专题4-1 等差数列与等比数列（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学二轮复习高效培优系列

专题4-1 等差数列与等比数列 目录 第一部分 高考变化精研 第二部分 核心方法技巧 第三部分 高频题型突破 题型01 等差数列、等比数列基本量的计算 题型02 等差数列、等比数列的性质 题型03 等差数列、等比数列的前项和 题型04 等差数列、等比数列的实际应用 题型05 等差数列、等比数列的证明 题型06 构造等差数列、等比数列 题型07 等差数列项的绝对值的和 题型08 等差数列前项和性质的应用 题型09 等比数列前项和性质的应用 题型10 等差数列、等比数列的综合应用 第四部分 综合实战演练 考向聚焦 等差、等比数列是高考数学的高频主干考点，选择、填空、解答题均会出现。命题以通项、前n项和公式为基础，依托方程思想求解首项、公差、公比。常考方向：借助an与Sn的关系推导通项，勿忘对n=1单独检验；活用等差、等比中项与数列性质简化计算；分清片段和特征，防止等差、等比性质混用。解答题多围绕数列求和展开，重点考查错位相减、裂项相消、分组求和，常融合函数、不等式，侧重逻辑推理与计算能力；数列实际应用题重在建模，核心是识别数列类型、找准首项与项数。 关键能力 核心是基础量运算与数列性质的灵活选用。可以把题干条件转化为关于a1,d,q的方程组，熟练求出通项与前n项和；掌握an与Sn互化的方法，牢记n=1检验；灵活使用中项、下标和、片段和等性质简化运算；熟练掌握三类求和通法，重视计算步骤规范。具备方程、函数思想，能处理数列和函数、不等式的综合问题；审题时精准区分等差、等比数列，定位首项、公差、公比、项数，规避概念混淆、符号、指数运算等典型失误。 备考策略 备考遵循夯实基础、题型归类的思路。吃透数列定义、通项与求和公式，梳理等差、等比数列核心性质，区分易混易错点。每日安排 2–3 道基础小题，稳固基本量计算，保证选择填空基础分。分类整理高频题型：由Sn求an、错位相减、裂项相消、分组求和，总结标准化解题流程。训练审题习惯，精准识别数列类型、项数、公差或公比。适度练习数列与函数、不等式综合的中档大题，锻炼逻辑推导，规范答题书写，争取中档题稳拿分，难题争取步骤分。 方法技巧 01 等差数列及其前n项和 1．等差数列的概念 (1)等差数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． (2)等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． (3)等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2．等差数列的前n项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 3．等差数列的前n项和公式 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． （12）若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 易·错·避·坑 等差数列易错：(1)忽略“从第二项起”，只验相邻差相等未验为常数，常数列也是等差； (2)通项误写nd，项数差算错； (3)两求和公式混用，由Sn求an忘n=1单独验证，求最值漏临界项； (4)设元不当，证明只验前几项，应用题项数与天数混淆。 方法技巧 02 等比数列及其前n项和. 1．等比数列的概念 (1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． (2)等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． (3)等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： 2．等比数列的前n项和 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 3．等比数列的前n项和 等比数列的公比为，其前项和为 注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 4．等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 易·错·避·坑 等比数列易错：(1)忽略q≠0且各项非零，等比中项为±而非仅正值； (2)判断等比须验相邻比同值； (3)前n项和须分q=1与q≠1，漏讨论致分母为零； (4)由Sn求an忘n=1单独验证； (5)项数算错，q的n-1次与n次混淆； (6)三项设元宜设、a、aq； (7)无穷等比求和须|q|<1。 题型 01 等差数列、等比数列基本量的计算 典例精析 典例1（26-27高三上·福建漳州·阶段检测）设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（ ） A． B． C． D． 典例2（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知各项均为正数的等比数列满足，．记数列的前n项和为，则使得成立的最小正整数n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 方·法·技·巧 等差数列抓a1与d、等比数列抓a1与q，五量知三求二。先列通项与前n项和两式联立方程组求解，少背变式；能套下标性质的优先套，减少未知数；三项对称设a-d,a,a+d或,a,aq；算完回代验算，并检查d=0、q=1等特殊情形。 变式巩固 变式1记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 变式2[原创题] 已知为等比数列的前n项和，，，则（    ） A． B. C． D． 变式3[原创题] 已知为等比数列的前n项和，，，则（    ） A． B. C． D． 变式4（2026·广西南宁·一模）设为等差数列的前项和，已知，当或时，取得最值，则的公差________． 题型 02等差数列、等比数列的性质 典例1．（26-27高三上·山东济南·期中）已知等差数列的前n项和存在最大值，，，且当时，取得最大值．若使得成立的n的最大值为m，则（    ） A． B． C． D． 典例2（2026·青海黄南·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 方·法·技·巧 （1）利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量． （2）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q＝2k，则aman＝apaq＝a”，可以减少运算量，提高解题速度． (3)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 变式1（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 变式2（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）在等比数列中，，，则 （   ） A． B． C． D． 变式3已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 变式4（多选）（26-27高三上·甘肃甘南·期中）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为的最大值 C． D． 题型 03等差数列、等比数列的前n项和 典例1（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列的前n项和为，若. (1)求通项公式以及； (2)若，证明是等差数列并求出的前n项和. 典例2（26-27高三上·北京海淀·期中）已知数列的前项和为，且．数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 方·法·技·巧 （1）等差数列把Sn看成n的二次函数，最值取离对称轴最近的正整数，或找an变号临界项； （2）等比数列求和注意q=1分类，已知Sn先对n=1、n≥2分段求通项，复杂求和用错位相减、裂项、分组求和；证明和的不等式注意放缩恰当. 变式1（26-27高三上·山东济南·期中）已知等比数列满足，，；等差数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)记和分别为和的前项和．求数列的前项和． 变式226-27高三上·甘肃甘南·期中）已知等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 变式3（26-27高三上·陕西宝鸡·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前项和为，求满足的的最小值； 变式4（2026·河南信阳·一模）已知数列的通项公式为，的前项和为． (1)判断是否存在使为整数，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (2)若数列共有项，其奇数项的和记为，记，数列的前项和记为，比较和的大小； (3)求满足的最小整数． 题型 04等差数列、等比数列的实际应用 典例1（25-26高二下·河南南阳·期中）某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 典例2（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 方·法·技·巧 (1)先审题建模，定首项、公差或公比、项数n，再套通项或求和公式。增长、复利、折旧用等比；均匀增减的产量、费用、座位用等差. (2)注意“第n次”与“n年后”项数差1，结果要与实际意义相符. (3)求最值按n取正整数讨论，分期付款、贷款按同一时点折算后列式求解. 变式1我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是（ ） A．该金锤中间一尺重3.5斤 B．中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍 C．该金锤的重量为15斤 D．该金锤相邻两尺的重量之差为1.5斤 变式2如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推．设，，，…，，则等于（ ） A． B． C． D． 变式3（254-26高三上·湖南株洲·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使余下的各区间长度之和小于，则操作的次数的最小值为（     ）（参考数据：，，，） A．4 B．5 C．6 D．7 变式4（2026高二·全国·专题练习）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为______. 题型 05等差数列、等比数列的证明 典例1（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列的前n项和为，若. (1)求通项公式以及； (2)若，证明是等差数列并求出的前n项和. 典例2(26-27高三上·河南南阳·期中）已知数列的前n项和为，且 (1)证明：数列是等比数列； (2)记，求数列的前n项和 (3)是否存在互不相同的，使得成等差数列？如果存在，请求出r，s，t的值；如果不存在，请说明理由. 方·法·技·巧 1．等差数列的判定方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数． (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立． (3)通项公式法：验证an＝pn＋q. (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn. 2．等比数列的判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列. (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列. (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0，1)，则{an}是等比数列. 变式1(26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求． 变式2（26-27高三上·甘肃兰州·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式； (2)记，求的前项和. 变式3（26-27高三上·甘肃兰州·期中）已知数列的前项和为，且，，在数列中，，且，． (1)求证：是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 变式4（26-27高三上·上海虹口·期中）已知数列的前n项和为，，且． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数n． 题型 06构造等差数列、等比数列 典例1（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足对任意正整数，恒有，且，，则的前30项的和为（     ） A． B． C． D． 典例2（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 方·法·技·巧 构造数列策略：见，设an+1+c=p(an+c)，c=)，化为等比数列{an+c}； 含型两边同除以构造；an+1=an+f(n)用累加，乘f(n)用累乘；分式递推取倒数转等差；Sn与an混列式先作差，构造后写明新数列首项，并验证n=1. 变式1（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 变式2（26-27高三上·贵州·开学考试）已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 变式3设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（ ） A． B． C．5 D．6 变式4（2026·青海黄南·模拟预测）已知为数列的前项和，，，则______，则数列的前项积取得最小值时，______． 题型 07等差数列项的绝对值的和 典例1（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 典例2（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 方·法·技·巧 绝对值求和策略：先解an≥0求变号临界项k，此时Sn取到最值。前k项非负时，n≤k和为Sn，n>k和为2Sk−Sn；前段为负则先添负号再分段，不要硬套。须分n≤k与n>k写清结果，末项单独验算. 变式1（26-27高三·全国·二轮复习）等差数列，，，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 变式2（2026高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则其前10项和的值为________，数列的前项和________． 变式3（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，证明数列是等比数列，并求数列的前项和； (3)记，求数列的前n项和． 题型 08等差数列前n项和性质的应用 典例1（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 典例2（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 典例3（26-27高三·全国·一轮复习）已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 方·法·技·巧 等差数列前n项和的性质 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列； (2)为等差数列； (3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (4)S2n－1＝(2n－1)an； (5)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 变式1（25-26高三下·辽宁鞍山·期中）设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2（25-26高三上·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 变式3（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 题型 09等比数列前n项和性质的应用 典例1（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 典例2（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为341，所有偶数项的和为170，则______________. 方·法·技·巧 　(1)等比数列前n项和的性质主要是：若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列(q＝－1且n为偶数除外)． (2)注意等比数列前n项和公式的变形．当q≠1时，Sn＝＝－·qn，即Sn＝A－Aqn(q≠1)． 变式1（26-27高三上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 变式2（25-26高三上·四川内江·阶段检测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 变式3（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）设是等比数列的前项和，若 ， ，则（    ） A．21 B．28 C．49 D．56 变式4（2026高二·全国·专题练习）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则________． 题型 10等差数列、等比数列的综合应用 典例1（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)令，求数列的前n项和． 典例2（26-27高三上·辽宁锦州·阶段检测）已知函数，数列满足，， (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 方·法·技·巧 等差与等比数列的综合题，核心是“统一基本量、识别结构、分类讨论”. 1.统一基本量.设等差数列首项为a1、公差为d；等比数列首项为b1、公比为q.凡条件中出现和、积、项间关系，一律化为基本量列方程，避免直接套用通项公式造成未知量过多. 2.识别结构。若数列由等差、等比“拼接”而成，按项的下标分段处理，分别写出两段通项，再在衔接处用相等关系确定参数；若为“等差乘等比”型，用错位相减法求和. 3.分类讨论。等比数列涉及公比时，须讨论q为1或q不为1 两种情形；含参问题还要检验 q不为0 及各项非零的条件，防止漏解. 4.验证取舍。解出参数后代回原条件检验，剔除使数列退化或与题意矛盾的值，最后作答. 变式1（多选）（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，数列满足，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．数列的前项和 D．不存在正整数，使成等差数列 变式2（2026·四川南充·一模）已知向量满足，，且（且），若对任意，都有．则________． 变式3已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 变式4（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设为等差数列的前项和，其中，且． (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为． ①求； ②若对任意的，都有，求常数的最小值． 1．（26-27高三上·新疆和田·阶段检测）已知等差数列的公差为，且成等比数列，则（    ） A．1 B．5 C．3 D．3或-1 2．（25-26高三上·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 3．（26-27高三上·全国·期中）等比数列 中，、是方程 的两根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·浙江嘉兴·一模）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（     ） A．3 B． C． D． 5．（山西省太原市2026-2027学年高三上学期11月期中阶段学业诊断数学试题）等差数列前项和为，，，则正确的为（    ） A． B． C．数列的公差为 D． 6．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 7．（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 8．(多选)（2026·云南昆明·模拟预测）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递减数列 B．当时，取得最大值 C．若，则的最大值为11 D．数列的前10项和为50 9．(多选)（2026·浙江绍兴·一模）记为无穷数列的前n项和，已知，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．存在，使得，，成公比不为1的等比数列 D．若存在且，使得，，成等差数列，则的最大值为3 10．（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列中，，，若对任意的，都有，则的取值范围是________． 11．（26-27高三上·山东济南·期中）已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数m的所有可能取值的个数为________． 12．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知线段，射线以点为端点，且．在射线上依次取点，，…，，…，满足，．记，则________． 13．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知数列的首项，且前项和为满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：. （i）求，； （ii）求数列的前项和. 14．(26-27天津滨海区一中高三上检测)已知等比数列满足，且是，的等差中项，等差数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列（相同项重复保留），求数列的前项和． 15．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知在数列和中，，且对任意，点和点均在直线上． (1)证明：数列是等比数列，并求出； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为． ①求； ②记，则在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）构成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4-1 等差数列与等比数列 目录 第一部分 高考变化精研 第二部分 核心方法技巧 第三部分 高频题型突破 题型01 等差数列、等比数列基本量的计算 题型02 等差数列、等比数列的性质 题型03 等差数列、等比数列的前项和 题型04 等差数列、等比数列的实际应用 题型05 等差数列、等比数列的证明 题型06 构造等差数列、等比数列 题型07 等差数列项的绝对值的和 题型08 等差数列前项和性质的应用 题型09 等比数列前项和性质的应用 题型10 等差数列、等比数列的综合应用 第四部分 综合实战演练 考向聚焦 等差、等比数列是高考数学的高频主干考点，选择、填空、解答题均会出现。命题以通项、前n项和公式为基础，依托方程思想求解首项、公差、公比。常考方向：借助an与Sn的关系推导通项，勿忘对n=1单独检验；活用等差、等比中项与数列性质简化计算；分清片段和特征，防止等差、等比性质混用。解答题多围绕数列求和展开，重点考查错位相减、裂项相消、分组求和，常融合函数、不等式，侧重逻辑推理与计算能力；数列实际应用题重在建模，核心是识别数列类型、找准首项与项数。 关键能力 核心是基础量运算与数列性质的灵活选用。可以把题干条件转化为关于a1,d,q的方程组，熟练求出通项与前n项和；掌握an与Sn互化的方法，牢记n=1检验；灵活使用中项、下标和、片段和等性质简化运算；熟练掌握三类求和通法，重视计算步骤规范。具备方程、函数思想，能处理数列和函数、不等式的综合问题；审题时精准区分等差、等比数列，定位首项、公差、公比、项数，规避概念混淆、符号、指数运算等典型失误。 备考策略 备考遵循夯实基础、题型归类的思路。吃透数列定义、通项与求和公式，梳理等差、等比数列核心性质，区分易混易错点。每日安排 2–3 道基础小题，稳固基本量计算，保证选择填空基础分。分类整理高频题型：由Sn求an、错位相减、裂项相消、分组求和，总结标准化解题流程。训练审题习惯，精准识别数列类型、项数、公差或公比。适度练习数列与函数、不等式综合的中档大题，锻炼逻辑推导，规范答题书写，争取中档题稳拿分，难题争取步骤分。 方法技巧 01 等差数列及其前n项和 1．等差数列的概念 (1)等差数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． (2)等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． (3)等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2．等差数列的前n项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 3．等差数列的前n项和公式 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． （12）若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 易·错·避·坑 等差数列易错：(1)忽略“从第二项起”，只验相邻差相等未验为常数，常数列也是等差； (2)通项误写nd，项数差算错； (3)两求和公式混用，由Sn求an忘n=1单独验证，求最值漏临界项； (4)设元不当，证明只验前几项，应用题项数与天数混淆。 方法技巧 02 等比数列及其前n项和. 1．等比数列的概念 (1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． (2)等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． (3)等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： 2．等比数列的前n项和 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 3．等比数列的前n项和 等比数列的公比为，其前项和为 注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 4．等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 易·错·避·坑 等比数列易错：(1)忽略q≠0且各项非零，等比中项为±而非仅正值； (2)判断等比须验相邻比同值； (3)前n项和须分q=1与q≠1，漏讨论致分母为零； (4)由Sn求an忘n=1单独验证； (5)项数算错，q的n-1次与n次混淆； (6)三项设元宜设、a、aq； (7)无穷等比求和须|q|<1。 题型 01 等差数列、等比数列基本量的计算 典例精析 典例1（26-27高三上·福建漳州·阶段检测）设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 则， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 典例2（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知各项均为正数的等比数列满足，．记数列的前n项和为，则使得成立的最小正整数n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】设公比为，由题意得， 两式相除得，故，代入求得，所以． 令得，即， 因为，，所以，得．故选C． 方·法·技·巧 等差数列抓a1与d、等比数列抓a1与q，五量知三求二。先列通项与前n项和两式联立方程组求解，少背变式；能套下标性质的优先套，减少未知数；三项对称设a-d,a,a+d或,a,aq；算完回代验算，并检查d=0、q=1等特殊情形。 变式巩固 变式1记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】设公差为，，，联立解得，故选C. 变式2[原创题] 已知为等比数列的前n项和，，，则（    ） A． B. C． D． 【答案】A 【解析】因为，为等比数列， 所以当时，，则，矛盾，舍， 当时，，因为， 所以，令， 则，（舍），， 故，因为，所以，. 变式3[原创题] 已知为等比数列的前n项和，，，则（    ） A． B. C． D． 【答案】A 【解析】因为，为等比数列， 所以当时，，则，矛盾，舍， 当时，，因为， 所以，令， 则，（舍），， 故，因为，所以，. 变式4（2026·广西南宁·一模）设为等差数列的前项和，已知，当或时，取得最值，则的公差________． 【答案】 【解析】等差数列的首项为，公差为，则， 前项和，， 因为当或时，取得最值，所以对于二次函数，其图象的对称轴为，则，解得. 题型 02等差数列、等比数列的性质 典例1．（26-27高三上·山东济南·期中）已知等差数列的前n项和存在最大值，，，且当时，取得最大值．若使得成立的n的最大值为m，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知等差数列的前n项和存在最大值，则，数列单调递减， 由可知与异号，结合数列递减，得， 即前项为正项，第项为负项，故在时取得最大值，， 由等差数列的性质，， 由，得， ，故， ，故， 因此使得成立的n的最大值为，故． 典例2（2026·青海黄南·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为. 由，得， 因为，，化简得，即. 由，得，因为，所以. 则. 所以. 方·法·技·巧 （1）利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量． （2）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q＝2k，则aman＝apaq＝a”，可以减少运算量，提高解题速度． (3)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 变式1（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正数等比数列中，， 则，当且仅当时取等号， 又因为，设公比为，所以， 则取最小值时，. 变式2（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）在等比数列中，，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得：，，， 所以，即， 因为，且，所以； 同理，所以， 所以. 变式3已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比、等差数列的性质可得，，从而可得，，则有，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且， 即，解得， 所以； 又因为是等差数列，且， 即，解得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 变式4（多选）（26-27高三上·甘肃甘南·期中）已知等差数列的公差为，前项和为，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为的最大值 C． D． 【答案】AC 【解析】由题意得. 因为，所以，解得，故A正确. 将代入得. 因为关于的二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以在处取得最大值，且，故B错误，C正确. 因为，所以，故D错误. 题型 03等差数列、等比数列的前n项和 典例1（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列的前n项和为，若. (1)求通项公式以及； (2)若，证明是等差数列并求出的前n项和. 【分析】（1）利用与的关系（）得出递推关系，并结合首项判定其为等比数列求出通项；再利用等比数列求和公式直接求得； （2）将代入求得的表达式，通过计算为常数证明其为等差数列；最后利用等差数列的前项和公式求得. 【解析】（1）当时，由可得； 当时，由，可得，即． 综上可知数列是首项为1，公比为2的等比数列； 故，． （2）由题， 则， 故是首项为，公差为的等差数列， 则． 典例2（26-27高三上·北京海淀·期中）已知数列的前项和为，且．数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【分析】（1）由公式求得数列的通项公式； （2）由等差数列和等比数列的前项和公式，结合分组求和的方式求得数列的前项和. 【解析】（1）当时，，代入得，解得. 当时，，所以，所以 ，所以，即， 故是首项为1，公比为的等比数列，通项为. （2）由， 所以前项和， 故. 方·法·技·巧 （1）等差数列把Sn看成n的二次函数，最值取离对称轴最近的正整数，或找an变号临界项； （2）等比数列求和注意q=1分类，已知Sn先对n=1、n≥2分段求通项，复杂求和用错位相减、裂项、分组求和；证明和的不等式注意放缩恰当. 变式1（26-27高三上·山东济南·期中）已知等比数列满足，，；等差数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)记和分别为和的前项和．求数列的前项和． 【分析】（1）令等比数列公比为，等差数列的公差为，利用通项公式列出方程组，然后分别求解即可； （2）利用等差数列和等比数列前项和公式求出和，即可求出结果. 【解析】（1）令等比数列公比为， 则，解得， 所以的通项公式为. 令等差数列的公差为， 则，解得， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， 则， 又， 所以. 变式226-27高三上·甘肃甘南·期中）已知等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得. 所以. 所以. 即数列的通项公式为； （2）等差数列的前项和. 关于的二次函数在上单调递增. 当时，； 当时，. 所以存在正整数，使得，且的最小值为11. 变式3（26-27高三上·陕西宝鸡·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前项和为，求满足的的最小值； 【分析】（1）设等差数列首项与公差，根据已知条件列方程组求出，再代入公式写出通项与前n项和； （2）对裂项，用裂项相消求出，再解不等式得到n的最小值． 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则 ，解得， 故， ． （2），则，故， ， 解不等式得，， 由得的最小值为8． 变式4（2026·河南信阳·一模）已知数列的通项公式为，的前项和为． (1)判断是否存在使为整数，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (2)若数列共有项，其奇数项的和记为，记，数列的前项和记为，比较和的大小； (3)求满足的最小整数． 【解析】(1)由题意可得，数列的奇数项构成首项为， 公差为的等差数列；偶数项构成首项为，公比为的等比数列 设，则前项和为. 设，则前项和为. (1)当为偶数时，设. 若为整数，则必为整数. 因为，所以是整数，且，故不为整数，从而不为整数. 当为奇数时，设. 若为整数，则必为整数. 当时，，，不为整数； 当时，，故不为整数，从而不为整数. 综上所述，不存在使为整数. （2）由题意知， ， ，即 （3）数列的前项中偶数项的和为， 数列的前项中奇数项的和为，要么为整数，要么小数部分为或， 偶数项的和恒小于，的前项和的整数部分完全由奇数项决定， 在判断首次超过时只需考虑奇数项的和， 当时，，可解得：， 即前项的和首次大于（通过求出及再比对也正确） 即满足的最小整数为45． 题型 04等差数列、等比数列的实际应用 典例1（25-26高二下·河南南阳·期中）某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 【答案】A 【分析】由题意得7个尺码最适合的人的体重成等差数列，结合等差数列的定义即可求解. 【解析】设该网店的衣服7个尺码最适合的人的体重从小到大为数列，则为等差数列， ，，所以该数列的公差， 故相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为7.5kg. 典例2（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 【答案】C 【解析】设感染人数由增加到需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染，感染总人数为， 令，得 ，由于，故， 平均感染周期为6天，感染人数由1增加到2000大约需要天. 方·法·技·巧 (1)先审题建模，定首项、公差或公比、项数n，再套通项或求和公式。增长、复利、折旧用等比；均匀增减的产量、费用、座位用等差. (2)注意“第n次”与“n年后”项数差1，结果要与实际意义相符. (3)求最值按n取正整数讨论，分期付款、贷款按同一时点折算后列式求解. 变式1我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法正确的是（ ） A．该金锤中间一尺重3.5斤 B．中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍 C．该金锤的重量为15斤 D．该金锤相邻两尺的重量之差为1.5斤 【答案】C 【解析】由题意可知等差数列中，则， ∴，． ∴．∴A错误，B错误，C正确，D错误． 故选：C． 变式2如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推．设，，，…，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，数列的相邻两项分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即， 因此数列是首项，公比的等比数列，， 所以. 故选：B 变式3（254-26高三上·湖南株洲·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使余下的各区间长度之和小于，则操作的次数的最小值为（     ）（参考数据：，，，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】记表示第次操作后余下的各区间长度之和， 由于第一次操作去掉的线段长为，第二次操作去掉的线段长为，，第次操作去掉的线段长度为， 因此， 则由题意得， 而，，所以的最小值为6． 变式4（2026高二·全国·专题练习）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为______. 【答案】167 【解析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 题型 05等差数列、等比数列的证明 典例1（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列的前n项和为，若. (1)求通项公式以及； (2)若，证明是等差数列并求出的前n项和. 【解析】（1）当时，由可得； 当时，由，可得，即． 综上可知数列是首项为1，公比为2的等比数列； 故，． (2)由题， 则， 故是首项为，公差为的等差数列， 则． （2）将代入求得的表达式，通过计算为常数证明其为等差数列；最后利用等差数列的前项和公式求得. 典例2(26-27高三上·河南南阳·期中）已知数列的前n项和为，且 (1)证明：数列是等比数列； (2)记，求数列的前n项和 (3)是否存在互不相同的，使得成等差数列？如果存在，请求出r，s，t的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：在中，令，得，又，得. 由，得， 两式相减，得，即. 所以，又，所以， 因此数列是首项为6，公比为3的等比数列. （2）由（1）知 ，，所以 . 于是 . 又 ， 故 . 所以 . (3)不存在互不相同的，使得成等差数列. 证明如下：假设存在互不相同的 ，使得 成等差数列，则 . 由（2）知 ，代入得 ，化简得 . 不妨设 ，因为 是递增数列，所以 . 在 两边同除以 ，得 . 因为 ，所以 ，从而 均为 的倍数，于是 是 的倍数，而 除以 余 ，矛盾. 所以不存在互不相同的 ，使得 成等差数列. 方·法·技·巧 1．等差数列的判定方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数． (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立． (3)通项公式法：验证an＝pn＋q. (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn. 2．等比数列的判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列. (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列. (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0，1)，则{an}是等比数列. 变式1(26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求． 【分析】（1）利用与的关系化和为项，可得，两边同除以，结合等差数列定义和通项公式证明求解； （2）由（1）可得，分组求和得解. 【解析】（1）)当时，，得， 当时，， 故．于是， 所以数列是首项为2、公差为的等差数列. 因此，即. （2）由第（1）问，， 所以， 所以 . 变式2（26-27高三上·甘肃兰州·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式； (2)记，求的前项和. 【分析】（1）对两边取倒数，利用等差数列定义即可证明结论，再利用等差数列通项公式即可求出的通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【解析】（1）由题意知，所以由，得，所以， 又，所以是首项为3，公差为5的等差数列， ，即. (2) （2）由（1）得，所以①， ② ①-②得 ， 所以. 变式3（26-27高三上·甘肃兰州·期中）已知数列的前项和为，且，，在数列中，，且，． (1)求证：是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）利用裂项相消法即可求解. 【解析】（1）【)证明：且， 是首项为4，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，所以， 则， 所以， 所以． 变式4（26-27高三上·上海虹口·期中）已知数列的前n项和为，，且． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数n． 【分析】（1）利用等比数列的定义证明； （2）先利用等比数列的通项公式求，再利用分组求和求； 将转化为，列不等式求满足条件的最小正整数. 【解析】（1）由得，又， 所以， 因此是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，，所以， . 若，则，所以； 当时，；当时，； 所以使得成立的最小正整数. 题型 06构造等差数列、等比数列 典例1（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足对任意正整数，恒有，且，，则的前30项的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，令，可得，可得是等比数列，求出，进而求出，再利 【解析】由对任意正整数恒成立， 令，得，又，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，即； ， 所以的前30项和为. 典例2（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的前项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知递推式​​，两边同时取倒数得：， 即， 结合初值，即 ， 所以数列是首项为、公差为的等差数列. 根据等差数列通项公式得：， 所以， 所以. 因此数列的前项和为. 方·法·技·巧 构造数列策略：见，设an+1+c=p(an+c)，c=)，化为等比数列{an+c}； 含型两边同除以构造；an+1=an+f(n)用累加，乘f(n)用累乘；分式递推取倒数转等差；Sn与an混列式先作差，构造后写明新数列首项，并验证n=1. 变式1（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 【答案】C 【解析】由，，可得，所以，等式两边同除，有，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以， 所以， 记，则，所以为递增数列，所以， 所以. 变式2（26-27高三上·贵州·开学考试）已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由， 则， ， ， ， ， ， 累加得：， 即， 因为，所以 ， 当时，满足题意，故数列的通项公式为：. 变式3设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（ ） A． B． C．5 D．6 【答案】D 【解析】等价于，而， 所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有 ，所以， 故． 故选：D． 变式4（2026·青海黄南·模拟预测）已知为数列的前项和，，，则______，则数列的前项积取得最小值时，______． 【答案】 或 【解析】由题意，， 令，得，因为，所以，解得； 令，得，解得即； 当时，已知①， 将替换为得②， ①-②得：， 化简得，即. 因为，两边同除以得， 又因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 设数列，则， 其前项积， 指数部分为，所以， 要使取得最小值，只需取得最小值， 二次函数的对称轴为， 因为为正整数，所以当或 时，取得最小值，此时也取得最小值. 题型 07等差数列项的绝对值的和 典例1（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【分析】（1）设公比为，由前三项和及第三项的值列方程，求出首项与公比，再写出通项公式． （2）将通项公式代入，化简得到，按和分类，利用等差数列求和公式分段求和． 【解析】（1）设等比数列的公比为，则，由，，得， ，消去得，即，所以． 由，得，从而，故，． （2）由（1）得． 当时，前项均满足，故； 当时，前10项的和为，第11项至第项依次为，故． 综上，，． 典例2（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 【分析】（1）求等差数列通项，可将题目条件转化为关于首项和公差d的方程组，解出基本量后代入通项公式即可；（2）含绝对值的等差数列求和，先确定通项正负的分界项，再分区间去掉绝对值，分别用等差数列求和公式计算分段结果. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意， 解得，， 所以（）. （2）设， 所以，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 再设（）. 当，时， ； 当，时， ． 所以 （）. 方·法·技·巧 绝对值求和策略：先解an≥0求变号临界项k，此时Sn取到最值。前k项非负时，n≤k和为Sn，n>k和为2Sk−Sn；前段为负则先添负号再分段，不要硬套。须分n≤k与n>k写清结果，末项单独验算. 变式1（26-27高三·全国·二轮复习）等差数列，，，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【解析】因为为等差数列， 且， 所以数列中一定有正有负，设，公差， 因为为定值， 所以设，且，则， 若且，则， 若，则，所以， 数列的项数为， 所以 ， 又因为，所以， 解得，则，则的最大值为. 变式2（2026高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则其前10项和的值为________，数列的前项和________． 【答案】 【解析】因为，所以； 因为， 所以当时，； 当时，． 所以 变式3（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，证明数列是等比数列，并求数列的前项和； (3)记，求数列的前n项和． 【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件列出关于首项与公差的方程组，求解出，的值，代入等差数列通项公式即可求解； 由得到的通项，先利用等差数列前项和公式求出，进而算出，得到的表达式，依据等比数列定义完成证明，再用等比数列求和公式求出前项和； 由的通项写出，找到绝对值内式子正负分界点，分情况讨论，结合等差数列求和公式分段求出前项和. 【解析】（1）设等差数列公差为， 展开第二个方程：， 因为，所以， 代入， ， ， 故. (2)， ， ， 令， ，所以是首项，公比的等比数列， 前项和： (3) （3），， ①当时，，， 是首项，公差为的等差数列： ， ②当时，前项和， 当时，，从第项开始，首项，公差为， ，， ，， 综上，. 题型 08等差数列前n项和性质的应用 典例1（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，且，即， 又因为为等差数列的前项和，则，，，也为等差数列， 可得，即，则， 且，即， 可得，即， 所以. 典例2（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，不妨设，，其中， 所以 典例3（26-27高三·全国·一轮复习）已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【解析】由题意，， ， 所以， 所以． 方·法·技·巧 等差数列前n项和的性质 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列； (2)为等差数列； (3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (4)S2n－1＝(2n－1)an； (5)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 变式1（25-26高三下·辽宁鞍山·期中）设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意及等差数列的片段和性质，设，从而求出，，进而即可得到答案． 【解析】由等差数列的片段和性质知，，，，···是等差数列， 由，不妨设，则， 所以，，，，···，依次为，，，，···， 所以， 所以． 变式2（25-26高三上·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此， 由，得， 两式相减， 因此数列公差为. 变式3（25-26高三上·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 题型 09等比数列前n项和性质的应用 典例1（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【解析】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故选：B 典例2（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为341，所有偶数项的和为170，则______________. 【答案】4 【解析】， 因此， 而，所以， 该数列前项的和为，解得. 方·法·技·巧 　(1)等比数列前n项和的性质主要是：若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列(q＝－1且n为偶数除外)． (2)注意等比数列前n项和公式的变形．当q≠1时，Sn＝＝－·qn，即Sn＝A－Aqn(q≠1)． 变式1（26-27高三上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【解析】由题意可知：，所以． 故选：D. 变式2（25-26高三上·四川内江·阶段检测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 变式3（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）设是等比数列的前项和，若 ， ，则（    ） A．21 B．28 C．49 D．56 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，则， 又，代入解得， 则 . 变式4（2026高二·全国·专题练习）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则________． 【答案】30 【解析】由题意知数列的公比，，，成等比数列， 若，，则，， 所以， 即， 解得或（舍去）． 题型 10等差数列、等比数列的综合应用 典例1（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)令，求数列的前n项和． 【分析】（1）对条件去分母变形，结合等差数列的定义判断，再根据等差数列的通项公式求得数列的通项，进而求得； （2）由（1）求得，利用裂项相消法求和； （3）由（1）可得，利用分组求和法和错位相减法求和. 【解析】（1）)由，去分母化简得，又， 所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列； ，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），所以， . （3）因为， 令，，数列的前项和为，数列的前项和为， 所以， ， ， 两式相减得，即， 所以； 又； 所以. 典例2（26-27高三上·辽宁锦州·阶段检测）已知函数，数列满足，， (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【分析】（1）根据题意写出数列递推公式，进而根据等比数列的定义证明数列是等比数列，进而根据数列的首项和公比，写出数列的通项公式，进而求出的通项公式； （2）根据条件直接写出数列的通项公式，进而求出，构造新数列，通过作差法，说明数列单调性，进而根据数列最大值，求出参数范围. 【解析】（1）因为函数，所以， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， . （2）由（1）可知：， 所以， 所以由，得出，，可得， 设，由， 可知当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有，因此实数k的最大值. 方·法·技·巧 等差与等比数列的综合题，核心是“统一基本量、识别结构、分类讨论”. 1.统一基本量.设等差数列首项为a1、公差为d；等比数列首项为b1、公比为q.凡条件中出现和、积、项间关系，一律化为基本量列方程，避免直接套用通项公式造成未知量过多. 2.识别结构。若数列由等差、等比“拼接”而成，按项的下标分段处理，分别写出两段通项，再在衔接处用相等关系确定参数；若为“等差乘等比”型，用错位相减法求和. 3.分类讨论。等比数列涉及公比时，须讨论q为1或q不为1 两种情形；含参问题还要检验 q不为0 及各项非零的条件，防止漏解. 4.验证取舍。解出参数后代回原条件检验，剔除使数列退化或与题意矛盾的值，最后作答. 变式1（多选）（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，数列满足，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．数列的前项和 D．不存在正整数，使成等差数列 【答案】ACD 【解析】 选项A：已知，当时，，解得； 当时，，整理得，因此是首项为1、公比为2的等比数列，，A正确. 选项B：对两边同除以，得，因此是首项为、公差为1的等差数列， 故，得，代入得，与选项B中矛盾，B错误. 选项C：，则其前项和 ， ， 两式相减得：，整理得，C正确. 选项D：若成等差数列，则，即， 时，若为偶数，，，而时，矛盾； 若为奇数，，，仅当时，对应，不符合，故不存在满足条件的正整数，D正确. 变式2（2026·四川南充·一模）已知向量满足，，且（且），若对任意，都有．则________． 【答案】/ 【解析】因为，利用特征方程解可知， 解得或， 所以， 联立方程组法消掉得： ， 设，则， 所以，所以， 所以， 设， 因为，， 所以， 所以的对称轴为， 又因为在前后振荡， 若对称轴在的左侧，则会总存在一个， 使得，，等在对称轴的右侧且在附近左右摆动， 就不满足对于任意的，都有成立， 所以对称轴在的左侧不成立； 若对称轴在的右侧，则会总存在一个， 使得，，等在对称轴的左侧且在附近左右摆动， 就不满足对于任意的，都有成立， 所以对称轴在的右侧不成立； 所以对称轴只能是，即， 解得，即， ． 变式3已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明. 选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证； 选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【解析】选①②作条件证明③： [方法一]：待定系数法+与关系式 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，，故. [方法二]：待定系数法 设等差数列的公差为d，等差数列的公差为， 则，将代入， 化简得对于恒成立． 则有，解得．所以． 选①③作条件证明②： 因为，是等差数列， 所以公差， 所以，即， 因为， 所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法 设，则， 当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去. 综上可知为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式 因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论. 变式4（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设为等差数列的前项和，其中，且． (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为． ①求； ②若对任意的，都有，求常数的最小值． 【分析】（1）由等差数列得到，再根据得到,，于是可得，进而得到公差，通项公式为； （2）①求得，用错位相减法得到； ②由，代入化简得，利用得到为递减数列，依次验证各项，可得到常数的最小值为4. 【解析】（1）令，则，所以， 令，则，即，所以 因为为等差数列，所以前三项成等差数列， 所以，即，所以. 所以，所以公差， 所以通项公式为. （2）①， （1） （2） 所以（1）减去（2）可得 所以. ②由可得，即， 设，则， 因为，所以， 所以为递减数列，又因为， 所以当时，恒有，所以常数的最小值为4. 1．（26-27高三上·新疆和田·阶段检测）已知等差数列的公差为，且成等比数列，则（    ） A．1 B．5 C．3 D．3或-1 【答案】C 【解析】因为，公差为，所以． 由题意，得，即，化简得， 解得或．当时，，，满足； 当时，，等比数列的项不能为0，所以不满足，，成等比数列，舍去．所以． 2．（25-26高三上·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【分析】根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解. 【解析】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 3．（26-27高三上·全国·期中）等比数列 中，、是方程 的两根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由韦达定理以及、为方程两根可得， ，且 ， 由等比中项可得，，解得， 若，则，解得或，若， 则，则，，满足题意； 若，则，则，，满足题意； 若，则，解得或， 当时，，此时，， 此时，，满足题意； 当时，，此时，， 此时，，满足题意，故. 4．（2026·浙江嘉兴·一模）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（     ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为， ，，成等比数列，可得， 则有，化简得． 因为，所以． 因， 则，， 故． 5．（山西省太原市2026-2027学年高三上学期11月期中阶段学业诊断数学试题）等差数列前项和为，，，则正确的为（    ） A． B． C．数列的公差为 D． 【答案】C 【解析】设等差数列的首项为，公差为，则， 由，， 得，解得. 对于A，，故A错误； 对于B，，，，，故B错误； 对于C，公差，故C正确； 对于D，，因为，所以，故D错误. 6．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 【答案】C 【解析】设该芯片企业近个月的月产量构成等比数列，公比为，前项和为， 则，，， ，，即该企业这个月的总产量为万片. 7．（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，则， 因，则， 又，， 则 又，则，故A正确； ，则，故B正确； ，则，故D正确； 不妨取，不满足，故C错误. 故选：C. 8．(多选)（2026·云南昆明·模拟预测）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．是递减数列 B．当时，取得最大值 C．若，则的最大值为11 D．数列的前10项和为50 【答案】AC 【解析】设等差数列公差为，由，，解得， 因此通项公式为，前项和． 对于A：公差，所以是递减数列，A正确； 对于B：令，解得，即，，前6项均为正，第7项起为负， 故在时取得最大值，B错误； 对于C：令，解得（为正整数），因此时的最大值为11，C正确； 对于D：前10项和为，D错误． 9．(多选)（2026·浙江绍兴·一模）记为无穷数列的前n项和，已知，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．存在，使得，，成公比不为1的等比数列 D．若存在且，使得，，成等差数列，则的最大值为3 【答案】ABD 【解析】由题设，是无穷正整数数列，且，即. ∵ ， ∴ 必为偶数，即所有均为奇数，否则非整数，与无穷数列矛盾. 对于选项： ∵ 为奇数，∴ （偶数，舍去）或（奇数，符合）. ∵ 为奇数，∴ （偶数，舍去）或（奇数，符合）. ∴ ，正确. 对于选项： 令，则递推式变形为，即. ∴ 要么，要么. 两种情况均满足，故， 即. ∴ ，正确. 对于选项： 假设存在，成公比的等比数列，则. 由递推式，，，代入得： . 展开后仅当时等式成立，此时，公比，与矛盾，故不存在这样的，错误. 对于选项： ∵ ， 递推得. 设成等差数列，则. 当时： ∵ ，，∴ ， 又∵ ，故， 取，则，验证，，满足递推要求，构造可行. 当时： ∵ ，， ∴ ， 整理得，∵ 时，∴ . 综上，的最大值为3，故D正确. 10．（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列中，，，若对任意的，都有，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为，则，即是以为首项，为公比的等比数列， 则，得且， 将代入条件得，， 因为单调递增， 当为偶数时，； 当为奇数时，，即， 综上的取值范围是． 11．（26-27高三上·山东济南·期中）已知数列的前n项和为，且，．若，则正整数m的所有可能取值的个数为________． 【答案】33 【解析】由可得， 由累加法，当时，， 因此，即得， 所以，当时，， 当时，， 又为正整数，所以， 由，得，， ， 依次类推，， 又，所以 所以 所以，当时，， 当时，， 又为正整数，所以， 综上所述，，共33个 12．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知线段，射线以点为端点，且．在射线上依次取点，，…，，…，满足，．记，则________． 【答案】 【解析】如图，由题意，，，，则， 在中，，则，， 又因，则，同理可得， ，，， 故 ， 故. 13．（26-27高三上·四川·阶段检测）已知数列的首项，且前项和为满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：. （i）求，； （ii）求数列的前项和. 【解析】（1）由，得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即. 当时，； 当时，也满足. 故数列的通项公式为. （2）由（1）可知，，即. （ⅰ）记，则. 当时，，解得； 当时，， 即，解得. 故. （ⅱ）由与作差， 得， 所以，即， 所以当时，；当时，. 故. 14．(26-27天津滨海区一中高三上检测)已知等比数列满足，且是，的等差中项，等差数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列（相同项重复保留），求数列的前项和． 【解析】（1）依题意有， 因为，所以， 因为，所以，则， 因为数列是等差数列，设其公差为，，解得，； （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以； （3）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为，， 又，恒成立，即， 说明数列中的前项都包含在数列的前项中，剩余的项取自数列中， 即数列的前项由中的前项和中的前项构成， 所以 ． 15．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知在数列和中，，且对任意，点和点均在直线上． (1)证明：数列是等比数列，并求出； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为． ①求； ②记，则在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）构成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【解析】(1)因为点和在直线上， 所以，，即， 因为，所以，即， 又，且，即，解得， 由，得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以． （2）①在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则， 结合（1）有，则，解得，则， 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 则①－②得 ， 又， 则，则， 所以数列前项的和为． ②不存在，证明如下： 结合①得， 假设存在不同的项，，（其中，，成等差数列）构成等比数列， 由，，成等差数列，即，且，，互不相同， 又，，构成等比数列，则， 即， 即， 则， 设，，，则， 又，，互不相同，则，，也互不相同， 又，则，即， 联立，整理得，解得，即，矛盾， 所以不存在不同的项，，构成等比数列． 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $