专题09一元一次方程的概念及解法复习讲义 (核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题09一元一次方程的概念及解法复习讲义 1.理解方程、一元一次方程的定义，能识别一元一次方程，会判断一个数是不是方程的解。 2.掌握等式的两个基本性质，能利用等式性质进行等式变形，清楚变形中的易错点。 3.熟练掌握解一元一次方程的完整步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。 4.能规范书写解方程过程，会处理含括号、含分母的一元一次方程，规避去分母漏乘、去括号符号出错、移项忘记变号等常见错误。 5.会解含参数的一元一次方程，能根据方程解的情况求参数的值或取值范围。 6.养成检验习惯，能把求得的解代入原方程验证对错。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★ 题型五 等式的基本性质 ★ 题型六 判断是否是一元一次方程 ★ 题型七 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型八 合并同类项与移项 ★ 题型九 去括号 ★★ 题型十 去分母 ★★ 题型十一 绝对值方程 ★★★ 题型十二 利用平方根解方程 ★★★ 题型十三 已知一元一次方程的解，求参数 ★★ 题型十四 一元一次方程解的关系 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 方程同时满足两个条件：①有等号，是等式；②式子中含有未知数（字母）。 ✅示例：2x-5=1，3y=0 ❌示例：2a+)（无等号，代数式），4+6=10（无未知数） 知识点 2 列方程思路 1.设未知数：用字母表示题目中的未知量； 2.找等量关系：梳理题目不变的相等关系； 3.根据等量关系列出等式，得到方程。 知识点3等式的基本性质（解方程理论依据） 性质分类 文字表述 数学形式 作用 性质 1 等式两边同时加上或减去同一个数或式，等式仍然成立 若a=b，则ac=bc 移项、消去常数项 性质 2 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，等式仍然成立 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则 去分母、系数化为 1 ⚠️重要提醒：等式变形必须左右两边同时进行相同操作；不能同时除以 0。 知识点 4 一元一次方程定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程。 三大判定条件（缺一不可）： （1）仅含 1 个未知数； （2）未知数最高次数为 1； （3）分母不含未知数（整式方程）。 标准形式：ax+b=0（a≠0，a、b为常数） ✅示例：3x+6=0 ❌示例：x2+1=5（次数为 2）；=3（分母含未知数）；x+y=1（两个未知数） 知识点 5 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验方法：将数值代入方程左边、右边，分别计算，若左边 = 右边，则是方程的解。 知识点 6 含参数一元一次方程解的情况 方程整理为 ax+b=0 a≠0：方程有唯一解 x=-； a=0，b=0：等式恒成立，有无数个解； a=0，b≠0：等式不成立，方程无解。 知识点 7 解一元一次方程通用五步流程 步骤 操作 注意事项 1. 去分母 等式两边同乘所有分母最小公倍数 每一项都要乘，不含分母项不能漏乘；分子是多项式要添加括号 2. 去括号 运用乘法分配律 括号前是负号，括号内每一项全部变号；不要漏乘括号内项 3. 移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项必须变号；不移的项不变号 4. 合并同类项 化为最简形式 ax=b（a≠0） 正确合并系数，留意符号 5. 系数化为 1 两边同时除以未知数系数a 分清被除数与除数，不要颠倒分子分母 知识点 8 解方程标准书写格式示例 解方程：=x 解：去分母，得 x-1-2=2x 移项，得 x-2x=1+2 合并同类项，得 -x=3 系数化为 1，得 x=-3 知识点9高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 方程识别 把代数式当成方程；把不含未知数等式当作方程 方程必须同时具备：等号 + 未知数 等式性质运用 等式一边加、另一边不加；除以 0；去分母漏乘常数项 两边同步变形；禁止除以 0；所有项同乘最小公倍数 一元一次方程判定 忽略 “整式方程”；忽略a≠0条件 分母不能含未知数；未知数次数为 1 且只一个未知数 移项运算 移项忘记变号；在同一边交换位置乱变号 跨越等号移动才变号；同侧交换位置不变号 去括号、去分母 负括号只改变第一项符号；分子多项式不加括号 负号去括号所有项变号；分子多项式整体加括号 系数化为 1 分子分母颠倒；符号处理错误 ax=b，x=，分清分子分母 题型一 判断各式是否是方程 1．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫方程，据此进行判断即可． 【详解】解：中不含未知数，则A不符合题意， 不是等式，则B不符合题意， 不是等式，则C不符合题意， 符合方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 2．下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 3．下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 题型二 列方程 4．小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． 5．创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．设箱子共有个，则可以列方程为________．（不用化简） 【答案】 【分析】根据工具总数不变，分别用含的式子表示两种放置方法的总工具数，建立等量关系即可列出方程． 【详解】解：第一种放置方法中，每个箱子放把，剩余把，总工具数可表示为， 第二种放置方法中，空出一个箱子，实际放置工具的箱子数量为，每个箱子放把，总工具数可表示为， ∵工具总数不变， ∴可列方程为． 6．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 题型三 判断是否是方程的解 7．下列方程的解是的方程是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入每个方程，验证左右两边是否相等，从而判断是否为方程的解，据此逐项判断即可． 【详解】解：将代入各方程： A．左边，右边，即左边右边，故成立，符合题意； B．左边，右边，即左边右边，故不成立，不符合题意； C．左边 ，右边 ， 左边 ≠ 右边，不成立，不符合题意； D．左边，右边，即左边右边，故不成立，不符合题意． 故选A． 8．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入各选项方程，验证等式是否成立。 【详解】A：代入，左边，右边，等式不成立。 B：代入，左边，右边，等式不成立。 C：代入，左边=，右边，等式成立。 D：代入，左边=，右边，，等式不成立。 综上，只有选项C的解为。 故选：C 9．整式（为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（   ） 0 1 2 8 4 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解． 方程的解即求使整式值为8的x，由表格数据直接对应可得． 【详解】解：由表格知，当时，， 则方程的解为． 故选：D． 题型四 已知方程的解，求参数 10．已知是关于的方程的解，则的值为（     ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用方程的解的定义，将已知解代入原方程，即可计算得到参数a的值． 【详解】解：∵是关于y的方程的解， ∴将代入方程得：， 移项计算得：， ∴a的值为4． 11．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】 17 【分析】将已知解代入原方程，整理为关于的等式，根据等式对任意恒成立，得到关于和的关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 12．若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为__________． 【技巧归纳】 方程有整数解，需a整除b．若含参数，将解表示为，再根据整除性求参数值．注意参数需使．常利用因数分解，列出a的因数．如有整数解，则为6的因数，可求m．检验解的正负． 【答案】，0和1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于x的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴4要为的倍数， 或0或1． 故答案为：，0和1． 题型五 等式的基本性质 13．填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 14．下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：①如果，那么当时，，故①不正确； ②如果，那么，故②正确； ③如果那么，故③正确； ④如果，那么，故④正确． 故答案为：②③④． 15．下列运用等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，同时注意等式两边同时乘或除以同一个不为零的数，等式仍成立． 【详解】解：由等式的性质：等式两边同时加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，等式仍成立， 选项A：与分别加c和减c，不符合等式的性质1，故该选项不符合题意； 选项B：由，得，即，故该选项不符合题意； 选项C：当时，恒成立，但与不一定相等，故该选项不符合题意； 选项D：由，等式两边同时除以，等式成立，故该选项符合题意； 故选D． 题型六 判断是否是一元一次方程 16．下列方程为一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义（只含一个未知数、未知数的次数为1、等号两边均为整式的方程），对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：含有两个未知数x和y，不符合“只含一个未知数”的条件，不是一元一次方程． B选项：整理得，满足一元一次方程的三个条件，是一元一次方程，故本选项符合题意． C选项：不是等式，不符合方程的定义，不是一元一次方程． D选项：未知数y的最高次数是2，不符合“未知数的最高次数为1”的条件，不是一元一次方程． 故选B． 17．已知关于的方程是一元一次方程，则（  ） A．1或 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】一元一次方程需同时满足三个核心条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为1；③一次项系数不为0．根据这三个条件列出关于的等式和不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且． 由，得或； 由，得； ∴． 18．下列说法： ①若，且，则是方程的解； ②若，且，则是方程的解； ③若是一元一次方程，则． 其中正确的结论是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查方程的解和一元一次方程的定义．对于①和②，通过代入验证解的正确性；对于③，根据一元一次方程的条件（未知数指数为1且系数不为0）求解，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴ 则代入方程，得 ∴ ∵， ∴， 解得； 故①是符合题意； ∵，且， ∴ 则代入方程，得 ∴ ∵， ∴， 解得； 故②是符合题意； ∵是一元一次方程， ∴， 则， 解得， 故③是符合题意； 故选：D． 题型七 判断是否是一元一次方程解 19．是下列哪个方程的解（      ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 把分别代入方程，逐项判断即可． 【详解】解：A.当 时，，故该选项符合题意； B. 当 时，，故该选项不符合题意； C. 当 时，，故该选项不符合题意； D. 当 时，，故该选项不符合题意； 故选：A ． 20．若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出，代入代数式计算即可． 【详解】解：是一元一次方程 的解 ， ， 故选：A ． 21．关于的方程，下列说法正确的是（      ） A．若，则方程的解为 B．方程的解为 C．当时，则 D．当时，方程的解为任意数 【答案】D 【分析】本题考查含字母系数的一元一次方程解的分类讨论，需分和两种情况讨论方程的解，再逐一判断选项正误． 【详解】若，分两种情况： ① 时，方程解为； ② 时，方程解为任意实数，并非． 因此该说法不恒成立，A选项错误． 成立的前提是；若，则无意义，方程无解或无数解，不能直接表示为． 因此该说法不严谨，B选项错误． 由，可得； 在时，即，与结论矛盾． 因此C选项错误． 当时，原方程变为，无论取任意实数，等式恒成立，方程的解为任意数． 因此D选项正确． 题型八 合并同类项与移项 22．若与的和为0，则的值为（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先根据两式和为0的等量关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵与的和为0， ∴， ∴，解得． 23．已知，且，则__________，__________． 【答案】 【分析】根据题意可得，将其代入中，即可求得，进而求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 24．已知，则______．已知，c的值是______．已知，，那么______．已知，如果，那么______，______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 则c的值是． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，． 题型九 去括号 25．解方程，第一步去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解： 去括号得， 故选：B． 26．已知关于的方程与关于的方程的解互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，相反数，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 分别解两个一元一次方程，再根据相反数的性质得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴， 解得：， 故答案为：． 27．小明在解方程时，去括号后忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么该方程正确的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了去括号解一元一次方程，将错就错去括号后把代入求出的值，再把的值代入后解原方程即可． 【详解】解：去括号时，忘记将括号中的第二项变号， 得到的方程为： 将代入 得： 所以,， 所以原方程为 解得 即该方程正确的解为 故答案为：． 题型十 去分母 28．已知，则方程的解为______． 【答案】8 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，代到方程中求出的值． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 当，时，方程为， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查非负数的性质和解方程的综合运用，根据非负数的性质求出、的值，然后解出方程的解． 29．已知关于的方程的解是整数，且也是非负整数，则的值为___________． 【答案】0或1或3 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．通过求解方程得到的表达式，根据为整数且为非负整数，确定的可能值． 【详解】解：解方程， 两边同乘6得， 移项整理得， 所以； ∵关于的方程的解是整数，且也是非负整数， ∴必须是5的约数， 即， 解得，1，3，， ∵为非负整数， 故不合题意， 故答案为：0或1或3． 30．已知关于的方程的解是正整数，且是正整数，则满足条件的值为___________． 【答案】1或3 【分析】本题考查一元一次方程的解，正整数的性质，掌握好一元一次方程的解法是解题关键． 先解方程得到 ，然后根据 是正整数且 是正整数，得出 必须是 5 的正因数，从而求出 的值． 【详解】解：， 两边同乘 4 得：， 展开得：， 整理得：， ∴ ． ∵ 是正整数且 是正整数， ∴ 必须是 5 的正因数． 又∵5 的正因数有 1 和 5． 当 时，，此时 ； 当 时，，此时 ． ∴满足条件的 值为 1 或 3． 故答案为：1或3． 题型十一 绝对值方程 31．若为整数，且满足，则的值为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵为整数，且满足， ∴或， ∴或， ∴的值为或． 故答案为：或． 32．已知实数满足，则的最大值是__________． 【答案】19 【分析】本题考查绝对值的性质，先由得到的两个取值，再结合分类求出对应的，再计算，比较得到最大值． 【详解】解： 或 或， 即或 分情况计算： 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 比较所有结果，可得的最大值是． 33．能使式子成立的数是（    ） A．任意一个负数 B．任意一个正数 C．任意一个数 D．任意一个非正数 【答案】D 【分析】分当时，当时，当时，三种情况去绝对值，看方程是否有解即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴，等式恒成立，符合题意； 综上所述，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 34．满足的x的值是（    ）． A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先将范围分类，再去绝对值进行运算，最后核对选项即可． 【详解】时，，，舍去； 时， 得， ∴或， 得，满足，可取； 时，，舍去； 综上所述， 故选C． 【点睛】本题考查复杂的含有绝对值的一次方程，遇到绝对值须先判断绝对值内式子正负，在不确定范围的情况下，按照绝对值为0进行未知数范围的分类讨论是常见的办法．对未知数进行范围分类而去除绝对值是解题的关键． 题型十二 利用平方根解方程 35．已知，则的值为（    ） A．4 B．9 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的含义，先两边同除以一个数，然后求平方根即可，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵， 两边同时除以3得：， 解得：， 故选：D． 36．如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米， 依题意得：， 即 ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴需要延长边长4米． 故选：C 37．如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 题型十三 已知一元一次方程的解，求参数 38．若关于的方程有无数个解，则、满足的条件是________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．根据一元一次方程有无数解的条件，方程左边系数和右边常数项需同时为零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵方程有无数个解， 则需满足且， 解得， 故答案为． 39．关于的方程，，为定值，无论为何值时，它的解总是，那么的值是_____． 【答案】3 【分析】本题考查一元一次方程的解及其解法，将代入方程，化简后得到关于的方程，根据方程对任意成立的条件，令的系数和常数项均为零，解出和，再计算 【详解】解：将代入方程，得， 两边同乘6得， 即， 移项整理得， 由于方程对任意成立， 故， 解得， 因此，． 故答案为：3． 40．已知关于的方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，解方程得到，由方程的解为正整数，可知是5的正因数，从而求出整数的值，再求和即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵关于的方程的解为正整数， ∴是正整数， 又∵k为整数， ∴是5的正因数，即或， 解得或， ∴ 所有整数的和为， 故选：C． 题型十四 一元一次方程解的关系 41．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A．2 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程、相反数的定义，先求解第二个方程，再根据相反数的定义得到第一个方程的解，代入第一个方程即可求出a的值． 【详解】解：， 移项得， 解得，， ∵两个方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入， 得， 即， ∴， 故选：C． 42．已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解． 先把关于y的一元一次方程写成与方程相同的结构形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：． 故答案为：． 43．关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程适当变形是解答本题的关键．方程可变形为：，再根据两个方程的特点得出，据此求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程的解为， 解得：． 故选：D． 解答题 44．求下列各式中x的值： (1)； (2)； 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得或 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 45．已知有理数和满足． (1)求和的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)6或 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出x，y的值； （2）代入x，y的值后，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】（1）解：因为，且， 所以， 所以，； （2）解：因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以或， 即z的值为6或． 46．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是：．例如：． (1)按照这个规定，请你计算的值； (2)化简：； (3)按照这个规定，当时，求的值． 【答案】(1) 的值为 (2) 化简结果为 (3) 的值为 【分析】（1）依据题干给出的行列式运算规则，将行列式转化为有理数混合运算计算即可； （2）依据行列式运算规则，将行列式转化为整式运算化简即可； （3）依据行列式运算规则，将等式转化为一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由题意得： ． 47．已知关于的方程． (1)若，该方程的解为________； (2)若该方程的解与方程的解相同，则的值为________； (3)若该方程的解与方程的解互为相反数，则的值为________； (4)若该方程有正整数解，则整数的最小值为________． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （3）先求出方程的解，再根据相反数的定义，得到的解为，代入求出m的值即可． （4）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正整数倍，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴的解为， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：解，得 ， ∵的解与方程的解互为相反数， ∴的解为， 即， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 48．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m与n的值 ． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的新定义，熟练掌握定义，灵活解方程是解题的关键． （1）根据定义计算判定即可； （2）根据定义解答即可； （3）根据定义，解答即可． 【详解】（1）解：①由，得，又，， 符合新定义， 故①是“友好方程”； ②由，得，又，， 不符合新定义， 故②不是“友好方程”， 故答案为：①． （2）解：由，得， 由关于x的一元一次方程是“友好方程”， 故， 解得． （3）解：一元一次方程的解为， 由一元一次方程的解为， 故， 由， 得， 解得， 故关于x的一元一次方程变形为， 由关于x的一元一次方程是“友好方程”， 故， 解得， 故m与n的值分别为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题09一元一次方程的概念及解法复习讲义 ☆ 复习目标 1.理解方程、一元一次方程的定义，能识别一元一次方程，会判断一个数是不是方 程的解。 2,掌握等式的两个基本性质，能利用等式性质进行等式变形，清楚变形中的易错 点。 3.熟练掌握解一元一次方程的完整步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系 数化为1。 4.能规范书写解方程过程，会处理含括号、含分母的一元一次方程，规避去分母漏 乘、去括号符号出错、移项忘记变号等常见错误。 5.会解含参数的一元一次方程，能根据方程解的情况求参数的值或取值范围。 6养成检验习惯，能把求得的解代入原方程验证对错。 ☆ 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 题型二 列方程 题型三 判断是否是方程的解 题型四 已知方程的解，求参数 题型五 等式的基本性质 题型六 判断是否是一元一次方程 题型七 判断是否是一元一次方程解 题型八 合并同类项与移项 ★★ 题型九 去括号 试卷第1页（共3页） ★★ 题型十 去分母 ★★★ 题型十一 绝对值方程 ★★★ 题型十二 利用平方根解方程 题型十三 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十四 一元一次方程解的关系 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 ■中意■■意原■■原 知识点1方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 方程同时满足两个条件：①有等号，是等式；②式子中含有未知数（字 母)。 ☑示例：2x-5=1,3y=0 X示例：2a+)(无等号，代数式)，4+6=10（无未知数） 知识点2列方程思路 1设未知数：用字母表示题目中的未知量 试卷第2页（共3页） 2找等量关系：梳理题目不变的相等关系； 3.根据等量关系列出等式，得到方程。 知识点3等式的基本性质（解方程理论依据） 性质 文字表述 分类 数学形式 作用 等式两边同时加上或减 性质 1 去同一个数或式，等式 若a=b,则atc=h+c 移项、消去常数项 仍然成立 等式两边同时乘同一个 性质 若a=b,则ac=hc;若 数，或除以同一个不为 去分母、系数化为 2 a_b 2 0的数，等式仍然成立 c0,则2c △重要提醒：等式变形必须左右两边同时进行相同操作：不能同时除以0。 知识点4一元一次方程定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方 程。 三大判定条件（缺一不可） (1)仅含1个未知数； (2)未知数最高次数为1； (3)分母不含未知数（整式方程）。 标准形式：ax+h=0(a≠0，a、b为常数) ☑示例：3x+6=0 试卷第3页（共3页） X示例：2+1-5（次数为2）：3（分母含未知数）：x+y1(俩 个未知数) 知识点5方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验方法：将数值代入方程左边、右边，分别计算，若左边=右边，则 是方程的解。 知识点6含参数一元一次方程解的情况 方程整理为ax+b=0 a≠0：方程有唯一解x= a a=0,b=0:等式恒成立，有无数个解： a=0,b≠0：等式不成立，方程无解。 知识点7解一元一次方程通用五步流程 步骤 操作 注意事项 等式两边同乘所有分母最小每一项都要乘，不含分母项不能漏乘；分 1.去分母 公倍数 子是多项式要添加括号 括号前是负号，括号内每一项全部变号： 2.去括号运用乘法分配律 不要漏乘括号内项 试卷第4页（共3页） 步骤 操作 注意事项 把含未知数项移到左边，常 3.移项 移项必须变号；不移的项不变号 数项移到右边 4.合并同化为最简形式ax=b 正确合并系数，留意符号 类项 (a≠0) 5.系数化 两边同时除以未知数系数a分清被除数与除数，不要颠倒分子分母 为1 知识点8解方程标准书写格式示例 解方程：x 解：去分母，得x-1-2=2x 移项，得X-2x=1+2 合并同类项，得x=3 系数化为1，得x=-3 知识点9高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 把代数式当成方程；把不含 方程识别 方程必须同时具备：等号+未知数 未知数等式当作方程 试卷第5页（共3页） 易错知识点 错误典型表现 正确标准 等式性质运 等式一边加、另一边不加： 两边同步变形；禁止除以0；所有项 用 除以0；去分母漏乘常数项 同乘最小公倍数 一元一次方 忽略 “整式方程”；忽略 分母不能含未知数；未知数次数为1 程判定 a≠0条件 且只一个未知数 移项忘记变号；在同一边交 跨越等号移动才变号；同侧交换位置 移项运算 换位置乱变号 不变号 去括号、去 负括号只改变第一项符号： 负号去括号所有项变号；分子多项式 分母 分子多项式不加括号 整体加括号 分子分母颠倒：符号处理错 系数化为1 ax动，x名 b 分清分子分母 误 ☆ 题型精析 题型一判断各式是否是方程 1.下列各式中，属于方程的是() A.6+(-2)=4 B.x-2 C.7x>5D.2x-1=5 2.下面不是方程的是() A.x=a+6 B.5x+0.6>9 C.1.2×4=6x D.2x=0 3.下面()符合等式与方程之间的关系. 试卷第6页（共3页） A 等式 方程 B 等式方程 方程（等式 D 等式 方程 题型二列方程 4.小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程 正确的是() A.x-3=35 B.35-x=3 C.x+3=35-3D.35+3=x-3 5.创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那 么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子，设箱子共 有x个，则可以列方程为 (不用化简) 6,《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱， 多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为x,则下列方程正确的是( ) A.8x+3=7x-4 B.8x-3=7x+4 c. 8(x-3)=7(x+4) D.8x+4=7x-3 题型三判断是否是方程的解 7.下列方程的解是x=-3的方程是（) A.2x+7=1 B.-3x+9=0 C.3x+4=5 D.5(x-1)=-4x+8 8.下列方程中，解为x=1的是() A.2x=x+3 B.1-2x=1 x+1_x-1=2 c.1D. 9.整式mx-2n(m,n为常数)的值随x的取值的不同而不同，下表是当x取不同值时对应 的整式的值，则关于x的方程mx-2n=8的解为() -2 mx-2n 8 0 8 A.x=2 B.x=-1 C.x=0 D.x=-2 试卷第7页（共3页） 题型四已知方程的解，求参数 10.已知y=2是关于y的方程y+a=6的解，则a的值为() A.8 B.4 C.3 D.2 11.已知关于x的方程4kx+2a=12+x-bk(a,b为常数)，无论k为何值，它的解总是 x=1,则2a-b的值是 12.若关于x的方程ax+3=2x-1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值为 【技巧归纳】 b 方程a=b有整数解，需a整除b.若含参数，将解表示为x=a,再根据整除性求参数 值.注意参数需使a≠0.常利用因数分解，列出a的因数.如m-2)x=6 有整数解，则 m-2为6的因数，可求m.检验解的正负. 题型五等式的基本性质 13.填空，使所得结果仍是等式： (1)如果x-2=5,那么x=5+ (2)如果3x=10-2x,那么3x+ =10: (3)如果2x=7,那么x= ④知果分3，那么x-1e 11 14.下列变形：①如果a2=3a’那么a=3:②如果。=。，那么a=b:③如果。6那么 a=b:④如果a=b那么c2+1=c2+1·其中正确的是 (填序号) 15.下列运用等式的性质变形中，正确的是() A.如果a=b,那么a+c=b-c 2a=3b B.如果3a=2b,那么 21 a b C.ac2=bc2,那么a=b D.如果a=b:那么c2+1c2+1 试卷第8页（共3页） 题型六判断是否是一元一次方程 16.下列方程为一元一次方程的是（) A.x+y=1 B.2x+3=3x+2 c.3x+1D.y-1=0 17.己知关于*的方程(a-)x4-1=0 一元一次方程，则a=() A.1或-1 B.1 c.-1 D.0 18.下列说法： ①若a+b=0,且ab≠0，则x=1是方程ax+b=0的解： ②若a-b=0,且ab≠0，则x=-1是方程ax+b=0的解： ③若a-3)+h= 是一元一次方程，则a=1」 其中正确的结论是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 题型七判断是否是一元一次方程解 19.x=2是下列哪个方程的解() A.2x-1=3 B.3-x=7+x 2(3x-）=4rD. 3(x-1)=2(x+1) 20.若x=1是一元一次方程+2b=1的解，则5-2a-4b的值为() A.3 B.-3 C.4 D.-4 21.关于x的方程r=b,下列说法正确的是() A.若a=b,则方程的解为x=1 b B.方程的解为x= a b>0时，则x>0 C.当 D.当a=b=0时，方程的解为任意数 题型八合并同类项与移项 试卷第9页（共3页） 22.若7a-5与3-5a的和为0，则a的值为() A.0 B.1 C.-1 D.2 23.已知a÷b=5,且a+b=9.6,则a=」 ,b= 24.己知3a+b+3=8,则6a+2b-3=一.己知a-b+c=35,a-b=27,c的值是 已知Ox0=25.(O+O)xa=40 (△+a+A)XO= ,那么 己知3m+n=90,如 果n÷m=3,那么m= ,n= 题型九去括号 25.解方程2(x-3)=5x 第一步去括号正确的是() A.2x-3=5x B.2x-6=5x C.2x+6=5xD.2x+3=5x 26,已知关于*的方程2(x-3)=x+ 与关于》的方程 3(k+y)-1=2y 的解互为相反数， 则k的值为 x-(x-2a）=4 27.小明在解方程 时，去括号后忘记将括号中的第二项变号，求得方程的 解为x=-2,那么该方程正确的解为 题型十去分母 28.已知(a-2)2+b+6=0,则方程3 -0+h+=3的解为x=一 2 -1=x-1 29.已知关于x的方程3 =6的解是整数，且k也是非负整数，则k的值为 己知关于的方程24-的解是正整数，且人是正整数，则满足条件的人值 题型十一绝对值方程 31.若x为整数，且满足 2<x≤4 则x的值为 试卷第10页（共3页） 32.已知实数y满足=5-9，则x+ 的最大值是 -2022+x=-2022+x 33.能使式子 成立的数是() A.任意一个负数B.任意一个正数 C.任意一个数 D.任意一 个非正数 34.满足k--k-1+= 的x的值是()· A.0 B.±4 题型十二利用平方根解方程 35.已知3x2=12,则x的值为() A.4 B.9 C.2 D.2 36.如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形ABCD内种植玉米，为了增加产量，小 英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长 BC需要延长() B A.3米 B.3.5米 C.4米 D.4.5米 37.如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成 一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形.若图2中大正方形的 面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为 B A B 图1 图2 图3 试卷第11页（共3页） 题型十三已知一元一次方程的解，求参数 38.若关于x的方程a+2)x=b- 有无数个解，则、b满足的条件是 2c+a-1+x+b 39.关于x的方程3 6，a,b为定值，无论k为何值时，它的解总是x=1, 那么2a-b的值是 x-1x-3 40.己知关于x的方程3一6=1的解为正整数，则符合条件的所有整数k的和为 () A.2 B.3 C.4 D.5 题型十四一元一次方程解的关系 41.已知关于x的方程2x+a=1-x与方程2x-3=1的解互为相反数，则a的值为() A.2 B.-5 C.7 D.-7 42.已知关于x的一元一次方程2026 a=2026x的解是x=5,关于y的一元一次方程 y+ 2026 -2026y=a+4052的解是 1 43.关于x的一元一次方程2024x+6=2x+b的解为x=-3,则关于y的一元一次方程 2024+5+6=2y+b+I0的解为() A.-3 B.-5 C.-7 D.-8 解答题 44.求下列各式中x的值： 0)r-49=0 (2)2(x-3/+1=51 45.已知有理数*和》满足k-2+少+3到=0 试卷第12页（共3页) (1)求x和y的值： x+y+2=5 (2)若 求2的值. a b a b 46.阅读材料：对于任何数，我们规定符号cd的意义是：cd =ad-bc 例如： 12 =1×4-2×3=-2 34 56 (1)按照这个规定，请你计算24的值： x-2 x (2)化简：4-1： 2x-1-2 (3)按照这个规定，当x+2 1 2 =5时，求的值。 47.已知关于x的方程2 3x-m_x+m=5 3 6· (1)若m=-1,该方程的解为。 @若该方得的解与方程号-3+ 4的解相同，则m的值为 (3)若该方程的解与方程 7x=-2(x+3) 的解互为相反数，则m的值为 (4)若该方程有正整数解，则整数m的最小值为 48.【定义】若关于x的一元一次方程a心=b的解满足x=b+a,则称该方程为“友好方 程”，例如：方程2x=4的解为x=-2,而-2=4+2，则方程2x=-4为“友好方 程”· 【运用】 4 1 (1)0-2x=3,②2x=-1,两个方程中为“友好方程”的是_（填写序号）： (2)若关于x的一元一次方程3x=b是“友好方程”，求b的值： 试卷第13页（共3页） -2x=mn+n(n≠0) (3)若关于x的一元一次方程 是“友好方程”，且它的解为X=n，求m 与n的值. 试卷第14页（共3页）