精品解析：河北石家庄市第四十八中学2026-2027学年第一学期初三第一阶段限时作业数学试卷

石家庄市第四十八中学2026-2027学年度第一学期 初三第一阶段限时作业数学试卷 满分：100分 时间：90分钟 一、选择题（每题3分，12个小题，共36分） 1. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 2. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 点，在反比例函数的图像上，若，则，，0的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 某电商平台统计了A、B两种热门电子产品的100名用户的使用评分（满分10分），并将统计结果绘制成如图所示的箱线图．关于结论①、②，下列判断正确的是（ ） 结论①：A产品用户使用评分的中位数低于B产品 结论②：A产品用户使用评分分布更集中 A. 结论①、②都对 B. 结论①、②都不对 C. 只有结论①对 D. 只有结论②对 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 8. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（ ） 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 平均分都相同 10. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 11. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，4个小题，共12分） 13. 若，则的值为__________． 14. 已知玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．如图，实验发现当水面高度到达点处时，此时将瓶高分为和两部分，可以敲击出音阶“”．其中点为瓶高的黄金分割点，即，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为______． 15. “双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 16. 如图，在中，，，点与点在直线的同侧，且，，点是线段延长线上的动点，当以点、、为顶点的三角形和相似时，线段的长为________． 三、简答题（共6个小题，共52分） 17. 如图，在中，点是的边上的一点． 小星：若，则可证： 小红：若，则可证 小亮：若．则可证 （1）请判断三人的对错：小星___________，小红___________，小亮___________．（均选填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法求证：． 18. 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，：4棵；：5棵；：6棵；：7棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示），经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误． 回答下列问题： （1）写出条形统计图中存在的错误，并说明理由； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的： 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，，，，，； 第三步：（棵）． ①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估这260名学生共植树多少棵． 19. 如图，中，，分别是、上的点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长度． 20. 某超市出售一批进价为2元/个的笔记本，在销售中发现此笔记本的日售价（元/个）与日销售量（个）之间有如下反比例函数关系： （元/个） 3 4 5 6 （个） 200 150 120 100 （1）求与之间的函数关系式． （2）设经营此笔记本的日销售利润为元，求与之间的函数关系式． （3）若规定此笔记本的日售价最高不能超过10元/个，则日售价为多少时，超市才能获得最大日销售利润？最大日销售利润是多少元？ 21. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． （1）求出，的值； （2）求的面积； （3）①求一次函数与反比例函数的另一交点坐标； ②直接写出的解集________； （4）在轴上存在点，使得，请直接写出点坐标． 22. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）【发现】 线段与线段之间的数量关系是_______． （2）【探究】 若已知条件不变，将图1中矩形绕点顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． （3）【应用】 在（2）的情况下，，，当矩形绕点旋转到，，在同一条直线上时，线段的长度是多少？（直接写出结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第四十八中学2026-2027学年度第一学期 初三第一阶段限时作业数学试卷 满分：100分 时间：90分钟 一、选择题（每题3分，12个小题，共36分） 1. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数  的性质，由  的正负确定图象所在的象限 【详解】解：反比例函数  中   该函数图象位于第一、三象限 观察选项， 只有A选项图象位于第一、三象限. 2. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 3. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵，  ∴． 4. 把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】计算每个选项的总离差平方和，其中总离差平方和为两组离差平方和之和，比较大小后即可得到总离差平方和最小的分组． 【详解】解：对于选项A：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项B：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项C：∵单元素组的离差平方和为， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项D：∵的平均数， ∴， ∵单元素组的离差平方和为，即， ∴. 比较大小得， 所以最佳分组为选项B． 5. 点，在反比例函数的图像上，若，则，，0的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数符号确定图像所在象限，结合两点横坐标的正负判断纵坐标的正负，即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图像的两个分支分别在第一､第三象限， ∵， ∴点在第一象限，， ∵， ∴点在第三象限，， ∴． 6. 某电商平台统计了A、B两种热门电子产品的100名用户的使用评分（满分10分），并将统计结果绘制成如图所示的箱线图．关于结论①、②，下列判断正确的是（ ） 结论①：A产品用户使用评分的中位数低于B产品 结论②：A产品用户使用评分分布更集中 A. 结论①、②都对 B. 结论①、②都不对 C. 只有结论①对 D. 只有结论②对 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的性质，箱体中间的横线代表中位数，箱体的长短及须的范围反映数据的离散程度（集中程度）逐一判断即可． 【详解】解：观察箱线图可知： A产品评分的中位数高于7分，B产品评分的中位数低于7分， ∴A产品用户使用评分的中位数高于B产品，故①错误 由箱线图可知，A产品的箱体长度及须的长度均明显小于B产品，  ∴A产品用户使用评分的波动较小，分布更集中，故②正确； ∴只有结论②正确． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比例函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 8. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 9. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所示，平均分最高的是（ ） 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 平均分都相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的含义，根据平均数的含义分别计算甲、乙、丙的平均数，再比较即可. 【详解】解：甲的平均分为：（分）， 乙的平均分为：（分）， 丙的平均分为：（分）， ∴平均分最高的是乙； 故选：B 10. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，对四个选项中的条件进行逐一分析，判断是否满足相似条件 【详解】解：A、，三边成比例，能判定两三角形相似，不符合题意； B、，且夹角均为，两边对应成比例且夹角相等，能判定两三角形相似，不符合题意； C、仅有一组角为相等，缺少其他条件，不能判定两三角形相似，符合题意； D、有一组相等的角为，还有一组对顶角相等，两角分别相等，能判定相似，不符合题意． 11. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 丙： ∵新正方形与原正方形的四个角都为，且新正方形的边长都是，原正方形的边长都是， ∴新正方形与原正方形对应角相等，对应边的比值都是， ∴新正方形与原正方形相似； 故上述三人的说法正确的个数是2个． 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点P为内部或边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数的图象经过点P，则k的可能取值共有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，如图，先求解为，直线为，直线为；再判断内部或边界上的整点有，，，，，，；从而可得答案； 【详解】解：如图，设直线为， ∵， ∴， ∴为， 同理可得：直线为， 直线为； ∴内部或边界上的整点有，，，，，，； ∴，，，， 故选C 二、填空题（每题3分，4个小题，共12分） 13. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式变形得到与的数量关系，代入所求分式化简即可求值． 【详解】解： 所求分式的分母为 14. 已知玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．如图，实验发现当水面高度到达点处时，此时将瓶高分为和两部分，可以敲击出音阶“”．其中点为瓶高的黄金分割点，即，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的应用，解一元二次方程，设，则，根据题意得，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵点为瓶高的黄金分割点，即， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 15. “双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 【答案】0.4 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可得到结果. 【详解】解：， ∴. 16. 如图，在中，，，点与点在直线的同侧，且，，点是线段延长线上的动点，当以点、、为顶点的三角形和相似时，线段的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质，确定，再根据两个三角形相似分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 当以点、、为顶点的三角形和相似时，分类讨论， 若时， ∴，即， ∵，，， ∴； 若时， 同理可求， 即线段的长为或． 三、简答题（共6个小题，共52分） 17. 如图，在中，点是的边上的一点． 小星：若，则可证： 小红：若，则可证 小亮：若．则可证 （1）请判断三人的对错：小星___________，小红___________，小亮___________．（均选填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法求证：． 【答案】（1）对，对，错 （2） 证明：选择小星的证明： ∵，， ∴， 选择小红的证明： ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可． 【小问1详解】 解：小星和小红对，小亮错； 【小问2详解】 略 18. 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，：4棵；：5棵；：6棵；：7棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示），经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误． 回答下列问题： （1）写出条形统计图中存在的错误，并说明理由； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的： 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，，，，，； 第三步：（棵）． ①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估这260名学生共植树多少棵． 【答案】（1）类型错误；（2）众数为5棵，中位数为5棵；（3）①第二步；②这260名学生共植树1378棵． 【解析】 【分析】（1）条形统计图中D的人数错误，利用总人数乘对应的百分比求解即可，应为20×10%； （2）根据中位数、众数的定义以及条形统计图及扇形统计图所给的数据，即可求出答案； （3）①小宇的分析是从第二步开始出现错误的； ②根据平均数的计算公式先求出正确的平均数，再乘以260即可得到结果． 【详解】解：（1）类型错误，理由如下： （名），而条形统计图中，类型的人数是3名，故类型错误； （2）众数为5棵，中位数为5棵． （3）①第二步． ②（棵）． （棵）． 故估计这260名学生共植树1378棵． 故答案为（1）类型错误；（2）众数为5棵，中位数为5棵；（3）①第二步；②这260名学生共植树1378棵． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，用到的知识点是平均数、中位数、众数以及用样本估计总体，弄清题意是解题的关键． 19. 如图，中，，分别是、上的点，且，． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】（1）由，可得出，结合可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可得出及，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，进而可得出，再利用相似三角形的性质可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 20. 某超市出售一批进价为2元/个的笔记本，在销售中发现此笔记本的日售价（元/个）与日销售量（个）之间有如下反比例函数关系： （元/个） 3 4 5 6 （个） 200 150 120 100 （1）求与之间的函数关系式． （2）设经营此笔记本的日销售利润为元，求与之间的函数关系式． （3）若规定此笔记本的日售价最高不能超过10元/个，则日售价为多少时，超市才能获得最大日销售利润？最大日销售利润是多少元？ 【答案】（1）（） （2）（） （3）日售价为10元/个时，超市获得最大日销售利润，最大日销售利润为480元． 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为（），代入表格中一组对应值求出k，即可得到函数关系式； （2）根据“日销售利润单个利润日销售量”列式，将的解析式代入化简，得到与的函数关系式； （3）根据反比例函数的增减性，结合的取值范围，确定取最大值时的值，再计算最大利润． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为（）． 将，代入得：， 解得， ∴与的函数关系式为（）． 【小问2详解】 解：∵单个笔记本的利润为元，日销售量为个， ∴． 将代入得：． ∴与的函数关系式为（）． 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴随的增大而增大， ∴随的增大而增大． 由题意得，结合，得， ∴当时超市才能获得最大日销售利润，最大日销售利润是（元）． 21. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． （1）求出，的值； （2）求的面积； （3）①求一次函数与反比例函数的另一交点坐标； ②直接写出的解集________； （4）在轴上存在点，使得，请直接写出点坐标． 【答案】（1），； （2）6 （3）①；②或； （4）或 【解析】 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，求出的值，进而求出值即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）①联立解析式，求出另一个交点坐标即可；②图象法求出不等式的解集即可； （4）分点在轴的正半轴和负半轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵， ∴的面积； 【小问3详解】 解：①由（1）知， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一交点坐标为； ②由图象可知，的解集为或； 【小问4详解】 解∶ ①当点在轴的正半轴上时， ∵， ∴， ∴轴， ∵ ∴； ②当点在轴的负半轴上时，设交轴于点， ∵， ∴， 设， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴或． 22. 如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． （1）【发现】 线段与线段之间的数量关系是_______． （2）【探究】 若已知条件不变，将图1中矩形绕点顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． （3）【应用】 在（2）的情况下，，，当矩形绕点旋转到，，在同一条直线上时，线段的长度是多少？（直接写出结论） 【答案】（1） （2）（1）中结论还成立， 证明：∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，则； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， 同理可得：，， ∴； 综上所述或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $