专题06立方根与实数的运算期中复习讲义 (核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题06立方根与实数的运算期中复习讲义 1.理解立方根的概念，掌握立方根的性质，会求一个数的立方根，区分立方根与平方根的不同特点。 2.掌握实数加减、乘除、开方等简单运算，能灵活运用运算法则计算。 3.会估算立方根的大小，能解决立方根相关的简单应用、求值问题。 4.熟悉实数运算顺序，留意化简、近似取值等易错点，规范实数运算步骤。 题型 考察方向 难度 题型一 立方根概念理解 ★ 题型二 求一个数的立方根 ★ 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型四 立方根的实际应用 ★★ 题型五 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 题型七 实数的混合运算 ★★ 题型八 实数运算的实际应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 ：立方根的定义 1.定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 注意：一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，左上角数字3是根指数。开立方运算和立方运算互为逆运算。 2.立方根的特征 文字规律：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 注意：任何实数都存在立方根，任意一个数的立方根有且只有 1 个；非零数的立方根符号与原数符号保持一致；互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。 知识点02：立方根核心性质（必背，辨析题核心） 1. 基础性质（实数范围内通用） 核心结论：任意一个实数，有且只有一个立方根 被开方数符号 立方根符号 示例 正数 正数 =2（正→正） 负数 负数 =-2（负→负） 0 0 =0 2. 符号迁移性质（化简关键） =- 文字解读：负数的立方根，可以把根号内的负号直接移到根号外面，先求正数的立方根，再添负号； 核心价值：把负数开立方转化为正数开立方，降低计算难度； 示例：=-=-6。 知识点03：三大万能恒等式（化简计算题必考） 对任意实数a，以下三个式子恒成立，是化简、判断对错的核心依据： 恒等式 含义解读 示例 ()3=a 先对a开立方，再把结果立方，最终还原为原数a ()3=-10 =a 先把a立方，再开立方，结果直接等于原数a，无需加绝对值（和平方根核心区别） =-4，=5 =- 根号内的负号可自由移出根号，简化负数立方根计算 =-=-5 知识点04：开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点05:立方根与平方根的区别 知识点06：立方根的计算方法（课堂核心技能训练） 1. 整数 / 小数开立方（直接计算） 步骤： 把被开方数拆成已知完全立方数的乘积； 利用开立方的性质拆分计算； 最终化简结果。 2. 立方根估算（夹逼法，无理数估值核心） 适用场景：无法开尽的立方无理数，求整数部分、小数部分、取值范围。 步骤： 找到与被开方数相邻的两个完全立方数； 确定立方根的取值区间； 进一步可细化估算小数部分。 3. 立方根大小比较方法 方法 适用场景 操作步骤 估算法 所有含立方根的数 先估算出每个立方根的近似值，再直接比较小数大小 立方比较法 两个数比较大小（最常用） 对两个数同时立方，立方后数值大的，原数更大 知识点07:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 题型一 立方根概念理解 1．若，则的值为__________． 2．下列说法正确的是（    ） A．立方根等于它本身的数有两个，0和1 B．的平方根是 C．1的平方根是 D．0没有平方根 3．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 题型二 求一个数的立方根 4．的立方根是________； 5．已知，为有理数，且，则的立方根是__________ 6．若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 7．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 8．已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是_____． 9．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 题型四 立方根的实际应用 10．一个正方体储物盒的体积为，则该正方体储物盒的棱长是（     ） A． B． C． D． 11．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 12．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 题型五 与立方根有关的规律探索 13．已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 14．观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 15．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 16．已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 17．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 18．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 题型七 实数的混合运算 19．计算：_________． 20．若x和y互为相反数，则______________． 21．实数、、在数轴上位置如图所示，化简________． 22．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八 实数运算的实际应用 23．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C．D． 24．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 25．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 解答题 26．计算： (1) (2) 27．已知一个正数m的两个平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 28．（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 29．如图三阶魔方是由27个同样大小的小立方体组成的，这个三阶魔方的体积是27 (1)求这个魔方的棱长 (2)求这个魔方的表面积，阴影部分的面积 (3)若把图1中的阴影部分正方形放到数轴上，使点与重合，那么点所表示的数是________ 30．阅读素材，完成任务． 素材 素材背景 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 步骤一 ，，，， ∴能确定的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是，， ∴能确定的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去后面的三位数得到数，而，则，可得．由此能确定的立方根的十位上的数是3．因此的立方根是． (1)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根． (2)已知是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是_____位数； ②它的立方根的个位上的数是_____； ③它的立方根是_____． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06立方根与实数的运算期中复习讲义 1.理解立方根的概念，掌握立方根的性质，会求一个数的立方根，区分立方根与平方根的不同特点。 2.掌握实数加减、乘除、开方等简单运算，能灵活运用运算法则计算。 3.会估算立方根的大小，能解决立方根相关的简单应用、求值问题。 4.熟悉实数运算顺序，留意化简、近似取值等易错点，规范实数运算步骤。 题型 考察方向 难度 题型一 立方根概念理解 ★ 题型二 求一个数的立方根 ★ 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型四 立方根的实际应用 ★★ 题型五 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 题型七 实数的混合运算 ★★ 题型八 实数运算的实际应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 ：立方根的定义 1.定义 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。也就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 注意：一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，左上角数字3是根指数。开立方运算和立方运算互为逆运算。 2.立方根的特征 文字规律：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 注意：任何实数都存在立方根，任意一个数的立方根有且只有 1 个；非零数的立方根符号与原数符号保持一致；互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。 知识点02：立方根核心性质（必背，辨析题核心） 1. 基础性质（实数范围内通用） 核心结论：任意一个实数，有且只有一个立方根 被开方数符号 立方根符号 示例 正数 正数 =2（正→正） 负数 负数 =-2（负→负） 0 0 =0 2. 符号迁移性质（化简关键） =- 文字解读：负数的立方根，可以把根号内的负号直接移到根号外面，先求正数的立方根，再添负号； 核心价值：把负数开立方转化为正数开立方，降低计算难度； 示例：=-=-6。 知识点03：三大万能恒等式（化简计算题必考） 对任意实数a，以下三个式子恒成立，是化简、判断对错的核心依据： 恒等式 含义解读 示例 ()3=a 先对a开立方，再把结果立方，最终还原为原数a ()3=-10 =a 先把a立方，再开立方，结果直接等于原数a，无需加绝对值（和平方根核心区别） =-4，=5 =- 根号内的负号可自由移出根号，简化负数立方根计算 =-=-5 知识点04：开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点05:立方根与平方根的区别 知识点06：立方根的计算方法（课堂核心技能训练） 1. 整数 / 小数开立方（直接计算） 步骤： 把被开方数拆成已知完全立方数的乘积； 利用开立方的性质拆分计算； 最终化简结果。 2. 立方根估算（夹逼法，无理数估值核心） 适用场景：无法开尽的立方无理数，求整数部分、小数部分、取值范围。 步骤： 找到与被开方数相邻的两个完全立方数； 确定立方根的取值区间； 进一步可细化估算小数部分。 3. 立方根大小比较方法 方法 适用场景 操作步骤 估算法 所有含立方根的数 先估算出每个立方根的近似值，再直接比较小数大小 立方比较法 两个数比较大小（最常用） 对两个数同时立方，立方后数值大的，原数更大 知识点07:实数的运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 题型一 立方根概念理解 1．若，则的值为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根的概念和运算，解题关键在于理解立方根的定义． 根据立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么x叫做a 的立方根或三次方根，据此即可解答． 【详解】因为， 所以8的立方根是2， 故答案为：2． 2．下列说法正确的是（    ） A．立方根等于它本身的数有两个，0和1 B．的平方根是 C．1的平方根是 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、立方根等于它本身的数是±1和0，原说法错误，不符合题意； B、，9的平方根是，即的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、1的平方根是，说法正确，符合题意； D、0有平方根，是0，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 题型二 求一个数的立方根 4．的立方根是________； 【答案】 【分析】先计算的值，再求所得结果的立方根即可． 【详解】解：， ， 的立方根是， 即的立方根是． 5．已知，为有理数，且，则的立方根是__________ 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出和的值，计算后再求其立方根． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴的立方根是， 即的立方根是． 6．若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，立方根，利用夹逼法可得，即得，进而得到，，即得到，再根据立方根的定义即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 又∵，且是两个连续的整数， ∴，， ∴， ∵， ∴的立方根是 故选：． 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 7．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是一个整数的立方， 又∵要求满足条件的正整数最小，， ∴正整数最小是，此时，符合题意． 8．已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， ∴， ∴的立方根为：； 故答案为：． 9．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 题型四 立方根的实际应用 10．一个正方体储物盒的体积为，则该正方体储物盒的棱长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知正方体体积求棱长，利用体积与棱长的立方关系开立方求解即可． 【详解】解：， 故该正方体储物盒的棱长是． 11．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 12．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 【答案】A 【分析】根据正方体的体积计算公式和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设原来的棱长为x，那么现在的体积为， ∵， ∴它的棱长变为原来的2倍， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了立方根与立方体的体积公式，解题关键是利用立方根的定义准确的求出新立方体的棱长，从而求出棱长之间的关系． 题型五 与立方根有关的规律探索 13．已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】总结出规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位， ∵， ∴． 14．观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 15．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 16．已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【答案】A 【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：∵﹣＝0， ∴． ∴x﹣3＝2x+1． ∴x＝﹣4． ∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9． ∴x2+x﹣3的算术平方根为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键． 17．已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 18．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 题型七 实数的混合运算 19．计算：_________． 【答案】 【分析】先分别计算立方根和算术平方根，再做减法运算即可得到结果． 【详解】，， ． 20．若x和y互为相反数，则______________． 【答案】 【分析】由和互为相反数得，利用立方根的性质即可求出结果． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴， ∵ 对于任意实数，都有， ∴， ∴原式． 21．实数、、在数轴上位置如图所示，化简________． 【答案】 【分析】观察数轴得：，可得，再根据算术平方根以及立方根的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ 22．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，A计算错误． ，B计算正确． ，C计算错误． ，D计算错误． 题型八 实数运算的实际应用 23．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由纸张的宽为，表示出纸的宽和长，根据纸面积为求解． 【详解】解：由图得，当纸张的宽为时，纸的宽为， ∵纸张长与宽的比为， ∴纸的长为， ∵纸面积为， ∴， ∴． 24．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 25．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 解答题 26．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的性质和去绝对值法则化简，再计算加减即可； （2）根据乘方、算术平方根的性质化简，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 27．已知一个正数m的两个平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ，， (2) 的平方根为 【分析】 （1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求，根据算术平方根的定义求，根据立方根的定义求； （2）先由的值求出，再计算的值，最后求其平方根． 【详解】（1）解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 将代入，得， 解得 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是． 28．（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 【答案】（1）    （2）或 【分析】本题考查了相反数的应用，算术平方根、立方根的性质和代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据相反数的定义得到，再根据算术平方根的性质得到，，进而求得、的值，最后将、的值代入即可得解； （2）由得，再根据相反数的定义得，进而得到，再分情况把、的值代入即可得解． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， ，， ，， ； （2）， ， 与互为相反数， ， ，即， 当时，，， 当时，，， 综上，代数式的值为或． 29．如图三阶魔方是由27个同样大小的小立方体组成的，这个三阶魔方的体积是27 (1)求这个魔方的棱长 (2)求这个魔方的表面积，阴影部分的面积 (3)若把图1中的阴影部分正方形放到数轴上，使点与重合，那么点所表示的数是________ 【答案】(1)3 (2)54；5 (3) 【分析】（1）正方体的体积等于棱长的立方，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出魔方的棱长，进而求出每个小立方体的边长，求出表面积，利用割补法求出对应的面积即可； （3）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，即可得到的长，用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：魔方的棱长为． （2）解：棱长为3， ∴魔方表面积：。 ∵每个小立方体的边长都是， ； （3）解：设正方形的边长为， 则 解得，即， ∵点与重合， 点在数轴上表示的数为：． 30．阅读素材，完成任务． 素材 素材背景 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 步骤一 ，，，， ∴能确定的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是，， ∴能确定的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去后面的三位数得到数，而，则，可得．由此能确定的立方根的十位上的数是3．因此的立方根是． (1)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根． (2)已知是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是_____位数； ②它的立方根的个位上的数是_____； ③它的立方根是_____． 【答案】(1)45 (2)三，0，840 【详解】（1）解：∵，，而， ∴立方根是两位数； 立方数的个位是5，只有个位为5的数，立方的个位才是5， ∴立方根的个位是5； 去掉 91125后三位，得到91， ∵，，且， ∴十位是4； 综上，91125的立方根是45； （2）解：∵，，而， ∴立方根是三位数； 立方数的个位是0，只有个位为0的数，立方的个位才是0， ∴立方根的个位是0； 去掉592704000后三位，得到592704； 求592704的立方根：因其个位是4，故其立方根的个位是4； 去掉592704的后三位得到592， ∵，，且， ∴其立方根的十位是8； ∴592704的立方根是84； ∴592704000的立方根是840． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $