安徽合肥市第八中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

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2026-11-09

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合肥八中2026-2027学年高二11月期中考试

数学

（时间：120分钟分值：150分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，， $\text{∠}BAD\text{=∠}BAP\text{=∠}DAP=60\text{°}$ ，，分别为，上的点，且 $\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{EB}$ ， $\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{FC}$ ，则 ${\rm |}\overrightarrow{EF}{\rm |}$ 等于( )

A. B. $\sqrt[{\text{ }}]{2}$ C. D. $\sqrt[{\text{ }}]{6}$

2.已知空间向量 $\overrightarrow{a}=(1,1,1),\overrightarrow{b}=(1,0, - 2)$ ，则下列结论正确的是( )

A. 向量 $\overrightarrow{a}$ 在向量 $\overrightarrow{b}$ 上的投影向量是 $\left( -\dfrac{1}{5},0,\dfrac{2}{5} \right)$
B. $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(0\text{,-}1\text{,-}3)$
C. $\overrightarrow{a}\text{⊥}\overrightarrow{b}$
D. $\cos\left\langle \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right\rangle=\dfrac{\sqrt[{\text{ }}]{15}}{15}$

3.在矩形中，，，将 $\vartriangle ACD$ 沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为( )

A. $\dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}$ B. $\dfrac{a}{b}$ C. $\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$ D. $\dfrac{a+b}{2b}$

4.已知、分别是曲线 $C _{1} :x ^{2} +y ^{2} +2x-4y+1=0$ ， $C _{2} :x ^{2} +y ^{2} -6x-2y+9=0$ 上的两个动点，为直线上的一个动点，则的最小值为( )

A. $3 \sqrt{5} -3$ B. C. $2 \sqrt{5} -1$ D.

5.已知圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-2x=0$ ，为圆上任意一点，则 $\dfrac{y-2}{x-1}$ 的取值范围是 ( )

A. $\left[ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right]$ B. $\text{[-}1,1\text{]}$
C. $(\text{-∞,-}\sqrt{3}\text{]∪[}\sqrt{3}\text{,+∞})$ D. $\text{[}1\text{,+∞})\text{∪}(\text{-∞,-}1\text{]}$

6.在平面直角坐标系中，已知圆 $O: x^{2} + y^{2} =1$ ， $C:{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}=9$ ，直线与圆相切，与圆相交于 $A\ ,\ B$ 两点，分别以点，为切点作圆的切线 ${{l}_{1}}\ ,\ {{l}_{2}} .$ 设直线 ${{l}_{1}}\ ,\ {{l}_{2}}$ 的交点为，则的最小值为( )

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A. B. C. $3\sqrt{7}$ D. $\dfrac{7}{2}$

7.已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}\text{+}\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\text{=}1\left( a\text{ > }b\text{ > }0 \right)$ 的左右焦点分别是 $F_{1}\text{,}F_{2}$ ，焦距为，若直线 $y\text{=}\sqrt{3}\left( x\text{+}c \right)$ 与椭圆交于点，且满足 $\text{∠}MF_{1}F_{2}\text{=}2\text{∠}MF_{2}F_{1}$ ，则椭圆的离心率是( )

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ B. $\sqrt{3}\text{-}1$ C. $\dfrac{\sqrt{3}\text{-}1}{2}$ D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

8.已知椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt{\text{2}}}{\text{2}}$ 且过点 $(\text{2},\sqrt{\text{30}})$ ， $F_{ 1 }$ ， $F_{ 2 }$ 分别是椭圆在轴上的左、右焦点，过 $F_{ 1 }$ 的直线 $l_{ 1 }$ 与过 $F_{ 2 }$ 的直线 $l_{ 2 }$ 交于点，线段 $F_{ 1 } N$ 的中点为，线段 $F_{ 1 } N$ 的垂直平分线与 $l_{ 2 }$ 的交点第一象限在椭圆上，且交轴于点，则 $\dfrac{|MG|}{|GP|}$ ( )

A. $\left ( { 0,\dfrac { 2\sqrt[] { 2 }+1 } { 7 } } \right ]$ B. $\left ( { 0,\dfrac { 2\sqrt[] { 2 }+1 } { 7 } } \right )$ C. $\left ( { 0,\sqrt[] { 2 }+1 } \right ]$ D. $\left ( { 0,\sqrt[] { 2 }+1 } \right )$

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分；若有3个符合题意的选项，每选对一个得2分；若有2个符合题意的选项，每选对一个得3分。

9.下面四个结论正确的是( )

A. 若，，三点不共线，面外任一点，有 $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{3} \overrightarrow{OB} + \dfrac{1}{3} \overrightarrow{OC}$ ，则，，，四点共面
B. 有两个不同的平面 $\alpha$ ， $\beta$ 的法向量分别为 $\vec{u}$ ， $\vec{v}$ ，且 $\vec{u}=\left(1,2,-2\right)$ ， $\vec{v}=\left(-2,-4,-4\right)$ ，则 $\alpha // \beta$
C. 已知向量 $\vec{a}=\left(1,1,x\right)$ ， $\vec{b}=\left(-3,x,9\right)$ ，若 $x < \dfrac{3}{10}$ ，则 $\left\langle\vec{a},\vec{b}\right\rangle$ 为钝角
D. 已知 $\vec{n}$ 为平面 $\alpha$ 的一个法向量， $\vec{m}$ 为直线的一个方向向量，若 $\left\langle\vec{m},\vec{n}\right\rangle=\dfrac{2}{3}\pi$ ，则与 $\alpha$ 所成角为 $\dfrac{\pi}{6}$

10.以下四个命题表述正确的是( )

A. 直线 $\left( 3+m \right)x+4y-3+3m=0\left( m\in \mathbf{R} \right)$ 恒过定点 $\left( -3,-3 \right)$
B. 已知圆 $C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ ，点为直线 $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1$ 上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 $\left( 1,2 \right)$
C. 曲线 ${{C}_{1}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x=0$ 与曲线 ${{C}_{2}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-8y+m=0$ 恰有三条公切线，则
D. 圆 ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ 上存在个点到直线 $l:x-y+\sqrt{2}=0$ 的距离都等于

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11.已知椭圆： $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1$ ，过椭圆的左焦点 $F _{1}$ 的直线 $l _{1}$ 交于，两点点在轴的上方，过椭圆的右焦点 $F _{2}$ 的直线 $l _{2}$ 交于，两点，则

A. 若 $\overrightarrow{A{{F}_{1}}}=\overrightarrow{2{{F}_{1}}B}$ ，则 ${\,\!}_{2}$ 的斜率 $k=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
B. ${\,\!}_{1} |+4|$ ${\,\!}_{1} |$ 的最小值为 $\dfrac{27}{4}$
C. 以 ${\,\!}_{1}$ 为直径的圆与圆 ${\,\!}^{2} +$ ${\,\!}^{2} =4$ 相切
D. 若 ${\,\!}_{1} ⊥$ ${\,\!}_{2}$ ，则四边形面积的最小值为 $\dfrac{288}{49}$

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线的方向向量 $\overrightarrow{m}=(-2,2,x) (x{\rm < }0)$ ，平面 $\alpha$ 的法向量 $\overrightarrow{n}=(1,y,-3)$ ，若 $|\overrightarrow{m}|=3$ ， $l\text{//}\alpha$ ，则向量．

13.已知圆 $C _{1}$ ： $x ^{2} +y ^{2} +2x-8y+8=0$ ，若圆 $C _{2}$ 与圆 $C _{1}$ 关于直线对称，且与直线：交于、两点，则的取值范围是．

14.以椭圆 $\dfrac{{{x}^{2}}}{13}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1$ 的左右顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别是 ${{F}_{1}},{{F}_{2}}$ ，已知点的坐标为，双曲线上的点 $P({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ({{x}_{0}} > 0,{{y}_{0}} > 0)$ 满足 $\dfrac{\overrightarrow{P{F}_{1}}·\overrightarrow{M{F}_{1}}}{\overrightarrow{|P{F}_{1}|}}= \dfrac{\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}⋅\overrightarrow{M{F}_{1}}}{\overrightarrow{|{F}_{2}{F}_{1}}|}$ ，则 ${S}_{\triangle PM{F}_{1}}−{S}_{\triangle PM{F}_{2}}=$ _______________．

四、解答题：本题共5小题，共77分；第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题分
已知空间向量 $\overrightarrow{a} =(1 , 1 , 0)$ ， $\overrightarrow{b} =(-1 , 0 , 2)$ ．
若 $k \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ 与 $2 \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ 互相垂直，求；

记 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ ，且 $\overrightarrow{AP}=2 \overrightarrow{PB},B( \dfrac {5}{3}, \dfrac {4}{3},-1)$ ，求点的坐标．

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