精品解析：宁夏银川市北方民族大学附属中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

北方民族大学附属中学2026-2027学年度（上）高一期中试卷 数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数为定义在上的偶函数，且对任意都有，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的解集是 D. 的解集是 8. 给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为，若存在常数，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数的定义域为，则实数a的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 11. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则 D. 若实数a，b满足，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的偶函数，若当时，，则________． 13. 若，则关于的不等式的解集为______． 14. 已知函数，若对任意实数且，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求，的值； （2）若，求的值. 16. 已知函数的解析式为 （1）在坐标系中画出这个函数的图象，并由图象直接写出的单调区间及最大值； （2）求，的值； （3）解不等式． 17. 已知函数满足，． （1）求，的值； （2）判断的奇偶性； （3）判断在上的单调性； （4）求不等式的解集． 18. 双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）． （1）求函数的解析式； （2）当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 19. 已知是定义域为的奇函数．当时，. （1）求函数的解析式； （2）当时，设函数，求在上的最大值与最小值； （3）设，当时，的取值范围为，求实数a，b的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北方民族大学附属中学2026-2027学年度（上）高一期中试卷 数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可． 【详解】命题“”为全称量词命题， 其否定为：． 故选：D 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断各项函数的奇偶性，及在上的单调性． 【详解】对于A，由是奇函数，故A错误； 对于B，由满足，是偶函数，且在上单调递增，故B正确； 对于C，由是偶函数，但在上单调递减，故C错误； 对于D，由既不是奇函数也不是偶函数，故D错误． 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】求的定义域， 即自变量要满足，解得且， 所以函数的定义域为. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系判断可得. 【详解】解不等式得，记， 记满足的元素组成的集合为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 函数为定义在上的偶函数，且对任意都有，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以 因为对任意都有，即有在上单调递减 所以 故选：B 7. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的解集是 D. 的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】由解集确定及两根，用韦达定理把、用表示，再逐项判断． 【详解】因为的解集为， 所以，且，是方程的两根， 所以，所以． 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，解集为，故C错误； 对于D，由，即，解集为，故D正确． 8. 给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为，若存在常数，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解与的交点，按区间分段得到的解析式，结合的条件分别表示与，再根据不等式求解的取值范围. 【详解】令. 当时，，即，，无实根，故时，此时. 当时，，即，解得或. 在同一个坐标系画出和 观察图象可得： 当时，，； 当时，，； 当时，，. 故 ， ，故. 又， 若，即时，，此时，不满足. 若，即时，. 由得，整理得， 解得. 综上，的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为，由不等式的倒数性质可知，故A正确. 对于B，因为，不等式两边同乘正数可得，即，故B错误. 对于C，已知且，根据同向不等式的加法性质，同向不等式相加所得不等式方向不变，可得，故C正确. 对于D，因为且，根据不等式的乘法性质可得. 当时，，此时不成立，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数的定义域为，则实数a的取值范围是 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：的定义域为； 由根式乘法法则化简得，的定义域也为，定义域、对应法则均相同，是同一个函数，A正确. 选项B：函数定义域为，说明对任意恒成立. 当时，原式化为，恒成立，符合条件； 当时，需判别式，解得； 当时，二次函数开口向下，不可能恒非负. 综上的取值范围是，选项漏掉了，B错误. 选项C：由，得，因此， 函数的值域为，而非，C错误. 选项D：已知①， 将替换为，得 ②. ①②，消去：， ，解得，D正确. 11. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为4 C. 若，则 D. 若实数a，b满足，则的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解. 【详解】A.若，满足，此时，不满足结论，故A错误； B.，， 当，且，得时等号成立，所以的最小值为4，故B正确； C.，， 当，且，得，时，等号成立，故C正确； D.，， ， 当，即时等号成立，且，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的偶函数，若当时，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为是定义在上的偶函数，故. 13. 若，则关于的不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】求方程的根，结合一元二次不等式的解法求结论. 【详解】当时，设方程的两根为，， 则和， 因为，所以，又， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 14. 已知函数，若对任意实数且，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由单调性定义判断函数的单调性，结合分段函数的单调性列不等式组即可求解. 【详解】因为对任意实数且，不等式恒成立， 所以函数在R上为减函数. 所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求，的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）（2）直接代入即可求解 【小问1详解】 ，， 【小问2详解】 ，则，解得或 16. 已知函数的解析式为 （1）在坐标系中画出这个函数的图象，并由图象直接写出的单调区间及最大值； （2）求，的值； （3）解不等式． 【答案】（1） 的单调递增区间为和；单调递减区间为和，最大值为. （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）分三段分别画出一次函数、二次函数和一次函数的图象，观察图象的升降趋势确定单调区间，寻找图象的最高点确定最大值. （2）根据自变量所在范围，选择对应的解析式进行代入计算，求复合函数值时由内向外依次进行. （3）分、、三种情况，分别代入解析式建立不等式组，最后取并集. 【小问1详解】 画出函数图象，图象由射线、二次函数和射线组成. 由图象可知，的单调递增区间为和；单调递减区间为和. 当时函数的最大值为. 【小问2详解】 由得，， 【小问3详解】 当时，恒小于2； 当时，，解得； 当时，解得. 综上所述 17. 已知函数满足，． （1）求，的值； （2）判断的奇偶性； （3）判断在上的单调性； （4）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）偶函数 （3）在上单调递增，在上单调递减 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可. （2）根据函数奇偶性的定义判断即可. （3）根据单调性的定义及偶函数的性质判断即可. （4）根据函数的单调性及奇偶性，将不等式化为，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，解得； 【小问2详解】 由（1）得，，定义域为， 又， 所以为偶函数； 【小问3详解】 任取，则，， 则， 所以在上单调递减， 又为偶函数，所以在上单调递增， 综上，在上单调递增，在上单调递减； 【小问4详解】 由，得. 因为在上单调递减，且为偶函数， 所以，则， 整理得，即，解得或， 故不等式的解集为. 18. 双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）． （1）求函数的解析式； （2）当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【答案】（1） （2）产量为5千辆时，该企业利润最大，最大利润是380万元 【解析】 【分析】（1）利用，求出函数解析式； （2）分和，根据函数单调性求出最大值，得到答案. 【小问1详解】 由已知，， 又 整理得 【小问2详解】 当时，，则当时，； 当时，， 即时，， ，的最大值为380， 故当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元． 19. 已知是定义域为的奇函数．当时，. （1）求函数的解析式； （2）当时，设函数，求在上的最大值与最小值； （3）设，当时，的取值范围为，求实数a，b的值. 【答案】（1） （2）最大值5，最小值4 （3）， 【解析】 【分析】（1）当时，，由可得时的解析式，进而得到结果； （2）设，化简得到；分别在和的情况下，由的正负得到函数单调性，进而可求解； （3）分别在、和的情况下，根据的单调性确定最值点，结合最值求得，的值. 【小问1详解】 为定义在上的奇函数， ∴当时，，则； 综上所述，. 【小问2详解】 由题意得当时，； 设，则 ； 当时，，， ∴，在上单调递减； 当时，，∴，在上单调递增； 又，所以在上的最大值是，最小值是. 【小问3详解】 当时，. 当时，在上为增函数，故，此时无解； 当时，在上为减函数，故，解得； 当时，在上为增函数，在上为减函数，故，得，不合题意； 综上所述，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $