31.1 图形的相似（分层作业，5大类型）数学新教材人教版九年级下册
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内容正文：
31.1 图形的相似（解析版）
目 录
类型一、相似图形 1
类型二、相似多边形 6
类型三、比例的性质 13
类型四、成比例的线段 21
类型五、相似多边形的性质 26
类型一、相似图形
1．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．四个内角对应相等的两个四边形 B．四条边对应成比例的两个四边形
C．一个内角对应相等的两个菱形 D．一条边对应相等的两个矩形
【答案】C
【分析】相似多边形需同时满足对应角相等，对应边成比例两个条件,以此为依据判断各选项．
【详解】解：A. 四个内角对应相等的两个四边形，对应边不一定成比例，不一定相似，不符合题意；
B. 四条边对应成比例的两个四边形，对应角不一定相等，不一定相似，不符合题意；
C. 菱形的四条边相等，故对应边成比例，
∵菱形的一个内角对应相等，
∴所有对应内角均相等，
∴两个菱形一定相似，符合题意；
D. 一条边对应相等的两个矩形，其余边长不确定，对应边不一定成比例，不一定相似．
2．下面几组图形中，是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案．
【详解】解：根据形状相同的两个图形叫做相似图形可知：四个选项中，选项C中的图形是相似图形．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形都是相似形 B．直角三角形都是相似形
C．平行四边形都是相似形 D．正方形都是相似形
【答案】D
【分析】判断图形是否相似需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此逐一判断即可．
【详解】解：A． 等腰三角形的内角与边长均不确定，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似，错误．
B． 直角三角形的两个锐角不一定对应相等，对应边不一定成比例，不一定相似，错误．
C． 平行四边形的内角与边长均不确定，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似，错误．
D． 正方形的各角均为，对应角相等，各边均相等，对应边成比例，所有正方形都相似，正确．
4．在下列四个命题中：①所有等腰直角三角形都相似；②所有矩形都相似；③所有正方形都相似；④所有菱形都相似．其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】判断相似图形需同时考虑对应角与对应边两个条件，据此逐一验证命题．
【详解】解：①所有等腰直角三角形的内角均为，，，对应角相等，故都相似，是真命题；
②所有矩形对应角均为直角，但对应边的比不一定相等，故不都相似，是假命题；
③所有正方形对应角相等、对应边成比例，故都相似，是真命题；
④所有菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，故不都相似，是假命题；
综上，真命题共2个．
5．下列各组图形属于相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形，
项中一个是四边形，一个是三角形，形状不同，不是相似图形；
项中一个是五边形，一个是六边形，形状不同，不是相似图形；
项中一个是平行四边形，一个是正方形，对应角不相等，形状不同，不是相似图形；
项中两个图形形状相同，大小不同，是相似图形．
6．下面几组图形中，相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】形状相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案．
【详解】解：选项C中的图形是相似图形．
7．很多手机专门为老年人推出了“大字版”功能，那么用大字版看到的图形与原图形（ ）
A．全等 B．相似 C．轴对称 D．中心对称
【答案】B
【分析】手机大字版只是把图形放大，图形的形状没有改变，大小改变，属于图形的缩放，是相似变换．
【详解】解：大字版是将原图形按比例放大，所得图形与原图形形状相同、大小不同．
∵全等图形要求形状、大小均相同，
∴A不符合题意．
∵轴对称、中心对称的两个图形大小均不变，
∴C，D不符合题意．
∵相似图形形状相同，大小可不同，
∴B符合题意．
8．下列图形中，不是相似图形的有（ ）
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
【答案】B
【详解】解：图1，形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故该图形是相似图形；
图2，形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故该图形是相似图形；
图3，形状不相同，不符合相似图形的定义，故该图形不是相似图形；
图4，形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，故该图形是相似图形；
综上，不是相似图形的只有1组．
9．《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似变换，解题的关键是掌握相似的定义．
根据相似变换进行求解即可．
【详解】解：放大前后两个图形之间属于相似变换，
故选：C．
10．如图，用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，这种图形的变换是（ ）
A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．轴对称变换
【答案】A
【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是掌握：把形状相同的图形叫做相似图形，相似图形之间的互相变换称为相似变换．据此分析即可．
【详解】解：用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，属于图形的形状相同，大小不相同，
∴这种图形的变换是相似变换．
故选：A．
11．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义．根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解．
【详解】解：、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意，
、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意，
故选：．
12．如图所示的各组图形中，是相似图形的是______（填序号）．
【答案】②③
【分析】明确相似图形的判定依据：形状相同，大小可以不同，对应角相等、对应边成比例．依次分析每组的两个图形：先判断形状是否完全一致，再看对应元素的特征是否匹配．如果两个图形满足形状相同，那么这组图形是相似图形．
【详解】①中两个圆形脸部，一个是微笑的上扬嘴形，一个是难过的下弯嘴型，形状不一致，不是相似图形；
②中的两个正五边形，形状完全相同，仅大小不同，符合相似图形的要求；
③中的两个标志，内部的斜向图案朝向虽有差异，但整体形状细节一致，是相似图形．
因此是相似图形的是②③．
13．如图，图形①②③分别和图形_________是相似图形（填序号）．
【答案】⑥④⑤
【分析】需逐一分析每个图形与其他图形的形状是否相同．
【详解】解：分析图形①：图形①与图形⑥形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义；
分析图形②：图形②与图形④形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义；
分析图形③：图形③与图形⑤形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义；
综上，图形①和图形⑥是相似图形，图形②和图形④是相似图形，图形③和图形⑤是相似图形．
故答案依次为：⑥、④、⑤．
【点睛】本题考查了相似图形的知识点，解题关键是理解相似图形形状相同、大小可不同的特点，通过观察图形的形状来判断是否为相似图形．
14．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________．
【答案】甲和丙
【分析】本题主要考查相似图形的判断，特别是矩形的相似条件．
根据题干信息，分别计算每个矩形长与宽的比值，若比值相等，则矩形相似．
【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形，
每个内角都为．
甲和乙不相似．
甲和丙相似．
乙和丙不相似
故答案为：甲和丙．
15．将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是_____．（填序号）
（1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度
【答案】（1）（2）（4）
【分析】本题主要考查了相似图形的性质，根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案．
【详解】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙，
∴图形甲和图形乙相似，
∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例，
∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小，
故答案为：（1）（2）（4）．
类型二、相似多边形
16．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形
【答案】C
【分析】从对应角、对应边两方面判断图形是否相似．
【详解】解：A. 两个矩形对应角均为，但对应边不一定成比例，不一定相似；
B. 两个菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，不一定相似；
C. 两个正方形对应角均为，且对应边成比例，一定相似；
D. 两个等腰三角形对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不一定相似．
17．下列各选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形
C．两个矩形 D．两个正方形
【答案】D
【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，缺一不可，据此逐一判断即可．
【详解】解：A． 两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似．
B． 两个等腰三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不一定相似．
C． 两个矩形，对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定相似．
D． 两个正方形，对应角相等，对应边的比相等，一定相似．
18．如图，两个正方形、两个等边三角形、两个等腰直角三角形、两个矩形各成一组，同组的两个图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例，对各选项进行判断即可．
【详解】解：A．两个正方形对应角相等，对应边成比例，一定相似；
B．两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，一定相似；
C．两个等腰直角三角形对应角相等，对应边成比例，一定相似；
D．两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似．
19．下列各组图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
【答案】D
【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项是否一定相似．
【详解】解：A．两个等腰直角三角形的内角均为、、，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故A不符合题意；
B．两个等边三角形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故B不符合题意；
C．两个正方形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故C不符合题意；
D．两个等腰梯形的底角不一定相等，各边比例也不一定相同，不一定满足相似条件，故不一定相似，故D符合题意．
20．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形和四边形相似，
∴它们的相似比是．
21．已知四边形与四边形相似，相似比为，四边形与四边形相似，相似比为，则四边形与四边形的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将转化为，将转化为，然后求得四边形与四边形相似比即可．
【详解】解：∵四边形与四边形的相似比为，四边形与四边形的相似比为，
∴四边形与四边形的相似比为．
22．在研究相似问题时，两位同学的观点如下：
甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．
对以上两人的观点，下列判断正确的是（ ）
A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对
【答案】A
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断．
【详解】解：如图所示，
甲：设原矩形边长为，，
向外扩张一个单位后边长变为，，
则，
∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确；
乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，
因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似，
故乙正确．
23．已知五边形与五边形相似，若对应边与的长分别为和，则五边形与五边形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵五边形与五边形相似，
∴五边形与五边形的相似比为对应边与的比，
∵，，
∴．
24．下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形
【答案】D
【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误
B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误
C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误
D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确．
25．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形
【答案】B
【分析】本题考查相似图形的判定，需依据相似图形“对应角相等、对应边成比例”的定义逐项分析判断．
【详解】解：
∵相似图形的定义为对应角相等且对应边成比例．
A选项：两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，
∴不一定相似．
B选项：两个正方形的每个内角均为，对应角相等，且各边都相等，对应边的比为定值，
∴一定相似．
C选项：两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，
∴不一定相似．
D选项：两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，
∴不一定相似．
故选：B．
26．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的周长比为___________．
【答案】
【详解】解：设网格的单位长度为1，则由网格图可知：，
∵五边形五边形，
∴相似比为，
∴五边形与五边形的周长比等于相似比，即为．
27．如图，一个矩形广场（阴影部分）的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为．如果设两条横向小路的宽都为，那么当x为_______时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程和相似多边形的性质，熟练掌握“如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形”是解题的关键．
根据内外矩形的对应角相等，当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，再利用比例性质求出即可．
【详解】解：根据题意得：内矩形长为，宽为，外矩形长为，宽为，
若内外两个矩形相似，除对应角相等外，还需，解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
∴当时，
小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
故答案为：．
28．如图，中，，，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则____________（为正整数）.
【答案】
【分析】本题主要考查了图形类规律探索，相似多边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似图形的判定与性质是解题的关键．
根据已知条件可得，然后可证得，利用相似三角形的性质可得，同理可得，于是可求得；根据已知条件，易证得四边形四边形，且相似比为，可推出，同理可得，，发现并总结出一般规律，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
为的中点，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
取中点，作，，得到四边形，
易证得四边形四边形，且相似比为，
，
，
同理可得：，
，
，
，
故答案为：．
29．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解题的关键是找出规律．
根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律．
【详解】四边形是矩形，
，
，
按逆时针方向作矩形的相似矩形，
矩形的边长和矩形的边长的比为，
矩形的面积和矩形的面积的比，
，
，
，
故答案为：.
类型三、比例的性质
30．若四条线段满足，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由可得，，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
31．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴．
32．已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴选项变形正确，选项变形错误．
33．已知（），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据比例关系，将和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
34．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵（），
∴等式两边同时除以6，得
.
35．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】将拆分，可得，然后将代入求解即可．
【详解】解：，
将，代入得：．
36．若成立，则下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各选项的比例式转化为等积式，与已知推导的对比，判断等式是否成立；
【详解】解：∵，
∴，且均不为0.
∵，
∴ ，与已知一致，
∴ A成立；
设，则，，
当时，
∴，
∴ B成立；
∵，，，
∴，
∴C成立；
∵，
∴，与不一定相等，
∴ D不成立；
37．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据比例性质逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴设，（），
A选项：，，，错误；
B选项：，不一定为1，错误；
C选项：，错误；
D选项：，正确，符合题意．
38．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
39．已知，则下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立．
【详解】解：∵，，
∴，
选项A：，A错误；
选项B：，B错误；
选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误；
选项D：将等式交叉相乘得 ，
展开得，
化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确．
40．如果，则___________．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴．
41．已知，则_____________．
【答案】
【分析】已知，可将、用含、的代数式表示，代入所求分式化简即可得到结果．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
将，代入，
可得．
42．互不相等的实数a、b、c满足，则________．
【答案】
【分析】由已知连等式转化为方程组，通过整体相加的方法提取公因式，然后分情况讨论和的两种情况，并结合题目中“互不相等的实数”这一限制条件进行检验．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
相加得，
，
，
移项得，
此时分两种情况讨论：
情况一：若，则必须有，解得，
将代入原式，得，即；
，即，
两式相减得：，即，
∴，
这与题目已知条件“互不相等的实数”矛盾，
∴不成立，舍去；
情况二：若，则，，，
代入原连等式，得，
满足互不相等且分母不为0的条件，成立．
综上所述，的值为．
43．若，则________．
【答案】/
【分析】根据比例性质，设，，代入中求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，，
∴．
44．已知，那么______．
【答案】
【分析】将所求分式拆分变形，代入已知比例即可计算．
【详解】解：．
45．如果，则___________．
【答案】
【分析】根据已知等式分别求出，，的值，再代入所求式子计算即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
，
将，，代入得．
46．若，则______．
【答案】
【分析】由已知比例关系得到的值，再将所求分式拆分为计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
47．已知：且，求a的值．
【答案】
【分析】设，分别用表示，代入关系式求出值即可．
【详解】解：设，
则，，，
，
，
,
，
．
48．已知，且，分别求，，的值．
【答案】，，
【分析】设，则，，．结合题意可得出关于k的方程，解出k的值即可解答．
【详解】解：设，
∴，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，．
49．已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）设比例系数为，用含的式子表示a、b、c，代入求解，进而得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义列等式，结合线段长度求的值．
【详解】（1）解：设，
，
∵，
，
即，解得，
．
（2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，
∵，，
∴，
∵x是线段长度，，
∴．
50．已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？
【答案】三、四
【分析】分两种情况分别求出的值，得到各自经过的象限，取公共象限即可．
【详解】解：（1）当时，根据比例的等比性，此时一次函数经过一、三、四象限；
（2）当时，可得，则，此时一次函数经过二、三、四象限；
综上所述，函数必经过三、四象限．
类型四、成比例的线段
51．下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例．
【详解】解：A．∵，，，
∴不成比例．
B．∵，，，
∴成比例．
C．∵，，，
∴不成比例．
D．∵，，，
∴不成比例．
52．四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四条线段，，，成比例，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得．
53．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】B
【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段，
∴，即．
将，，代入，得．
整理得．
解得．
54．已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据成比例线段的给定顺序列比例式，代入已知长度计算的值．
【详解】解：线段，，，为成比例线段，
，
，，，
．
55．已知成比例线段．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，，成比例线段，
∴，
∵，，，
∴．
56．下面四组线段中，不成比例的是（ ）
A．3、6、2、4 B．4、6、8、10
C．1、、、 D．、、4、6
【答案】B
【详解】解：A选项：，四条线段成比例，不符合题意；
B选项：，四条线段不成比例，符合题意；
C选项：，四条线段成比例，不符合题意；
D选项：，四条线段成比例，不符合题意．
57．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将每组线段按长度从小到大排序，验证最短与最长线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，判断是否为成比例线段．
【详解】解：各组线段单位统一且已按从小到大排列，分别计算得：
A、，不成比例；
B、，不成比例；
C、，成比例；
D、，不成比例．
58．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【分析】只需要判断最短的线段与最长的线段的乘积是否等于剩余两条线段的乘积即可．
【详解】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
59．如果，，，，那么（ ）
A．a，b，c，d成比例 B．a，c，d，b成比例
C．a，c，b，d成比例 D．a，b，d，c成比例
【答案】B
【分析】分析四个数据，判断能否满足两内项之积等于两外项之积，再将其写成比例式形式即可．
【详解】解：，，，，
∵ ，，
∴ ，
∴ ，即，，，成比例．
60．已知线段，，如果是、的比例中项，那么线段等于__________．
【答案】
【分析】根据比例中项的定义可得，代入、的数值计算即可，线段长度为正，直接得结果．
【详解】解：∵ 是、的比例中项，
∴ ，
代入，得：，
计算得，
解得．
61．已知线段，，则线段的比例中项是_______．
【答案】4
【分析】根据比例中项的定义列等式，结合线段长度为正数计算结果．
【详解】解：∵设线段是的比例中项，
∴．
代入，，可得，
，
解得，
∵线段的长度为正数，
∴，即线段的比例中项是．
62．若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为________．
【答案】
【分析】已知四条线段按顺序成比例，根据成比例线段定义列比例式求出的厘米数，再转换单位为米即可得到结果．
【详解】解：∵、、、是成比例线段
∴
∵，，
代入得
解得
∵
∴．
63．已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______．
【答案】
【分析】若线段a，b，c，d满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断即可．
本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，其中，，，
∴；
∴；
解得，
故答案为：．
64．已知线段，，满足，且．
(1)求，，的值；
(2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长．
【答案】(1)，，
(2)线段的长为
【分析】（1）设连等式的比值为，用含的代数式表示，代入求解即可；
（2）根据比例中项的定义列出等式，结合线段的长度为正数求解即可．
【详解】（1）解：设，
则，
代入得：，
解得：，
．
（2）解：线段是线段，的比例中项，
，即，
，
，
线段的长度为正数，
．
65．已知长度分别为x、2、y、3的四条线段依次成比例，且，求x和y的值．
【答案】，
【分析】根据成比例线段的性质列等式，联立已知方程得到方程组，求解方程组即可．
【详解】解：由四条线段依次成比例可得，根据比例的基本性质得：，
联立已知条件，得方程组：，
将代入中，得：
解得．
将代入，得：
解得．
所以，，．
类型五、相似多边形的性质
66．如图，四边形四边形，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，，
在四边形中，，
又∵，
∴．
67．如图，在正方形网格中，五边形和五边形的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知五边形五边形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设小正方形的边长为
∵五边形五边形，
．
68．若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似多边形的性质，利用相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵两个相似矩形的周长比是，
∴它们的相似比为，
又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，
∴这两个相似矩形的面积比是，
故选：D．
69．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似多边形的对应边成比例求出缩小后的宽，再利用矩形面积公式计算即可．
【详解】设缩小后的宽是，
∵缩小前后的两个矩形相似，
∴， 解得，
∴缩小后的宽是，
∴缩小后的矩形的面积为．
70．五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比．
【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比,
∴两面国旗的相似比为．
又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方,
∴两面国旗的面积比为．
71．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可．
【详解】解：四边形四边形，且，，
它们的相似比为，
它们的面积之比为，
即．
72．如图，已知，若，，则的长为（ ）．
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则．
【详解】解：∵
∴，
∴．
故选：C．
73．现有两张完全相同的矩形纸片，，，．如图1，将第一张矩形纸片对折，使与重合，展平后沿折痕剪开，取其中一张小矩形纸片，记为矩形①；如图2，将第二张矩形纸片沿过点的直线翻折，使点的对应点落在边上，过点的直线与边交于点，沿剪下矩形，记为矩形②；如果矩形①与矩形②相似，那么的值是____．
【答案】
【分析】根据折叠性质确定矩形①和矩形②的边长，矩形①的长为，宽为；矩形②的边长为和；利用相似多边形对应边成比例列方程求解，注意讨论长宽对应关系并舍去不合题意的解．
【详解】解：由题意可知，矩形①是由矩形对折剪开得到的
对折使与重合
矩形①的长为，宽为
由折叠性质可知，
点在边上，
矩形②的边长分别为和
矩形①与矩形②相似，且
矩形①的长边为 ，
若矩形②的长边为，则，解得，不合题意，舍去
若矩形②的长边为，短边为
整理得，
即
解得
，
74．已知五边形五边形，若，，则的值为________．
【答案】
【分析】根据相似多边形对应边成比例的性质，利用已知对应边求出相似比，即可得到所求对应边的比值．
【详解】解：∵ 五边形五边形，
∴ 对应边成比例，可得，
将，代入得：．
75．如图，四边形与四边形相似，且A、B、C、D分别与、、、对应，则的度数是__________．
【答案】
【详解】解：由已知，，
∴．
76．如图，四边形四边形，，，，，．求，的大小和的长．
【答案】，，
【分析】根据相似多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形四边形，，，，，，
∴，，，即，
解得．
77．如图四边形四边形，依据所标数据，解答下列问题．
(1)求的度数．
(2)求边x，y的长．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据相似图形对应角相等，即可求解；
（2）根据相似图形对应边成比例，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形四边形，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形四边形，
∴，即，
∴，．
78．如图，四边形四边形，求x，y的值和的度数．
【答案】，，
【分析】根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例求解即可．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，，
由图可得,，
∴，．
79．如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形．若矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，求纵向小路的宽度与横向小路的宽度的比值．
【答案】
【分析】利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵相对两条小路的宽度相等，
∴，，
∵矩形与矩形相似，
，
，
，
∴小路的宽度x与y的比值为．
80．如图，六边形与六边形相似．求：
(1)相似比；
(2)和的度数；
(3)边，，，的长．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)，，，
【分析】（1）对应边的比就是相似比；
（2）利用相似多边形对应角相等，可求出结果；
（3）利用相似多边形对应边成比例列出比例式求解即可．
【详解】（1）解：∵六边形与六边形相似，与是对应边，
∴ ，即相似比为．
（2）解：∵六边形与六边形相似，
∴，，
又∵，，
∴，．
（3）解：∵六边形与六边形相似，
∴．
由，，得，
∴．
由，，得，
∴．
由，，得，
∴．
由，，得，
∴．
即，，，．
【点睛】本题主要考查相似多边形性质，熟记相似多边形的性质是解题的关键．
1．矩形中，，点E、F分别在边、上，四边形是正方形，四边形四边形，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】C
【分析】设，根据正方形性质及相似多边形对应边成比例列方程求解．
【详解】解：设，
四边形是正方形，四边形是矩形，，
，，，
，
四边形四边形，
，即，
整理得，
解得，
，
．
2．已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将已知等式变形为比例式，结合平行线分线段成比例定理及尺规作图中先作已知线段的原则进行判断．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∵用平行线分线段成比例作线段的核心逻辑是：两条从同一点出发的射线，先在射线上依次截取全部已知的定长线段，再作平行线，最后截出的未知线段是作图的结果，不能一开始就去画还没求出来的，
∴选项错误，
根据平行线分线段成比例定理，图中对应线段成比例，满足，符合题意．
3．我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设，由折叠的性质可得，根据相似的性质得到，，据此求解即可．
【详解】解：设，
由折叠的性质可得，
∵这两种规格的矩形纸片相似，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴“白银”比为．
4．如果，那么直线必过______象限．
【答案】第一、四
【分析】由连等比设公共比值为，列出关于的等式；分与两种情况求出，再分别讨论直线经过的象限．
【详解】解：由题意，得
．
∴，，．
三式相加，得．
当时，，直线为，经过第一、三、四象限；
当时，，则，直线为，经过第一、二、四象限．
∴直线一定经过第一、四象限．
5．已知，则_________．
【答案】或
【分析】设，再整理，分和两种情况进行作答．
【详解】解：设，
则①，
②，
③，
得，，
当时，原式，
当时，，则，
原式．
故答案为：或．
6．如图，矩形是黄金矩形（即宽与长的比是），对角线交于点，点在上且，为中点．若，求该黄金矩形长边的长为________．
【答案】/
【分析】先根据矩形的对角线互相平分，得出是的中位线，则，再利用黄金分割比，结合二次根式分母有理化求解即可．
【详解】解：矩形是黄金矩形，对角线交于点，
，，
为中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
．
7．已知三角形的三条边长分别为1，，，请写出另外三条线段长，使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似．这三条线段的长依次可以是____________，____________，____________．
【答案】
【分析】根据相似三角形三边对应成比例，将原三角形三边同时乘同一个不为1的正实数，即可得到符合要求的边长．
【详解】解：∵要新三角形与原三角形相似，
∴新三边与原三边对应成比例．
∴可以取相似比为，
∵原三角形三边长从小到大依次为，，，
∴新三边依次为：，，．
8．已知纸的宽度为，如图，将其沿较长边对折后，所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则纸的长度为__________．
【答案】
【分析】设，则，根据相似多边形的性质可得，即，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，在矩形中，，点分别是的中点，
设，则，
∵矩形与矩形相似，
∴，即，
解得，
∴，
∴纸的长度为．
9．一块长、宽的矩形黑板如图所示．
(1)如果镶在它外围的木质边框的宽度为，那么边框的内、外边缘所围成的矩形相似吗？为什么？
(2)要使边框的内、外边缘所围成的矩形相似，横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度之间应满足怎样的关系？
【答案】(1)不相似；
理由如下：由题意得边框外缘所围成的矩形的长、宽分别为，
假设边框的内、外边缘所围成的两矩形相似，则，
解得，不符合题意，即边框的内、外边缘所围成的两矩形不相似．
(2)横向木质边框的宽度是纵向木质边框的宽度的时，边框的内、外边缘所围成的两个矩形相似
【分析】（1）由题意得边框外缘所围成的矩形的长、宽分别为，假设两矩形相似，求出d的值是否存在即可判断．
（2）设横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度分别为与，由两个矩形相似可求得的关系．
【详解】（1）解：不相似；理由略；
（2）解：设横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度分别为与，
则边框外缘所围成的矩形的长、宽分别为，
由于边框的内、外边缘所围成的两矩形相似，
所以，
得，
即横向木质边框的宽度是纵向木质边框的宽度的时，边框的内、外边缘所围成的两个矩形相似．
9．如图，矩形草坪长，宽，草坪外围两条横向小路的宽均为，如果设两条纵向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所形成的两个矩形相似？
【答案】
【分析】根据两个矩形相似，其长之比与宽之比相等即可求解．
【详解】解：若小路内、外边缘所形成的两个矩形相似，则可以得到两个矩形长之比与宽之比相等，
即，解得．
∴当x为1.5时，小路内、外边缘所形成的两个矩形相似．
1．数学活动课上，老师布置了一个任务：在长为6，宽为2的矩形纸片内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，甲同学的设计方案如图①，乙同学的设计方案如图②．请你判断选择谁的方案剪下的两个矩形的周长之和最大，并说明理由．
【答案】解：选择乙同学的设计方案．
理由如下：如答图①，设甲同学的设计方案中剪下的小矩形的宽，
原矩形的长与宽之比为，
，
，
，
甲同学的设计方案中两个矩形的周长之和为．
如答图②，设，同理可得剪下的两个矩形的周长之和为．
，
，
当时，两个矩形的周长之和最大，最大值为．
，
选择乙同学的设计方案剪下的两个矩形的周长之和最大．
【分析】先算出原矩形长宽比为，利用相似矩形边长比例，再分别设未知数写出甲、乙方案两个小矩形的边长，进而求出甲方案周长之和恒为16，同理求出乙方案周长表达式，结合自变量范围算出乙的最大周长，最后比较大小，得到乙方案剪下矩形的周长之和更大．
【详解】略
2．请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务．
分式与糖水浓度
在生活中，有这样司空见惯的现象：
现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．
用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有b克糖（），则糖水的浓度为．
①如果加入m克水，糖水的浓度变为，因为糖水变淡，可以得到不等式_____；
②如果加入n克糖，糖水的浓度变为，因为糖水变甜，可以得到不等式____．
现象2：__________．
用数学知识解释：在两个杯子中，一杯盛有克糖水，含糖克；另一杯盛有克糖水，含糖克．将两杯糖水混合后，浓度可以表示为，因为糖水甜度不变，可以用等比定理来解释“若，则成立”．
(1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容；
(2)任务2：证明现象1中②的不等式；
(3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容；
(4)任务4：请运用现象1中的结论②证明：若，且a，b，c都为正数，则．
【答案】(1)①；②；
(2)证明：，
，则，
，即
；
(3)现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变；
(4)证明：∵a，b，c都为正数，
∴，
由现象1中的结论②，假设原来的糖水总质量是克，其中含有1克糖，加入克糖，
同②可得不等式①，
同理可得②，
③，
则①＋②＋③得
因为，
所以，
即．
【分析】（1）根据糖水变淡，得到浓度变小，糖水变甜，浓度变大，解答即可；
（2）利用作差法证明即可；
（3）根据混合前后甜度相等，说明三种糖水的甜度相同，解答即可；
（4）假设原来的糖水总质量是克，其中含有1克糖，加入克糖，同②可得不等式①，同理可得②，③，求和后解答即可．
【详解】（1）解：原来糖水的浓度为．
①加入m克水，糖水的浓度变为，因为糖水变淡，可以得到不等式；
②加入n克糖，糖水的浓度变为，因为糖水变甜，可以得到不等式．
（2）略
（3）解：根据混合前后甜度不变，可知现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变；
（4）略
3．综合与实践
黄金分割给人以美感，其魅力在于它横跨了数学与算法、工程建筑、艺术设计、绘画摄影、生态自然、股市分析有着极其重要的作用与应用．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则．
一、感知计算
(1)如图1，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则______．（填“”、“”或“”）
二、应用生活
(2)贝多芬《第五交响曲》全曲演奏时长约为33分钟，在整个乐曲达到高潮时，位置恰好落在全曲时长的黄金分割点处，则乐曲到达高潮的时间是______分钟（保留整数）．
三、动手操作
已知矩形纸片的宽，按如下步骤进行折叠操作：
①如图2，沿折痕对折，使点落在点处，展开后得到正方形；
②如图3，将与重合对折，折痕为，再展开；
③如图4，连接，过点对折，使得点落在点处，折痕为，再展开；
④如图5，过点对折纸片，折痕为，得到矩形；
(3)四边形是______形．
(4)证明：矩形是黄金矩形；（宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形）
(5)我国国旗五星红旗上的五角星，其轮廓由正五边形绘制而成．请你用无刻度的直尺和圆规：以已知线段为正五边形的一条对角线，作正五边形．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)
(2)
(3)菱形
(4)证明：由折叠可知，正方形的边长为，即，
∵将与重合对折，折痕为，
∴是的中点，
∴，
在中，，
由折叠可知，，
∴，
在矩形中，宽为长为，
∴，
∵宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，
∴矩形是黄金矩形；
(5) 【小问5】+
【分析】（1）根据黄金分割点的定义得到，分别求出和即可得到答案；
（2）用总时长乘以即可得到答案；
（3）证明，根据菱形的判定即可得到结论；
（4）求出，，则，根据定义即可得到结论；
（5）作出线段的两个黄金分割点，再分别以为圆心，为半径画弧，相交于点B，再分别在射线上截取，顺次连接即可．
【详解】（1）解：∵是线段的黄金分割点，且，
∴，
∴
∴
（2）解：，
即乐曲到达高潮的时间是分钟；
（3）解：由折叠可知，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（4）略
（5）略
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31.1 图形的相似（原卷版）
目 录
类型一、相似图形 1
类型二、相似多边形 3
类型三、比例的性质 6
类型四、成比例的线段 7
类型五、相似多边形的性质 8
类型一、相似图形
1．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．四个内角对应相等的两个四边形 B．四条边对应成比例的两个四边形
C．一个内角对应相等的两个菱形 D．一条边对应相等的两个矩形
2．下面几组图形中，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形都是相似形 B．直角三角形都是相似形
C．平行四边形都是相似形 D．正方形都是相似形
4．在下列四个命题中：①所有等腰直角三角形都相似；②所有矩形都相似；③所有正方形都相似；④所有菱形都相似．其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．下列各组图形属于相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下面几组图形中，相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．很多手机专门为老年人推出了“大字版”功能，那么用大字版看到的图形与原图形（ ）
A．全等 B．相似 C．轴对称 D．中心对称
8．下列图形中，不是相似图形的有（ ）
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
9．《西游记》中大闹天宫的美猴王，是不畏强权、勇敢反抗精神的中华经典文化符号．如图，用放大镜将美猴王的手绘图片放大，放大前后两个图形之间属于（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．相似变换 D．旋转变换
10．如图，用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，这种图形的变换是（ ）
A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．轴对称变换
11．下列图形中，不是相似图形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图所示的各组图形中，是相似图形的是______（填序号）．
13．如图，图形①②③分别和图形_________是相似图形（填序号）．
14．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________．
15．将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是_____．（填序号）
（1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度
类型二、相似多边形
16．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形
17．下列各选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形
C．两个矩形 D．两个正方形
18．如图，两个正方形、两个等边三角形、两个等腰直角三角形、两个矩形各成一组，同组的两个图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
19．下列各组图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
20．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（ ）
A． B． C． D．
21．已知四边形与四边形相似，相似比为，四边形与四边形相似，相似比为，则四边形与四边形的相似比为（ ）
A． B． C． D．
22．在研究相似问题时，两位同学的观点如下：
甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．
对以上两人的观点，下列判断正确的是（ ）
A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对
23．已知五边形与五边形相似，若对应边与的长分别为和，则五边形与五边形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
24．下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形
25．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形
26．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的周长比为___________．
27．如图，一个矩形广场（阴影部分）的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为．如果设两条横向小路的宽都为，那么当x为_______时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．
28．如图，中，，，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则____________（为正整数）.
29．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______．
类型三、比例的性质
30．若四条线段满足，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
31．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
32．已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
33．已知（），则的值为（ ）
A． B． C． D．
34．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
35．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
36．若成立，则下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
37．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
38．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
39．已知，则下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
40．如果，则___________．
41．已知，则_____________．
42．互不相等的实数a、b、c满足，则________．
43．若，则________．
44．已知，那么______．
45．如果，则___________．
46．若，则______．
47．已知：且，求a的值．
48．已知，且，分别求，，的值．
49．已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的值．
50．已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？
类型四、成比例的线段
51．下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
52．四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ）
A． B．
C． D．
53．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
54．已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，，，则d是（ ）
A． B． C． D．
55．已知成比例线段．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
56．下面四组线段中，不成比例的是（ ）
A．3、6、2、4 B．4、6、8、10
C．1、、、 D．、、4、6
57．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A． B．
C． D．
58．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
59．如果，，，，那么（ ）
A．a，b，c，d成比例 B．a，c，d，b成比例
C．a，c，b，d成比例 D．a，b，d，c成比例
60．已知线段，，如果是、的比例中项，那么线段等于__________．
61．已知线段，，则线段的比例中项是_______．
62．若线段、、、是成比例线段，且，，，则的值为________．
63．已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______．
64．已知线段，，满足，且．
(1)求，，的值；
(2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长．
65．已知长度分别为x、2、y、3的四条线段依次成比例，且，求x和y的值．
类型五、相似多边形的性质
66．如图，四边形四边形，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
67．如图，在正方形网格中，五边形和五边形的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知五边形五边形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
68．若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
69．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
70．五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（ ）
A． B． C． D．
71．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（ ）
A． B． C． D．无法确定
72．如图，已知，若，，则的长为（ ）．
A．12 B．13 C．14 D．15
73．现有两张完全相同的矩形纸片，，，．如图1，将第一张矩形纸片对折，使与重合，展平后沿折痕剪开，取其中一张小矩形纸片，记为矩形①；如图2，将第二张矩形纸片沿过点的直线翻折，使点的对应点落在边上，过点的直线与边交于点，沿剪下矩形，记为矩形②；如果矩形①与矩形②相似，那么的值是____．
74．已知五边形五边形，若，，则的值为________．
75．如图，四边形与四边形相似，且A、B、C、D分别与、、、对应，则的度数是__________．
76．如图，四边形四边形，，，，，．求，的大小和的长．
77．如图四边形四边形，依据所标数据，解答下列问题．
(1)求的度数．
(2)求边x，y的长．
78．如图，四边形四边形，求x，y的值和的度数．
79．如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形．若矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，求纵向小路的宽度与横向小路的宽度的比值．
80．如图，六边形与六边形相似．求：
(1)相似比；
(2)和的度数；
(3)边，，，的长．
1．矩形中，，点E、F分别在边、上，四边形是正方形，四边形四边形，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．无法计算
2．已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（ ）
A． B． C． D．
3．我们把常用的纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为的矩形纸片，将其长边对折（为折痕），得到两个全等的矩形纸片，且这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为（ ）
A． B． C．2 D．
4．如果，那么直线必过______象限．
5．已知，则_________．
6．如图，矩形是黄金矩形（即宽与长的比是），对角线交于点，点在上且，为中点．若，求该黄金矩形长边的长为________．
7．已知三角形的三条边长分别为1，，，请写出另外三条线段长，使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似．这三条线段的长依次可以是____________，____________，____________．
8．已知纸的宽度为，如图，将其沿较长边对折后，所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则纸的长度为__________．
9．一块长、宽的矩形黑板如图所示．
(1)如果镶在它外围的木质边框的宽度为，那么边框的内、外边缘所围成的矩形相似吗？为什么？
(2)要使边框的内、外边缘所围成的矩形相似，横向木质边框的宽度与纵向木质边框的宽度之间应满足怎样的关系？
9．如图，矩形草坪长，宽，草坪外围两条横向小路的宽均为，如果设两条纵向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所形成的两个矩形相似？
1．数学活动课上，老师布置了一个任务：在长为6，宽为2的矩形纸片内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，甲同学的设计方案如图①，乙同学的设计方案如图②．请你判断选择谁的方案剪下的两个矩形的周长之和最大，并说明理由．
2．请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务．
分式与糖水浓度
在生活中，有这样司空见惯的现象：
现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．
用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有b克糖（），则糖水的浓度为．
①如果加入m克水，糖水的浓度变为，因为糖水变淡，可以得到不等式_____；
②如果加入n克糖，糖水的浓度变为，因为糖水变甜，可以得到不等式____．
现象2：__________．
用数学知识解释：在两个杯子中，一杯盛有克糖水，含糖克；另一杯盛有克糖水，含糖克．将两杯糖水混合后，浓度可以表示为，因为糖水甜度不变，可以用等比定理来解释“若，则成立”．
(1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容；
(2)任务2：证明现象1中②的不等式；
(3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容；
(4)任务4：请运用现象1中的结论②证明：若，且a，b，c都为正数，则．
3．综合与实践
黄金分割给人以美感，其魅力在于它横跨了数学与算法、工程建筑、艺术设计、绘画摄影、生态自然、股市分析有着极其重要的作用与应用．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则．
一、感知计算
(1)如图1，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则______．（填“”、“”或“”）
二、应用生活
(2)贝多芬《第五交响曲》全曲演奏时长约为33分钟，在整个乐曲达到高潮时，位置恰好落在全曲时长的黄金分割点处，则乐曲到达高潮的时间是______分钟（保留整数）．
三、动手操作
已知矩形纸片的宽，按如下步骤进行折叠操作：
①如图2，沿折痕对折，使点落在点处，展开后得到正方形；
②如图3，将与重合对折，折痕为，再展开；
③如图4，连接，过点对折，使得点落在点处，折痕为，再展开；
④如图5，过点对折纸片，折痕为，得到矩形；
(3)四边形是______形．
(4)证明：矩形是黄金矩形；（宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形）
(5)我国国旗五星红旗上的五角星，其轮廓由正五边形绘制而成．请你用无刻度的直尺和圆规：以已知线段为正五边形的一条对角线，作正五边形．（不写作法，保留作图痕迹）
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