专题10一元一次方程的应用复习讲义 (核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题10一元一次方程的应用复习讲义 1.能读懂实际问题，找准已知量、未知量，找出题目里的等量关系，会设未知数，列出一元一次方程。 2.掌握常见题型的基本等量关系：和差倍分、行程问题、工程问题、配套问题、利润销售问题、分段计费问题等。 3.规范列方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答；会检验解是否符合实际意义，舍去不符合题意的解。 4.学会借助表格、线段示意图梳理复杂问题中的数量关系，理清变量之间的联系。 5.能区分不同类型应用题的模型，灵活选用合适的等量关系建立方程，避免等量关系找错。 6.会解决含参数、方案选择类简单应用题，能用一元一次方程模型解释现实问题。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★ 题型三 销售盈亏 ★★ 题型四 比赛积分 ★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★ 题型九 和差倍分问题 ★ 题型十 电费和水费问题 ★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★ 题型十五 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：列一元一次方程解应用题通用步骤（必考标准流程） 步骤 名称 操作要点 核心注意事项 ① 审 通读题目，区分已知量、未知量，找准题目中的等量关系 等量关系是列方程根本，优先寻找不变量 ② 设 设未知数，优先直接设元；复杂题目选用间接设元 规范写法：设x，不要附带单位 ③ 列 根据找到的等量关系，列出一元一次方程 等式左右两边含义保持一致，单位统一 ④ 解 按照一元一次方程标准解法解方程 计算仔细，规范书写解方程过程 ⑤ 检 双重检验：①检验数值满足方程；②检验结果符合现实实际意义 人数、物品数量不能为负数、小数；长度不能为负 ⑥ 答 写出完整答句，带上对应单位 回答内容对应题目所求，语句完整 核心思想：用字母代替未知量，抓住不变的等量关系建立等式。 知识点 02 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法： 例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点03常见问题中的等量关系 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 5 储蓄利息问题 基础公式 利息 = 本金 × 年利率 × 存款年数 本息和 = 本金 + 利息 6 数字、日历问题 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b；不能直接写成ab； 日历规律：上下相邻数字相差 7，左右相邻数字相差 1。 7等积变形问题（几何题型） 核心原理：形状改变，体积（面积）不变 等量关系：变形前体积（面积）= 变形后体积（面积） 常用公式：长方体体积、圆柱体积；长方形、圆形面积。 8 配套问题 核心等量关系 配套比例关系：加工出的两种部件数量之比 = 题目给定配套比 举例：1 个产品需要 2 个 A 零件、1 个 B 零件 A零件总数∶B零件总数=2∶1，转化为：A零件总数=2×B零件总数} 解题要点 （1）分配工人 / 原材料，一部分生产甲部件，一部分生产乙部件； （2）根据配套比例列出等式； （3）算出人数后必须检验：人数一般取非负整数。 9 方案选择问题 解题通用思路 （1）先设自变量x，分别写出每种方案费用（总量）的代数式； （2）列方程求出费用相等时的临界值； （3）分区间讨论：大于临界值、小于临界值分别选择最优方案。 核心模板 方案①：y1=.... 方案②：y2=..... 令y1=y2，求出临界点x=a x>a，选择其中一种方案； x<a，选择另一种方案； x=a，两种方案费用相同。 ⚠️注意：结合实际，x不能为负数，部分场景x只能取整数。 知识点04：设未知数两种方法对比 方式 适用场景 优点 直接设元 题目求什么，直接设什么为x 最后不需要换算，答题简便 间接设元 直接设元难以列出方程；数字、复杂比例、配套问题 更容易列出简洁方程，降低列式难度 知识点 05 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点06：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 等量关系寻找 把题目中的不等关系当作等量关系；漏看条件 圈画关键词，找到不变量建立等式 单位不统一 路程问题时间、长度单位混用 列式前统一所有物理量单位 设、答书写错误 设未知数时附带单位；答句遗漏单位 设：设x（不带单位）；答必须写完整单位 数字类列式错误 十位数字为a，直接把两位数写成ab 两位数：10×十位数字+个位数字 折扣理解出错 误将 8 折理解为原价 ×0.2 8 折 = 原价 × 0.8 检验步骤缺失 解方程后不检验结果是否符合实际 人数、个数不能为负数、小数 工程问题列式错误 多人合作直接相加时间 合作是效率相加，不是时间相加 配套问题比例列式颠倒 把零件比例左右写反 严格对照 “产品：配件” 比例列出等式 方案选择问题 只算出临界点，不分区间讨论选择 算出相等点后，分情况说明不同范围最优方案 题型一 配套问题 1．探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天梦．从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越．为致敬中国航天，某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航空航天知识竞赛的获奖奖品． 社团共有25名成员参与模型核心零件制作，每名成员单日只能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个．已知1个机身部件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机模型．为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制作机翼部件？（要求列一元一次方程解决此问题） 2．在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 3．在数学综合实践活动课中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 请你根据制作方案，完成下面的问题： 几何体制作方案 步骤1裁剪长方形彩纸：一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片． 步骤2制作“三角插”和“圆部式”基本单元：图1中裁出的一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，图2中裁出的一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元． 步骤3制作几何体：40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个几何体． 若有210张长方形彩纸全部用来制作几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元，才能制作尽可能多的几何体？最多能制作多少个几何体？ 题型二 工程问题 4．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 5．2025年12月26日西延高铁正式开通运营．西延高铁的开通不仅拉近了两地的时空距离，更对区域发展、民生出行和经济格局产生了深远影响．西延高铁在修建过程中需要铺设一段轨道，甲队单独施工需要20天，乙队单独施工需要30天，甲先单独施工5天，然后乙队加入一起施工．问还需要多少天可以完成这段轨道铺设？ 6．某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 题型三 销售盈亏 7．小程的妈妈退休后，在离家不远的地方开了一个杂货店．她将其中的某种商品按定价出售，每件可获得利润元．现在按定价的八五折出售件，与按定价每件降价元出售件，所能获得的利润一样．请问这种商品每件的定价是多少？ 8．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 9．无锡素有“江南果蔬之乡”的美誉，阳山水蜜桃与马山杨梅享誉全国（均为国家地理标志产品）．某精品水果在依托本地供应链优势，开展助农惠民活动．该店用12800元购进水蜜桃和杨梅共1000斤．以下是该店近期经营数据及促销政策： 产品 进价（元／斤） 售价（元／斤） 阳山水蜜桃 12 18 马山杨梅 14 20 (1)该水果店购进水蜜桃和杨梅各多少斤？ (2)因物流环节存在自然损耗．水蜜桃损耗率为，杨梅损耗率为．损坏的不能销售．已知全部售出的总利润为4980元，求的值．（总利润总收入总成本） (3)若在（2）的损耗率下，该水果店第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “水蜜桃”优惠方案 一次性购买数量 不超过100斤 超过100斤的部分 价格 原价 八折 “杨梅”优惠方案 商品总额 补贴方式 不超过3000元 无补贴 超过3000元，不超过5000元 直减200元 超过5000元 先享总价抵扣，再减200元 已知购进阳山水蜜桃支付3312元，马山杨梅支付5386元，则水蜜桃购进________斤；将第二次购进的两种水果全部卖完，一共可获得利润多少元？ 题型四 比赛积分 10．受到“赣超”影响，某校开展了“校园足球联赛”运动，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技，感受团队协作与足球运动的魅力．李华同学课后游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 光明 6 5 1 0 16 蓝天 6 6 0 0 18 雄鹰 6 3 2 1 11 (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的钢铁队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出钢铁队的胜场数． 11．表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 12．在某市排球“新年杯”比赛中，参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜制，积分规则如下，比赛中以或者取胜的球队积分3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如下表所示： 球队 场次 胜场 负场 总积分 教体 11 11 0 科技 11 10 1 28 工商 11 8 3 公安 11 24 (1)教体队11场胜场中仅有一场以取胜，则教体队的总积分为_________． (2)公安队积3分取胜的场次是积2分取胜的场次的3倍，且负场总积分为2分．总积分见上表，求公安队负场的场数． (3)科技队积3分的胜场数为奇数，则科技队积3分的胜场数为_______场；工商队积3分的胜场数比科技队积3分的胜场数少1场，且工商队负场总积分为3分，则工商队总积分为_______分 题型五 方案选择 13．初一（1）班的学生为了筹备班级元旦活动到超市购买橙子，超市有促销活动，如果一次性所购橙子数量超过30千克，可以有一定程度的优惠，价格如下： 原价 优惠价 每千克价格 3元 2.5元 （1）班的学生先购买一次，发现数量不够，去超市再次购买，第二次购买数量多于第一次，两次共计购买48千克．若两次共付费126元，则（1）班学生第一次、第二次分别购买橙子多少千克？ 14．某校七年级计划升级教室里的图书角，需要采购40个书架隔板和本分类标签（）．现，两家文创店给出不同的优惠方案： 店方案：购买1个书架隔板，免费赠送2本分类标签； 店方案：书架隔板和分类标签均按原价的8折结算． 已知书架隔板每个原价30元，分类标签每本原价5元． 根据以上信息，解决下列问题： (1)分别用含的式子表示在店、店采购所需的费用． (2)通过计算说明，什么情况下，在店和店采购所需的费用相同． 15．篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有人，2班有人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共个手环． (1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？ (2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）． ①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？ ②姜经理第一次购进个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？ 题型六 数字问题 16．定义一种新运算：对于任意有理数，，都有． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 17．幻方是一种古老的数学游戏，把若干个有理数排成正方形数阵，使每行、每列、每条对角线上的几个数之和都相等，这样的数阵叫作“和幻方”；把若干个有理数排成正方形数阵，使每行、每列、每条对角线上的几个数之积都相等，这样的数阵叫作“积幻方”． 图1 图2 (1)如图1是一个三阶“和幻方”，求与的值； (2)如图2是一个三阶“积幻方”，求的值． 18．数学活动 【问题情境】 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一． “洛书”是我国文化中最古老，最神秘的事物之一，（图1）即为洛书．数出图1各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）．在这个幻方中，9个格中的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，即每一横行、每一竖列以及两斜对角线上的三个数字之和都是15． 【初步尝试】 (1)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____，_____，_____； 【拓展迁移】 (2)请将，，，，0，1，2，3，4这9个数填在图4的方格中，构成一个幻方（答案不唯一，填上一种情况即可）； 【逆向延伸】 (3)请你再设计9个数，使得这9个数填入幻方中，每一横行、每一竖列以及两斜对角线上的三个数字之和都是，请你按从小到大的顺序写出这9个数（答案不唯一，写出一种情况即可）； 【迁移延伸】 (4)将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入图5中的〇中， ①使得3条线上的4个数的和都相等（答案不唯一，填上一种情况即可）； ②在①的条件下是否存在和的最大值？若存在，直接写出这个最大值，若不存在，请说明理由． 题型七 几何问题 19．综合与实践： 同学们在实践活动中用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒． 任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3），并判断容积是否变大． 20．数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着密切的联系．数轴是一个非常重要的数学工具，使数与形完美地结合．以，为端点的线段记为线段，数轴上点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离表示为． (1)如图，点，是数轴上的点，则点，点之间的距离是________； (2)如图，点，是数轴上的点，将一根以，为端点的木棒放在数轴上（点在点的左侧），且．当木棒左端点与点重合时，右端点对应的数为；当点与点重合时，点对应的数为，求木棒的长； (3)在（2）的条件下，点从点出发，木棒以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动． ①求经过多长时间木棒完全离开线段； ②点是木棒上一点，当点在点左侧时，若关系式成立，求此时点与点之间的距离长． 21．在综合实践课上，小聪用m张尺寸如图①所示的长方形白纸条（单位：厘米），按图②所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为6厘米；小明用n张同样的纸条按如图③所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为4厘米． (1)当时，则________； (2)请用n的代数式表示的长； (3)现有图①所示长方形白纸条28张，你能找到合适的分配方案使小聪和小明按各自要求粘合起来的长方形面积相等吗？请写出分配方案，并说明理由．（注：图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张）． 题型八 动点问题 22．如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 23．如图，数轴上有四点、、、，点是原点，点、、在数轴上分别表示有理数、、，且，与互为相反数． (1)直接写出________，________； (2)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒2个单位长度匀速运动，同时，动点从点出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度匀速运动，当，相遇时，相遇的两动点运动方向不变，速度大小均发生变化，动点的速度变为每秒1个单位长度，动点的速度变为每秒3个单位长度；在点、出发的同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动，当与相遇时，动点暂时停止运动，直到点，相遇时动点又立即以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动，当追上时，三个动点同时停止运动．在整个运动过程中，设点的运动时间为秒． ①当，的中点到原点的距离为时，求的值； ②当时，求的值． 24．如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：________，________，________； (2)如图1，点A与点D之间的距离表示为，若点A、B分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过t秒后，A点可表示为________，B点可表示为________，且A、B之间的距离为2，则________； (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向变速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，它们在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．请问P、Q两点有没有可能在上坡或下坡时相遇，若可能，请求出相遇点所表示的数． 题型九 和差倍分问题 25．饺子是中华民族的传统美食，包饺子也是一项非常有趣的活动，除夕当晚，李华一家就制作了美味的水饺和蒸饺（爸爸负责擀皮，李华和妈妈负责包制）．已知爸爸擀的水饺皮和蒸饺皮一共有88张（恰好全部包完），所包的水饺数量是所包的蒸饺数量的2倍还多10个，请根据以上信息求出水饺和蒸饺各包了多少个？（用一元一次方程解答） 26．两支高度相同，但粗细不同的蜡烛，同时点燃后，粗蜡烛每小时缩短，细蜡烛每小时缩短，小时后，粗蜡烛的高度是细蜡烛的倍． (1)求出两支蜡烛原来的高度； (2)当两支正在燃烧的蜡烛高度相差时，若立即熄灭其中一支蜡烛，等待另一支蜡烛燃尽时，再立即点燃之前熄灭的蜡烛．求从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了多少小时？ 27．10月23日，以“菊开江南秀，新韵生态城”为主题的宜昌第35届菊花展在点军区江南开幕，组委会匠心设置了A，B两种园艺造型共16个．已知A，B两种造型的个数之比为，且搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是乙种菊花盆数的4倍，搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是搭配一个B种园艺造型所需甲种菊花盆数的倍；搭配一个B种园艺造型需要乙种菊花的盆数是搭配一个A种园艺造型所需乙种菊花盆数的2倍多10盆，搭配一个B种园艺造型共需甲、乙两种菊花270盆． (1)求A种造型有多少个？ (2)求搭配一个A种园艺造型、一个B种园艺造型各需甲、乙两种菊花各多少盆？ 题型十 电费和水费问题 28．小明根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了水费计算数值转换机的示意图．(用水量单位：，水费单位：元) (1)当时，用含的代数式表示应缴纳水费____________元； (2)小丽家月份缴纳水费元，则小丽家月份用水多少立方米？ 29．年，南充全市新增注册登记新能源汽车2万辆以上，新增充电桩不低于5千个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费2元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费元． (1)若小王在该充电桩充电小时，需支付费用 元． (2)若小王在该充电桩充电（）小时，需支付费用 元（用含有的代数式表示）． (3)小王每周在该充电桩充电一次，某月，小王第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用18元，则小王第一周和第二周各充电多少小时？ 30．某市公布的居民用电阶梯电价方案如下： 收费方式 月用电量 费用 第一档 不超过度 元/度 第二档 超过度但不超过度的部分 元/度 第三档 超过度的部分 元/度 (1)若小华家某月用电量是度，则这个月的电费为_______元；（用含的代数式表示） (2)若小华家9月份的电费为元，求小华家9月份的用电量； (3)居民根据用电情况，可以申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段：8：00～22：00，其电价在各档电价基础上加价元/度； 低谷时段：8：00～22：00以外的时间，其电价在各档电价基础上降价元/度． 高峰时段与低谷时段电费分别按调价后的阶梯电价计费．已知小华家10月份的用电量为度，且高峰时段的用电量大于度，他家申请“峰谷电价”后，能节约元，请求出小华家10月份高峰时段、低谷时段的用电量． 题型十一 行程问题 31．以下是两张不同类型火车的车票： 请根据车票中的信息，解答下列问题： (1)两车行驶方向__________，出发时刻__________（填“相同”或“不同”）； (2)已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快，如果两车均按车票信息准时出发，准时到达终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ 32．学校组织学生到太仓金仓湖秋游，景区的旅游路线示意图如下，其中B、D为景点，A为景区出入口，C为路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米）．小明从A出发，以2千米/时的速度沿路线游览，每个风景点的逗留时间均为0.4小时，游览回到A处时共用了3.4小时． (1)求C、D间的路程： (2)若小明出发0.8小时后，小新从A出发以3千米/时的速度把照相机送给小明（小新在景点不逗留），那么小新最快用多长时间能遇见小明？ 33．学校、书店、公交站三点在同一直线上，已知学校和公交站相距2400米，以书店为原点，1米为1个单位长度画出数轴，如图所示，公交站在数轴上用数字900表示，一辆公交车匀速往返于学校和公交站之间（停车时间忽略不计），设公交车的速度为x米/分． (1)学校在数轴上用数字表示为____； (2)小红从学校出发去书店时，正好有一辆公交车从公交站出发开往学校，已知小红步行的速度是30米/分． ①若小红步行去书店，出发20分钟时，与这辆公交车首次相遇，求公交车的速度x； ②若小红在第二次与这辆公交车相遇时坐上车去书店，结果比步行少用10分钟到达书店，求公交车的速度x； ③若米/分，小红始终步行从学校到书店，在此次过程中与这辆公交车第二次相遇的位置用数字_____表示． 题型十二 比例分配 34．白菜是泰安特产之一，去年泰安白菜大丰收．某乡镇要把116吨白菜运往某市的A，B两地，用大、小两种货车共10辆，恰好能一次性运完这批白菜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和10吨/辆，求这两种货车各有多少辆？ 