递，最终证得结论． 【详解】略 类型二、由平行截线求相关线段的长或比值 19．如图，，若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ． 20．如图，已知，，，则的长为（     ） A．3 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21．如图，直线，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 22．如图直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 23．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 24．如图，直线，直线，，对应刻度尺上的刻度读数分别是，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是，，，可以求出，，根据平行线分线段成比例定理即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是，，， ，， ， ． 25．如图，，直线与分别相交于点和点，若，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由推导出的值，即可求得． 【详解】解： ． 26．如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，结合已知比例计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 27．图1是某班级摆放绿植的花架，其侧面示意图如图2所示，已知，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理，由三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式代入数值求解． 【详解】解：， ． 把，，代入，得 解得． 28．如图，，若，，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 29．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作交于点，根据平行线分线段成比例，进行求解即可. 【详解】解：作交于点， 则， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴. 30．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段 成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴，， ∴， 解得：． 31．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 32．如图，，直线a，b与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若，，则DF的长是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的知识作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（     ）． A．9 B．7 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 34．如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．如果，，，那么的长是__________． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例，可得，代入解方程即可解答． 【详解】解：， ， ， 解得， 经检验，是方程的解． 35．如图，已知，它们依次交直线于点、、，交直线于点、、，如果，，，那么的长是_____． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由平行线得出对应线段成比例，结合 及已知长度建立等式求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 36．如图，，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，通过已知的线段比例关系求出的长． 【详解】解：， ． ，， ． 解得． 37．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为________． 【答案】4.5 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴. 38．如图，直线，另外两条直线分别与这三条直线相交于点，，与点，，．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵直线， ， ∵，，， ， ． 39．如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为___． 【答案】 【详解】解：如图作垂直于竖直线， 设相邻两条竖格线间的距离为， ∵练习纸中的竖格线平行且间距相等， ∴，， ∴， ∴. ∵， ∴． 40．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，，，则的长为______． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例定理，得，再结合，，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 41．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据平行线分线段成比例得到，得到，结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 42．如图，，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，代入已知线段长计算即可求出的长． 【详解】解：， ． ，，， ， ． 43．如图，已知，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由 可得对应线段成比例，即 ，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴． 44．如图，，，，那么________． 【答案】9 【分析】由题意得出，则，求出，即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．如图， 直线，，， 那么____________． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 46．如图，，若，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，代入即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 47．如图，直线，直线依次交直线、、于点A、C、E，直线依次交直线、、于点B、D、F，若，，求的长． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 即， 解得：． 48．如图，已知，直线分别交、、于、、，直线分别交、、于、、，，，， (1)求的长； (2)将图中与的交点记作，，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)的长为或 【分析】（1）根据线段的和差关系求出，根据平行线分线段成比例定理得出，即可求出的长； （2）根据平行线分线段成比例定理得出，可得，分和两种情况，利用平行线分线段成比例定理及等边对等角，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，， 同理可得，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述：的长为或． 49．如图，在中，点D在上，交于点E，，，，求的长． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． 50．如图，在中，D，E，F分别是边上的点，且．若，，求的长． 【答案】 【详解】解：， ， ． ， ， 即， ． 51．如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可； 根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的长为． 52．如图，已知，分别求出和的值． 【答案】 【分析】根据即可求，根据结合可得，，进而求解． 【详解】解：， ， ， ，且， ， ， ， ． 53．如图，在中，，且，若，求的长． 【答案】 【分析】根据平行线所截线段成比例可知，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务． 材料：三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于点． (1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图4，是的外角的平分线，求证：． 【答案】(1)证明：， ，，， 平分， ， ， ， ． (2) (3)证明：过点作，交于点，如图， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，即可证明． （2）根据（1）得到，则可推出，由平行线分线段成比例定理得到，据此可得答案； （3）过点作，交于点，由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，由平行线分线段成比例定理得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）解：平分，，， ． ， ． ； 是的中点， ， ， ， ， ． （3）略 2．已知中，，的平分线交于点（如图）；点在边的延长线上，过点作，交边于点，连接． (1)如果，求证：； (2)如果，求证：； (3)如果四边形是菱形，求证：． 【答案】(1)证明：， 四边形是平行四边形， ， ，平分， 是中点， 又，即， 由平行线分线段成比例定理，，， 是中点，，， ，即为中点 是的中位线 ， ， ． (2)证明：取中点，连接． 是中点，是中点， 是的中位线， ， ，为中点， ， 已知，所以， ， ， 平分， ， ， ， ， （等角对等边）， ， ，即是中点． 是中点，是中点， 是的中位线， ，即． (3)证明： 四边形是菱形，， 由第 (1) 问结论：， ， ，平分， ，即，是直角三角形． 取斜边的中点，连接． 中，是斜边中点， ． 又， ． 是等边三角形． ． 在中，， ． 【分析】（1）由两组对边平行证四边形 是平行四边形得到，利用等腰三角形三线合一得到 是 中点，结合得到 是中位线，，等量代换证得． （2）取 中点，构造中位线，结合、平行线与角平分线推出，得到 是 中点， 为中位线，得到，即． （3）由菱形性质得，结合 (1) 结论，得；利用等腰三角形三线合一证，得到是直角三角形。取中点，连接，由直角三角形斜边中线定理得，推出，为等边三角形，，再由直角三角形两锐角互余算出． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 3．如图，在中，分别是上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴． 4．根据图形回答问题 (1)如图①，，那么、、有什么关系？ (2)如图②，，那么与有什么关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例说明即可； （2）利用平行线分线段成比例说明即可. 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴. 5．如图，在和中，已知，求的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 6．已知线段a、b、c，求作线段x，使得． 【答案】如图，线段即为所求． 【分析】由，可得，利用平行线分线段成比例即可画出线段，作射线，在上分别截取，，作射线，在上截取，连接，过点作，交延长线于点，则即为所求作的线段． 【详解】略 7．已知线段、、，通过尺规作图，求作点，把线段分成两部分，使 【答案】作射线，在射线上依次截取，， 连接，过点作，交于点． 【分析】利用平行线分线段成比例定理来进行尺规作图即可． 【详解】略 1．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段的两个端点都在格点上． (1)在图中画一个以为边的平行四边形，点、在格点上，且平行四边形的面积为； (2)在图中画一个以为边的菱形（不是正方形），点、在格点上； (3)在图中的线段上取一点，使得 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合平行四边形面积和网格格点特征，求出平行四边形的底的长度，确定点，再根据平行四边形的性质，过点作和平行且长度相等的线段，得到点，最后顺次连接即可得到平行四边形； （2）先利用勾股定理计算出的长度，再结合菱形的性质在格点中找到点和点，使得，且邻边不垂直，再顺次连接即可得到菱形； （3）从点出发，作一条与不重合的格点射线，截取个长度相等的单位格点线段，利用网格构造相似三角形，根据平行线分线段成比例定理，在上截出的分点． 【详解】（1）解：选取水平方向的线段作平行四边形的底，由于竖直方向的高恰好为，平行四边形面积为，所以为．根据平行四边形对边平行且相等的性质，过点作和平行且长度相等的线段，连接，最后顺次连接，得到的平行四边形四个顶点都在格点上，符合题目要求． （2）解：观察格点可知，点到点横向间隔个单位，纵向间隔个单位，由勾股定理得．从点出发，在格点中找到点，使得，且不与垂直，再从点出发，在格点中找到点，使得，，最后顺次连接，得到的四边形即为菱形，不构成正方形． （3）解：从点出发，作一条与不重合的格点射线，在射线上连续截取个长度相等的单位格点线段，将第个分点与点连接，再过单位格点线段从右数第个分点作该连线的平行线，与线段的交点即为点．根据平行线分线段成比例定理，此时，，满足比例要求． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、为格点，、为格线上的点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两个画图任务，每个任务的画线不超过五条． (1)在图1中将线段沿方向平移得线段（点与点对应，点与点对应）；再在上找一点，使得． (2)在图2中作点关于的对称点；再在线段上画点，使得． 【答案】(1)解： (2)解： 【分析】（1）连接与格线交于点，由方格纸可知，为的中点，连接并延长交过点的水平格线于，与的交点即为点．可证，所以，所以四边形为平行四边形，所以；由为中点可得，，则可得； （2）取与相距4个格点的点，连接交于，连接格点与并延长交过点的水平格线于，与的交点即为，由图可知，则可证明，进而可证明，所以，故垂直平分，所以关于的对称点；连接交格线与，连接与格点与的交点即为；由图知，由平行线分线段成比例定理知，所以，则可证，进而可证，则再由平行线分线段成比例定理可知，即． 【详解】（1）解： 略； （2）解：略． 3．已知，在中，，以为直径的交于点D，过圆心O作的平行线，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； (2)4 (3) 【分析】（1）连接，结合等腰三角形性质，以及平行线性质证明和全等，利用全等的性质推出，再根据切线的判定定理分析证明即可； （2）设的半径为，进而得到，在中，利用勾股定理建立方程求解，即可解题； （3）利用平行线分线段成比例可推出，结合全等三角形性质推出，进而得到是等边三角形，，再根据计算求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则， ， ， 由（1）已证：， 在中，， ，即， 解得， 即的半径为4； （3）解：， ， ， 由（1）已证：， ， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， 在中，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $