精品解析：安徽省阜阳第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

安徽省阜阳一中2026-2027学年高二上学期11月期中数学质量检测 一、单选题（本大题共8小题） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用关于轴对称的点的横坐标不变，其它坐标变号即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C. 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线斜率为可得到直线的一个方向向量为，分析题目条件即可得到结果. 【详解】由，得，直线斜率为，所以直线的一个方向向量为. 故选：B. 3. 若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 1或5 C. 5 D. 3或5 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点位置确定，利用关系即可求出结果. 【详解】根据左焦点的坐标为，可得，且焦点在轴上， 结合椭圆标准方程可得，故. 故选：C. 4. 已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，则直线的斜率，直线的斜率， 因为直线过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 5. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径. 因为，所以两圆外切，所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C. 6. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点. 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 7. 已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取弦MN的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出后，借助三角函数值域即可得解. 【详解】设弦MN的中点为，由，得， 由为MN的中点，得，设向量与的夹角为， ，又， 所以的最小值为. 故选：D 8. 如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的向量法，即可建立空间直角坐标系求解. 【详解】取底面的中心为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，, 则， 所以，， 故点到直线的距离为, 故选：A 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面的一个法向量为，点，在平面内，则点也在平面内 D. 若直线经过第三象限，则， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算可判定A、B、C，根据直线一般式方程及特征可判定D. 【详解】对于，故A正确; 对于B，，则或，故B错误； 对于C，因为，为平面的法向量， 易知，所以点在平面内，故C正确: 对于D，当，时，直线经过第三象限，故D错误. 故选：AC. 10. 点P在圆上，点Q在圆上，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在直线的斜率为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】求两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距求的最值判断AB选项；由斜率公式计算两个圆心所在直线的斜率，判断选项C；由两圆位置关系判断选项D. 【详解】圆，圆心，半径. 圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径， 两圆圆心距，，， A选项错误，B选项正确. 两个圆心所在直线的斜率， C选项正确. 又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误. 故选：BC. 11. 已知点，曲线是满足的点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线与圆有公共点，则 B. 若，则两曲线交点所在直线的方程为 C. 若，则的取值范围为 D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】设，求出的轨迹方程，结合圆与圆位置关系可判断AB；判断两圆外离，即可判断C；假设存在点，使得，即可结合圆的位置关系推出矛盾，判断D。 【详解】设，由，可得， 整理得，所以曲线的方程为，表示圆心为，半径的圆． 圆的圆心为点，半径， 两圆的圆心距． 对于A，若圆与圆有公共点，则， 即，解得，故A正确； 对于B，若，由A选项知两圆没有交点，故B错误； 对于C，若，则，两圆外离，则有， 即，故C正确； 对于D，若，则四边形为正方形，， 如图，又为，即，而， 所以不存在这样的点，使得，故D错误． 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题） 12. 圆的半径的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的半径公式计算得出圆的半径为，再计算最小值即可. 【详解】圆的方程可化为， 半径为，当时，圆的半径取得最小值． 故答案为：. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于，两点，则三点能构成边长为的正三角形时，的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，分析图意，根据椭圆和三角形对称性，结合椭圆的定义计算. 【详解】设，由题意知当时是边长为的正三角形， 如图． 由椭圆和正三角形的对称性，可知，所以， 又，所以， 由，得，故椭圆的方程为． 故答案为：. 14. 如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用可得关于，的方程，进而求解. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则． 因为，所以，得， 所以点的轨迹是一条线段，当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 所以符合条件的点形成的轨迹的长度为． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知向量． （1）若共面，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的基本定理计算即可求解； （2）根据空间向量数量积的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【小问1详解】 与不平行， 共面， 存在实数，使得，即，解得， 故实数的值为8． 【小问2详解】 ，且， ， 即，解得． 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，分别为，的中点，，. （1）求证：异面直线和垂直； （2）求点到平面的距离 【答案】（1）证明：以为坐标原点，，，分别为x，y，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，. 易得，， 所以， 所以异面直线和垂直. （2） 【解析】 【分析】（1）建系，由方向向量的垂直即可求解； （2）建系，通过点到面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得，. 设平面的法向量为，则， 即，令，则. 因为，所以点到平面的距离为. 17. 已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. （1）若弦的长度为，求直线的方程； （2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）分斜率存在与否进行分析，结合弦长公式.列方程求解，可得答案； （2）分斜率存在与否进行分析，联立方程，利用韦达定理，结合斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 不妨得，，则，与题意不符，舍去. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由弦长公式得圆心到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为或. 【小问2详解】 当直线轴时，直线的方程为， 不妨得，，此时x轴平分. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，. 联立，得，， 所以，. 若x轴平分，则，即， 即，则，即， 解得. 综上，当点Q为时，能使得x轴平分恒成立. 18. 如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. （1）求证：平面平面； （2）若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E. 因为，，所以，，， 因为，， 所以 ， 即， 所以，所以. 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E，利用空间向量可得，进而可得线面、面面垂直； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以（1）中的点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面与平面所成锐二面角为， 则. 平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 【答案】（1） （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率与短轴长，结合的关系式，建立方程组，可得答案； （2）分直线斜率是否存在进行分析，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理与圆的性质，可得答案； （3）设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，结合三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意得，，所以. 因为短轴长为4，所以，解得，所以， 所以E的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，. 当直线的斜率不存在时，则，， 此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而， 则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在. 设直线的方程为，，， 联立，消去y得，， ，且，. 因为以为直径的圆经过点，所以. 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由（1）知，，则直线的方程为，直线的方程为， 设，，，， 联立，消去得，， 由，所以， 所以，， 即，同理可得， 因为，所以，则， 记的中点为，则. 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省阜阳一中2026-2027学年高二上学期11月期中数学质量检测 一、单选题（本大题共8小题） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 1或5 C. 5 D. 3或5 4. 已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 7. 已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面的一个法向量为，点，在平面内，则点也在平面内 D. 若直线经过第三象限，则， 10. 点P在圆上，点Q在圆上，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在直线的斜率为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 11. 已知点，曲线是满足的点的轨迹，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线与圆有公共点，则 B. 若，则两曲线交点所在直线的方程为 C. 若，则的取值范围为 D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 三、填空题（本大题共3小题） 12. 圆的半径的最小值为______． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于，两点，则三点能构成边长为的正三角形时，的方程为______． 14. 如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为______． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知向量． （1）若共面，求的值； （2）若，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，分别为，的中点，，. （1）求证：异面直线和垂直； （2）求点到平面的距离 17. 已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. （1）若弦的长度为，求直线的方程； （2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. （1）求证：平面平面； （2）若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $