精品解析：河北邢台市信都区2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

八年级数学练习题 一．选择题（在四个选项中，只有一项是符合要求的．本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 在,，，，，，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　） A. B. C. D. 3. 在实数 ，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（   ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么这两个角相等 B. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同位角相等 5. 要使等式成立，其中a为任意非零常数，则“□”内的运算符号是（ ） A. + B. － C. D. 6. 已知介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 一个数按“四舍五入”法保留一位小数是3.0，这个数可能是（ ） A. 3.081 B. 3.051 C. 2.899 D. 2.952 10. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（ ） 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测．在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． A. 甲的方案可行，乙的方案不可行 B. 甲的方案不可行，乙的方案可行 C. 甲、乙的方案均可行 D. 甲、乙的方案均不可行 11. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 12. 已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，、相交于点M，、相交于点N，则下列六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分．其中，正确的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 的平方根是_______． 14. 已知线段、、，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是________． 15. 已知，则的值是________． 16. 如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．若点的运动速度与点的运动速度不相等，那么当点的运动速度为________时，能够使与全等？ 三．解答题（本题共8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知 （1）化简； （2）原代数式的值能等于吗？为什么？ 19. 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”数学老师仅从他们的影长相等就断定它们的身高相同．我们可以运用全等三角形的有关知识说明其中的道理（假定太阳光线是平行的）现对老师说法的正确性进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图，于点，于，，__________． 求证：__________． 20. 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” （1）求原正方形纸片的边长； （2）你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 21. 小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． （1）她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； （2）小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 22. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 23. 项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：年亚太经合组织非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵万元．若用万元单独采购A款，采购数量会与用万元单独采购B款的采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期天．若A、B两机器人合作天，余下工作由B机器人单独完成，可提前天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为千米；B款机器人每日巡逻路程为千米．街道办拟购买两种机器人共台，要求每日巡逻总路程不低于千米，且总费用不超过万元． （1）任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 （2）任务二：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A、B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 24. 【习题呈现】 （1）冀教版八年级上册页组习题，如图，在中，，，直线经过点，且于，于．猜想、、之间的数量关系，请说明理由． 【变式探究】 （2）如图，点、、分别在直线上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习题 一．选择题（在四个选项中，只有一项是符合要求的．本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 在,，，，，，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】考查了分式的定义，根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． 分母中含有字母，因此是分式． 故选C． 2. 无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，分式没有意义．故本选项不合题意； B．当时，分式没有意义．故本选项不合题意； C．当时，分式没有意义．故本选项不合题意； D．因为，所以，所以分式总有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 3. 在实数 ，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（   ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，注意常见无理数如π、开方开不尽的数及有规律但不循环的小数．根据无理数的定义（无限不循环小数），判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； （相邻两个6之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数。 ∴ 无理数有、、，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的识别，注意常见无理数如π、开方开不尽的数及有规律但不循环的小数． 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么这两个角相等 B. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题，逆命题，解题的关键是掌握以上定义． 先表述出原命题的逆命题，再根据理论知识进行判断真假即可． 【详解】解：A.该选项逆命题为：“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，该逆命题是假命题，不符合题意； B. 该选项逆命题为：“如果两个数的平方相等，那么这两个有理数相等”，该逆命题是假命题，不符合题意； C. 该选项逆命题为：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，不符合题意； D. 该选项逆命题为：“如果同位角相等，那么两直线平行”，该逆命题是真命题，符合题意； 故选：D． 5. 要使等式成立，其中a为任意非零常数，则“□”内的运算符号是（ ） A. + B. － C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式除法运算，能根据结果判断出是除法运算是解题的关键，根据分式除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 6. 已知介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的取值范围，解题的关键是掌握无理数取值范围的方法． 先求出的取值范围，再求的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴ 即， 故选：C． 7. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意可知，，， A、添加条件“”，利用“”可判定，不符合题意； B、添加条件“”，利用“”可判定，不符合题意； C、添加条件“”，利用“”可判定，不符合题意； D、添加条件“”，利用“”不可判定，符合题意． 8. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，根据分式的乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算错误，符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 故选：． 9. 一个数按“四舍五入”法保留一位小数是3.0，这个数可能是（ ） A. 3.081 B. 3.051 C. 2.899 D. 2.952 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查“四舍五入”，掌握知识点是解题的关键 根据“四舍五入”的定义，逐项分析判断即可 【详解】解：“五入”得到的3.0最小是2.95，因此这个数必须大于或等于2.95； “四舍”得到的3.0的数小于3.05，因此这个数小于3.05； ∴3.081，3.051，2.899不符合，2.952符合 故选D 10. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（ ） 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测．在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． A. 甲的方案可行，乙的方案不可行 B. 甲的方案不可行，乙的方案可行 C. 甲、乙的方案均可行 D. 甲、乙的方案均不可行 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质． 甲方案利用“”方法，证明，测出的长即为的距离；乙方案利用“”方法，证明，测出的长即为的距离． 【详解】解：甲方案：在和中， ， ， ； 乙方案：∵， ， 在和中， ， ， ， ∴甲、乙的方案均可行． 故选：C． 11. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据解为正数且分式分母不为0，列出不等式求解得到a的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 方程的解为正数， ，即， 解得， 又， ，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 12. 已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，、相交于点M，、相交于点N，则下列六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分．其中，正确的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和外角性质，平行线的判定及角平分线的判定．围绕等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质展开分析，逐个验证六个结论，选择出正确的结论即可． 【详解】解：①∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， 而， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， 而， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； ⑥如图，作于点H，于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故⑥正确， 综上所述，正确的结论有①②③⑤⑥，共5个， 故选：C． 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 14. 已知线段、、，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是________． 【答案】①③②④ 【解析】 【分析】先作射线，并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】略 15. 已知，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，（），再代入所求分式后约去公共参数，即可计算得到分式的值． 【详解】解：∵ ，且， ∴ 设，（）， 将，代入待求分式， 计算分子部分： ， 计算分母部分： ， ∴ 原式． 16. 如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．若点的运动速度与点的运动速度不相等，那么当点的运动速度为________时，能够使与全等？ 【答案】 【解析】 【分析】设运动时间为，根据题意推出，根据对应边相等求出，，即可得解． 【详解】解：设运动时间为，则， ， 在中，，，，点为的中点， ， 点的运动速度与点的运动速度不相等， ， 只能， ，， ， ， 点的运动速度为． 三．解答题（本题共8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算后再算加减即可； （2）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知 （1）化简； （2）原代数式的值能等于吗？为什么？ 【答案】（1） （2）不能， 理由：假设，则， 去分母后整理得，矛盾， 则方程无解， 故原代数式的值不能等于2． 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 19. 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”数学老师仅从他们的影长相等就断定它们的身高相同．我们可以运用全等三角形的有关知识说明其中的道理（假定太阳光线是平行的）现对老师说法的正确性进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图，于点，于，，__________． 求证：__________． 【答案】 ；， 证明：， ， ，， ． 在和中， ∵， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据，可得，再由，，可得，可证明，即可解答． 【详解】略 20. 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” （1）求原正方形纸片的边长； （2）你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 【答案】（1）原正方形纸片的边长为． （2）不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式建立方程求出长方形的长，再与正方形的边长比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ∴正方形纸片的边长为； 【小问2详解】 解：设长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴长方形的长大于正方形的边长， ∴不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 21. 小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． （1）她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； （2）小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，即可解答； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求解即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以，得， 展开，得， 解方程，得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的根是． 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以，得． ∵方程的增根是， ∴， 解得， 所以，原分式方程中“”代表的数是． 22. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即. 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：年亚太经合组织非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵万元．若用万元单独采购A款，采购数量会与用万元单独采购B款的采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期天．若A、B两机器人合作天，余下工作由B机器人单独完成，可提前天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为千米；B款机器人每日巡逻路程为千米．街道办拟购买两种机器人共台，要求每日巡逻总路程不低于千米，且总费用不超过万元． （1）任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 （2）任务二：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A、B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 【答案】（1） （2）有2种购买方案，方案①：A款机器人购买台，B款机器人购买台；方案②：A款机器人购买台，则B款机器人购买台，其中方案①最划算． 【解析】 【分析】（1）设B款机器人的单价为万元，根据“用万元单独采购A款的采购数量与用万元单独采购B款的采购数量相等”，即可列分式方程； （2）解（1）的分式方程得到两款机器人的单价，再根据题意列不等式组，求出的取值范围，即可得解． 【小问1详解】 解：设B款机器人的单价为万元，则A款机器人的单价为万元， 则； 【小问2详解】 解：解方程， 解得：， 经检验，是原方程的解， B款机器人的单价为万元，则A款机器人的单价为万元， 设A款机器人购买台，则B款机器人购买台， 根据题意得，， 解得：， 为正整数， 的可能取值为4、5， 当时，，总费用为（万元）， 当时，，总费用为（万元）， ∴有2种购买方案，方案①：A款机器人购买台，B款机器人购买台；方案②：A款机器人购买台，B款机器人购买台； ∵， ∴方案①最划算． 24. 【习题呈现】 （1）冀教版八年级上册页组习题，如图，在中，，，直线经过点，且于，于．猜想、、之间的数量关系，请说明理由． 【变式探究】 （2）如图，点、、分别在直线上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，求的面积． 【答案】（1）解：， 理由如下： 于，于, ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； （2）证明：是的外角， ， 又，， ， 在和中，， ， ，， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形对应边相等可证，，根据线段之间的关系可证结论成立； （2）证明，根据全等三角形对应边相等可证，，根据线段之间的关系可证结论成立； （3）过点作于点，过点作于点，由（1）可知：，，根据全等三角形对应边相等可知，，根据可以求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示，过点作于点，过点作于点， 由（1）可知：，， ，， 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $