安徽省合肥市第八中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题

合肥八中2021-2022学年度高二第一学期期中联考 数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在空间直角坐标系下，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2.若椭圆的一个焦点为，则的值为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 3.将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 4.已知实数满足方程，则的最大值为（ ） A.3 B.2 C. D. 5.已知直线，若圆上存在两点关于直线对称，则的值为（ ） A. B. C. D.5 6.已知直线与直线平行，则（ ） A.3或 B. C.3 D.2 7.在四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 8.过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ） A.1 B. C. D. 9.已知直线，若，则的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10.在正方体中，棱的中点分别为，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 11.已知圆，直线与圆没有公共点，斜率为的直线与直线垂直，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.已知椭圆的离心率为，过右焦点且倾斜角为的直线与椭圆相交得到的弦长为，且椭圆上存在4个点构成矩形，则矩形面积的最大值为（ ） A.4 B. C.8 D.16 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题后的横线上. 13.设空间向量，且，则___________. 14.设圆，圆，则圆有条公切线___________. 15.设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________. 16.在如图所示的实验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，当取最小值时，活动弹子与点之间的距离为___________. 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 已知点. （Ⅰ）若直线与直线分别交于点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率； （Ⅱ）若直线过点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程. 18.（本小题满分12分） 已知定点，动点满足，设点的轨迹为. （Ⅰ）求轨迹的方程； （Ⅱ）若点分别是圆和轨迹上的点，求两点间的最大距离. 19.（本小题满分12分） 如图，在三棱锥中，平面 （Ⅰ）求证:平面； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值. 20.（本小题满分12分） 设圆的圆心为，半径为，圆过点，直线交圆与两点，. （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）已知，过点的直线与圆相交于两点，其中，若存在，使得轴为的平分线，求正数的值. 21.（本小题满分12分） 如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且是的中点. （Ⅰ）求证:平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 22.（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，过的直线与交于两点，若与轴垂直时， （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若点在椭圆上，且为坐标原点），求的取值范围. 合肥八中2021~2022学年度高二第一学期期中联考 数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D A C D D D B B A 1.B由题意得，点关于y轴的对称点的坐标为.故选B. 2.C由题意得，，解得.故选C. 3.A原直线的倾斜角为60°，旋转后倾斜角为150%，∴新直线的斜率为.故选A. 4.D方程变形为，则圆心坐标为，半径，则x的最大值是-4+2=-2.故选D. 5.A.∵圆：，∴圆的圆心坐标为，又圆：上存在两点P，Q关于直线对称，∴直线经过圆心，∴，解得.故选A. 6.C由题意得，，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，，此时两直线平行； 当时，两直线方程分别为，，此时两直线 重合，舍去.综上，.故选C. 7.D设平面ABCD的法向量为，则，即， ∴，取，则，∴这个四棱锥的高.故选D. 8.D由题意得，，如图，四边形OAPB是正方形，，则.故选D. 9.D当时，，∵，∴，∴， ∵，∴.设直线的倾斜角为，，则，∴； 当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，∵，∴的倾斜角为0.综上，.故选D. 10.B设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，、分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则，，