35．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 36．遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 题型十三 日历问题 37．按照图1所示方法，可以用平行四边形框出月历中的4个数． (1)若框出的4个数中左下角的数为（如图）则这4个数的和为______；（用含有x的代数式表示，需化简） (2)当时，求（1）中代数式的值； (3)在图1的月历中，按照图1的框法，能否框出4个数的和为．若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 38．下表是2024年 4月的日历表，在表中用形如下图的平行四边形框框出 4个数，请解答问题： (1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它们分别是哪4天？ (2)框出的4个数的和可能是 25 吗？为什么？ 39．如图是大家非常熟悉的日历，在日历中，横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7．我们选择不同的方式框住日历中的数，所得到的规律是不一定相同的，现在用一个“十”字模型框住了5个数． 观察2025年9月的日历，回答下列问题： (1)若设十字框中间的数为a，求框中的十字框中的5个数的和是多少？ (2)小李一家外出游玩了5天，这5天的日期之和是75，小李一家几号外出的？ (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？如果不能，请说明理由，如果能，请求出十字框中间的数． 题型十四 古代问题 40．列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 41．课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 42．在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 题型十五 其他问题 43．七年级1班、2班去华夏文旅海洋公园研学，两个班共有93人参加研学，其中1班人数比2班多，且1班人数不足90人，现准备购买某场演出的门票．下表是商家给出的演出门票的价格表，如果两个班级单独购买一共需要付4635元． 购买门票的张数 1至46张 47至89张 90张及以上 每张门票的价格 55元 45元 35元 (1)如果两个班级联合起来购买门票，比各自单独购买可以节省多少钱？ (2)求七年级1班、2班各有多少人参加研学． 44．第九届亚洲冬季运动会将于年月在黑龙江省哈尔滨市举行．运动会吉祥物“滨滨”和“妮妮”，原型是出生于黑龙江的两只可爱的小东北虎，寓意是“哈尔滨欢迎您”．元旦期间，实验小学六年级购买了“滨滨”和“妮妮”玩偶共个作为奖品．当“滨滨”玩偶送出，“妮妮”玩偶送出时，剩下的“滨滨”玩偶和“妮妮”玩偶同样多，原来购置了多少个“妮妮”玩偶？ 45．数学活动：自己动手做一根杆秤 背景 杆秤是中国独立发明的度量物体质量的衡器，是我国古代劳动人民的智慧结晶．一起来了解它的原理并制作一根杆秤． 探究原理 如图，使用杆秤时将重物放在秤钩上，用手提起B处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出重物的质量．其中秤钩质量克，秤砣质量克，重物质量克，秤纽与秤钩的水平距离为x厘米，秤纽与零刻线的水平距离为y厘米，秤砣与零刻线的水平距离为z厘米，根据杠杆平衡条件可得：．    杆秤制作 (1)选材：小组成员找来四种材料，最适合用来制作秤杆的是（     ） A．一根粗细相同的木棒  B．一根可伸缩塑料吸管  C．一根细铁丝  D．一根橡胶软管 (2)制作：①选取（1）材料作秤杆，在秤杆一端选取两点分别刻槽A和槽B，（点A在点B右侧）使得，在槽B处系上绳子作为秤纽，将秤钩固定在槽A处． ②用细线系一个的砝码作秤砣；手提秤纽，若A端向上倾斜，则应将秤砣向 （选填“左”或“右”）移动，使秤杆平衡，如图所示，在秤砣的位置标零刻线，此时，求秤钩的质量．    ③在秤钩处挂500克砝码，手提秤纽，并调节秤砣的位置使秤杆平衡，此时，标记秤砣细线在秤杆上的位置M，并记为500克，，在零刻线到位置M之间均匀地画上49条刻度线，零刻度线左侧第1条刻度线表示10克，第2条刻度线表示20克，以此类推… 杆秤使用 (3)用做好的杆秤称量一个鸡蛋的质量．当秤杆在水平位置平衡时，秤杆上秤砣的挂绳在第6条刻度线，则此鸡蛋的质量为 克． 误差分析 (4)秤砣经过长时间的使用（因为生锈脱落、磕碰等各种原因），其质量会变轻，此时称重就会产生误差．当质量为180克的重物时，杆秤平衡时读数为190克，则此时这块秤砣现在的质量为 克． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10一元一次方程的应用复习讲义 1.能读懂实际问题，找准已知量、未知量，找出题目里的等量关系，会设未知数，列出一元一次方程。 2.掌握常见题型的基本等量关系：和差倍分、行程问题、工程问题、配套问题、利润销售问题、分段计费问题等。 3.规范列方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答；会检验解是否符合实际意义，舍去不符合题意的解。 4.学会借助表格、线段示意图梳理复杂问题中的数量关系，理清变量之间的联系。 5.能区分不同类型应用题的模型，灵活选用合适的等量关系建立方程，避免等量关系找错。 6.会解决含参数、方案选择类简单应用题，能用一元一次方程模型解释现实问题。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★ 题型三 销售盈亏 ★★ 题型四 比赛积分 ★★ 题型五 方案选择 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★ 题型九 和差倍分问题 ★ 题型十 电费和水费问题 ★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★★ 题型十四 古代问题 ★★ 题型十五 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：列一元一次方程解应用题通用步骤（必考标准流程） 步骤 名称 操作要点 核心注意事项 ① 审 通读题目，区分已知量、未知量，找准题目中的等量关系 等量关系是列方程根本，优先寻找不变量 ② 设 设未知数，优先直接设元；复杂题目选用间接设元 规范写法：设x，不要附带单位 ③ 列 根据找到的等量关系，列出一元一次方程 等式左右两边含义保持一致，单位统一 ④ 解 按照一元一次方程标准解法解方程 计算仔细，规范书写解方程过程 ⑤ 检 双重检验：①检验数值满足方程；②检验结果符合现实实际意义 人数、物品数量不能为负数、小数；长度不能为负 ⑥ 答 写出完整答句，带上对应单位 回答内容对应题目所求，语句完整 核心思想：用字母代替未知量，抓住不变的等量关系建立等式。 知识点 02 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法： 例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点03常见问题中的等量关系 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 2. 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 3. 营销问题 （1）相等关系：①利润=售价-进价；②利润率= 100%；③售价=进价 (1+利润率)。 （2）打折：n折即标价的，如 7 折即标价的（或 70%），其中n叫折数实际售价=标价 4. 行程问题 基本相等关系：路程=速度 时间；速度=路程时间；时间=路程速度。 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程。 甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行 （2）直线形追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 两人初始路程差； 快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=；第n次相遇时，二者合走了n圈。 （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间=；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 5 储蓄利息问题 基础公式 利息 = 本金 × 年利率 × 存款年数 本息和 = 本金 + 利息 6 数字、日历问题 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b；不能直接写成ab； 日历规律：上下相邻数字相差 7，左右相邻数字相差 1。 7等积变形问题（几何题型） 核心原理：形状改变，体积（面积）不变 等量关系：变形前体积（面积）= 变形后体积（面积） 常用公式：长方体体积、圆柱体积；长方形、圆形面积。 8 配套问题 核心等量关系 配套比例关系：加工出的两种部件数量之比 = 题目给定配套比 举例：1 个产品需要 2 个 A 零件、1 个 B 零件 A零件总数∶B零件总数=2∶1，转化为：A零件总数=2×B零件总数} 解题要点 （1）分配工人 / 原材料，一部分生产甲部件，一部分生产乙部件； （2）根据配套比例列出等式； （3）算出人数后必须检验：人数一般取非负整数。 9 方案选择问题 解题通用思路 （1）先设自变量x，分别写出每种方案费用（总量）的代数式； （2）列方程求出费用相等时的临界值； （3）分区间讨论：大于临界值、小于临界值分别选择最优方案。 核心模板 方案①：y1=.... 方案②：y2=..... 令y1=y2，求出临界点x=a x>a，选择其中一种方案； x<a，选择另一种方案； x=a，两种方案费用相同。 ⚠️注意：结合实际，x不能为负数，部分场景x只能取整数。 知识点04：设未知数两种方法对比 方式 适用场景 优点 直接设元 题目求什么，直接设什么为x 最后不需要换算，答题简便 间接设元 直接设元难以列出方程；数字、复杂比例、配套问题 更容易列出简洁方程，降低列式难度 知识点 05 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点06：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 等量关系寻找 把题目中的不等关系当作等量关系；漏看条件 圈画关键词，找到不变量建立等式 单位不统一 路程问题时间、长度单位混用 列式前统一所有物理量单位 设、答书写错误 设未知数时附带单位；答句遗漏单位 设：设x（不带单位）；答必须写完整单位 数字类列式错误 十位数字为a，直接把两位数写成ab 两位数：10×十位数字+个位数字 折扣理解出错 误将 8 折理解为原价 ×0.2 8 折 = 原价 × 0.8 检验步骤缺失 解方程后不检验结果是否符合实际 人数、个数不能为负数、小数 工程问题列式错误 多人合作直接相加时间 合作是效率相加，不是时间相加 配套问题比例列式颠倒 把零件比例左右写反 严格对照 “产品：配件” 比例列出等式 方案选择问题 只算出临界点，不分区间讨论选择 算出相等点后，分情况说明不同范围最优方案 题型一 配套问题 1．探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天梦．从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越．为致敬中国航天，某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航空航天知识竞赛的获奖奖品． 社团共有25名成员参与模型核心零件制作，每名成员单日只能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个．已知1个机身部件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机模型．为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制作机翼部件？（要求列一元一次方程解决此问题） 【答案】应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 首先设安排x名成员制作机身部件，则安排名成员制作机翼部件，再根据题中等量关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：设安排x名成员制作机身部件，则安排名成员制作机翼部件， ∴根据题意得：，解得：， ∴制作机翼部件的成员数为名， ∴应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件． 2．在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 【答案】(1)男生21人，女生24人 (2)分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人，根据班级总人数为45人列出方程求解即可； （2）设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底，根据1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：七年级（3）班的男生人数为21人，女生人数为24人； （2）解：设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底， 由题意得，， 解得， ∴， 答：分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底． 3．在数学综合实践活动课中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 请你根据制作方案，完成下面的问题： 几何体制作方案 步骤1裁剪长方形彩纸：一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片． 步骤2制作“三角插”和“圆部式”基本单元：图1中裁出的一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，图2中裁出的一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元． 步骤3制作几何体：40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个几何体． 若有210张长方形彩纸全部用来制作几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元，才能制作尽可能多的几何体？最多能制作多少个几何体？ 【答案】用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”，最多能制作9个几何体． 【分析】本题考查了列一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 根据题意在不浪费纸张的前提下，设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，列出一元一次方程即可求出结果． 【详解】解：设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，根据题意得： ， 解得， 当时， 即用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”，最多能制作9个几何体． 题型二 工程问题 4．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 【答案】(1)甲乙再合作10天才能把该工程完成 (2)完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元 【分析】此题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲乙再合作x天才能把该工程完成，根据甲队完成的工作量乙队完成的工作量总工作量（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总施工费用甲队每天的施工费用甲队工作的时间乙队每天的施工费用乙队工作的时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设甲乙再合作x天才能把该工程完成， 依题意，得：， 解得：． 答：甲乙再合作10天才能把该工程完成． （2）解：（元）． 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元． 5．2025年12月26日西延高铁正式开通运营．西延高铁的开通不仅拉近了两地的时空距离，更对区域发展、民生出行和经济格局产生了深远影响．西延高铁在修建过程中需要铺设一段轨道，甲队单独施工需要20天，乙队单独施工需要30天，甲先单独施工5天，然后乙队加入一起施工．问还需要多少天可以完成这段轨道铺设？ 【答案】9天 【分析】根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设还需要天可以完成这段轨道铺设， 由题意得，， 解得：． 答：还需要天可以完成这段轨道铺设． 6．某科技公司要生产一批智能手表，计划由A、B两个工厂负责生产．已知A厂每天能生产12件，B厂每天能生产18件，A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天． (1)求这批智能手表共有多少件？ (2)若A、B两厂生产一段时间后，A厂停止生产智能手表去为该公司生产其他产品，剩下的智能手表生产任务全部由B厂单独完成，经核算，B厂需将每天的生产件数提高．任务完成时，B厂生产智能手表的全部工作时间正好比A厂生产智能手表的时间的2倍多3天，求B厂生产智能手表共用多少天？ (3)如果在生产智能手表过程中，公司每天需要付给A厂100元，付给B厂150元，另外，每个工厂需要配备一名工程师进行生产技术指导，并由公司提供每天15元的午餐补助费． 经公司研究，拟定如下三种生产方案： 方案一，由A厂单独完成； 方案二，由B厂单独完成； 方案三，按（2）问方式完成． 请你通过计算，帮公司选择一种既省时又省钱的生产方案． 【答案】(1)540件 (2)21天 (3)选方案三 【分析】（1）设这批智能手表共有x件，根据“A厂单独生产比B厂单独生产要多用15天”列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列一元一次方程，解方程即可求解； （3）应分为三种情况讨论：①由A厂单独完成；②由B厂单独完成；③按（2）问方式完成，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出既省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：设这批智能手表共有x件，根据题意列方程得， ， 解得：． 答：这批智能手表共有540件； （2）解：设A厂工作y天，则B厂工作天，根据题意列方程得， ， 解得：． 所以，（天）． 答：B厂共生产智能手表21天； （3）解：方案一：A厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案二：B厂单独完成，时间为天，费用为元． 方案三：A厂工作9天，B厂工作21天，时间为21天，费用为元． 比较时间：；比较费用：． 所以，方案三既省时又省钱． 题型三 销售盈亏 7．小程的妈妈退休后，在离家不远的地方开了一个杂货店．她将其中的某种商品按定价出售，每件可获得利润元．现在按定价的八五折出售件，与按定价每件降价元出售件，所能获得的利润一样．请问这种商品每件的定价是多少？ 【答案】这种商品每件的定价是元． 【分析】设这种商品每件的定价为元，则每件商品的进价为元，然后根据题意列方程，再解方程即可． 【详解】解：设这种商品每件的定价为元，则每件商品的进价为元，按定价八五折出售件的总利润为元，按定价每件降价元出售件的总利润为元， ∵两种销售方式获得的利润一样， ∴， 化简得， 解得， 答：这种商品每件的定价是元． 8．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 (1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ (2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 【答案】(1)该商店购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只 (2)乙型节能灯按预售价售出的数量是15只 【分析】（1）设该商店购进甲型号的节能灯只，则可以购进乙型号的节能灯只，根据“购进100只节能灯的进货价恰好为2600元”建立方程求解，即可解题； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，根据“两种节能灯全部售完后，共获得利润400元，”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：设该商店购进甲型号的节能灯只，则购进乙型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得：， （只）， 答：该商店购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只； （2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只， 由题意得， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是15只． 9．无锡素有“江南果蔬之乡”的美誉，阳山水蜜桃与马山杨梅享誉全国（均为国家地理标志产品）．某精品水果在依托本地供应链优势，开展助农惠民活动．该店用12800元购进水蜜桃和杨梅共1000斤．以下是该店近期经营数据及促销政策： 产品 进价（元／斤） 售价（元／斤） 阳山水蜜桃 12 18 马山杨梅 14 20 (1)该水果店购进水蜜桃和杨梅各多少斤？ (2)因物流环节存在自然损耗．水蜜桃损耗率为，杨梅损耗率为．损坏的不能销售．已知全部售出的总利润为4980元，求的值．（总利润总收入总成本） (3)若在（2）的损耗率下，该水果店第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “水蜜桃”优惠方案 一次性购买数量 不超过100斤 超过100斤的部分 价格 原价 八折 “杨梅”优惠方案 商品总额 补贴方式 不超过3000元 无补贴 超过3000元，不超过5000元 直减200元 超过5000元 先享总价抵扣，再减200元 已知购进阳山水蜜桃支付3312元，马山杨梅支付5386元，则水蜜桃购进________斤；将第二次购进的两种水果全部卖完，一共可获得利润多少元？ 【答案】(1)该水果店购进水蜜桃斤，则购进杨梅斤 (2) (3)320，一共可获得利润元． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设该水果店购进水蜜桃斤，根据该店用12800元购进水蜜桃和杨梅共1000斤，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于两种水果的总售价之和减去总进价，列出方程进行求解即可； （3）设水蜜桃购进斤，根据优惠方法列出方程进行求解，设杨梅购进斤，根据优惠方法列出方程进行求解，再根据总利润等于两种水果的总售价之和减去总进价，列出算式计算即可． 【详解】（1）解：设该水果店购进水蜜桃斤，则购进杨梅斤，由题意，得： ， 解得； ； 答：该水果店购进水蜜桃斤，则购进杨梅斤； （2）解：由题意，得：， 解得； （3）解：设水蜜桃购进斤， 由题意，得：， 解得； 故答案为：320； 设杨梅购进斤，则， 解得， （元）； 答：一共可获得利润元． 题型四 比赛积分 10．受到“赣超”影响，某校开展了“校园足球联赛”运动，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技，感受团队协作与足球运动的魅力．李华同学课后游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 光明 6 5 1 0 16 蓝天 6 6 0 0 18 雄鹰 6 3 2 1 11 (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的钢铁队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出钢铁队的胜场数． 【答案】(1)3，1，0 (2)钢铁队胜7场 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题； （1）由表中蓝天队的胜场和总积分可得胜一场的积分，再由光明队的总积分可得平一场的积分，最后由雄鹰队的总积分可得负一场的积分； （2）设钢铁队胜x场，根据积分是23分，可列出一元一次方程求解即可. 【详解】（1）解：∵蓝天队胜了6场，积分为18分， ∴胜1场的积分为分 ∵光明队胜5场，平1场，积分为16分， ∴平1场的积分为分， ∵雄鹰队胜3场，平2场，负1场，积分为11分， ∴负1场的积分为分. 故答案为：3，1，0. （2）解：设钢铁队胜场，则平了场． 由（1）知，胜1场积分为3分，平1场积分为1分，负1场积分为0分， ∴，解得． 答：钢铁队胜7场． 11．表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2) 解：不能，理由如下： 设该队胜了m场，则负了场， 若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍； (3)n的值为2，5，12或26 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元一次方程求解即可． （1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解； （2）设该队胜了m场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的3倍，即可得出关于m的一元一次方程解之即可得出m的值，结合m为整数即可得出结论； （3）设该队胜了a场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的n倍，结合n为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24分， 则有， 同理其他球队也满足，胜场负场总积分， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）略 （3）解：设该队胜了a场，则负了场， 根据题意可得，， 解得， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，分母为零，此时不存在n的值； 综上，n的值为2，5，12或26． 12．在某市排球“新年杯”比赛中，参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜制，积分规则如下，比赛中以或者取胜的球队积分3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如下表所示： 球队 场次 胜场 负场 总积分 教体 11 11 0 科技 11 10 1 28 工商 11 8 3 公安 11 24 (1)教体队11场胜场中仅有一场以取胜，则教体队的总积分为_________． (2)公安队积3分取胜的场次是积2分取胜的场次的3倍，且负场总积分为2分．总积分见上表，求公安队负场的场数． (3)科技队积3分的胜场数为奇数，则科技队积3分的胜场数为_______场；工商队积3分的胜场数比科技队积3分的胜场数少1场，且工商队负场总积分为3分，则工商队总积分为_______分 【答案】(1)32 (2)3场 (3)7；25 【分析】本题主要考查有理数混合运算应用，一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，根据等量关系，列出方程． （1）根据题干中提供的信息，列式计算即可； （2）设公安队积2分取胜的场次为x场，则积3分取胜的场次是场，根据积分为24分列出方程，解方程即可； （3）设科技队积3分的胜场数为场，则积2分的胜场数为场，求出科技队胜的场次积分为：，根据m为奇数，总积分为28分，得出；求出工商队积3分的胜场数（场），工商队积2分的胜场数为（场），根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（分）， 即教体队的总积分为32分； （2）解：设公安队积2分取胜的场次为x场，则积3分取胜的场次是场，根据题意得： ， 解得：， 公安队负场的场数为：（场）． （3）解：设科技队积3分的胜场数为场，则积2分的胜场数为场， ∴科技队胜的场次积分为： ， ∵m为奇数，总积分为28分， ∴负的一场积分为1分， ∴胜的场次积分为：， ∴， 解得：； ∵工商队积3分的胜场数比科技队积3分的胜场数少1场， ∴工商队积3分的胜场数（场）， ∵工商队胜8场， ∴工商队积2分的胜场数为（场）， ∴工商队总积分为：（分）． 题型五 方案选择 13．初一（1）班的学生为了筹备班级元旦活动到超市购买橙子，超市有促销活动，如果一次性所购橙子数量超过30千克，可以有一定程度的优惠，价格如下： 原价 优惠价 每千克价格 3元 2.5元 （1）班的学生先购买一次，发现数量不够，去超市再次购买，第二次购买数量多于第一次，两次共计购买48千克．若两次共付费126元，则（1）班学生第一次、第二次分别购买橙子多少千克？ 【答案】 第一次购买12千克，第二次购买36千克 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先根据题意说明（1）班购买第一次不超过30千克，第二次购买超过30千克，再设第一次购买x千克，则第二次购买千克，根据题意列出方程，并求出解即可． 【详解】解：∵，且第二次购买数量多于第一次， ∴（1）班购买第一次不超过30千克，第二次购买超过30千克， 设第一次购买x千克，则第二次购买千克，根据题意，得 ， 解得，． 所以（1）班学生第一次购买12千克，第二次购买36千克． 14．某校七年级计划升级教室里的图书角，需要采购40个书架隔板和本分类标签（）．现，两家文创店给出不同的优惠方案： 店方案：购买1个书架隔板，免费赠送2本分类标签； 店方案：书架隔板和分类标签均按原价的8折结算． 已知书架隔板每个原价30元，分类标签每本原价5元． 根据以上信息，解决下列问题： (1)分别用含的式子表示在店、店采购所需的费用． (2)通过计算说明，什么情况下，在店和店采购所需的费用相同． 【答案】(1)在店采购所需的费用元；在店采购所需的费用元 (2)当采购40个书架隔板和160本分类标签时，在店和店采购所需的费用相同 【分析】本题考查了列代数式，利用一元一次方程解决实际问题，理解题意是解题的关键． （1）根据、店的优惠方案列代数式即可； （2）结合（1）求得、店所需的费用，列方程即可解答． 【详解】（1）解：在店采购所需的费用： 元． 在店采购所需的费用：元． （2）解：根据题意，得方程． 解得． 答：当采购40个书架隔板和160本分类标签时，在店和店采购所需的费用相同． 15．篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有人，2班有人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共个手环． (1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？ (2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）． ①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？ ②姜经理第一次购进个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？ 【答案】(1)8 (2)①，② 【分析】（1）先设出应额外给1班个手环，然后根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）①设未知数，根据题意列出一元一次方程进行求解即可；②由①可得当进购数量少于时，选择甲进货商，当进购数量多于时，选择乙进货商，再根据两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的列出一元一次方程即可． 【详解】（1）解：设应额外给1班个手环，则额外给2班个手环， ∵要使1班、2班的手环数一样多， ∴， 解得：， 所以应额外给1班8个手环； （2）解：①设购进个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多， 对于甲批发商处进货价为：元， 对于乙批发商处进货价为：元， ∵去两个批发商处的进货价一样多， ∴， 解得：， 所以购进个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多； ②设第二次每个发光头饰的售价为元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的， 由①可得当进购数量少于时，选择甲进货商，当进购数量多于时，选择乙进货商， 第一次进购个，所以第一次进价为：元， ∵第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个， ∴第二次进购了个， 第二次进价为：元， ∵两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的， ∴， 解得：， 所以第二次每个发光头饰的售价为元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的． 【点睛】本题考查了实际问题与一元一次方程，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 题型六 数字问题 16．定义一种新运算：对于任意有理数，，都有． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据新定义代入数值计算； （2）根据新定义代入后转化为一元一次方程求解； （3）根据新定义代入后转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 ∵ ∴ 解得 （3）解：由题意得 ∵ ∴ 解得 17．幻方是一种古老的数学游戏，把若干个有理数排成正方形数阵，使每行、每列、每条对角线上的几个数之和都相等，这样的数阵叫作“和幻方”；把若干个有理数排成正方形数阵，使每行、每列、每条对角线上的几个数之积都相等，这样的数阵叫作“积幻方”． 图1 图2 (1)如图1是一个三阶“和幻方”，求与的值； (2)如图2是一个三阶“积幻方”，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意由“和幻方”直接列式求解即可得到答案； （2）根据题意，设图2第三行中间的数为，再由“积幻方”直接列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图1可知，对角线和为， ，解得， ，解得； （2）解：由图2可知，第一行的积为， 设图2第三行中间的数为， ，解得， 又， 解得． 18．数学活动 【问题情境】 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一． “洛书”是我国文化中最古老，最神秘的事物之一，（图1）即为洛书．数出图1各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）．在这个幻方中，9个格中的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，即每一横行、每一竖列以及两斜对角线上的三个数字之和都是15． 【初步尝试】 (1)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____，_____，_____； 【拓展迁移】 (2)请将，，，，0，1，2，3，4这9个数填在图4的方格中，构成一个幻方（答案不唯一，填上一种情况即可）； 【逆向延伸】 (3)请你再设计9个数，使得这9个数填入幻方中，每一横行、每一竖列以及两斜对角线上的三个数字之和都是，请你按从小到大的顺序写出这9个数（答案不唯一，写出一种情况即可）； 【迁移延伸】 (4)将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入图5中的〇中， ①使得3条线上的4个数的和都相等（答案不唯一，填上一种情况即可）； ②在①的条件下是否存在和的最大值？若存在，直接写出这个最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6，5，4 (2) 1 3 2 0 4 （答案不唯一，合理即可） (3)一组符合要求的9个数从小到大排列为：，，，，，，0，1，2（答案不唯一，9个数的总和为，中间数为即可） (4)①（答案不唯一，合理即可） ②存在，最大值为23 【分析】根据三阶幻方的性质：三阶幻方中9个数的总和等于3倍的每行三数之和，幻方正中间的数等于每行三数之和的三分之一，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵每一横行、每一竖列以及两斜对角线上的三个数字之和都是15， ∴，，， 解得：，，． （2）解：由题意知，， ∴每行三数之和为，幻方中间数为， ∴根据三阶幻方的构造规则填入数字，即可得到符合要求的幻方． （3）解：要使每行三数之和为， ∴9个数的总和为， ∴9个数的平均数为， ∴只需构造9个和为，平均数为的数即可， ∴一组符合要求的9个数从小到大排列为：，，，，，，0，1，2． （4）解：①该图形为三角形三边共9个圆圈，三个顶点的数会被两条边共用， ∵， 设每条边的和为S，三个顶点的数之和为k， ∴， ∴只需k是3的倍数，即可构造出符合要求的填法； ②要使S最大，则需k尽可能大， 在中，最大的三个数为7、8、9，总和为，是3的倍数， ∴， ∴存在最大值为23． 题型七 几何问题 19．综合与实践： 同学们在实践活动中用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒． 任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3），并判断容积是否变大． 【答案】任务1：；任务2： ，容积变大 【分析】本题考查了作图的应用与设计， 任务1：根据长方体的体积公式求解； 任务2：先求出圆柱体的底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式求解；结合，即可作答． 【详解】解：任务1：∵用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒，且结合图1的信息， ∴， 故答案为：； 任务2：设半径为， ∴， ∴， ∴直径为， ∴高为， ∴无盖圆柱型包装盒的容积为：， 结合任务1得容积为 ∵， ∴容积变大． 20．数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着密切的联系．数轴是一个非常重要的数学工具，使数与形完美地结合．以，为端点的线段记为线段，数轴上点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离表示为． (1)如图，点，是数轴上的点，则点，点之间的距离是________； (2)如图，点，是数轴上的点，将一根以，为端点的木棒放在数轴上（点在点的左侧），且．当木棒左端点与点重合时，右端点对应的数为；当点与点重合时，点对应的数为，求木棒的长； (3)在（2）的条件下，点从点出发，木棒以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动． ①求经过多长时间木棒完全离开线段； ②点是木棒上一点，当点在点左侧时，若关系式成立，求此时点与点之间的距离长． 【答案】(1)5 (2)8 (3)①8秒；② 【分析】（1）根据两点间距离进行解答即可； （2）设木棒长为，列方程并解方程即可； （3）①设运动时间为秒，则秒后点代表的数字为，点代表的数字为 当木棒完全离开线段时，，解方程即可；②由题意知点向右运动后表示的数为，点N向右运动后表示的数为，点向右运动后表示的数为，点向右运动后表示的数为，得到，点在点左侧，设未运动时点表示的数为，则向右运动后点表示的数为，列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴知点表示的数是，点表示的数是， 之间的距离是 （2）解：设木棒长为， 根据题意得， 解得， 即； （3）解：①由（2）可得，，则运动前点代表的数字为，点代表的数字为． 设运动时间为秒，则秒后点代表的数字为，点代表的数字为 当木棒完全离开线段时， 解得， 即经过8秒木棒完全离开线段； ②由题意知点向右运动，点N向右运动后表示的数为，点向右运动后表示的数为，点向右运动后表示的数为， ∵点与点重合时， ， 即时， 时，点在点左侧， 设未运动时点表示的数为，则向右运动后点表示的数为 ，，， ， ， 整理得 21．在综合实践课上，小聪用m张尺寸如图①所示的长方形白纸条（单位：厘米），按图②所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为6厘米；小明用n张同样的纸条按如图③所示的方法粘合得到长方形，粘合部分的长度为4厘米． (1)当时，则________； (2)请用n的代数式表示的长； (3)现有图①所示长方形白纸条28张，你能找到合适的分配方案使小聪和小明按各自要求粘合起来的长方形面积相等吗？请写出分配方案，并说明理由．（注：图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张）． 【答案】(1)54 (2)的长为 (3)没有合适的分配方案 【分析】本题主要考查规律探索和一元一次方程的应用，根据规律求出两种长方形边长是解题的关键． （1）时，根据题意求解的长即可； （2）根据规律求解的长即可； （3）首先根据题意列出一元一次方程并求解，根据题意判断求解的值是否满足已知条件，进而得到是否有合适的分配方案即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：54； （2）解：根据题意得：， ∴的长为； （3）解：设小聪应该分x张长方形白纸条，则小明应该分张长方形白纸条， 根据题意得：， 解得：， ∵纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张， ∴，且x为正整数， ∴不符合条件， ∴没有合适的分配方案． 题型八 动点问题 22．如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 【答案】(1)点对应的数为2，点表示的数为 (2)的值为1或5 (3)同时与对应的点重合的点对应的数 【分析】题目主要考查数轴上的点的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求解即可； （3）设线段的中点为，点所对应的数为，得出，设点所表示的数为，与表示的点重合，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴点对应的数为2， ， ∴点表示的数为； （2）当点在点左侧时，， 解得； 当点在点右侧时，， 解得． 综上所述，当点与点之间的距离为4个单位长度时，的值为1或5； （3）设线段的中点为，点所对应的数为， ∵对折数轴，使数轴上的点与点重合， ∴， ∴， 解得：， 设点所表示的数为，与表示的点重合， ∴点是线段的中点， ∴， ∴， 解得：． 答：同时与对应的点重合的点对应的数． 23．如图，数轴上有四点、、、，点是原点，点、、在数轴上分别表示有理数、、，且，与互为相反数． (1)直接写出________，________； (2)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒2个单位长度匀速运动，同时，动点从点出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度匀速运动，当，相遇时，相遇的两动点运动方向不变，速度大小均发生变化，动点的速度变为每秒1个单位长度，动点的速度变为每秒3个单位长度；在点、出发的同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒3个单位长度匀速运动，当与相遇时，动点暂时停止运动，直到点，相遇时动点又立即以每秒3个单位长度沿数轴向右匀速运动，当追上时，三个动点同时停止运动．在整个运动过程中，设点的运动时间为秒． ①当，的中点到原点的距离为时，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1)， (2)①或②或或或 【分析】（1）利用绝对值、平方的非负性求出a，b； （2）①根据P、Q在相遇前、相遇后两段的数轴表达式得到中点坐标，利用中点到原点距离为列方程，分段取舍解即可；②按M的运动状态分成四段：M向左运动、M静止、M向右且在原点左侧、M向右且在原点右侧，分别写出、的表达式，令两者相等解方程，结合各段t范围取舍，即可得到全部解． 【详解】（1）解：，，， ，， ，； （2）解：与互为相反数， ， 当时，， 当时，，相遇，此时表示， ①当时，， 或， 或， （舍去）或； 当时，， 或， 或（舍去）， 综上所述，当，的中点到原点的距离为时，的值为或； ②当时，， 当时，与相遇，此时表示， 当时，， ， ， ； 当时，， ， ； 当时，， 当时，， ， ， ； 当时，， 当时，追上，三个动点同时停止运动， 当时，， ， ， 综上所述，当时，的值为或或或． 24．如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：________，________，________； (2)如图1，点A与点D之间的距离表示为，若点A、B分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过t秒后，A点可表示为________，B点可表示为________，且A、B之间的距离为2，则________； (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向变速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，它们在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．请问P、Q两点有没有可能在上坡或下坡时相遇，若可能，请求出相遇点所表示的数． 【答案】(1)，8，16 (2)；；或 (3)可能，相遇点所表示的数为 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a、b的值，结合且点C在点B的右侧，可求出c的值； （2）当运动时间为t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，根据A、B之间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，求出点P，Q两点到达各点所需时间，对照后可得出P，Q两点在段相遇，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点相遇时两点表示的数相同，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵，且点C在点B的右侧， ∴； （2）解：当运动时间为t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵A、B之间的距离为2， ∴， 即或， 解得：或； （3）解：（秒），（秒），（秒），（秒）， （秒），（秒），（秒），（秒）， ∴P，Q两点在段相遇， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴P、Q两点在上坡或下坡时相遇，相遇点所表示的数为． 题型九 和差倍分问题 25．饺子是中华民族的传统美食，包饺子也是一项非常有趣的活动，除夕当晚，李华一家就制作了美味的水饺和蒸饺（爸爸负责擀皮，李华和妈妈负责包制）．已知爸爸擀的水饺皮和蒸饺皮一共有88张（恰好全部包完），所包的水饺数量是所包的蒸饺数量的2倍还多10个，请根据以上信息求出水饺和蒸饺各包了多少个？（用一元一次方程解答） 【答案】蒸饺包了26个，水饺包了62个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设蒸饺包了个，得到水饺包了个，根据爸爸擀的水饺皮和蒸饺皮一共有88张（恰好全部包完），列出方程进行求解即可． 【详解】解：设蒸饺包了个，则水饺包了个， 由题意得， 解得， 水饺， 答：蒸饺包了26个，水饺包了62个． 26．两支高度相同，但粗细不同的蜡烛，同时点燃后，粗蜡烛每小时缩短，细蜡烛每小时缩短，小时后，粗蜡烛的高度是细蜡烛的倍． (1)求出两支蜡烛原来的高度； (2)当两支正在燃烧的蜡烛高度相差时，若立即熄灭其中一支蜡烛，等待另一支蜡烛燃尽时，再立即点燃之前熄灭的蜡烛．求从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了多少小时？ 【答案】(1)两支蜡烛原来的高度为． (2)一共持续了小时 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列出代数式是关键． （1）蜡烛原来的高度为，根据题意可列方程，求解即可； （2）根据两支蜡烛的燃烧速度计算出相差所需的时间，再计算出两支蜡烛剩余的燃烧时间，最后求和即可． 【详解】（1）解：设蜡烛原来的高度为，则2小时后，粗蜡烛的高度为，细蜡烛的高度为， 根据题意，可列方程， 解得． 答：两支蜡烛原来的高度为． （2）解：两支蜡烛每小时相差， ∴相差时，经过的时间为（小时）， 则细蜡烛还可以燃烧（小时），粗蜡烛还可以燃烧（小时）， ①当先熄灭粗蜡烛时， 一共持续（小时）； ②当先熄灭细蜡烛时， 一共持续（小时）． 综上所述，从开始点燃两支蜡烛到两支蜡烛全部燃尽时一共持续了小时． 答：一共持续了小时． 27．10月23日，以“菊开江南秀，新韵生态城”为主题的宜昌第35届菊花展在点军区江南开幕，组委会匠心设置了A，B两种园艺造型共16个．已知A，B两种造型的个数之比为，且搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是乙种菊花盆数的4倍，搭配一个A种园艺造型所需甲种菊花盆数是搭配一个B种园艺造型所需甲种菊花盆数的倍；搭配一个B种园艺造型需要乙种菊花的盆数是搭配一个A种园艺造型所需乙种菊花盆数的2倍多10盆，搭配一个B种园艺造型共需甲、乙两种菊花270盆． (1)求A种造型有多少个？ (2)求搭配一个A种园艺造型、一个B种园艺造型各需甲、乙两种菊花各多少盆？ 【答案】(1)A种造型有4个 (2)搭配一个A种造型：甲种菊花盆，乙种菊花80盆；搭配一个B种造型：甲种菊花盆，乙种菊花盆 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据A、B两种造型的个数比和总数，设未知数，列一元一次方程求解A种造型的个数即可． （2）设A种造型需乙种菊花的盆数为未知数，根据题目中A、B两种造型甲、乙菊花盆数的关系，分别表示出B种造型甲、乙菊花的盆数，再根据B种造型总盆数列方程，求解得两种花的盆数即可． 【详解】（1）解：设A种造型有x个，则B种造型有个． 由，解得． 答：A种造型有4个． （2）解：设搭配一个A种造型需乙种菊花y盆，则需甲种菊花盆． 搭配一个B种造型需乙种菊花盆，需甲种菊花盆． 已知搭配一个B种造型共需甲、乙两种菊花270盆， ，解得：． 则搭配一个A种造型：甲种菊花（盆），乙种菊花80盆；搭配一个B种造型：甲种菊花（盆），乙种菊花（盆）． 题型十 电费和水费问题 28．小明根据市自来水公司的居民用水收费标准，制定了水费计算数值转换机的示意图．(用水量单位：，水费单位：元) (1)当时，用含的代数式表示应缴纳水费____________元； (2)小丽家月份缴纳水费元，则小丽家月份用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)小丽家月份用水立方米 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据，用单价乘数量来列出代数式； （2）月份缴纳水费元，大于元，所以根据的收费标准，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 应缴纳水费：元， 故答案为：． （2）， 小丽家月份的用水量超过， 设小丽家月份的用水量为 ∴， 解得：， 答：小丽家月份用水立方米． 29．年，南充全市新增注册登记新能源汽车2万辆以上，新增充电桩不低于5千个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费2元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费元． (1)若小王在该充电桩充电小时，需支付费用 元． (2)若小王在该充电桩充电（）小时，需支付费用 元（用含有的代数式表示）． (3)小王每周在该充电桩充电一次，某月，小王第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用18元，则小王第一周和第二周各充电多少小时？ 【答案】(1) (2) (3)小王第一周充电小时，第二周充电小时. 【分析】（1）充电小时不超过4小时，直接用时长乘单价2，算出费用 5 元． （2）充电时长大于 4 小时，前 4 小时收费，超出部分小时收费，合并化简得到代数式． （3）设第一周充电小时，第二周小时，已知，第一周代入，再分第二周是否超过 4 小时列方程，解得，第二周为 2 小时． 【详解】（1）解：∵ ， ∴按照每小时 2 元收费． ∴ 费用：（元）． （2）解：∵ ，前 4 小时每小时 2 元，超过 4 小时的部分小时每小时 1.5 元． ∴ 费用： ． （3）解：设第一周充电小时，则第二周充电小时， 由题意得 ，所以，第一周费用使用． 分情况讨论第二周充电时长： 情况一：，即第二周按 2 元每小时收费． 第二周：，，符合条件． 情况二：，第二周也用， ， ，等式不成立，此情况舍去． 答：第一周充电 8 小时，第二周充电 2 小时． 30．某市公布的居民用电阶梯电价方案如下： 收费方式 月用电量 费用 第一档 不超过度 元/度 第二档 超过度但不超过度的部分 元/度 第三档 超过度的部分 元/度 (1)若小华家某月用电量是度，则这个月的电费为_______元；（用含的代数式表示） (2)若小华家9月份的电费为元，求小华家9月份的用电量； (3)居民根据用电情况，可以申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段：8：00～22：00，其电价在各档电价基础上加价元/度； 低谷时段：8：00～22：00以外的时间，其电价在各档电价基础上降价元/度． 高峰时段与低谷时段电费分别按调价后的阶梯电价计费．已知小华家10月份的用电量为度，且高峰时段的用电量大于度，他家申请“峰谷电价”后，能节约元，请求出小华家10月份高峰时段、低谷时段的用电量． 【答案】(1) (2)小华家月份的用电量为度 (3)小华家月份高峰时段的用电量是度，低谷时段的用电量是度 【分析】（1）根据题干所给计费方法列代数式即可； （2）先判断收费方式在哪一档，然后列方程求解即可； （3）根据申请“峰谷电价”后，能节约元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：设小华家月份的用电量为度． ∵，，， ∴， 根据题意，得， 解得， 答：小华家月份的用电量为度； （3）解：因为小华家10月份的用电量为度，且高峰时段的用电量大于度，， 所以低谷时段的用电量小于度． 设小华家月份高峰时段的用电量是度，则低谷时段的用电量是度． 根据题意，得 解得， ， 答：小华家月份高峰时段的用电量是度，低谷时段的用电量是度． 【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，关键是理解阶梯电价、峰谷电价的计费规则． 题型十一 行程问题 31．以下是两张不同类型火车的车票： 请根据车票中的信息，解答下列问题： (1)两车行驶方向__________，出发时刻__________（填“相同”或“不同”）； (2)已知该高铁的平均速度比动车的平均速度快，如果两车均按车票信息准时出发，准时到达终点，求该高铁和动车的平均速度分别是多少？ 【答案】(1)相同，不同 (2)动车的平均速度为，高铁的平均速度为 【分析】本题考查的是一元一次方程在行程问题中的应用，根据题意准确列出方程是解题的关键； （1）根据车票中的信息即可看到两张票都是从地到地，所以方向相同，但出发时间分别是与，所以出发时刻不同； （2）设该动车的平均速度为，高铁的平均速度为，而两车同时到达终点，于是可列方程，解方程即可求出高铁和动车的平均速度． 【详解】（1）解：车票中的信息即可看到两张票都是从地到地，所以方向相同； 两车出发时间分别是与，所以出发时刻不同； 故答案为：相同，不同． （2）解：设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为 由题意得： 解得，， ， 答：动车的平均速度为，高铁的平均速度为． 32．学校组织学生到太仓金仓湖秋游，景区的旅游路线示意图如下，其中B、D为景点，A为景区出入口，C为路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米）．小明从A出发，以2千米/时的速度沿路线游览，每个风景点的逗留时间均为0.4小时，游览回到A处时共用了3.4小时． (1)求C、D间的路程： (2)若小明出发0.8小时后，小新从A出发以3千米/时的速度把照相机送给小明（小新在景点不逗留），那么小新最快用多长时间能遇见小明？ 【答案】(1)0.6千米 (2)0.8小时 【分析】（1）先计算各路线行走及在景点逗留需要的时间，然后根据游览回到A处时共用了3.4小时，可求出C、D间需要的时间，再由速度为2千米/时可得出C、D间的距离； （2）需要分类讨论．①小新依着原路追赶，②小新走A→C后，与小明相向而行，分别列出方程，解出时间，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：，，三段用时：（小时），景点停留时间：（小时），共计用时（小时）， ∴用时（小时）， ∴C、D间的距离为（千米）； （2）解：方案一：小新依着原路追赶，设小新花了x小时， 则，解得：； 方案二：小新走后，再与小明相向而行，设小新花了y小时， 则，解得：， ∵， ∴小新最快用0.8小时遇见小明． 答：小新最快用0.8小时遇见小明． 33．学校、书店、公交站三点在同一直线上，已知学校和公交站相距2400米，以书店为原点，1米为1个单位长度画出数轴，如图所示，公交站在数轴上用数字900表示，一辆公交车匀速往返于学校和公交站之间（停车时间忽略不计），设公交车的速度为x米/分． (1)学校在数轴上用数字表示为____； (2)小红从学校出发去书店时，正好有一辆公交车从公交站出发开往学校，已知小红步行的速度是30米/分． ①若小红步行去书店，出发20分钟时，与这辆公交车首次相遇，求公交车的速度x； ②若小红在第二次与这辆公交车相遇时坐上车去书店，结果比步行少用10分钟到达书店，求公交车的速度x； ③若米/分，小红始终步行从学校到书店，在此次过程中与这辆公交车第二次相遇的位置用数字_____表示． 【答案】(1) (2)①公交车的速度为90米/分；②公交车的速度为97.5米/分；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）由两点间的距离可求得； （2）①由小红走的路程+公交车走的路程米，列出方程可求解； ②由公交车行走的路程，列出方程可求解； ③设公交车和小红第二次相遇时小红行驶的时间为t分钟，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵学校和公交站相距2400米，公交站在数轴上用数字900表示， ∴学校在数轴上用数字表示， 故答案为：． （2）解：①由题意可得：， 解得：， 即公交车的速度为90米/分； ②由题意可得：， 解得：， 即公交车的速度为97.5米/分； ③设公交车和小红第二次相遇时小红行驶的时间为t分钟， 根据题意可得：， 解得：， ∴（米）， ∴公交车和小红第二次相遇时到书店的距离为300米，位置用数字表示， 故答案为：． 题型十二 比例分配 34．白菜是泰安特产之一，去年泰安白菜大丰收．某乡镇要把116吨白菜运往某市的A，B两地，用大、小两种货车共10辆，恰好能一次性运完这批白菜，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和10吨/辆，求这两种货车各有多少辆？ 【答案】大货车用4辆．小货车用6辆 【分析】设载重量为14吨的大货车x辆，根据两种车型共10辆则需要载重量为10吨的小货车为 (10-x)辆，然后再根据所有车辆一共运输白菜等于116吨这个等量关系列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设大货车x辆，则小货车有辆， ， 解得：， （辆）， 答：大货车用4辆．小货车用6辆． 【点睛】解题的关键是：利用总运量=大车载重量×大车数量＋小车载重量×小车数量找准等量关系，正确列出一元一次方程求解． 35．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 【答案】(1)1200千米 (2)两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时 (3)小张出发了3或小时 【分析】（1）设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米，根据题意，列出方程，求解即可； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时，根据题意，列出方程，求解即可； （3）设小张出发了m小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米， 依题意得：， 解得， 所以A，B两地的距离为千米； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时， 依题意可得：， 解得， ，， 所以两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时； （3）设小张出发了m小时， 由题意可得：， 整理得， 则或， 解得或， 所以小张出发了3或小时． 36．遵辣1号系贵州遵义虾子镇的特产辣椒品种，因其香辣浓郁、皮薄肉厚、色泽鲜亮、辣味纯正而著称．小温家种植了一片遵辣1号辣椒，每日需对辣椒进行采收并完成分拣装筐工作．据了解，每人每日能够采摘120千克辣椒或分拣装筐280千克辣椒．新鲜辣椒的售价为每千克8元，干辣椒的售价为每千克30元． (1)小温家雇佣了20名工人进行采摘和分拣装筐，每名工人一天只能做一项工作，不计其他因素，要使每天采摘的辣椒全部分拣装筐，应如何分配工人？ (2)一位商贩计划购买100千克的干辣椒和a千克（）新鲜辣椒．小温提供了两种优惠方案： 方案一：每买5千克的干辣椒，赠送3千克的新鲜辣椒； 方案二：每千克干辣椒和新鲜辣椒都按定价打九折付款． ①按购买方案一需支付费用______元；按购买方案二需支付费用______元；（请用含a的代数式表示） ②当a为何值时，两种购买方案的费用一样． 【答案】(1)有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐 (2)①；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找出等量关系是解题的关键． （1）设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，根据采摘的数量等于分拣装筐的数量列方程即可； （2）①根据题意列代数式并化简即可； ②根据两种购买方案的费用一样建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：设有名工人采摘，则有名工人分拣装筐，由题意得 解得， ， 答：有14名工人采摘，则有6名工人分拣装筐； （2）①方案一：（元）， 方案二：（元）； ②由题意得 解得． 题型十三 日历问题 37．按照图1所示方法，可以用平行四边形框出月历中的4个数． (1)若框出的4个数中左下角的数为（如图）则这4个数的和为______；（用含有x的代数式表示，需化简） (2)当时，求（1）中代数式的值； (3)在图1的月历中，按照图1的框法，能否框出4个数的和为．若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)46 (3) 不能，理由如下： 假设按照图1的框法，能框出4个数的和为40， 根据题意得： 解得：， 由于不是整数， 则不符合题意， 因此，假设不成立， 即按照图1的框法，不能框出4个数的和为． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据题意得出，另外3个数分别为，，，计算四个数的和即可； （2）代入，求出的值即可； （3）假设按照图1的框法，能框出4个数的和为40，可列出方程，解出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：若框出的4个数中左下角的数为x，则另外3个数分别为，，， 因此，这4个数的和为 故答案为：； （2）解：当时，； （3）略 38．下表是2024年 4月的日历表，在表中用形如下图的平行四边形框框出 4个数，请解答问题： (1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它们分别是哪4天？ (2)框出的4个数的和可能是 25 吗？为什么？ 【答案】(1)15号，16号，21号，22号 (2) 不可能．理由如下： 设第一行左边的数为y，则，解得， 因为y表示天数，必须是正整数， 所以框出的4个数的和不可能是25． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是利用平行四边形框出4个数的关系解题． （1）设其中的一天为x，则其他3天可分别表示为，，，然后根据它们的和为74，求解即可； （2）由（1）得出4天之和为，即．求出y做判断即可． 【详解】（1）解：设第一行左边的数为x，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天分别表示为，，， 根据题意得， 解得：， 所以，，， 所以这四天分别是15号，16号，21号，22号； （2）略 39．如图是大家非常熟悉的日历，在日历中，横向相邻的两个数相差1，纵向相邻的两个数相差7．我们选择不同的方式框住日历中的数，所得到的规律是不一定相同的，现在用一个“十”字模型框住了5个数． 观察2025年9月的日历，回答下列问题： (1)若设十字框中间的数为a，求框中的十字框中的5个数的和是多少？ (2)小李一家外出游玩了5天，这5天的日期之和是75，小李一家几号外出的？ (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？如果不能，请说明理由，如果能，请求出十字框中间的数． 【答案】(1)带阴影的十字框中的5个数的和是 (2)小李一家13号外出的 (3) 这5个数的和不能为100，理由如下： 假设这5个数的和能为100，根据题意得：， 解得：， 又∵20号这天为周六，不能作为中间数， ∴假设不成立， 即这5个数的和不能为100． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据各数之间的关系，用含a的代数式表示出5个数之和； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：若设十字框中间的数为a，则另外4个数分别是，，，， ∴带阴影的十字框中的5个数的和是 ； 答：框中的十字框中的5个数的和是． （2）设小李一家x号外出的，则另外4天的日期分别是，，，， 根据题意得：， 解得：． 答：小李一家13号外出的； （3）略 题型十四 古代问题 40．列方程解应用题． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数是多少？ 【答案】有7人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．设有人，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有人，根据题意得： ， 解得：． 答：人数是7人． 41．课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【答案】624个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设寺里有x个和尚，根据“每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗”，可列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设寺里有x个和尚， 根据题意得：，解得：． 答：寺里有624个和尚． 42．在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 【答案】（1）如图所示：（2）快马20天可以追上慢马． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意画图表示即可； （2）设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程快慢马速度之差快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）设快马x天可以追上慢马， 由题意，得， 解得：． 答：快马20天可以追上慢马． 题型十五 其他问题 43．七年级1班、2班去华夏文旅海洋公园研学，两个班共有93人参加研学，其中1班人数比2班多，且1班人数不足90人，现准备购买某场演出的门票．下表是商家给出的演出门票的价格表，如果两个班级单独购买一共需要付4635元． 购买门票的张数 1至46张 47至89张 90张及以上 每张门票的价格 55元 45元 35元 (1)如果两个班级联合起来购买门票，比各自单独购买可以节省多少钱？ (2)求七年级1班、2班各有多少人参加研学． 【答案】(1) 1380元 (2) 1班有48人，2班有45人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， （1）用单独付款总价减去联合购买的总价可得答案； （2）先确定∴1班人数多于47少于90，2班人数少于47，再根据单独购买总价等于4635列出方程，求出解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元）， 所以两个班联合起来购买门票，比单独购买可以节省1380元； （2）解：因为1班人数比2班人数多，且1班人数不足90人， ∴1班人数多于47少于90，2班人数少于47， 设1班有x人，则2班有人， 根据题意，得， 解得，则（人）， 所以1班有48人，2班有45人参加研学． 44．第九届亚洲冬季运动会将于年月在黑龙江省哈尔滨市举行．运动会吉祥物“滨滨”和“妮妮”，原型是出生于黑龙江的两只可爱的小东北虎，寓意是“哈尔滨欢迎您”．元旦期间，实验小学六年级购买了“滨滨”和“妮妮”玩偶共个作为奖品．当“滨滨”玩偶送出，“妮妮”玩偶送出时，剩下的“滨滨”玩偶和“妮妮”玩偶同样多，原来购置了多少个“妮妮”玩偶？ 【答案】原来购置了个“妮妮”玩偶． 【分析】设原来购置了个“妮妮”玩偶，则“滨滨”玩偶购置了个，根据题意列方程解方程即可． 【详解】解：设原来购置了个“妮妮”玩偶，则“滨滨”玩偶购置了个． 解得：， 答：原来购置了个“妮妮”玩偶． 45．数学活动：自己动手做一根杆秤 背景 杆秤是中国独立发明的度量物体质量的衡器，是我国古代劳动人民的智慧结晶．一起来了解它的原理并制作一根杆秤． 探究原理 如图，使用杆秤时将重物放在秤钩上，用手提起B处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出重物的质量．其中秤钩质量克，秤砣质量克，重物质量克，秤纽与秤钩的水平距离为x厘米，秤纽与零刻线的水平距离为y厘米，秤砣与零刻线的水平距离为z厘米，根据杠杆平衡条件可得：．    杆秤制作 (1)选材：小组成员找来四种材料，最适合用来制作秤杆的是（     ） A．一根粗细相同的木棒  B．一根可伸缩塑料吸管  C．一根细铁丝  D．一根橡胶软管 (2)制作：①选取（1）材料作秤杆，在秤杆一端选取两点分别刻槽A和槽B，（点A在点B右侧）使得，在槽B处系上绳子作为秤纽，将秤钩固定在槽A处． ②用细线系一个的砝码作秤砣；手提秤纽，若A端向上倾斜，则应将秤砣向 （选填“左”或“右”）移动，使秤杆平衡，如图所示，在秤砣的位置标零刻线，此时，求秤钩的质量．    ③在秤钩处挂500克砝码，手提秤纽，并调节秤砣的位置使秤杆平衡，此时，标记秤砣细线在秤杆上的位置M，并记为500克，，在零刻线到位置M之间均匀地画上49条刻度线，零刻度线左侧第1条刻度线表示10克，第2条刻度线表示20克，以此类推… 杆秤使用 (3)用做好的杆秤称量一个鸡蛋的质量．当秤杆在水平位置平衡时，秤杆上秤砣的挂绳在第6条刻度线，则此鸡蛋的质量为 克． 误差分析 (4)秤砣经过长时间的使用（因为生锈脱落、磕碰等各种原因），其质量会变轻，此时称重就会产生误差．当质量为180克的重物时，杆秤平衡时读数为190克，则此时这块秤砣现在的质量为 克． 【答案】(1)A (2)右，10克 (3)60 (4) 【分析】（1）根据制作秤杆的基本要求即可解答； （2）根据秤杆的原理和题中公式即可求解； （3）根据（2）③中的要求和题意即可解答； （4）设此时秤砣质量为克，根据杠杆平衡公式求解即可； 【详解】（1）解：制作秤杆需要材料硬度适中、不易变形，能保持形状稳定： A. 粗细均匀的木棒满足要求； B. 可伸缩塑料吸管长度会变化，导致刻度不准； C. 细铁丝易弯折变形； D. 橡胶软管柔软无法保持直杆状态； 因此选A． （2）解：方向判断：支点是秤纽B，A（挂秤钩端）在B右侧，A端向上倾斜说明左侧（秤砣侧）力矩更大，需要减小秤砣的力臂，因此应将秤砣向右移动； 求秤钩质量：标零刻线时不挂重物，则，秤砣在零刻线，， 代入题目给的杠杆公式：， 代入，，， 得：， 解得， 即秤钩的质量为10克； （3）解：根由题意：对应，均匀刻度下，零刻线左侧每1条刻度对应，因此第6条刻度对应质量为， 故此鸡蛋的质量为60克； （4）解：实际重物克，读数克，对应， 设此时秤砣质量为克， 则， 解得：（克）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $