第7章 第7节 抛物线-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

上篇：第七章平面解析几何 [跟踪训练] 因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值， (多选题)已知a>0,b>0,则双曲线C:a y2 也可求出渐近线的方程，即=√2一工.但要注 a y2 =1与C2:a2 =4有相同的 意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上 A.焦点 B.焦距 述两类问题都有两个解！ C.离心率 D.渐近线 [跟踪训练] [命题角度3]由离心率或渐近线确定双曲线 方程 已知双曲线E:一y a2 b2 =1(a>0,b>0)与抛物线 5.已知双曲线 y 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近 C:y2=2px(p>0)有相同的焦点F,抛物线的准 线过点(1，√3)，且双曲线的一个焦点在抛物线 线与双曲线交于A,B两点，三角形FAB为等边 y2=16x的准线上，则双曲线的方程为 () 三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点 y 21 O与另一点M,三角形OFM的面积为6√2，则 双曲线的方程为 4-20=1 B 方法指导引 4之1 双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的 c.2-号-1 2 D营--1 联系，二者之间可以互求.已知渐近线方程时， C温馨提 可得的值，于是e2= a2 =1+) 学习至此，请完成配套训练课时冲关四十五 第7节 抛物线 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.抛物线的定义及其应用，达成直观想象 抛物线的定义、标准方程、几何 1.了解抛物线的实际背 性质近年高考命题的热点.常与圆、 和数学建模的素养。 景，了解抛物线在刻画 现实世界和解决实际 2.抛物线的标准方程与几何性质掌握与应 椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇 问题中的作用. 用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算考查，考查学生的分析问题解决问题 的能力，三种题型都有可能出现，选 的素养 2.掌握抛物线的定义、几 择题、填空题一般为中低档题型，解 3.直线与抛物线的位置关系的判断与应 何图形、标准方程及简 答题为中高档题.做题时要充分利用 用，提升逻辑推理、数学抽象和数学运 单几何性质 函数与方程思想、转化与化归思想、 算的素养 数形结合等数学思想的运用 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 2.抛物线的标准方程与几何性质 1.抛物线的定义 y2=2px y2=-2pr x2=2py r2=-2py 标准 (1)平面内与一个定点F和一条定直线1(F)的 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 方程 p的几何意义：焦点F到准线l的 距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫 做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的 图形 卡兰 (2)其数学表达式：|MF|=d(其中d为点M到准 线的距离). 155 艺考生文化课百日冲关·数学 续表 [自主诊断] 顶点 [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 对称轴 里打“√”，错误的打“×” (1)平面内与一个定点F和一条定直线1的距离 焦点 相等的点的轨迹一定是抛物线 ( (2)抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是4. 离心率 ( (3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛 准线 物线一定相切. () 方程 (4)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x x≥0， x0, y0, y0, 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 0准线方 范围 y∈R x∈R 程是x=一 开口 (5)若一抛物线过点P(一2,3)，其标准方程可写 向 向 向 方向 为y2=2px(p>0). () (6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线 被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛 焦半径 PF= PF= PF= PF= (其中P 物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a.( (x0y%) 2 3%+2 2 [小题查验] 1.坐标平面内到定点F(一1,0)的距离和到定直线 重要结论 与焦点弦有关的常用结论 :x=1的距离相等的点的轨迹方程是() (以下图为依据) A.y2=2x B.y2=-2x C.y2=4x D.y2=-4x 2.抛物线x2=一4y的准线方程是 () A.y=1 B.y=-1 C.y=2 D.y=-2 3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+ 1D12=-p2n12= y2=4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为 4 ) (2)|AB|=x1+x2+p= 品0为A出颜 A.1 B.2 斜角) C.4 D.8 3)AF+为定值号 1 1 4.(2025·北京卷)抛物线y2=2px(p>0)的顶点 到焦点的距离为3，则p= (4)以AB为直径的圆与准线相切 5.(2024·北京卷)已知抛物线y2=16.x,则焦点坐 (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切 标为 ·156· 上篇：第七章平面解析几何 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一抛物线的标准方程与几何性质（自主练透） [题组集训] /题后反思/ 1.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2= 1.求抛物线的标准方程的方法 2px(p>0)交于D,E两点，若OD⊥OE,则C的 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未 焦点坐标为 ( 知数只有，所以只需一个条件确定p值 A.) B(合 即可. (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛 C.(1,0) D.(2,0) 物线方程时，需先定位，再定量· 2.(2026·全国I卷)已知抛物线C1:y2=21x(p1 2.确定及应用抛物线性质的技巧 >0)和C2:x2=2p2y(p2>0)均经过点(4,8)，则 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等 C1的焦点与C2的焦点之间的距离为 性质时，关键是将抛物线方程化为标准 A.12 B.4√5 方程 D.65 (2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质 C.6 2 以图助解 考点二 抛物线的定义及其应用（多维探究） [命题角度1]到焦点与定点距离之和最小问题 方法点拨/ 1.已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点，点 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与 A(一2,4)，在此抛物线上求一点P,使|PF|+ 抛物线的定义有关，由于抛物线的定义在运 IPA的值最小，则点P的坐标为 。 用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一 核心素养 定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准 直观想象、逻辑推理数学运算—抛物线的 线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重 定义及其应用中的核心素养 以抛物线的简单几何性质的相关知识为基础， 要途径.将抛物线上的点到焦点的距离转化 借助抛物线及其他平面图形的几何性质和数量关 为到准线的距离，利用“与直线上所有点的 系建立有关的方程及不等式，通过解方程式、不等 连线中垂线段最短”原理解决. 式求距离和最小值，增强直观想象、逻辑推理和数 [命题角度2]到点与准线的距离之和最小问题 学运算的核心素养. 2.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆 直观想象、逻辑 信息提取 信息解读 推理和数学运算 x2+(y-4)2=1上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小 抛物线的方程为 点A(-2,4)在 直观想象：画出符合题意的图形 值是 x2=8v,F是焦抛物线x2=8y 逻辑推理：数形结合，利用抛 点，点A(-2,4) 的内部 物线的定义以及三角形三边 方法点拨/ 关系定理，过点A作淮线1的 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦 垂线，垂线与抛物线的交点 即为点P. 点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题 根据抛物线的 在此抛物线上求定义，PF|等 数学运算：点P的横坐标就 得解」 一点P,使PF 于点P到抛物 是点A的横坐标，将其代入 +PA的值最小 抛物线的方程即可求出点P 线的准线为1 [命题角度3]到定直线的距离最小问题 的距离 的纵坐标 3.抛物线y=一x2上的点到直线4x+3y一8=0距 离的最小值是 157 艺考生文化课百日冲关·数学 方法点拨/ A,B两点，过A,B分别作y轴垂线，垂足分别为C, 到定直线的距离最小问题，实际是求已知直线 D,则|AC+|BD的最小值为 的平行线与抛物线相切，再求两条平行直线之 方法点拨/ 间的距离. [命题角度4]焦点弦中距离之和最小问题 在圆锥曲线中，在过焦点的所有弦中，通径最 4.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于 短.这是一个定值问题，需牢记 考点三直线与抛物线的位置关系（多维探究） [命题角度1]直线与抛物线的公共点（交点）问题 (1)求抛物线的方程； 1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(1,2),过点 (2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点，若斜 Q(0,1)的直线1与抛物线C有两个不同的交点A, 率为2的直线I与直线MA,MB,AB,x轴依次 B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N. 交于点P,Q,R,N,且满足|RNI2=|PN|· (1)求直线1的斜率的取值范围； QN|,求直线l在x轴上截距的取值范围. (2)设O为原点，QM=λQO,QN=μQ0, 求证：+为定值。 1规律方法/ ①判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接 求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元 后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利 用判别式的前提是二次项系数不为0.②解题 时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体 代换的技巧. /规律方法/ [命题角度2]与抛物线弦长（中点）有关的问题 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是 2.如图，已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点， 否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接 M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2. 使用公式|AB引=1十x2十p,若不过焦点，则必 须用一般弦长公式. (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题 时，一般利用根与系数的关系采用“设而不 求”“整体代入”等解法. (3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法” 求解 C温馨提正 学习至此，请完成配套训练课时冲关四十六 ·158艺考生文化课百日冲关·数学 由勾股定理得|OD|=√TOF,-DF,下=√2-6 =a· 在R△DOF,中，∠ODF=吾cos∠D0F,=P OD -4. 在△DOF中，|ODl=a,|DF2|=2√2a,lOF|=c, cos∠D0R:=os(x-∠D0E)=-c0s∠DOF,=-g, 由余弦定理得cos∠DOF,= IOD+IOF:I:-IDF:atc-8-- 2OD1·OF, 2ac c 化简得，c2=5a2,即c=√5a,因此，双曲线C的离心率为 e=￡=5，故选C.] a 1 3.B[将点(1,0)代入双曲线方程得：-0=1→a=1→ a=1, 将点（侣3代入双方得 2 =14 -1号-=12-62 9 所以双曲线的渐近线方程为)=士名· 即：y=±2V3x.] b 星B设渐近线y石z的倾斜角为0，则1am日名，又F 到浙近线y=名：的距离为AF=加 =b,又OF= √a2+b c,∴.OA=a,.BF=2AF=2b,.AB=3b..tan∠AOB tan 20=36=3tan 0,:2tan e -1an产9-3tan0,解得tan9= 士：风南线C的渐近线方银为y=士停] 跟踪训练 CD[对于选项A、B.设c=√a+b,易知C1的左、右 焦点坐标分别为（一c,0)和(c,0),而C,的标准方程为 动一或=1，故共左右点坐标分别为（一2,0）和 (2c,0),显然C,和C,的焦点和焦距均不相同，故A,B错 误，对于选项CD.C和C,的离心率均为C,渐近线方程 均为y=士台，故CD正确] .A[双曲线号-￥1(@>0，b>0)的新近线方程为 =士x,由一条渐近线过点(1,3)，可得么=5，双曲 线的一个焦点（一c,0)在抛物线y=16.x的准线x=一4上， 可得c=4,即有a+b=16,解得a=2,b=2√3，则双曲 线的方起为二-盖=1，故逸A.] 跟踪训练 A[双曲线的右焦，点为(c,0), M 抛物线的焦点为F(号0小 由焦点相同得c=号，即力=2c, A 将抛物线的准线x=一c代入 10 士6 a ·3 故A(合)B(6,一台)则AB=安 :△FAB为等边三角形，.2c=号.25→2ac=56, 2 a 双曲线的渐近线方程为y=士x, 根据对称性，不坊取其中一条渐近线y一合，与抛物线 方程联立： 少=2消元得x（z≠0)，对应y=·@ ly=4cx a 袋，申() 5w=c·g=20=6,即g=3E. 1 〔2ac=√36 /a2=2 ac =32,得6=4， b Lc2=a2+b2 (c2=6 所以风南线的方程为号-号=1.门 第7节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)相等准线2.距离O(0,0)y=0x=0 r()F(-号o）F()r(o.-)】 1 =-=y=-= ,y∈Rx∈R右 左上下x十名-十号 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√ 小题查验 1.D2.A3.C4.65.(4,0) 跃升·关键能力考点一 1.B[将x=2代入y=2x(p>0)得y=士2√p.由ODL 0B得k0·E=-1,即22.-2亚=-1，得p=1,所以 2 2 抛物线C=2x的焦点坐标为F(0）故选B] 2.D[由64=8p1得p,=8,由16=16得=1.因为y2 2x的焦点为（合0）x=2py的焦点为(0，号）所 以两焦点为C(4,0,C(0,号)1CC1 +()=选D 考点二 1.解析：（一2）<8×4， ∴.点A(-2,4)在抛物线x2=8y 的内部，如图，设抛物线的准线为 l,过点P作PQ⊥l于，点Q,过，点 A作AB⊥l于，点B,连接AQ. 由抛物线的定义可知|PF|十 IPA|=|PQ|+IPAI≥|AQI≥ |AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时，|PF|+|PA取得 最小值，即为AB. A(一2,4)，.不妨设PF十PA的值最小时，点P 1 的坐标为(-2，y),代入x=8y,得y。=2 故使|PF+|PA的值最小的抛物线上的点P的坐标为 (22) 答案：(-2) 46 2.解析：由题意知，圆x十(y一4)=1的圆心为C(0,4),半 径为1，抛物线的焦点为F(1,0).根据抛物线的定义，点P 到，点Q的距离与，点P到抛物线准线的距离之和即点P到 点Q的距离与，点P到抛物线焦点的距离之和，因此PQ十 IPF|≥|PCI+|PF1-1≥|CF1-1=W17-1. 答案：√17-1 3.解析：法一：如图，设与直线4x十 3y一8=0平行且与抛物线y= 一x相切的直线为4x十3y十b= 4x+3y8=0 0,切线方程与抛物线方程联立 得∫=-x2, 4x+3y+b=0 (4x+3y+b= 。消去y整理 得3x2一4x一b=0,则△=16十 126=0,解得=-亭，所以切线方程为4红十3y-青 4 0,抛物线y=一x2上的点到直线4x+3y一8=0距离的 4 最小值是这两条平行线间的距离d= 83 3 法二：对y=一x2,有y=一2x. 如图，设与直线4x十3y一8=0 平行且与抛物线y=一x相切 4x+3y-8=0 的直线与抛物线的切点是 T(2,-m), 4x+3y+b=0 则切线斜率=y1x=m=一2m= 青，所以m=号，即切点 T(停号)成T到克线红+一8=0的距高d 3,由图知抛物线y=一x上的点到直线 4 √/16+9 4r+3y-8=0距离的最小值是学. 答案：青 4.解析：由题意知F(1,0),|AC十BD=AF|+FB 2=|AB|一2，即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当 AB取得最小值.依抛物线定义知当|AB为通径，即 |AB=2p=4时，为最小值，所以|AC+|BD的最小值为2. 答案：2 考点三 1.解：(1)依题意，抛物线y=2px经过，点P(1,2), 可得：4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y=4x. 由题意可知直线1的斜率存在，设直线1的斜率为k,由 题意可知k≠0. ①若直线1拾好过点P1,2),此时=已。1， 由题意可知直线1不能过点P, .直线1的斜率≠1. ②若直线1与抛物线的一个交点恰为(1，一2)，此时该，点 与P,点所在直线斜率不存在，则该直线与y轴无交点， 与题日条件矛盾，此时k气2=一3 .直线1的斜率k≠一3. ③设直线l的方程为y=kx十1， 设A(x1y1),B(x2y), 联立十1，消y整里可得：x十(2张-4)z+1 {y2=4.x 三0. 直线（与抛物线有两个不同的交，点， ∴.△=(2k一4)一4k>0,解得：k<1. 综上所述，k的取值范围是（一∞，一3）U(一3,0)U(0,1) (2)证明：因为A(x1y1)B(2),P(1,2),Q(0,1), 所以直线PA的方程为y一2=-(x1), ·34 参考答案 令x=0,解得y= +2- x1-1 所以M的生标为(0，面子) 同理可得：N的坐标为0， 2x一y 2-1 aa-(2子-小 QN=(0 22-￥-1）Q0=(0,-1)· 由QM=1QO,QN=uQO可得： 2x1一y1一1=一入，12一1=一以 x1-1 所以A=1一 2x1-4=名1-1一2x+(kx十1) x1一1 x1-1 x-1,同理可得：=飞(-1) x1(k-1) y-1 所以+1=1」 X入4x(k-1)）千(k 1/x-1x2-1\ ,2x1x2-(x1十x2) 由(1)可得：z1十，=4二2 1 ,x1=2 所以+上=1 2.1-4-26 入红1·k一=，一 ·(2k-2)=2. 1 1 所以+为定值2 2.解：(1)MF=p=2,故抛物线的方程为y=4x. (2)F(1,0),M(-1,0),设A(x1y1),B(x2y), 显然直线AB斜率不为0，故可设AB:x=my十1， 因为R,N不重合，故1不过点F(1,0),故可设1：y=2x 十n,(n≠一2)，联立直线AB与抛物线方程可得 sy=4x x=m+1)y-4my-4=0, 故由韦达定理可知y十业=4m, (y13=-4' 故yi+y2=(y1+y2)2-2y1y2=16m+8, 直线AM的方整为y=行：-)+ 联立直线AM和l可得 p(+1)-y ,（n-2)y) （y-2x-2y-2x=2 同理可得Q((十1)-业」 (n-2)y2 （2-2x-2'y-2x-2 故lyp·a= (n-2)2y1y2 |(y1-2x1-2)(y2-2.x2-2) 4(n-2)y1y (2y1-yi-4)(2y-y-4) 16(n-2)2 4y1y2-(2y1y2+8)(y+y2)+yy+4(y+y)+16 =n-2)9 n+2 m十3，联立直线AB和1解得)g” 周为RN=PN.QNI,故喷=（产）- 2 lypyol=(n-2) 4m+3 0器-贵=1+品十≥子 2 4 3 解得n∈(-∞，-2)U(-2,14-8√3] U[14+8W3,+co), 艺考生文化课百日冲关·数学 故-2∈(-∞，-7-45]U[-7+45,1)U (1,十○)，直线I在x轴上截距的取值范围为 (-∞，-7-43U[-7+4√3,1)U(1,+∞) 第8节 夯实·必备知识必备知识 (1)无公共点一个交点不等两个交点一个切点 思考辨析(1)×(2)X(3)/(4)/(5)√/ 小题查验 1.A2.A3.C4.45.9 跃升·关键能力考点一 1.C[结合图形分析可知（图略），满足题意的直线共有3 条：直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过，点 (0,1)且与抛物线相切的直线（非直线x=0),故选C.] 2.D[由双曲线渐近线的几何意义知一b<k<b.故 a 选D.] 3.B[:直线m.x十y=4和圆O:x2十y2=4没有交点， 4 √m+n >2+<4号+<g+” 4 =1一品m<1点(m,m)在描国号+苦=1的内率， ∴过点(m,)的直线与指国号+斗-1的文点有2个， 故选B.] 考点二 [典例们（1)[解析]D[由-+2：得1-女)x-4z {x2-y2=6, -10=0, ”直线与双曲线右支有两个不同交点， 1一4k2≠0 △=16k2一4(1-k2)×(-10)>0 +共>0 10>0 x1x,=k2-1 解得-压<k<-1,故选D.] 3 (2)[解析]B[直线3x一y一V=0过抛物线的焦 点F(1,0), 把直线方程代入抛物线的方程y=4c,解得=3 (y=2√3 1 或 不A3.2.B-2g} 3 3 .OF=AOA+gOB 1.0)=2a+(,-2￥5 1 3+3,2-2} 3 ·3A+3=1,2x-2y5 =0= 1 3 4= 4 1 则入一=一2故选B.] 跟踪训练 1.C[由题意可知：描围号+号=1的左猴点（一1,0），设 B(x,0),由AF⊥AB,且A,B,F三点确定的圆C,圆心 C(号0)*径为， 2 在△AOC中，由|AO12+|OC12=|AC1=r2, ·3 即®+（号）=（安），解得x=3,则C10. 半径为2， 由题意可知：圆心到直线x十my十3=0距离d= 1十m×0+3=2,解得m=士3.故选C.] W/1+m2 2.解析：把直线y=x十m代入椭圆方程得4x+(x十m) =1,即5.x十2m.x十m一1=0，设该直线与椭圆相交于 两点A(x1y1),B(x2y2),则x1,x2是方程5x2十2mx 十m-1=0的两根，△=4m2-20(m2-1)=-16m2十 20>0,即m<号.由韦达定理可得五十=一西· =m1,所以1AB1=十T·G十》广-4红，西 5 一4m=4_2E,所以m=士1. =反入25 5 5 答案：士1 考点三 [典例门C解①)由题意知e=石=2,2a三4. 又Q=6+c2,解得a=2: ”1b=√3， 所汉药周方程为军+号=1。 4 (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条 弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|十CD=7, 不满足条件， ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的 方程为y=(x-1),A(y),B(22), 则直线CD的方程为y=-。(z-1), 将直线AB方程代入椭圆方程中并整理， 得(3+4k)x-8kx十4k一12=0， 46西·-6-12 则x十：=，8 3+4k 所以|AB引=√R+1x1-x2|= √质+I·@,+)-4西=12+12 3十4k2 12(层+ 12(k2+1) 同理，|CD= 4 3+ 3k2+4 所以AB1+1CD1=12(+1D+12(k2+1D 3+4k2 3k+4 a时0计09解得=士1 84(k°+1)2 所以直线AB的方程为x一y一1=0或x十y一1=0. 跟踪训练 解：(1)椭圆左焦点为F(一1,0)，故c=1. 离心率为e=台=子，所以a=2 a 又b=a2-c2=4-1=3. 因此+=1 (2)设直线1的斜率为t>0.直线过F(一1,0)， 故1：y=x+1).代入描圈得兰+xD =1, 3 即(3+4t)x2+8tx+4t-12=0. 设上方交点为P,第三象限交点为Q, 则xp=2(-2+3VE+ 4t2+3 x。=2(-21-3F+D 4t+3 8