精品解析：北京外国语大学附属中学2026-2027学年第一学期期中练习高一数学试题

北京外国语大学附属中学2026-2027学年第一学期期中练习高一数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，则集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（　　） A. B. C. D. 3. 设是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. ， 5. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位：）之间满足的关系为，则当C最小时，s的值为（ ） A. 20 B. C. 40 D. 400 8. 已知关于的不等式的解集是则（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合都是的子集，中都至少含有两个元素，且满足： ①对于任意，若，则； ②对于任意，若，则. 若中含有4个元素，则中含有元素的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上． 11. 函数的定义域是______. 12. 已知，则____________． 13. 已知是关于的方程的两个实根，且，则__________. 14. 若x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则xy的最大值为_____． 15. 不等式的解集为____________． 16. 设函数，则______；若在其定义域内为单调递增函数，则实数a的取值范围是______． 17. 若函数是奇函数，且在是减函数，且，则____________，不等式的解集是____________． 18. 函数的定义域为，且，都有，给出下列四个结论： ①或； ②一定不是偶函数； ③若，且在上单调递增，则在上单调递增； ④若有最大值，则一定有最小值． 其中，所有正确结论的序号是______________． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 20. 设，解关于的不等式． 21. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）证明函数在上是减函数； （3）写出函数在上的单调性（结论不要求证明）． 22. 如图所示的两条线段是偶函数在上的图象，请将函数图象补充完整，并回答下列问题． （1）____________；____________； （2）请写出函数的单调区间和值域； （3）若，求实数的取值范围． 23. 已知． （1）若对任意的都有，求实数的值； （2）若函数在区间上是单调增函数，求的取值范围； （3）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 24. 设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质. （1）记：①充分而不必要条件； ②必要而不充分条件； ③充要条件； ④既不充分也不必要条件 则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； （2）若在满足性质，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京外国语大学附属中学2026-2027学年第一学期期中练习高一数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. 已知命题，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行解答即可. 【详解】因为特称命题的否定是将变为，然后对结论进行否定， 即为. 故选：C. 3. 设是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】充分性：取，满足，但，所以充分性不成立； 必要性：因为，所以，所以必要性成立； 于是“”是“”的必要不充分条件. 4. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：函数的定义域为，关于原点对称，且， 该函数为偶函数，选项A错误； 选项B：函数的定义域为，关于原点对称，且，既不满足，也不满足，该函数为非奇非偶函数，选项B错误； 选项C：函数的定义域为，关于原点对称，且， 该函数为奇函数，选项C正确； 选项D：函数的定义域为，关于原点对称，且， 该函数为偶函数，选项D错误. 5. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：是开口向上的二次函数，对称轴为直线，其单调递减区间为，单调递增区间为. 在区间上函数单调递减，因此该函数在上不是增函数，A错误； 选项B：是幂函数向上平移1个单位得到的函数，已知幂函数在上为单调递增函数， 函数的上下平移不改变其单调性，因此在上为增函数，必然在上为增函数，B正确； 选项C：是斜率为的一次函数，在上为单调递减函数，因此在上也为减函数，C错误； 选项D：是反比例函数向左平移1个单位得到的函数，其单调递减区间为和， 是其单调递减区间的子区间，因此函数在上为减函数，D错误. 6. 已知，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：举反例，取，，，，满足，， 但，故A错误； 选项B：当时，，此时，故B错误； 选项C：若，则，故C错误； 选项D：已知，则，， 所以，即，故D正确. 7. 某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位：）之间满足的关系为，则当C最小时，s的值为（ ） A. 20 B. C. 40 D. 400 【答案】A 【解析】 【分析】根据均值不等式求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当C最小时，s的值为20. 故选：A 8. 已知关于的不等式的解集是则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解． 【详解】由题意和1是方程的两根，所以，，， ∴． 故选：B． 9. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 10. 已知集合都是的子集，中都至少含有两个元素，且满足： ①对于任意，若，则； ②对于任意，若，则. 若中含有4个元素，则中含有元素的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】令且，，根据已知条件确定可能元素，进而写出且时的可能元素，讨论、，结合确定的关系，即可得集合A、B并求出并集中元素个数. 【详解】令且，，如下表行列分别表示， 集合可能元素如下： - - - - - - - - - - 则， 若，不妨令，下表行列分别表示， - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 由，而，且，显然中元素超过4个，不合题设； 若，则，下表行列分别表示， - - - - - - - - - - - - - - - 由，而，且， 要使中元素不超过4个，只需， 此时， 显然，即，则，即且，故， 所以，即， 而，故，共7个元素. 故选：C 【点睛】关键点点睛：令且，，结合已知写出可能元素，由且时的可能元素且研究的关系. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上． 11. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 12. 已知，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法求得. 【详解】令，则，即. 13. 已知是关于的方程的两个实根，且，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系结合条件即得. 【详解】因为是关于的方程的两个实根， 则，又， 所以， 解得或， 经判别式检验知. 故答案为：2. 14. 若x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则xy的最大值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由x＞0，y＞0，且x+2y＝1， 所以，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以xy的最大值为. 故答案为： 【点睛】本题考查了基本不等式求积的最大值，应用基本不等式注意验证等号成立的条件，此题属于基础题. 15. 不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【详解】由不等式，移项得. 通分化简：， 分式大于0等价于分子分母同号，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 16. 设函数，则______；若在其定义域内为单调递增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求出，由单调性只需在断点处左侧函数值不大于右侧函数值即可. 【详解】因为，所以， 又在其定义域内为单调递增函数，所以. 故答案为：；. 17. 若函数是奇函数，且在是减函数，且，则____________，不等式的解集是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用奇函数的定义求出的值，再结合奇函数在对称区间单调性一致的性质，分区间判断的符号，将拆分为两个不等式组求解，最终得到不等式的解集. 【详解】由函数是奇函数，， 又函数在是减函数，且， 当时，，当时，， 由函数的图像关于原点对称，当时，，当时，， 由，，或，或， 不等式的解集是. 18. 函数的定义域为，且，都有，给出下列四个结论： ①或； ②一定不是偶函数； ③若，且在上单调递增，则在上单调递增； ④若有最大值，则一定有最小值． 其中，所有正确结论的序号是______________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据所给性质直接计算可判断①，取特殊函数判断②，利用函数的单调性定义判断③，取特殊函数判断④. 【详解】因为，都有， 所以，即或，故①正确； 不妨取，则，即恒成立，所以是偶函数，故②错误； 设，且，则，所以， 即，所以，即在上单调递增，故③正确； 不妨取，则满足，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误. 故答案为：①③ 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，按交集的定义求解即可； （2）由，可得，求解即可. 【小问1详解】 解：由，得或. 所以. 当时，， 所以； 【小问2详解】 解：由题意知， 又， 因为，所以， 所以， 所以实数的取值范围是. 20. 设，解关于的不等式． 【答案】（1）当时，不等式的解集为； （2）当时，不等式的解集为； （3）当时， ①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】需根据参数的取值分类求解. 【详解】首先对不等式左侧因式分解，得. （1）当时，原不等式退化为一次不等式，解得，解集为. （2）当时，二次项系数为负，抛物线开口向下，对应方程两根为与， 因，故，满足不等式的区间为两根之间，解集为. （3）当时，抛物线开口向上，需比较两根与的大小： ①当时，，不等式解集为. ②当时，，不等式化为，对任意实数恒成立，解集为. ③当时，，不等式解集为. 21. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）证明函数在上是减函数； （3）写出函数在上的单调性（结论不要求证明）． 【答案】（1） 为奇函数，理由如下： 函数，定义域为，所以， 则，所以为奇函数. （2） 证明：任取，且，则 ， 因为，所以 所以，即， 故函数在上是减函数. （3）函数在上的单调递减 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断与证明即可； （2）根据单调性的定义，取值、作差（变形）、定号、下结论等步骤进行证明即可； （3）结合函数的奇偶性与单调性直接判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知函数为上的奇函数，由（2）知函数在上是单调递减 所以函数在上的单调递减. 22. 如图所示的两条线段是偶函数在上的图象，请将函数图象补充完整，并回答下列问题． （1）____________；____________； （2）请写出函数的单调区间和值域； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；；. （2）单调递增区间为和，单调递减区间为和，值域为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，结合偶函数性质求解； （2）根据偶函数图象关于轴对称补全函数图象即可； （3）由图象将不等式化为，求解即可得出结果. 【小问1详解】 解：由函数图象可知，， 因为函数是偶函数，函数图象关于轴对称， 所以，补全图象如图： 【小问2详解】 解：由函数图象可知：的单调递增区间为和，单调递减区间为和，函数的值域为 【小问3详解】 解：由图象可得，不等式可化为， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 23. 已知． （1）若对任意的都有，求实数的值； （2）若函数在区间上是单调增函数，求的取值范围； （3）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由 对任意 成立，知函数 的图象关于直线 对称. 因为 图象的对称轴为直线 . 所以 . 【小问2详解】 因为 的图象开口向上，对称轴为直线 ，所以 的单调递增区间为 . 又 在区间 上单调递增，所以 ，得 . 即 的取值范围是 . 【小问3详解】 因为对任意 都有 ，所以 在 上的最小值大于 . 又 的图象开口向上，对称轴为直线 . 当 时， 在 上单调递增，所以 的最小值为 . 由 得 ，结合 得 . 当 时， 在 上的最小值为 . 由 解得 ，结合 得 . 当 时， 在 上单调递减，所以 的最小值为 . 由 得 ，与 矛盾，此时无解. 综上， 的取值范围是 . 24. 设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质. （1）记：①充分而不必要条件； ②必要而不充分条件； ③充要条件； ④既不充分也不必要条件 则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； （2）若在满足性质，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值. 【答案】（1）②；①；③ （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案. （2）根据性质，利用分离常数法，结合不等式的性质求得的取值范围. （3）将问题转化为恒成立，对的范围进行分类讨论，由此求得的最小值. 【小问1详解】 由于，所以. 对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性； 当在上单调递增时，， 所以在上具有性质是在上单调递增的必要而不充分条件. 对于性质，当时，，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，的符号无法判断， 所以在上具有性质是在上单调递增的充分而不必要条件. 对于性质，若，则，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，， 所以在上具有性质是在上单调递增的充要条件. 【小问2详解】 对于任意的，且， 有， 由于在满足性质，即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 由于任意的，且，所以， 所以， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 实数的最小值为1. 理由如下： 因为在上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个， 所以对任意且，若满足性质A，， 若满足性质，则，若满足性质C、D，则， 性质B、C、D同时满足，所以仅满足性质A，此时， 有恒成立. 因为的定义域为，所以. 当时，， 所以，从而，不合题意； 当时，， 所以，从而， 要使恒成立，只需使，即恒成立， 若，则，使，这与矛盾， 当时，，恒成立， 所以的最小值为1. 【点睛】对于新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，不熟悉的问题，转化为学过的知识、熟悉的问题来进行求解.求解函数问题，首先要研究函数的定义域，这个步骤必不可少. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $