第五章 一元一次方程 单元复习培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过表格梳理与分类整合构建一元一次方程知识体系，涵盖概念界定、解法步骤、应用类型三大模块，以解步骤表格明确变形要点，按和差倍分、行程等九类应用题建立模型框架，呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与核心素养培养，如错解问题训练运算能力，古代问题（《孙子算经》“三人共车”）强化模型意识，通过“审设列解验答”六步法提升抽象能力。基础题巩固知识，综合题（方案选择、分段计费）满足不同层次需求，助力教师实施精准复习与学生自主提升。

一元一次方程 知识点1：一元一次方程的概念 1.一元一次方程的定义：方程，，，这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程. 这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1. 2.一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）. 3.一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程. 知识点2：解一元一次方程 1.利用等式的性质解简单的一元一次方程步骤如下： （1）利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使方程逐步转化为一边只含有未知数的项，另一边只有常数项的形式； （2）利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解. （3）可将方程的解代入原方程进行检验，可判断解出来的值是否正确. 2.解一元一次方程 （1）解一元一次方程的基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为. （2）解一元一次方程的步骤如下： 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 PS：解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 知识点3：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 特别说明： （1） “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2） “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3） “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4） “解”就是解方程，求出未知数的值； （5） “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6） “答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 知识点4：常见列方程解应用题的几种类型 【类型1】和、差、倍、分问题 此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。 【类型2】等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。 “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为:①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积。 【类型3】调配问题, 从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化, 常见题型有: ①既有调入又有调出: ②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变; ③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。 【类型4】行程问题 要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。 相遇问题: 相向而行：等量关系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题 同向而行：等量关系：甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 【类型5】工程问题 基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间; 合做的效率=各单独做的效率的和。 当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。 【类型6】利润问题 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 【类型7】存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 【类型8】数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a 【类型9】方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 题型1：错解问题 1．（25-26七年级下·广东珠海·开学考试）小明在解方程时，把方程右边的“”看成了“”，解得，则a的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程，依题意，得，把代入，移项合并同类项，得出a的值，即可作答． 【解题过程】 解：∵解方程时，把方程右边的“”看成了“” ∴， 把代入， ∴ 则 ∴ 则 故选：C 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的错解问题．把代入，可得，再把把代入，即可求解． 【解题过程】 解：把代入得： ，解得：， 把代入，得： ， 解得：． 故选：C 3．（25-26七年级上·福建莆田·阶段练习）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： ……………… …① …………………… …② …………………… …③ ………………………………… ④ ………………………………… ⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在_________（填编号）； 然后，你自己细心地订正，书写正确的解题过程： 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程，根据解题过程可知，在第①步去分母时，常数1没有乘以12，然后按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【解题过程】 解：小明解方程的第①步中去分母时“1”没有乘以12，所以错在①； 故答案为：①． ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，由小玲解得，可求得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【解题过程】 解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得，， ∵小玲解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 题型2：遮挡问题 1．（25-26七年级上·山东济南·期末）小明同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉他方程的解是，请问这个被污染的常数■是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】 设被污染的常数■是a，把代入计算即可求出a的值． 【解题过程】 解：设被污染的常数■是a， 把代入得：， 整理得：， 移项合并得：， 解得：． 故选：D． 2．（25-26七年级下·四川内江·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（    ） A．1 B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，设被墨水遮盖的数为m，则把代入方程中求出m的值即可． 【解题过程】 解：设被墨水遮盖的数为m， 由题意得，方程的解为， ∴， 解得， 故选：C． 3．（25-26七年级上·河北承德·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数被污染了； （1）嘉淇猜是，请解一元一次方程； （2）老师告诉嘉淇这个方程的解为，求被污染的常数． 【思路点拨】 本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）运用解一元一次方程的一般步骤求解即可； （2）被污染的常数为k得到，将代入此方程求出k即可． 【解题过程】 （1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）设被污染的常数为k， 则原方程可化为：， ∵这个方程的解为， ∴将代入得：， 解得：， 即污染的常数为5． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）小亮在解关于的一元一次方程时，发现正整数□被污染了； （1）小亮猜□是5，请解这个一元一次方程； （2）若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的拓展，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母，移项， 合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）设被污染的正整数为m，则原方程为，解方程得到，根据方程的解和m都为正整数得到是正整数，据此即可求出答案． 【解题过程】 （1）解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：设被污染的正整数为m，则原方程为， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵这个方程的解是正整数，且m是正整数， ∴是正整数， ∴当时，则， 当时，则， 当的值越来越大时，则的值越来越小，则只有符合题意． 题型3：同解方程 1．（25-26七年级下·山西晋城·期中）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【思路点拨】 本题考查了同解方程，解一元一次方程，首先解出x的值，再代入方程求出a的值即可． 【解题过程】 解：解方程，得：， 方程与关于的方程的解相同， 将代入方程中， 得到， 解得：， 故选：A． 2．（25-26七年级上·重庆九龙坡·期末）已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查一元一次方程的解的定义，理解一元一次方程的解的定义，是解题的关键． 先求出的解，再把x的值代入，求解即可． 【解题过程】 解：∵的解是：， 又∵方程和有相同的解， ∴把，代入，得， 解得：． 则， 故答案是：． 3．（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的方程的解与的解互为相反数， ． 【思路点拨】 本题考查解一元一次方程，先求出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，列出关于的方程，进行求解即可． 【解题过程】 解：解方程，得：， 解方程， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 已知两方程的解互为相反数， ， ， ， ． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程． （1）若该方程与方程同解，试求的值； （2）当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？ 【思路点拨】 （1）解方程，得，然后把代入方程求解即可； （2）分别求出两个方程的解（都是关于m的代数式），再根据两个方程解的关系得到关于m的方程，求解即可． 【解题过程】 （1）解方程，得， 把代入方程，得， 解得：； （2）解方程，得， 解方程，得， ∵方程的解比关于的方程的解大2， ∴， 解这个方程，得：． 题型4：定解方程 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 ． 【思路点拨】 先去分母，把方程化为，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【解题过程】 解：， 方程两边都乘6，去分母得 ， 整理得：， ∵无论k为何值，方程的解总是， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）若为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则 ， ． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程的 拓展，先把代入原方程得到，再由无论为何值时，原方程它的解总是1，得到关于k的方程有无数解，则，据此可得答案． 【解题过程】 解：∵关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1， ∴把代入中得：， ∴， ∴， ∴， ∵无论为何值时，原方程它的解总是1， ∴关于k的方程有无数解， ∴， ∴， 故答案为：0，11． 3．（2026七年级·全国·竞赛）已知关于的方程（为定值），无论为何值，方程的解都是8，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查代数式求值，将原方程整理为以为未知数的方程，，将代入得，则，所以，即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴， 当时，无论为何值，都成立， ∴ 解得： ∴. 故答案为：. 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则 【思路点拨】 本题考查方程解的定义，求代数式的值；熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【解题过程】 解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论m为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 题型5：整数解问题 1．（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（    ） A．8 B．0 C． D． 【思路点拨】 本题考查了方程的解，一元一次方程的特殊解计算，分类计算解答即可．本题考查了一元一次方程的解，由原方程的解为负整数，找出整数k的值是解题的关键． 【解题过程】 解：当时，，解得，不是负整数解，不符合题意； 当时，变形得， 若时，方程无解，不符合题意； 当且时，解得， ∵关于的方程的解是负整数， ∴或， 解得或， ∴整数的所有取值之和为， 故选D． 2．（25-26七年级上·重庆渝中·期末）若关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的整数解，先求出方程的解是，根据方程有整数解和a为整数得出或或1或，求出a的值，再求和即可． 【解题过程】 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 关于的方程有整数解，且a为整数， 或或1或， 或或或， 所有符合条件的整数的和为， 故选：D． 3．（25-26七年级上·重庆忠县·期中）若整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（    ） A． B．3 C．0 D． 【思路点拨】 本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先按照去分母，移项，合并同类项解方程得到，再证明，推出，根据方程有正整数解得到是大于2的正整数，据此求出符合条件的a的值，然后求和即可． 【解题过程】 解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，，不成立， ∴， ∴， ∵整数a使关于x的一元一次方程有正整数解， ∴是正整数，即是大于2的正整数， ∴时，，符合题意； 时，，符合题意； 时，，不符合题意； ∴符合条件的所有整数a之和为， 故选B． 4．（25-26七年级上·广东广州·期中）若关于的方程的解是整数，则整数的值有（　　） A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 【思路点拨】 本题考查的是含参数的一元一次方程的整数解问题，先把方程整理为，再根据方程的解为整数，例举的因数，再建立简单方程求解即可． 【解题过程】 解：， 整理，得， 由于x、k均为整数， ∴当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或； 所以k的取值共有16个． 故选D． 5．（25-26七年级下·重庆南岸·开学考试）已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程，方程的解，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 解：， ， ， ∴ ∵关于的方程的解为偶数， ∴为偶数， ∵为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有可能的取值的和为， 故答案为：． 题型6：换元法 1．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的解，根据第一个方程的解是得出关于的一元一次方程中，再求出即可． 【解题过程】 解：关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中， 解得：， 即关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 2．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了换元法解一元一次方程；先对关于的一元一次方程进行变形，再根据方程解的定义求解即可． 【解题过程】 解：把方程两边同时乘以整理得：， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故选：C． 3.（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的方程的解 ． 【思路点拨】 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合两个方程的特点，得到，进一步求解即可． 【解题过程】 解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴； 故答案为：． 题型7：新定义问题 1．（2026·广西钦州·三模）设，为有理数，定义新运算： ．例如： ，若 ，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查新定义，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可． 【解题过程】 解：，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ． 【思路点拨】 本题主要考查一元一次方程的应用，根据，由方程，分两种情况：（1）时，，，（2）时，，，据此求出方程的解即可． 【解题过程】 解：，， （1）时，， ， 解得，，不符合题意； （2）时，， ， 解得，符合题意． ∴方程的解为． 故答案为：． 3.（25-26七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． （1）若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为6， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得． 4.我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　． ①；②；③． （2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【思路点拨】 （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案； （3）根据和解方程得出方程的解与，再整体代入代数式求值即可． 【解题过程】 （1）解：①＝的解是， ∵， ∴①不是“和解方程”； ②的解是， ∵， ∴②是“和解方程”； ③的解是， ∵， ∴③不是“和解方程”； 故答案为：②． （2）∵， ∴， ∴， ∵即是“和解方程”， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（①式） ∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（②式）， 由①-②得：， ∴ ． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． （1）请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； （2）已知方程是巧合方程，请求出b的值； （3）若和都是巧合方程，请求出的值． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； （3）同理（2）求出，n的值，代入计算即可． 【解题过程】 （1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； （3）解： ， 方程是巧合方程， ，即， 解得：； 解得：， 方程是巧合方程， ， ， ， ， 解得：， ． 题型8：日历问题 1.（25-26七年级上·安徽安庆·期中）小明在某月的日历上圈出三个数，并求出它们的和是，则这三个数在日历中的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查一元一次方程的应用，根据题意对每个选项列出方程求解是解题的关键 【解题过程】 解：设最小的数， 对于选项，，可得， 解得：，故本选项不符合题意； 对于B选项，， ， 解得：，故本选项不符合题意； 对于C选项，， ， 解得：，故本选项不符合题意； 对于D选项， 可得， 解得：，故本选项符合题意； 故选D． 2．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个数中最小的数为，则这个数的和为，分别代入各选项中的数，解之可得出的值，结合为整数，即可得出结论． 【解题过程】 解：设这个数中最小的数为，则另外个数分别为，，，，，， 这个数的和为． A．根据题意得：， 解得：， 在第四列，符合题意， 这个数的和可以是，选项A不符合题意； B．根据题意得：， 解得：， 在第五列，符合题意， 这个数的和可以是，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， 不是整数，不符合题意， 这个数的和不可能是，选项C符合题意； D．根据题意得：， 解得：， 在第一列，符合题意， 这个数的和可以是，选项D不符合题意． 故选：C． 3．（2026七年级上·江苏·专题练习）若干个偶数按每行8个数排成图： （1）图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ （2）小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 【思路点拨】 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出表格中数据的变与不变是解题关键． （1）根据已知9个数直接求出和即可，进而得出与中间的数的关系； （2）可设中间的数为x,根据（1）中规律得出这9个数的和的方程，解方程即可求解． 【解题过程】 （1）， ， 方框中的9个数的和是中间的数的9倍； （2）设中间的数为，则其它8个数分别是：，依题意有 ， 解得， ． 右下角的数是58． 4．（25-26七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： （1）小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ （2）“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 【解题过程】 （1）解：设小明出发的日期是10月的第x天， 根据题意得：， 解得， ∴小明出发的日期是10月的第3天， 由月历表可知，10月3号为星期二， 答：小明是星期二出发的； （2）解：的值不能等于74，理由如下： ∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m， ∴另外三个数为， 若，则， ∵10月15日在第一列， ∴此时不能出现“S型” ∴的值不能等于74． 题型9：和差倍分问题 1.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）父亲和女儿现在的年龄和是40，当父亲的年龄是女儿现在年龄的3倍的时候，女儿的年龄是父亲现在年龄的 ，女儿现在的年龄 岁． 【思路点拨】 本题考查一元一次方程的应用，设女儿现在的年龄是x岁，则父亲现在的年龄是岁，根据父女的年龄差不变列一元一次方程求解即可． 【解题过程】 解：设女儿现在的年龄是x岁，则父亲现在的年龄是岁， 由题意得，， 解得， 即女儿现在的年龄是10岁， 故答案为：10． 2.（25-26七年级下·河南周口·期末）有甲、乙两个粮仓，已知乙仓原有粮食35 吨．如果从甲仓取出 15 吨粮食放入乙仓，这时乙仓的存粮是甲仓的 ，则甲仓原有粮食多少吨？ 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，设甲仓原有粮食x吨，根据从甲仓取出 15 吨粮食放入乙仓，这时乙仓的存粮是甲仓的，列式得，解出，即可作答． 【解题过程】 解：设甲仓原有粮食x吨， 根据题意，得 解得 答：甲仓原有粮食140吨． 3.甲、乙、丙三个同学做数学题．已知甲比乙多做了6道，丙做的是甲的2倍，比乙多做了22道，则他们一共做了 道数学题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．设乙做了道数学题，则甲做了道数学题，丙做了道数学题，根据“丙比乙多做了22道”列方程求解即可． 【详解】解：设乙做了道数学题，则甲做了道数学题，丙做了道数学题， 由题意得：， 解得：，即乙做了道数学题， 则甲做了道数学题，丙做了道数学题， 所以他们一共做了道数学题， 故答案为： 题型10：古代问题 1．（2026·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，设共有辆车，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【解题过程】 解：设共有辆车， 根据题意得，， 解得， ∴人， 答：有人，辆车． 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，设塔的顶层有盏灯，根据“从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【解题过程】 解：设塔的顶层有盏灯， 由题意得：， 解得：， 塔的顶层有盏灯． 3．（2026七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【解题过程】 解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 4．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． 【解题过程】 解：设丢番图的年龄是x岁， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：丢番图这一生的年龄是84岁． 题型11：行程问题 1.小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后两人相遇．相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚回到A地． (1)两人的行进速度分别是多少？ (2)相遇后经过多少时间小强到达A地？ 【答案】(1)两人的行进速度分别是， (2)相遇后经过小强到达A地 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系列出方程； （1）可根据相遇时两人所用时间相等，且两人所行路程之和为环形公路的距离，从而列出方程求出解； （2）利用路程÷速度=时间即可解答； 【详解】（1）解：设小刚的速度为，则相遇时小刚走了，小强走了， 由题意得，， 解得：， 则小强的速度为：， 答：两人的行进速度分别是，； （2）． 答：相遇后经过小强到达A地． 2.甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 【答案】(1)快车开出后两车相遇 (2)后两车相距 (3)后两车相距 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题的关键． （1）设快车开出后两车相遇，根据两车行驶路程和为，列出方程式即可解题； （2）设后两车相距，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为，列出方程式即可解题； （3）设后两车相距，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多，即可列出方程式，即可解题． 【详解】（1）解：设快车开出后两车相遇． ． 由题意，得， 解得． 答：快车开出后两车相遇． （2）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． （3）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． 3.某公路隧道长1500米．一辆大巴车匀速从隧道通过，测得大巴车从开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151秒，整辆大巴车完全在隧道里的时间为149秒，大巴车的车身长度和行驶速度分别是（    ） A．8米、5米/秒 B．10米、10米/秒 C．10米、15米/秒 D．12米、20米/秒 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，关键设出大巴车的车身长度，以速度作为等量关系列方程求解．设大巴车的车身长度为米，根据速度相等可列方程求解． 【详解】解：设大巴车的车身长度为米，根据题意得： ． 解得：， 所以大巴车的车身长度为10米，行驶速度是10米/秒． 故选：B 4.一架飞机从A城市飞B城市顺风行驶，用了小时；从B城市返回A城市逆风飞行，用了3小时．已知风的速度是24千米/时，求飞机在无风航行时的平均速度． 【答案】飞机在无风航行时的平均速度为696千米/时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设飞机在无风航行时的平均速度为x千米/时，分别表示出顺风和逆风航行的平均速度，根据A，B两个城市之间的航行长度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出飞机在无风航行时的平均速度． 【详解】解：设飞机在无风航行时的平均速度为x千米/时，则顺风航行时的平均速度为千米/时，逆风航行时的平均速度为千米/时， 依题意得：， 解得：． 答：飞机在无风航行时的平均速度为696千米/时． 5.一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【答案】(1)120千米 (2)1小时和小时 【分析】（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）分两种情况讨论①两船都在顺流而下时②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可． 本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）解：设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 ， 理整得， 解得， 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时小时． 于是由题意有， 整理得， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时和小时都恰好相距100千米． 题型12：利润问题 1.（2026七年级上·全国·专题练习）张阿姨到商场以940元购买了一件羽绒服和一条裙子．已知羽绒服打八折，裙子打六折，结果比按标价购买时共节省了360元，求张阿姨购买的羽绒服及裙子的标价． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，设张阿姨购买的羽绒服的标价为x元/件，则裙子的标价为元/条，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【解题过程】 解：按标价购买羽绒服及裙子总价为（元） 设张阿姨购买的羽绒服的标价为x元/件，则裙子的标价为元/条． 由题意，得， 解得． 当时，． 答：张阿姨购买的羽绒服的标价为800元/件，裙子的标价为500元/条． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一家书店推出一项优惠政策，凡购买同一种书100本以上，就按书价的收款．某校到书店购买甲､乙两种书，购得乙种书的册数是甲种书的，甲种书的总价比乙种书的总价高720元．已知乙种书每本15元，甲种书每本20元．学校购得甲种书多少本？ 【思路点拨】 本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设学校购得甲种书x本，则乙种书本，然后根据题意可分类进行求解． 【解题过程】 解：设学校购得甲种书x本，则乙种书本，由题意可分： ①当购买甲、乙种书的册数不高于100本时，则有： 解得：， 则乙种书为本， ②当购买甲、乙种书的册数都高于100本时，则有： 解得：， 则乙种书为本，（不符合题意，舍去）； ③当购买甲种书的册数高于100本，乙种书的册数低于100本时，则有： 解得：， 则乙种书为本； 答：学校购得甲种书90本或者120本． 3．（25-26七年级上·广东湛江·期末）某服装商店因换季准备将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元．求： （1）每件服装的标价是多少？ （2）为保证不亏本，最多能打几折？ 【思路点拨】 本题考查了列一元一次方程解实际问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键． （1）设每件服装的标价是x元，则分别表示出售价，再根据成本不变建立方程求出其解即可； （2）根据（1）的标价求出售价就可以求出成本；设打y折就可以不亏本，建立方程求出其解即可． 【解题过程】 （1）解：设每件服装的标价是x元，依题意，得 ， 解得：． 答：每件服装的标价是200元； （2）解：每件衣服的成本价为： （元）． 设打y折就可以不亏本，由题意，得 ， 解得：． 答：为保证不亏本，最多能打六折． 题型13：方案选择问题 1．（25-26七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． （1）该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ （2）请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设该班购买的男款运动装套，由总共需要5520元列方程，解出即可． （2）按方案一购买需：（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装，费用为：（元），比较大小即可． 【解题过程】 （1）解：设该班购买的男款运动装套，则购买的女款运动装各多少套为套，根据题意得 答：该班购买的男款运动装套． （2）按方案一购买需：（元） 按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装 （元） ∵ ∴按方案二购买更合算． 2．（25-26七年级下·吉林·开学考试）甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元/时，其它主要参考数据如下： 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元） 火车 汽车 （1）如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费） （2）如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算． 【思路点拨】 （1）设甲、乙两地间的路程为千米，根据题意列出方程即可求解； （2）分别求出两种方式的运输费用，再比较即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：设甲、乙两地间的路程为千米， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两地间的路程为千米； （2）解：选择火车运输的费用为元， 选择汽车运输的费用为元， ∵， ∴选择汽车运输比较合算． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． （1）若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； （2）若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； （3）一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【思路点拨】 本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可． 【解题过程】 （1）解：元． 答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元； （2）解：元． 答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元； （3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人． 分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，符合题意， 人 所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． ②非学生乘客若未达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，不符合题意舍去． 综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． 4．（25-26七年级上·山西晋城·阶段练习）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． （1）若，请计算哪种方案划算； （2）若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； （3）请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【思路点拨】 本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）分别求出时，两种优惠方案的费用，比较即可求解； （2）根据两种优惠方案分别列式即可； （3）若方案一和方案二的费用相等，当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，列方程求得；当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，列方程求得，再进行讨论即可求解． 【解题过程】 （1）解：当时， 方案一：（元）． 方案二：（元）． 因为， 所以当时，方案一划算． 答：若，方案一划算． （2）解：当时， 方案一：元． 方案二：元． 答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元． （3）解：若方案一和方案二的费用相等， 当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得， 解得． 因为， 所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算； 当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得， 解得． 所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 综上可知，当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 题型14：分段计费问题 1.（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）某市居民年用天然气阶梯价格方案如下： 第一档 第二档 第三档 年用天然气量为及以下，价格为2元/． 年用天然气量超出不足时，超出的部分价格为元/． 年用天然气量超出的部分价格为3元/． 依此方案请回答： （1）若小明家2023年使用天然气则需缴纳天然气费为______元； （2）某户2022年和2023年共用天然气，两年共缴纳天然气费用1780元，且2023年用气量比2022年多，求该户2022年和2023年的天然气用量各是多少． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程在实际生活中的应用，关键理解题意，找到等量关系并正确列出一元一次方程． （1）按照第二档天然气用量的价格方案计算：按每立方米2元计算，超过的按每立方米元计算，两部分相加即可； （2）根据2022年和2023年共用天然气，2023年用气量比2022年多，得出年超过，年不足，设年用气量为，则年用气量为，分两种情况：当时，当时，列出方程，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：（元）， 故答案为：765． （2）解：∵2022年和2023年共用天然气，2023年用气量比2022年多， ∴年超过，年不足， 设年用气量为，则年用气量为， 当时， ， 解得：（不符合题意舍去）； 当时， ， 解得：； ， 答：年用气量为，则年用气量为． 2．（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意分情况列一元一次方程是解题的关键． 设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时，由题意知，，解得，，分①当时，②当时，③当时，三种情况列方程计算求解即可． 【解题过程】 解：设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时， 由题意知，，解得，， ①当时， 依题意得，， 解得：， ∴月份的用电量为千瓦⋅时； ②当时， 依题意得，， 解得：，不合题意，舍去； ③当时， 依题意得，， 方程无解； 综上所述，月份的用电量为千瓦⋅时； 故答案为：． 3．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）为鼓励居民节约用电，某地试行分档收费，具体执行方案如表： 档次 每户每月用电数（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于等于200 0.55 第二档 大于200小于400 0.6 第三档 大于等于400 0.85 例如：一户居民七月份用了400度电，则需缴电费（元）． 请根据以上信息完成下列问题： （1）诺某居民四月份缴电费180元，则该用户四月份用了_____度电． （2）若某居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元，已知该用户六月份用电量大于五月份，问该户居民五、六月份各用电多少度？ 【思路点拨】 此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）先确定用电度数大于200度，且小于240度，再用180除以0.6计算即可； （2）设五月份用电度，则六月份用电度，分三种情况进行讨论：①；②；③． 【解题过程】 （1）解：∵ (元)，(元)．， ∴四月份的用电度数大于200度，且小于400度， ∴该用户四月份用了度电， 故答案为：300； （2）解：设五月份用电x度，则六月份用电度． ∵六月份用电量大于五月份， ∴， 解得， 分两种情况： 第一种情况:当时，， ， 解得，不符合题意，应舍去； 第二种情况:当时， ， 解得， ； 第三种情况:当时，， ， ，无解， ∴该户居民五月份用电190度，六月份用电310度． 题型15：配套问题 1．（25-26七年级下·河南濮阳·开学考试）机械厂加工车间有32名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【思路点拨】 本题考查的是一元一次方程的应用，设生产大齿轮的人数为x，则生产小齿轮的人数为，再由1个大齿轮与2个小齿轮配成一套列出比例式，求出x的值即可． 【解题过程】 解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排名工人加工小齿轮， 依题意得： 解得， 则． 答：安排12名工人加工大齿轮，安排20名工人加工小齿轮． 2．（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？ 【思路点拨】 本题考查一元一次方程的应用．设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可． 【解题过程】 解：设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿， 由题意得， 解得， ， 答：需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿． 3．（25-26六年级下·上海青浦·期末）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出答案． 【解题过程】 解：设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣， 由题意得： 解得： 答：应分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣． 4．（25-26七年级下·吉林松原·开学考试）在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． （1）七（2）班有男生、女生各多少人？ （2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程，再求解． （1）设七年级（2）班有男生x人，根据“共有学生44人，男生人数比女生人数少2人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【解题过程】 （1）解：设七年级（2）班有男生x人，依题意得 ， 解得， 所以，七年级（2）班有男生21人，女生23人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， 所以，应该分配24名学生剪筒身． 温故知新 1.（25-26七年级上·江西吉安·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解及a的值都为负整数，则a的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程，得到，再根据解及a的值都为负整数，可得a值． 【解题过程】 解：， ， ， 解得， ∵方程的解为负整数， ∴x可取的值为或或或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不合题意，舍去， 综上可知，a的值为或或． 2.（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则 ． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到，再由关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，得到当时，关于k的方程有无数解，则，据此求出m、n的值，再代值计算即可． 【解题过程】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： ∵关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·重庆渝北·期末）若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之积是 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为整数推出是整数，进而得到解得或或或或或；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为，由此可得答案． 【解题过程】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是整数， ∴是整数， ∴或或， 解得或或或或或； ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故答案为：45． 4．（2026上·福建福州·七年级校考期末）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的特点是解题的关键． 根据两个方程的特点，第二个方程中的相当于第一个方程中的x，据此即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴． ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于的一元一次方程的解为：， 解得：， 故答案为：． 5.（25-26七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． （1）若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　 ； （2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； （3）①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【解题过程】 （1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 6.小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程的拓展，设被污染的正整数为，则有，解方程得到，根据方程的解为正整数得到是正整数，且为正整数，可得或或，进一步解答即可得到答案． 【解题过程】 解：设被污染的正整数为，则有， ∴， 解得， ∵这个方程的解是正整数， ∴是正整数，且为正整数， ∴或或， ∴当或时，不是正整数， 时，，符合题意， ∴被污染的正整数是2． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的解，根据题意把代入方程，得出，根据等式的性质求出方程的解是，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【解题过程】 解：∵小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解， ∴把代入方程，得， ， ， ， ， 方程为， ， ， ， ， ， 即，方程的解是． 8．（25-26七年级上·全国·单元测试）小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，请求出这个被墨水污染的数字 【思路点拨】 本题重点考查了一元一次方程的解法以及方程的解的意义，本题的关键是掌握一元一次方程的基本解法．知道方程的解，根据方程的解的意义，把方程的解代入到原方程中，从而得到一个新的方程，再求解即可． 【解题过程】 解：是方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）若方程与关于x方程的有相同的解，求a的值 【思路点拨】 本题考查解一元一次程，以及根据一元一次方程的解求参数，先根据求出x的值，再将x的值代入中，求出a的值，能够熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键． 【解题过程】 解：， 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并得： 解得：， 将代入得：， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： （1）用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ （2）用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能结合月历的特点是解题的关键． （1）①根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可；根据月历的特点，可以找到框25，26，27，28时，和最大；②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，，，那么这4个数的和为，然后解方程求出的值，进而求出其他三个数； （2）设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知，分别等于222和246，分别解得答案，然后结合月历，看是否符合月历的特点． 【解题过程】 （1）解：①若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为 从月历上看，可知当框起来的数是25，26，27，28时，和最大，最大值为106． ②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为，由题意可知 解得 那么这4个数分别为15，16，17，18． （2）解：设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知 解得： 从月历看，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27； ∴能等于222，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27；最小的数字是10， 不能等于246，理由如下： 当 解得： 从月历看，最小的数字是12，一行只有三个数，不符合要求． 11．（2026·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【思路点拨】 本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 【解题过程】 解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 12.一轮船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少．已知船在静水中的速度为，水流速度为，则甲、乙两地之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据题意正确列式．设甲、乙两地之间的距离为，根据题意列式，即可求解， 【详解】解：设甲、乙两地之间的距离为，根据题意，得， 解得， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·重庆渝北·自主招生）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 （1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ （2）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）根据利润率等于利润除以进价，直接算出乙的售价；设第一天购买乙种商品件，设第二天购买甲种商品件，然后分别列方程求得、，最后求和即可． 【解题过程】 （1）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：， 则． 答：购进甲商品40件，乙商品20件． （2）解：设第一天购买乙种商品件， 依题意得，或， 解得或（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 元， 每件乙种商品售价为80元． 设第二天购买甲种商品件， 依题意得，或， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， 件或件． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件． 14．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． （1）双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ （2）若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． （3）若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； （2）设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； （3）设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【解题过程】 （1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得： ， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 15．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． （1）若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； （2）若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； （3）若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）该户居民8月份用水8吨，应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，计算即得答案；若该户居民9月份应交水费26元，判断应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （2）先判断该用户10月份用水量超过10吨，再设未知数列方程并求解，即得答案； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨，分和两种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【解题过程】 （1）， 所以该用户8月应交水费20元； 设该用户9月用水量为x吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户9月用水量为吨； 故答案为：20；． （2）设该用户10月用水量为y吨， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户10月用水量为吨； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）， 答：11月份应交水费16元，12月份应交水费36元． 16．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【思路点拨】 根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解题过程】 解：甲厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 乙厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套． 根据题意可得方程： ， ， ， ； （套）， （套）， 答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元一次方程 知识点1：一元一次方程的概念 1.一元一次方程的定义：方程，，，这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程. 这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1. 2.一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）. 3.一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程. 知识点2：解一元一次方程 1.利用等式的性质解简单的一元一次方程步骤如下： （1）利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使方程逐步转化为一边只含有未知数的项，另一边只有常数项的形式； （2）利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解. （3）可将方程的解代入原方程进行检验，可判断解出来的值是否正确. 2.解一元一次方程 （1）解一元一次方程的基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为. （2）解一元一次方程的步骤如下： 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 PS：解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 知识点3：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 特别说明： （1） “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2） “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3） “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4） “解”就是解方程，求出未知数的值； （5） “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6） “答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 知识点4：常见列方程解应用题的几种类型 【类型1】和、差、倍、分问题 此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。 【类型2】等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。 “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为:①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积。 【类型3】调配问题, 从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化, 常见题型有: ①既有调入又有调出: ②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变; ③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。 【类型4】行程问题 要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。 相遇问题: 相向而行：等量关系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题 同向而行：等量关系：甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 【类型5】工程问题 基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间; 合做的效率=各单独做的效率的和。 当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。 【类型6】利润问题 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 【类型7】存贷款问题 （1）利息=本金×利率×期数 （2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率× 【类型8】数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a 【类型9】方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 题型1：错解问题 1．（25-26七年级下·广东珠海·开学考试）小明在解方程时，把方程右边的“”看成了“”，解得，则a的值是（    ） A． B． C．1 D．3 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·福建莆田·阶段练习）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的： ……………… …① …………………… …② …………………… …③ ………………………………… ④ ………………………………… ⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在_________（填编号）； 然后，你自己细心地订正，书写正确的解题过程： 4．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 题型2：遮挡问题 1．（25-26七年级上·山东济南·期末）小明同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉他方程的解是，请问这个被污染的常数■是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级下·四川内江·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北承德·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数被污染了； （1）嘉淇猜是，请解一元一次方程； （2）老师告诉嘉淇这个方程的解为，求被污染的常数． 4．（25-26七年级上·河北唐山·期末）小亮在解关于的一元一次方程时，发现正整数□被污染了； （1）小亮猜□是5，请解这个一元一次方程； （2）若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 题型3：同解方程 1．（25-26七年级下·山西晋城·期中）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（25-26七年级上·重庆九龙坡·期末）已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 3．（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的方程的解与的解互为相反数， ． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程． （1）若该方程与方程同解，试求的值； （2）当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？ 题型4：定解方程 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知m，n为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 ． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）若为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则 ， ． 3．（2026七年级·全国·竞赛）已知关于的方程（为定值），无论为何值，方程的解都是8，则 ． 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则 题型5：整数解问题 1．（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）已知关于的方程的解是负整数，那么整数的所有取值之和为（    ） A．8 B．0 C． D． 2．（25-26七年级上·重庆渝中·期末）若关于的方程有整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·重庆忠县·期中）若整数a使关于x的一元一次方程有正整数解，则符合条件的所有整数a之和为（    ） A． B．3 C．0 D． 4．（25-26七年级上·广东广州·期中）若关于的方程的解是整数，则整数的值有（　　） A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 5．（25-26七年级下·重庆南岸·开学考试）已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 题型6：换元法 1．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的方程的解 ． 题型7：新定义问题 1．（2026·广西钦州·三模）设，为有理数，定义新运算： ．例如： ，若 ，则的值为 ． 2．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较大的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ． 3.（25-26七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． （1）若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 4.我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　． ①；②；③． （2）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； （3）若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． （1）请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； （2）已知方程是巧合方程，请求出b的值； （3）若和都是巧合方程，请求出的值． 题型8：日历问题 1.（25-26七年级上·安徽安庆·期中）小明在某月的日历上圈出三个数，并求出它们的和是，则这三个数在日历中的位置不可能的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江西南昌·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 3．（2026七年级上·江苏·专题练习）若干个偶数按每行8个数排成图： （1）图中方框中的9个数的和与中间的数有什么关系？ （2）小亮所画的方框内9个数的和为360，求方框右下角的那个数？写出你的计算步骤． 4．（25-26七年级上·北京·期中）下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： （1）小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ （2）“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 题型9：和差倍分问题 1.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）父亲和女儿现在的年龄和是40，当父亲的年龄是女儿现在年龄的3倍的时候，女儿的年龄是父亲现在年龄的 ，女儿现在的年龄 岁． 2.（25-26七年级下·河南周口·期末）有甲、乙两个粮仓，已知乙仓原有粮食35 吨．如果从甲仓取出 15 吨粮食放入乙仓，这时乙仓的存粮是甲仓的 ，则甲仓原有粮食多少吨？ 3.甲、乙、丙三个同学做数学题．已知甲比乙多做了6道，丙做的是甲的2倍，比乙多做了22道，则他们一共做了 道数学题． 题型10：古代问题 1．（2026·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 3．（2026七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 4．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 题型11：行程问题 1.小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后两人相遇．相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚回到A地． (1)两人的行进速度分别是多少？ (2)相遇后经过多少时间小强到达A地？ 2.甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 3.某公路隧道长1500米．一辆大巴车匀速从隧道通过，测得大巴车从开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151秒，整辆大巴车完全在隧道里的时间为149秒，大巴车的车身长度和行驶速度分别是（    ） A．8米、5米/秒 B．10米、10米/秒 C．10米、15米/秒 D．12米、20米/秒 4.一架飞机从A城市飞B城市顺风行驶，用了小时；从B城市返回A城市逆风飞行，用了3小时．已知风的速度是24千米/时，求飞机在无风航行时的平均速度． 5.一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 题型12：利润问题 1.（2026七年级上·全国·专题练习）张阿姨到商场以940元购买了一件羽绒服和一条裙子．已知羽绒服打八折，裙子打六折，结果比按标价购买时共节省了360元，求张阿姨购买的羽绒服及裙子的标价． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一家书店推出一项优惠政策，凡购买同一种书100本以上，就按书价的收款．某校到书店购买甲､乙两种书，购得乙种书的册数是甲种书的，甲种书的总价比乙种书的总价高720元．已知乙种书每本15元，甲种书每本20元．学校购得甲种书多少本？ 3．（25-26七年级上·广东湛江·期末）某服装商店因换季准备将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元．求： （1）每件服装的标价是多少？ （2）为保证不亏本，最多能打几折？ 题型13：方案选择问题 1．（25-26七年级上·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． （1）该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ （2）请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 2．（25-26七年级下·吉林·开学考试）甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为元/时，其它主要参考数据如下： 运输工具 途中平均速度（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费（元） 火车 汽车 （1）如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费和装卸费） （2）如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． （1）若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； （2）若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； （3）一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 4．（25-26七年级上·山西晋城·阶段练习）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． （1）若，请计算哪种方案划算； （2）若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； （3）请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 题型14：分段计费问题 1.（25-26七年级上·重庆铜梁·期末）某市居民年用天然气阶梯价格方案如下： 第一档 第二档 第三档 年用天然气量为及以下，价格为2元/． 年用天然气量超出不足时，超出的部分价格为元/． 年用天然气量超出的部分价格为3元/． 依此方案请回答： （1）若小明家2023年使用天然气则需缴纳天然气费为______元； （2）某户2022年和2023年共用天然气，两年共缴纳天然气费用1780元，且2023年用气量比2022年多，求该户2022年和2023年的天然气用量各是多少． 2．（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． 3．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）为鼓励居民节约用电，某地试行分档收费，具体执行方案如表： 档次 每户每月用电数（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于等于200 0.55 第二档 大于200小于400 0.6 第三档 大于等于400 0.85 例如：一户居民七月份用了400度电，则需缴电费（元）． 请根据以上信息完成下列问题： （1）诺某居民四月份缴电费180元，则该用户四月份用了_____度电． （2）若某居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元，已知该用户六月份用电量大于五月份，问该户居民五、六月份各用电多少度？ 题型15：配套问题 1．（25-26七年级下·河南濮阳·开学考试）机械厂加工车间有32名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 2．（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？ 3．（25-26六年级下·上海青浦·期末）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 4．（25-26七年级下·吉林松原·开学考试）在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． （1）七（2）班有男生、女生各多少人？ （2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 温故知新 1.（25-26七年级上·江西吉安·阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解及a的值都为负整数，则a的值为 ． 2.（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则 ． 3．（25-26七年级上·重庆渝北·期末）若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之积是 4．（2026上·福建福州·七年级校考期末）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是 ． 5.（25-26七年级下·四川内江·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． （1）若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　 ； （2）已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； （3）①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 6.小涵在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 8．（25-26七年级上·全国·单元测试）小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，请求出这个被墨水污染的数字 9．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）若方程与关于x方程的有相同的解，求a的值 10.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： （1）用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ （2）用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 11．（2026·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 12.一轮船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少．已知船在静水中的速度为，水流速度为，则甲、乙两地之间的距离为 ． 13．（25-26七年级下·重庆渝北·自主招生）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 （1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ （2）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 14．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． （1）双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ （2）若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． （3）若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 15．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． （1）若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； （2）若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； （3）若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 16．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $