北京市中国人民大学附属中学2026-2027学年高一上学期期中练习数学试题

2026~2027学年度第一学期高一年级期中练习 数学 谥明：本试卷共6道大题25道小题，共6页，满分150分，练习时长120分钟。 请将答案全部填涂在答题纸上。 I卷（共18道题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1.已知全集U={-1,0,12,3},集合A={0,1,3},B={-1,0,12,则(G)∩B= () A.{-1,0,12 B.{-1,2y C.{0,1,2 D.{-1,3 1 2.已知命题p:x>0,x+二22，则P是（) A.x<0,x+1<2 Bx>0,x+二≤2 c.3x>0x+1<2 D.x<0,x+1≤2 3.不等式-1≥0的解集是() A.（-∞，0]U[1,+∞) B.（-o,0)U(1,+oo) c（-o∞，0)U[1,+∞) D.（-o,0]U(1,t∞） 4.已知实数a,b,则“a,b中至少有一个为非负实数”是“a+b为非负实数”的() A.充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图所示，M(4,),N(c,d)为平面直角坐标系中的两点，则下列选项正确的是() A.ac>ad B a+c>b+d M(a,b) C.ab+ca<0 N() D.ad+bo>0 0 第1页（共6页） 6.下列函数f(x)是奇函数且在定义域上单调递减的是() .A.fx)=1 B.f(x)=x D.f()= x2-x,x≤0 C.f(x)=x3 -x2-x,x>0 ?、已知f(x)的定义域为R,则“%，x2∈R,且≠2，都有f(x)≠f(x2)”是“f(x) 在R上是单调函数”的() A.充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若实数a,b满足a2+b2+ab=3,则下列选项中错误的是（) A.ab的最大值为l B.a2+b2的最小值为2 C.若a>0,b>0,则a+b≤2 D.若a<0,b<0,则a+b≤-2 9.某国际太阳能技术研究机构的资料指出，太阳辐照、入射角和组件温度等因素都会影响 光伏组件的能量转换效率；组件温度过高会降低其发电性能。某校新能源实验室比较两 种阵列热管理模式。设组件温度为x,逆变器请求的交流输出功率为y,每个工况用平 面直角坐标系内的一点(x,y)表示。对一种热管理模式，设备能够连续运行而不触发 保护的最大请求功率形成一条“可持续输出边界”：Q在边界上或边界下方时，逆变器 维持请求功率；)在边界上方时，逆变器进入降额运行，实际输出功率低于请求功率。 谓求输出 图中虚线和实线分别表示散热模式A,B的可 …模式4 功串y 一楔式B 持续输出边界，两线相交。图中M表示交点 左侧的两条边界线之间的区域，N表示交点 右侧的两条边界线之间的区域。若系统从模 式A切换为模式B,根据材料与图象，下列 判断合理的是() 组件温庞 A.模式B提高了高温条件下的可持续输出上限；M区域内的工况由“维持请求功率” 变为“降额运行” B.模式B降低了高温条件下的可持续输出上限；M区域内的工况由“降额运行”变为 “维持请求功率” C.模式B提高了输出功率上限较高时组件的温度；N区域内的工况由“降额运行变 为“维持请求功率” D,模式B降低了输出功率上限较高时组件的温度；N区域内的工况由“维持请求功 率”变为“降额运行” 第2页（共6页） 10.设A是整数集z的有限非空子集，记集合a-A={a-×k∈A,若A=a-A,则 称集合A关于a对称.用minA,maxA分别表示A中的最小元素和最大元素，A表 示A中元素的个数，根据上述定义，给出下列四个命题： ①集合{0,2,4,6，…，2026关于1013对称： ②若A关于a对称，则a=minA+maxA; @若A关于a对称，则A中所有元素和为4 2 ④若A,B关于同一个a对称，且A∩B≠0，则A∩B也关于a对称. 其中正确命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请将结果填在答题纸上的相应位置.） 11.若函数∫似)=x-a+上的定义域是[a,),则实数a的取值范围是 12.能够说明“若实数a,b满足a>b,则-a>b a2+1b2+1 ”是假命题的一组a,b的值依次 为 13、若关于x,y的方程组 x+5y=7的解集为{(2,1}，则a+b+c的值为 3x-by=c -c,x∈(-l,),其中c∈K. (1)若c=0,则f(x)的最大值为 (2)若y=c与y=f(x)的图象有4个交点，则c的取值范围是 15.关于定义域为R的函数f(x),给出下列四个结论： ①存在在R上单调递增的函数f(x),使f[fx)]=-4x+1恒成立： ②存在在R上单调递减的函数∫(x),使f[f(x)]=4x+1恒成立： ®存在偶函数八纠，满足x≠0时，ff=x-1恒成立： 国存在无穷多个奇函数f(),满足当x≠0时，f)+f白)=x+上恒成立. 其中所有正确结论的序号是 第3页（共6页） 三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案 写在答题纸上的相应位置、) 16.(本小题满分11分) (I)若(CRA∩B=☑，求m的取值范围： (Ⅱ)若命题P:“Vx∈R,都有x∈A或xeB”为真命题，求m的取值范围。 17、（本小题满分12分) 已知函数f(x)=ax2-ax-1,8(x)=m+2,a∈R. (I)若不等式f()≥g()的解集为{xx≤-1或x≥3}.直接写出f()的解析式： (Ⅱ)若函数y=f(x)与y=gx)的图象在第四象限交于A(x,1),B(x2,y2)两点，求a 的取值范围。 18.(本小题满分12分) 已知函数了（树=2+4 20x (I)求证：f(x)为奇函数： (红)判断函数y=()在区间[1,2]上的单调性，并用单调性的定义证明； (皿)设函数g(x)=x2-2mx+4(m∈R),若对任意x∈[-2，-1]，都存在为∈[1,3]， 使得f()>g(x2)成立，求m的取值范围. 第4页（共6页） Ⅱ卷（共7道题，满分50分） 一、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 19、若关于x的方程ax2+x+a-1=0有两个异号的实数根，则实数a的取值范围是() A.（-0,0） B.(0,1) C.（-o,0)U(1,+c∞)D.(1,+oo 20.下列函数中，图象不关于直线x=√2对称的是（) A.f(x)=x2-2N2x+2 B.f网=+x-2W2 C.f(x)= 1,x∈Q, lO,xECQ, D倒k5-同 21.已知点A为线段BC上的一个动点（不与端点重合），BC=8,动直线AM满足 ∠MAC=日，其中0°<B≤45°，点C关于直线AM的对称点为D，直线BD交直线 AM于2，记△AB2与△AC2的面积之差的绝对值为S，给出下列四个结论： ①AB≠4： ②S无最小值： ③若0=30°，则S<4√3； ④若S=6,则△AB2面积的取值范围是[3，+∞). 其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二.填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.请将结果填在答题纸上的相应位置.） [x],x>1 22. 已知函数f(x)= 其中[x]表示不超过x的最大整数，则关于x的方 V1-x,x≤1 程f[f(x)]=0的解集为， 23.已知函数f()=x+4-2,a∈R. (1)若f(x)的值域为R,则a的取值范围是 (2)若存在：，x2∈1,2]，使得f(伍)f(x2)24,则a的取值范围是 24,某AI大模型训练中心接收了一批来自I号、Ⅱ号两个数据源的训练样本，分为A类（文 本)和B类（图像），已知： ①A类样本总数与B类样本总数相等： ②来自I号数据源的A类样本数与来自Ⅱ号数据源的B类样本数之和，大于来自I号 第5页（共6页） 数据源的B类样本数与来自Ⅱ号数据源的A类样本数之和。 训练中心使用甲、乙、丙三个绥存池进行数据分流.规则如下：每次任取两个尚未分配 的样本，将其中一个放入甲池.若放入甲池的是A类，则另一个放入乙池：若放入甲池 的是B类，则另一个放入丙池，直到所有样本都被放入池中.分流后，发现甲池的样本 恰好与来自I号数据源的样本相同. 给出下列四个结论： ①乙池中的B类样本数不小于丙池中的B类样本数； ②乙池中的A类样本数不小于丙池中的B类样本数： ③乙池中的B类样本数大于丙池中的A类样本数； ④乙池中的A类样本数大于丙池中的A类样本数， 其中所有正确结论的序号是 三.解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案 写在答题纸上的相应位置.) 25.(本小题满分14分) 设集合A为含有n个元素的有限集，若集合A的m(m≥2)个非空子集A,A2,…,A满 足以下两个条件： ①A,A2,…,An中任意两个集合的交集为空集： ②AUA2U…UAn=A. 则称A1,A2,…,An为集合A的一个m-划分， 记S;为集合A中的所有元素之和(1=1,2，…，m) (I)若A={1,2,4,8,16},4,A2为A的2-划分，直接写出S1一S2的最小值： (Ⅱ)若A={红，2,3，，2(n∈N),4,4为A的2-划分，求-S2的最小值： (Ⅲ)若集合A={4,a2,·,an}(n之4)是由正整数构成的集合，A,A2,4为A的3-划分， 若从A,A,A中的任意两个集合中分别任取一个元素，将这两个元素从A中剔除后，A中 剩下的元素总能被划分为两个元素和相等的非空子集，求证：n为偶数、 第6页（共6页）2026~2027学年度第一学期高一年级期中练习 数学参考答案2026.11.4 I卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)B (2)C (3)C (4)B (5)D (6)D (7)B (8)D (9)A (10)C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)(0,+o) (12)2,1(答案不唯一) (13)7 (14) 1: (15)②④ 注：对1个3分，有错不得分 三、解答题（共3小题，共35分） (16)(共11分) 解：(I)因为集合 号0-(o-u2)2分 所以CA=[-1,2]. …3分 因为(CA)∩B=0,所以m-2≥2或m+2≤-1， 解得：m≥4或m≤-3， …5分 所以m的取值范围为(-o,-3]U[4,+∞) …6分 (IⅡ)因为命题P:“x∈R,都有x∈A或x∈B”为真命题， 所以AUB=R. …8分 因为集合A=(-0,-1)U(2,+∞)，B=(m-2,m+2), m-2<-1 所以 ,解得：0<m<1, …10分 m+2>2 所以m的取值范围为(0,1) …11分 高一上学期数学期中练习参考答案第1页（共6页） (17)(共12分) 解：(I)f(x)=x2-x-1 …4分 (IⅡ)令f(x)=g(x)得ax2-2ax-3=0, 依题意ax2-2ax-3=0两根为x,x2, 所以△=4a2+12a>0,解得：a>0或a<-3 …5分 x+x3=2 且 =-3 …6分 a x1>0 x1+x2>0 因为A(x,乃)B(x,2)在第四象限，所以 x2>0 即 xx2>0 …8分 y<0 y+2<0 y2<0 yy2>0 又因为y=ax,+2,2=ax2+2 y+2=a(x+x2)+4 所以 …10分 yy2=a2xx2+2a(x+x2)+4 x+x2>0 2>0 xx2>0 3>0 所以 a(x+x2)+4<0 ，即 a …11分 2a+4<0 a2xx2+2a(x+x2)+4>0 -3a+4a+4>0 解得：4<a<-2, 所以a的取值范围为(-4，-3) …12分 (18)(共12分) (1)证明：f()=20x的定义域为R, x2+4 x∈R,都有-x∈R, …1分 20(-x)20x 且f(-x)= =f(x), …2分 (-x)2+4x2+4 所以f(x)为奇函数. …3分 高一上学期数学期中练习参考答案第2页（共6页） (Ⅱ)函数y=f(x)在区间山，2]上单调递增. …4分 理由如下： x,x2[1,2],且x<x2, f(x)-f(x)= 20x-20x= 20(x2-x)(4-xx2) …6分 4+x号4+x (4+x)(4+x) 因为1≤x<x2≤2，所以x2-X>0,4-x62>0,…7分 所以f(x)-f(x)>0,即f()>f() 所以通收了=在区2上调港0 …8分 (Ⅲ)解：对任意x∈[-2，-，都存在x[山，3]，使得fx)>g(x)成立， 等价于min-2-f(x)>ming(x), …9分 因为改-小上峰建。 所以maxd(x)=f(2)=5. 又因为f(x)为奇函数， 所以minx2.-f(xm=-max.2f()=-5.…10分 函数g(x)在区间(-o,m上单调递减，在区间[m,+∞)上单调递增. ①当m<1时，min电g(x)=g)=5-2m, 由-5>5-2m,得m>5,与m<1矛盾，舍去： ②当1≤m≤3时，ming(x)=g(m)=3-m2, 由-5>4-m2,得m>3或m<-3,与1≤m≤3矛盾，舍去： ③当m>3时，mind8(x)=g(3)=13-6m, 由-5>13-6m,得m>3. 综上所述，m取值范围是(3，+0). …12分 高一上学期数学期中练习参考答案第3页（共6页） 另解：对任意x∈[-2，-，都存在x2∈[L,3],使得f(c)>g(x,)成立， 等价于存在x∈[，3小，使得g(x)<mind-2-f(x). …9分 因为函数)-在红列上单周选端 所以max.2f(x)=f(2)=5. 又因为f(x)为奇函数， 所以mind-2.-f(x)mn=-maxd.2f(x)=-5,…l0分 所以存在x∈[1,3]，使得x2-2mx+4<-5, 即存在xeL,3],使得x+9<2m,即min,中4 9 <2m. …11分 9 因为x+222,x.2 =6,当且仅当x=3时，等号成立， 9 所以min x+- =6, 由6<2m,得m>3, 所以m取值范围是(3，+0）. …12分 Ⅱ卷 一、选择题（共3小题，每小题6分，共18分） (19)B (20)C (21)D 二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分） (22){0U(1,2)注：解集未写成集合形式得0分 (23)(-0,0),(-0,-U[3,+∞)注：第一小问2分，第二小问两段各2分 (24)②③注：对1个3分，有错不得分 三、解答题（共1小题，共14分） (25)(共14分) (I)1 …2分 高一上学期数学期中练习参考答案第4页（共6页） (Ⅱ)解：集合A所有元素之和s=1+2+3…+2n=n(1+2n) 因为A,A,为A的2-划分，所以s+S2=S,因为5-5S2与5，+5，的奇偶性相同， 所以S,一S,与s的奇偶性相同。 ①当n为偶数时，s为偶数，所以S一S2为偶数. 将A中元素配成n对：(1,2n),(2,2n-1),…,(n,n+1),每对中两个元素和都为2n+1. 将这n对平均分给A和A,则s,=S2,所以小s,-s的最小值为0： ②当n为奇数时，s为奇数，所以小s-52为奇数，则小s,-s2≥1 把A中元素去掉2n-1,2n,再配成n-1对：(1,2n-2),(2,2n-3),,(n-1,n),每对 两个元素和都是2n-1. 因为n为奇数，所以n-1为偶数，将这n-1对平均分给A和A,,再将2n-1,2n一个分 给A一个分给A,则s,-s=1,所以小S,-s的最小值为1： 综上，当n为偶数时，s,-S的最小值为0：当n为奇数时，s,-s的最小值为1. …8分 (I)依题，对于任意的x∈A,y∈A,i,j∈{1,2,3}，i≠j,集合A删去x,y后，剩余元素能被 划分为两个元素和相等的子集 设这两个子集的元素和均为1y,则s-x-y=21,为偶数，所以s与x+y的奇偶性相同. 任取x,x2∈A,y∈A2,由上述结论知S,一x一y,S,-x2-y均为偶数， 两式相减得x,一x为偶数，所以A,中所有元素的奇偶性相同， 同理，A2,A每个集合中所有元素的奇偶性也相同， 所以A,A2,A每个集合中所有元素的奇偶性相同. 另一方面，任取x∈A,y∈A,,则s与x+y的奇偶性相同： 任取x∈A,z∈A,则S与x+z的奇偶性相同： 任取y∈A,z∈A,则S与y+z的奇偶性相同， 所以x+y,x+z,y+z的奇偶性都相同， 又因为(x+y)+(x+z)+(y+z)=2(x+y+)为偶数， 所以x+y,x+z,y+z都是偶数， 所以x,y,2的奇偶性相同，即A中所有元素的奇偶性都相同，且S为偶数. 高一上学期数学期中练习参考答案第5页（共6页） ①若集合A中所有元素都是奇数，则n为偶数，命题得证： ②若集合A中所有元素全是偶数， 则构造集合B={b,b2,…,bn},其中a=2b,i=1,2,…,n,则b为正整数. 由4,4,4为4的3划分可知.B=得e4=12,3)为集合B的3划分 因为把A剔除两个元素x,y后得到的等和划分的两个子集中的每个元素同时除以2， 就得到集合B剔除两个元素X,二后的等和划分，所以B满足完全相同题设的条件。 2’2 则B中所有元素奇偶性相同。 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的集合C,且满足题设的条件，即C的3-划 分中，任取两个集合，每个集合剔除一个元素后（总共剔除两个元素），所剩元素总有等 和划分，所以C中元素和为偶数，又C元素个数仍是”，每个元素都是奇数， 所以n为偶数， 综上所述，n为偶数， ……14分 高一上学期数学期中练习参考答案第6页（共6页）