精品解析：四川省 德阳市2026年中考数学试题

德阳市2026年初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试 数学 （考试时间120分钟，满分150分） 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 2的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：2的相反数是． 2. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等腰三角形 C. 圆 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：A、正方形是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、等腰三角形是轴对称图形，故B选项不符合题意； C、圆是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项符合题意． 3. 下列去括号正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据去括号法则，括号前为正号去括号后各项不改变符号，括号前为负号去括号后各项改变符号，逐一计算判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项正确，符合题意， D．，故该选项错误，不符合题意． 4. 如图，铁路和公路相交于点，，在点处有一栋居民楼，道路恰好与铁路垂直，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对顶角得到，再根据垂线的定义得到，进而即可求解． 【详解】解：∵和相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 5. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 调查全班同学手机安装国家反诈App的情况，选择全面调查 B. 调查某班同学的视力情况，选择抽样调查 C. 调查某批次汽车的抗撞击能力情况，选择全面调查 D. 调查今年5月份全国范围内空气质量情况，选择全面调查 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查范围大小、是否具有破坏性，判断调查方式是否合理． 【详解】解：A选项，全班人数少，适合全面调查，本选项调查方式合理； B选项，某班人数少，应选择全面调查，本选项调查方式不合理； C选项，汽车抗撞击能力调查具有破坏性，应选择抽样调查，本选项调查方不合理； D选项，全国空气质量调查范围大，应选择抽样调查，本选项调查方不合理．. 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数的特征求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 7. 一个有进水管和出水管的空水塔，开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．下列能大致反映水塔内的水量（单位：）与时间（单位：）之间关系的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵开始内只进水不出水，每分钟的进水量是常数， ∴前10分钟水量匀速增加，图象是一条倾斜上升的直线； 由选项C，D可得，水塔内的水量继续增多， ∵在随后的内既进水又出水，出水量是常数， ∴图象是一条倾斜上升的直线，但倾斜程度要比第一段平缓． ∴C选项符合题意． 8. 某商店月份盈利元，月份的盈利达到元，从月到月，求每月盈利的平均增长，如果设每月盈利的平均增长率是，那么可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】月到月，共次盈利增长，每月盈利在上月基础上按增长率增长，结合月盈利额列出方程即可． 【详解】解：∵月份盈利元， ∴月份盈利为元， ∴月份盈利为元， ∵月份盈利为元， ∴可列方程为． 9. 如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作于点E，如图： 由题意得，， ∴ ， ∴ ． 10. 魏晋时期的数学家刘徽曾为《九章算术》作注，其中关于“勾股容圆术”的注解引起了数学兴趣小组的关注，同学们在综合实践活动中，对如下问题进行了深入探讨：在中，，，，是的内切圆，与边，分别切于点，．过点作的平行线分别交，于点，，连接，他们得到如下结论： ①； ②； ③的周长是6； ④的面积是3． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】证明四边形是正方形，可得，进一步可得①错误；证明，结合，可得②正确；利用内切圆的性质可得，进一步可得③正确；证明，可得，进一步求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆，与边，分别切于点，． ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴不平行，故①错误； ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵是的内切圆，记与切于点，如图， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵在中，，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长是，故③正确； ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误． 综上：正确的是②③． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在生活中使用正数和负数可以给我们带来极大的方便．比如，某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么水面低于标准水位可表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正负数表示相反意义的量求解． 【详解】解：∵正数表示水面高于标准水位的高度， ∴水面低于标准水位用负数表示， ∴水面低于标准水位可表示为． 12. 为了测量一个不规则池塘两端，之间的距离，某数学实验小组设计了如下方案：如图，在池塘外取一点，分别连接，，取的中点，的中点，测得米，则的长度是_______米． 【答案】46 【解析】 【详解】解：∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴米． 13. 某小组7名同学一分钟跳绳个数分别是：136，142，155，148，154，160，151，则这组数据的中位数是_______． 【答案】151 【解析】 【分析】求中位数需先将数据按从小到大排序，数据个数为奇数时，最中间的数就是这组数据的中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，， ∵这组数据共有个，个数为奇数， ∴最中间的数是第个数，为， 即这组数据的中位数是． 14. 如图，在矩形中，，点在边上，且，为边上一动点（含端点），连接，过点作的垂线，交矩形的边于点，当点在边上运动时，为了使点能落在边上（含端点），则的长度可以是_______（答案不唯一，只需写出一个整数即可）． 【答案】4（答案不唯一，大于等于4的整数即可） 【解析】 【分析】证明，得到，设，构造不等式解答即可． 【详解】解：当点能落在边上（含端点）时，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵点在边上运动，点能落在边上（含端点）， ∴， ∴， 即， ∴， 故的值答案不唯一，可以为4（大于等于4的整数即可）． 15. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如下图，其中的，，，，…，是数学家排列的六边形数．根据以上信息，这列六边形数中第项的数是，第项的数是，以此类推，第项的数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图示，分别找出每个图形中序号与图形中数量关系，用代数式表示即可． 【详解】解：第个图，有个顶点，即，第项的数是； 第个图，有个顶点，即，第项的数是； 第个图，有个顶点，即，第项的数是； 第个图，有个顶点，即，第项的数是； ∴第个图，顶点个数为：； 令，则； ∴第项的数是． 三、解答题（本大题共7小题，共90分） 16. 解答下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 当时，原式． 17. 德阳文庙也叫德阳孔庙，其留存完整、规模庞大、有着浓厚的地方特色，也是四川省爱国主义教育基地、中小学传统文化研学实践基地．以德阳文庙为主题的研学活动深受当地学生喜爱，为此，当地文旅部门推出了以下四项研学项目：A．经典诵读；B．礼乐礼仪体验；C．古建筑文化讲解；D．非遗拓印．为优化研学课程以契合学生兴趣需求，文旅部门开展了学生喜爱的德阳文庙研学项目问卷调查（每人必选且只能选择一项），依据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表． 研学项目 划记 人数 百分比 A．经典诵读 正正正正正正正一 36 B．礼乐礼仪体验 a C．古建筑文化讲解 正正正正 24 D．非遗拓印 正正丅 12 合计 m （1）直接写出，的值，并将条形统计图补充完整； （2）若某天有2400名学生到此参加研学，根据以上调查结果估计喜欢项目C的学生人数； （3）文旅部门准备从A，B，C，D四个研学项目中，随机选择两项作为周末特色项目进行推广，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中B，D两个项目的概率． 【答案】（1），． （2）480 （3） 【解析】 【分析】（1）根据经典诵读有36人，占，可得到总人数，进而得到B．礼乐礼仪体验的人数及百分比，再补全条形统计图即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）根据树状图法或列表法计算概率即可． 【小问1详解】 解：A．经典诵读有36人，占，则共调查（人），即， B．礼乐礼仪体验的有（人），则， 条形统计图：略； 【小问2详解】 解：（人）； 故估计喜欢项目C的学生人数为480． 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中B，D两个项目的有2种， 所以恰好选中B，D两个项目的概率为． 18. 同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：N）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：m），那么力所做的功（单位：J）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如下图所示． 请根据以上信息解决以下问题： （1）写出关于的函数解析式； （2）当物体受到的力为时，求物体在该力方向上的位移； （3）因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】（1） （2）当物体受到的力为时，物体在该力方向上的位移是． （3）要使物体在力的作用下的位移小于，力要大于． 【解析】 【分析】（1）将，代入求出W即可； （2）将代入第一问求出的解析式即可； （3）将代入第一问求出的解析式，结合图象回答即可． 【小问1详解】 解：由图可知，当力为时，物体在力的方向上发生的位移为， 此时所做的功． 当W为定值时，与之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 即当物体受到的力为时，物体在该力方向上的位移是． 【小问3详解】 解：将代入，得． 随着的增大而减小， 要使物体在力的作用下的位移小于，力要大于． 19. 如图，的对角线与相交于点，过点作于点，交于点，连接，已知． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：． 【答案】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）由（1）知四边形是菱形， ，且垂直平分． 点在上， ． 在和中， ． 【解析】 【分析】（1）两直线平行，内错角相等，结合已知条件和三角形内角和定理得出，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （2）根据线段的垂直平分线的性质，得出，用证明两个三角形全等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 随着智慧农业全面普及，某农业站为推进农田节水改造，准备购买甲、乙两款智能节水灌溉喷头．已知甲款喷头的单价是乙款喷头单价的倍，用4000元购买乙款喷头的数量比用3000元购买甲款喷头的数量多10个． （1）甲、乙两款喷头的单价分别是多少元？ （2）农业站计划购进甲、乙两款喷头共100个，其中甲款喷头不少于35个，在总费用不超过24000元的条件下，共有几种购买方案？ （3）若每个甲款喷头的养护成本为6元，每个乙款喷头的养护成本为4元，在满足（2）的条件下，如何购买能使总养护成本最低？求出最低总养护成本． 【答案】（1）甲款喷头的单价为300元，乙款喷头的单价为200元． （2）共有6种购买方案． （3）购进甲款喷头35个，乙款喷头65个时，总养护成本最低，最低养护成本为470元． 【解析】 【分析】（1）设乙款喷头的单价为元，则甲款喷头的单价为元．根据题意，得，解方程即可； （2）设购进甲款喷头个，则购进乙款喷头个．根据题意，得，求不等式组的整数解的个数即为方案的个数； （3）设总养护成本为元．由题意，得，利用一次函数的性质，确定最小值即可． 【小问1详解】 解：设乙款喷头的单价为元，则甲款喷头的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义． ． 故甲款喷头的单价为300元，乙款喷头的单价为200元． 【小问2详解】 解：设购进甲款喷头个，则购进乙款喷头个． 根据题意，得 解得． 为整数， 符合条件的的取值为35，36，37，38，39，40． 共有6种购买方案． 【小问3详解】 解：设总养护成本为元． 由题意，得． ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，且为． 故购进甲款喷头35个，乙款喷头65个时，总养护成本最低，最低养护成本为470元． 21. 如图1，是的直径且经过弦的中点． （1）连接，，试说明是多少度时，． （2）如图2，为上一点，过点作的切线，与的延长线相交于点，连接交于点，如果，，． ①求证：； ②若为上任意一点，求的最小值． 【答案】（1）当时，． 理由如下：是的直径且经过弦的中点， ，， 如图1，连接，则， ， ， ， 当时， ， ， ， 时，． （2）①证明：如图2，连接， 为的切线， ， ， 是的直径且经过弦的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． ② 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可知，，连接，由圆周角定理可得，由等边对等角可得，进而根据三角形的内角和定理可得，最后由两直线平行同旁内角互补得，即可求解； （2）①连接，由切线的性质可得，由垂径定理可得，再根据等边对等角可得，进而可得，即可得证； ②由半圆（或直径）所对的圆周角是直角可得，再由，根据解直角三角形可得，继而可得，，过点作于点，则，由三线合一可得，根据相似三角形的性质可得，进而根据勾股定理求出，最后根据当点为线段与的交点时，取得最小值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：是的直径， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，， 如图2，过点作于点，则， 由（2）知， ， ，， ， ，即， ， ， ， 为上任意一点， 当点为线段与的交点时，取得最小值为． 22. 如图1，抛物线经过点，． （1）求该抛物线的解析式． （2）将（1）中的抛物线向下平移3个单位长度得到新抛物线（如图2），与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为． ①求的面积； ②过点作射线交抛物线于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①6；② 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①先根据抛物线的平移规律得到新的抛物线解析式，然后分别令和得到三点的坐标，从而得到和的长度，进而根据三角形面积公式求解即可； ②当点在对称轴左侧时，设交轴于点，连接，，，通过为等腰直角三角形和已知条件，利用角度的和差可得，然后根据勾股定理逆定理证得为直角三角形，进而根据，可求得的长度，接着可求得直线的解析式，最后求得直线和抛物线的交点即可解答；当点在对称轴右侧时，显然不存在使得的点． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点，， ， ， 该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①由题意得，新抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ． 令，则， ， ， ． ②如图，当点在对称轴左侧时，设交轴于点，连接，，． ，， ； ， ， ； 抛物线的解析式是，顶点为， ， ， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ， ； 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式是， 联立 解得，（即点，舍去） 点的坐标是； 当点在对称轴右侧时，显然不存在使得的点； 综上，点的坐标是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳市2026年初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试 数学 （考试时间120分钟，满分150分） 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 2的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等腰三角形 C. 圆 D. 平行四边形 3. 下列去括号正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，铁路和公路相交于点，，在点处有一栋居民楼，道路恰好与铁路垂直，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 调查全班同学手机安装国家反诈App的情况，选择全面调查 B. 调查某班同学的视力情况，选择抽样调查 C. 调查某批次汽车的抗撞击能力情况，选择全面调查 D. 调查今年5月份全国范围内空气质量情况，选择全面调查 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 一个有进水管和出水管的空水塔，开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．下列能大致反映水塔内的水量（单位：）与时间（单位：）之间关系的图象的是（ ） A. B. C. D. 8. 某商店月份盈利元，月份的盈利达到元，从月到月，求每月盈利的平均增长，如果设每月盈利的平均增长率是，那么可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 10. 魏晋时期的数学家刘徽曾为《九章算术》作注，其中关于“勾股容圆术”的注解引起了数学兴趣小组的关注，同学们在综合实践活动中，对如下问题进行了深入探讨：在中，，，，是的内切圆，与边，分别切于点，．过点作的平行线分别交，于点，，连接，他们得到如下结论： ①； ②； ③的周长是6； ④的面积是3． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在生活中使用正数和负数可以给我们带来极大的方便．比如，某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么水面低于标准水位可表示为_______． 12. 为了测量一个不规则池塘两端，之间的距离，某数学实验小组设计了如下方案：如图，在池塘外取一点，分别连接，，取的中点，的中点，测得米，则的长度是_______米． 13. 某小组7名同学一分钟跳绳个数分别是：136，142，155，148，154，160，151，则这组数据的中位数是_______． 14. 如图，在矩形中，，点在边上，且，为边上一动点（含端点），连接，过点作的垂线，交矩形的边于点，当点在边上运动时，为了使点能落在边上（含端点），则的长度可以是_______（答案不唯一，只需写出一个整数即可）． 15. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如下图，其中的，，，，…，是数学家排列的六边形数．根据以上信息，这列六边形数中第项的数是，第项的数是，以此类推，第项的数是_______． 三、解答题（本大题共7小题，共90分） 16. 解答下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 德阳文庙也叫德阳孔庙，其留存完整、规模庞大、有着浓厚的地方特色，也是四川省爱国主义教育基地、中小学传统文化研学实践基地．以德阳文庙为主题的研学活动深受当地学生喜爱，为此，当地文旅部门推出了以下四项研学项目：A．经典诵读；B．礼乐礼仪体验；C．古建筑文化讲解；D．非遗拓印．为优化研学课程以契合学生兴趣需求，文旅部门开展了学生喜爱的德阳文庙研学项目问卷调查（每人必选且只能选择一项），依据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表． 研学项目 划记 人数 百分比 A．经典诵读 正正正正正正正一 36 B．礼乐礼仪体验 a C．古建筑文化讲解 正正正正 24 D．非遗拓印 正正丅 12 合计 m （1）直接写出，的值，并将条形统计图补充完整； （2）若某天有2400名学生到此参加研学，根据以上调查结果估计喜欢项目C的学生人数； （3）文旅部门准备从A，B，C，D四个研学项目中，随机选择两项作为周末特色项目进行推广，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中B，D两个项目的概率． 18. 同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：N）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：m），那么力所做的功（单位：J）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如下图所示． 请根据以上信息解决以下问题： （1）写出关于的函数解析式； （2）当物体受到的力为时，求物体在该力方向上的位移； （3）因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 19. 如图，的对角线与相交于点，过点作于点，交于点，连接，已知． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：． 20. 随着智慧农业全面普及，某农业站为推进农田节水改造，准备购买甲、乙两款智能节水灌溉喷头．已知甲款喷头的单价是乙款喷头单价的倍，用4000元购买乙款喷头的数量比用3000元购买甲款喷头的数量多10个． （1）甲、乙两款喷头的单价分别是多少元？ （2）农业站计划购进甲、乙两款喷头共100个，其中甲款喷头不少于35个，在总费用不超过24000元的条件下，共有几种购买方案？ （3）若每个甲款喷头的养护成本为6元，每个乙款喷头的养护成本为4元，在满足（2）的条件下，如何购买能使总养护成本最低？求出最低总养护成本． 21. 如图1，是的直径且经过弦的中点． （1）连接，，试说明是多少度时，． （2）如图2，为上一点，过点作的切线，与的延长线相交于点，连接交于点，如果，，． ①求证：； ②若为上任意一点，求的最小值． 22. 如图1，抛物线经过点，． （1）求该抛物线的解析式． （2）将（1）中的抛物线向下平移3个单位长度得到新抛物线（如图2），与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为． ①求的面积； ②过点作射线交抛物线于点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $