精品解析：四川省达州中学2026年中考第二次模拟数学试卷

四川省达州中学2026年中考模拟试题（二） 数学试卷 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用四舍五入法，把6.9446精确到百分位，取得的近似数是( ) A. 6.9 B. 6.94 C. 6.945 D. 6.95 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的数据可以写出把6.9446精确到百分位的近似数，即可解决． 【详解】6.9446≈6.94（精确到百分位）， 故选：B． 【点睛】本题考查近似数，解答本题的关键是明确近似数的定义． 2. 某蓄水池的蓄水量大约为立方米．数字用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的基本指导方法，解答即可. 【详解】解：. 3. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系， 每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：， ∴列出方程为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4. 定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2＋b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52＋62﹣2×5×6﹣2＝﹣1，若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到，即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2， ∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk， 整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，理解题意，灵活运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键． 5. 如图，在矩形中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合运动状态分段讨论：当点P在AD上，点Q在BD上时，，，过点P作，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式；当点P在BD上，点Q在BC上时，，，过点P作，通过解直角三角形求出PE，表示出面积的函数表达式，利用二次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：当点P在AD上，点Q在BD上时，，， 则， 过点P作， ∵， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴的面积，为开口向上的二次函数； 当时，点P与点D重合，点Q与点B重合，此时的面积； 当点P在BD上，点Q在BC上时，，， 过点P作， 则，即， ∴的面积，为开口向下的二次函数； 故选：D． 【点睛】本题考查动态问题的函数图象，根据运动状态写出函数解析式，利用二次函数的性质进行判断是解题的关键． 6. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围 【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图， 当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称， 从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3， 最小值是当时，取得最小值， ． 故选D． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键． 7. 如图，点 在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点， ，则（为正整数）的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的坐标，由题意容易得到是等腰直角三角形，想办法求出，，,…，探究规律， 利用规律解决问题即可得出结论. 【详解】解：联立， 解得或（舍去） ∴， ∴， 由题意可知， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作交轴于， 同理可证为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴， 同理可得， ……, 以此类推，可知， 即. 8. 如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ） A. 1 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点M，连接、、，作于N，先求出的最大值为最小值为，再求出的最大值与最小值的差为即可． 【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意，得的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解． 【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D， 设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0， ∵OA⊥OB， ∴， ∴， 即， ， 设AB的解析式为：，代入A(a，a²)， 解得：， ∴， ∵，即 ， ∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动， 当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大， 故CH的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解． 10. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴，则， ∵OF∥BE， ∴△DGF∽△DCE， ∴， ∴，故①正确； ∴点G是CD的中点， ∴OG⊥CD， ∵∠ODC=45°， ∴△DOC是等腰直角三角形， ∴，故②正确； ∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④错误； 过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，如图所示： ∵点F是CD的中点， ∴CF=DF， ∴∠CDE=∠DCF， ∴， 设，则， 在Rt△DHC中，， 解得：， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论是①②③⑤； 故选C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知方程的一个根为，将其代入方程得到关于的方程，再结合一元二次方程二次项系数不为0的限制条件求解即可． 【详解】解：把代入方程得 解得或 ∵原方程是关于的一元二次方程 ∴二次项系数，即 因此的值为． 12. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】a＜﹣2 【解析】 【分析】先求出各个不等式的解集，再根据不等式组无解列出关于a的不等式，即可解得答案． 【详解】解： 解不等式①得，x≥﹣2， 解不等式②得，x≤2a＋2， ∵不等式组无解， ∴2a＋2＜﹣2， 解得a＜﹣2， 故答案为：a＜﹣2 【点睛】此题考查了解不等式组，根据不等式组的解求参数，解题的关键是掌握不等式组无解的条件． 13. 如图1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．MN为衣架的墙体固定端，A为固定支点，B为滑动支点，四边形DFGI和四边形EIJH是菱形，且AF=BF=CH=DF=EH．点B在AN上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点A和点C间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42cm．当点B向点A移动8cm时，外延长度为90cm．如图3，当外延长度为120cm时，则BD和GE的间距PQ长为______________cm． 【答案】24 【解析】 【分析】三节段式伸缩晾衣架，相当于三个菱形构成，前半个和后半个组成一个整体，中间共有两个．本题需用到菱形的性质和勾股定理，根据横向对角线的长度等先计算出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式容易求出结果． 【详解】如图，作FK⊥AB于K，设AB=2xcm，由题意，FK=7cm，当AB=（2x-8）cm时，FK=15cm． 则有AF2=x2+72=（x-4）2+152， ∴x=24（cm）， ∴AF==25（cm）， 如图，当OF=20时，在Rt△DFO中，OD==15（cm）， ∵PQ⊥GI， ∴•FI•DG=DF•PQ， ∴PQ==24（cm）． 故答案为24． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 14. 在平面直角坐标系中，对任意一点，点的值的定义如下：；比如点，，点，．如图，正方形，，，点C、D在y轴右侧，点为正方形边上的点，现有一个实数a，，当时，这样的点有______个． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，结合定义分情况讨论点的个数即可． 【详解】解：在正方形中，，，则，， 即，， 当点在上，， 当，即，，不符合题意； 当，即，，由于，当时满足条件，故存在1个点符合题意； 当点在上，， 当，即，，由于，当时满足条件，故存在2个点符合题意； 当，即或，，故不符合题意； 当点在上，， 当，即，，故不符合题意； 当，即，，由于，当时满足条件，故存在1个点符合题意； 当点在上，， 则，，由于，当时满足条件，故存在2个点符合题意； 综上所述，共有6个． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系与几何综合，不等式的性质，能够结合不同参数的取值范围进行讨论是解题的关键． 15. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全数”是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可． 【详解】解：设四位数 ∵要求最小的“十全数”， ∴， ∴， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与均是整数 ∴与均是整数 ∴能被13整除，能被17整除 ∵， ∴， ∴ ∴的值可以为13，26，39，52，65 ∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意 ∴， ∴满足条件的M的值是． 故答案为：，． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】分别求解两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数解． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，两边同乘6，得． ． 整理得． 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为． ∴该不等式组的所有整数解为，． 四、解答题：本题共9小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步： 作图如下： AI； 第二步：①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【详解】略 18. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2） 该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好； 或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好； （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用扇形统计图即可求出组和组的人数，再利用中位数定义和组数据即可求出，再利用众数定义即可求出，最后利用扇形和组人数即可求出； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，， ∴， ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴， ∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式= 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出的值，再把的值代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 20. 列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】（1）该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 （2）每天乙文创产品增加的数量是个 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【小问1详解】 解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． 【小问2详解】 解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 21. 如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H． （1）求证：BP是⊙O的切线； （2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值； （3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP． 【答案】 （1）如图，连接BC，OB． ∵CD是直径， ∴∠CBD=90°， ∵OC=OB， ∴∠C=∠CBO， ∵∠C=∠BAD，∠PBD=∠DAB， ∴∠CBO=∠PBD， ∴∠OBP=∠CBD=90°， ∴PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切线； （2）； （3）∵PD=PH， ∴∠PDH=∠PHD， ∴∠PDN=∠PHD=∠AHN， ∵∠NPC=90°，∠OAP=90°， ∴∠NAH =∠NPD=90°， ∴△NAH∽△NPD， ∴=， ∵∠APN+∠PNA=∠POA+∠PNA=90°， ∴∠APN=∠POA， 又∠PAN=∠PAO=90°， ∴△PAN∽△OAP， ∴=， ∴=， ∴==， ∴AH•OP=HP•AP． 【解析】 【分析】（1）连接BC，OB，证明OB⊥PB即可． （2）解直角三角形求出OM，利用相似三角形的性质求出OP，再利用平行线分线段成比例定理求出PN即可． （3）证明△NAH∽△NPD，推出=，证明△PAN∽△OAP，推出=，推出=可得结论． 【详解】（1）略 （2）∵CD⊥AB， ∴CD垂直平分AB， ∴PA=PB， ∵OA=OB，OP=OP， ∴△PAO≌△PBO（SSS）， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∵∠AMO=90°， ∴OM===3， ∵∠AOM=∠AOP，∠OAP=∠AMO， ∴△AOM∽△POA， ∴=， ∴=， ∴OP=， ∵PN⊥PC， ∴∠NPC=∠AMO=90°， ∴=， ∴=， ∴PN=． （3）略 【点睛】本题综合考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 22. 如图1，已知，是等边三角形，点P为射线上任意一点（点P与点A不重合），连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于点E． （1）________； （2）如图2，当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，并选取一种情况加以证明； （3）如图3，若，且 ，求的长． 【答案】（1） （2） ， 证明：以是锐角为例，如图所示： 同理可得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 以是钝角为例，如图所示： 同理可得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，掌握举一反三的数学思想是解题关键； （1）由题意得：，推出，证，得，即可求解； （2）分类讨论即可，证明过程参考题（1）； （3）作，由题意得可推出，求得；进而得，，，根据即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作，如图所示： 由（2）可得：， ∴， ∵ ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ 23. 为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表： 该地区每周接种疫苗人数统计表 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 第6周 第7周 第8周 接种人数（万人） 7 10 12 18 25 29 37 42 该地区全民接种疫苗情况扇形统计图 A：建议接种疫苗已接种人群 B：建议接种疫苗尚未接种人群 C：暂不建议接种疫苗人群 根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点、作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）这八周中每周接种人数的平均数为________万人：该地区的总人口约为________万人； （2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势． ①估计第9周的接种人数约为________万人； ②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？ （3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？ 【答案】（1）22.5，800；（2）①48；②最早到13周实现全面免疫；（3）25周时全部完成接种 【解析】 【分析】（1）根据前8周总数除以8即可得平均数，8周总数除以所占百分比即可； （2）①将代入即可；②设最早到第周，根据题意列不等式求解； （3）设第周接种人数不低于20万人，列不等式求解即可 【详解】（1）22.5， 故答案为： （2）①把代入 故答案为：48 ②∵疫苗接种率至少达到60% ∴接种总人数至少为万 设最早到第周，达到实现全民免疫的标准 则由题意得接种总人数为 ∴ 化简得 当时， ∴最早到13周实现全面免疫 （3）由题意得，第9周接种人数为万 以此类推，设第周接种人数不低于20万人，即 ∴，即 ∴当周时，不低于20万人；当周时，低于20万人； 从第9周开始当周接种人数为， ∴当时 总接种人数为：解之得 ∴当为25周时全部完成接种. 【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，平均数的概念，一次函数的性质，列不等式解决实际问题,读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）的最小值为； （3）符合条件的点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 25. 在中，，，点为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长． （2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． （3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，延长使得，连接，     ∵是的中点则，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）解，求得，根据即可求解； （2）延长使得，连接，可得，根据，得出四点共圆，则，，得出，结合已知条件得出，可得，即可得证； （3）在取得最小值的条件下，即，设，则，，根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，则是的中位线，在半径为的上运动，当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，连接，交于点，则四边形是矩形，得出是的中位线，同理可得是的中位线，是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 在取得最小值的条件下，即， 设，则，， ∴，， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到． ∴ ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 取的中点，连接， 则是的中位线， ∴在半径为的上运动， 当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，连接，交于点，则四边形是矩形， ∴，是的中点， ∴ 即是的中位线，同理可得是的中位线， ∴， ∵是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴ ∴ 则 在中， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州中学2026年中考模拟试题（二） 数学试卷 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用四舍五入法，把6.9446精确到百分位，取得的近似数是( ) A. 6.9 B. 6.94 C. 6.945 D. 6.95 2. 某蓄水池的蓄水量大约为立方米．数字用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 4. 定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2＋b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52＋62﹣2×5×6﹣2＝﹣1，若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 5. 如图，在矩形中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 6. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点 在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点， ，则（为正整数）的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ） A. 1 B. 1 C. D. 9. 设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为________． 12. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 13. 如图1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．MN为衣架的墙体固定端，A为固定支点，B为滑动支点，四边形DFGI和四边形EIJH是菱形，且AF=BF=CH=DF=EH．点B在AN上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点A和点C间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42cm．当点B向点A移动8cm时，外延长度为90cm．如图3，当外延长度为120cm时，则BD和GE的间距PQ长为______________cm． 14. 在平面直角坐标系中，对任意一点，点的值的定义如下：；比如点，，点，．如图，正方形，，，点C、D在y轴右侧，点为正方形边上的点，现有一个实数a，，当时，这样的点有______个． 15. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 16. 求不等式组：的所有整数解． 四、解答题：本题共9小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 18. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 21. 如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H． （1）求证：BP是⊙O的切线； （2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值； （3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP． 22. 如图1，已知，是等边三角形，点P为射线上任意一点（点P与点A不重合），连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接并延长交直线于点E． （1）________； （2）如图2，当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，并选取一种情况加以证明； （3）如图3，若，且 ，求的长． 23. 为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表： 该地区每周接种疫苗人数统计表 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 第6周 第7周 第8周 接种人数（万人） 7 10 12 18 25 29 37 42 该地区全民接种疫苗情况扇形统计图 A：建议接种疫苗已接种人群 B：建议接种疫苗尚未接种人群 C：暂不建议接种疫苗人群 根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点、作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）这八周中每周接种人数的平均数为________万人：该地区的总人口约为________万人； （2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势． ①估计第9周的接种人数约为________万人； ②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？ （3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 在中，，，点为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长． （2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． （3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $