16.3 乘法公式（第3课时 添括号与乘法公式综合）（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

16.3 乘 法 公 式 第 3 课 时 添括号与乘法公式综合 第十六章 整式乘法 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解添括号法则：当括号前面是正号时，括到括号里的各项都不变符号；当括号前面是负号时，括到括号里的各项都改变符号，能根据需要对整式正确进行添括号变形。 掌握运用添括号对式子进行适当变形，再运用平方差公式、完全平方公式进行整式乘法计算的方法，能熟练解决三项式相乘及多项式完全平方等问题。 体验转化与化归、整体（换元）的数学思想方法，在变形与计算过程中发展符号意识与运算能力，体会乘法公式的结构特征及其应用的灵活性。 知识回顾 1. 平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2 两个数的和 （或差）的平方，等于它们的平方和，加上 （或减去）它们的积的２倍． 3 知识回顾 1.下列图形阴影部分的面积能够直观地解释(x－1)2＝x2－2x＋1的是( ) A 　 B　 C　 D 2.下列计算正确的是 (　　) A.(a+b)2=a2+b2 B.(－a+b)(－b+a)=a2－b2 C.(－a+b)2=a2+2ab+b2 D.(－a－1)2=a2+2a+1 A 解. A.(a+b)2=a2+2ab+b2,故本选项不合题意; B.(－a+b)(－b+a)=－(a－b)(a－b)=－a2+2ab－b2,故本选项不合题意; C.(－a+b)2=a2－2ab+b2,故本选项不合题意; D.(－a－1)2=a2+2a+1,故本选项符合题意. D 知识回顾 3..下列计算中可采用平方差公式的是 (　　) A.(x+y)(x－z) B.(－x+2y)(x+2y) C.(－3x－y)(3x+y) D.(2a+3b)(2b－3a) 4.已知关于x的多项式x2－3bx+36是一个完全平方式,则b的值为　　　　.  解：∵关于x的多项式x2－3bx+36是一个完全平方式 ∴x2－3bx+36=（x±6）² 即 x2－3bx+36= x2±12x+62 ∴－3b=±12. ∴b=±4. B ±4 逆用完全平方公式 (x+2y－3)(x－2y+3) (x+2y)(x－2y) 新课导入 2 我们已经会计算 (x+2y)(x－2y)，并知道它可以直接运用平方差公式。现在请同学们看这样一道题：计算 (x+2y－3)(x－2y+3)。 = －4 = 这个式子与 (a+b)(a－b) 相比，多了什么？ 我们还能直接套用平方差公式吗？ 如果不能，能不能通过“添括号”把 －3 和 +3 分别“装”进括号里，使它重新符合公式的结构？ ——添括号与乘法公式的综合运用。 新知探究 探究点1 添括号法则 1. 还记得去括号法则吗？ 符号不变 符号不变 符号不变 符号改变 括号前面是“－”号， 去掉括号和它前面的“－”号，括号里各项都改变正负号. 归纳：a+(b+c)=a+b+c；a－(b+c)=a－b－c， 括号前面是“＋”号， 去掉括号和它前面的“＋”号，括号里各项都不改变正负号； 与原来符号相反 与原来符号相同 “加不变，减全变” （2）a－ (b＋c)=a－b－c （1）a＋ (b＋c)=a＋b＋c 新知探究 探究点1 添括号法则 （1）由去括号法则 a+(b+c)=a+b+c、a－(b+c)=a－b－c，反过来能得到什么结论？ 我们知道： 反过来 ,等式仍然成立：： a + (b + c) = __________； a – (b + c) = __________. a + b + c a – b – c a – b – c = __________. a + b + c = __________； a + (b + c) a – (b + c) 正负号均不变 正负号均改变 添括号得： a+b+c=a+(b+c)； a－b－ c = a－(b+c) a －b －c =a － ( b ＋c) 新知探究 探究点1 添括号法则 符号不变 符号不变 符号改变 符号改变 （2）观察上面两式，添括号时，括号前面是正号，括到括号里的各项符号怎样变化？括号前面是负号，括到括号里的各项符号又怎样变化？ 所添括号前面是“＋”号，括到括号里各项的符号不变 所添括号前面是“－”号，括到括号里各项的符号改变 添括号法则 与原来符号相同 【提示】添括号与去括号是一个互逆的过程，可以用去括号检验添括号是否正确. a ＋b ＋c =a＋ ( b ＋c) 与原来符号相反 9 －2y＋3 2y－3 x x 与 互为相反数。 两个多项式都有 ， ( )( ) 新知探究 探究点2 运用乘法公式计算（整体思想） （1 ）计算 。这个式子中，两个多项式的哪些部分相同？哪些部分互为相反数？如何计算？ 观察： －2y＋3 2y－3 x －2y＋3 x ＋ 2y－3 ＋ 于是可以把 看作一个整体，适当加括号将原式变形： x x =[x+(2y－3)][x－(2y－3)] (2y－3) (x+2y－3)(x－2y+3) 符合平方差公式 (a+b)(a－b) 解：（1）(x+2y－3)(x－2y+3) =[x+(2y－3)][x－(2y－3)] =x2－(2y－3)2 =x2－(4y2－12y+9) =x2－4y2+12y－9； 有些整式相乘需要先适当变形，然后再用公式 10 新知探究 探究点2 运用乘法公式计算（整体思想） 分析：把 (a+b ) 看作一个整体，将原式化为 [(a+b)+c]²， 先运用完全平方公式，再展开 (a+b)²。 解：(a+b+c)² =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。 （2）计算 (a+b +c)²，这是三个数和的平方，还能直接套用完全平方公式吗？怎样变形？ 通过添加括号将三项分为两组，构成和的平方形式 新知探究 探究点2 运用乘法公式计算（整体思想） （1）（a+b－c）•（a－b+c）=[a+(b－c)][ a－(b－c)]； （2）(a+b+ c) (a－b－c)=[a+(b+c)][ a－(b+c)]； （3）(a+b+c)² =[(a+b)+c]2=[a+（b+c]）2 （4）(a－b+c)² =[(a－b)+c]2=[a－（b－c]）2 有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式。常用的变形手段就是“添括号”，其本质是把若干项看成一个整体（整体思想、换元思想），使式子符合平方差公式或完全平方公式的标准结构。 常见形式： 一般步骤： 第一步，先通过“添括号”变形，使式子符合平方差公式或完全平方公式的结构； 第二步，套用相应公式； 第三步，去括号并合并同类项，特别注意去括号时各项符号的变化。 新知探究 探究点2 运用乘法公式计算（整体思想） ① 添括号是添上括号和括号前面的符号. 也就是说，添括号时，括号前面的“+”或“－”也是新添加的不是原来多项式中的某一项的符号“移”出来的. ②无论去括号还是添括号，只改变了式子的形式，不改变式子的值，即“形变值不变”. 添括号，看符号 正号在前直接抄； 负号在前变号抄； 验证对错去括号. 添括号注意点 口诀 新知探究 探究点3 乘法公式的变形应用 （1）由完全平方公式 (a+b)²=a²+2ab+b²，怎样用 a+b 与 ab 表示 a²+b²？ 把 2ab 移到等号另一边，得： a2+b2=(a+b)2－2ab。 （2）类似地，由 (a－b)²=a²－2ab+b²，还能得到什么等式？ a2+b2=(a－b)2+2ab。 （3）把 (a+b)² 与 (a－b)² 两式相减，能得到什么结果？ (a+b)2－(a－b)2 =(a2+2ab+b2)－(a2－2ab+b2) =4ab， 即 4ab=(a+b)2－(a－b)2。 （4）乘法公式中的 a 和 b 是一个字母，可以是一个多项式吗？ 如果 a 或 b 是一个多项式，如何运算？ a 和 b 可以代替一个多项式，计算时可以看作一个整体先按照乘法公式进行计算，然后再根据相应的法则，进行运算. 新知探究 探究点3 乘法公式的变形应用 乘法公式不仅能用于整式乘法计算，还能逆用与变形，用于求代数式的值、进行化简。关键要抓住公式的结构特征，通过“整体代换”在 a+b、a－b、ab 与 a²+b² 等式子之间建立联系。 常见变化形式 1. 的变形： 新知探究 探究点3 乘法公式的变形应用 乘法公式不仅能用于整式乘法计算，还能逆用与变形，用于求代数式的值、进行化简。关键要抓住公式的结构特征，通过“整体代换”在 a+b、a－b、ab 与 a²+b² 等式子之间建立联系。 常见变化形式 2. 的变形： 新知探究 探究点3 乘法公式的变形应用 乘法公式不仅能用于整式乘法计算，还能逆用与变形，用于求代数式的值、进行化简。关键要抓住公式的结构特征，通过“整体代换”在 a+b、a－b、ab 与 a²+b² 等式子之间建立联系。 常见变化形式 3. 的变形： 典例分析 例1.已知(x＋y)2＝18，(x－y)2＝6，求x2＋y2和xy的值． 解：由题意，得： (x＋y)2＋(x－y)2＝2(x2＋y2)＝24， ∴x2＋y2＝12， ∵(x＋y)2－(x2+y2)＝2xy＝6， ∴ 2xy＝18－12＝6 ∴xy＝3. 典例分析 例2、（1）先化简,再求值: (2m+1)(2m－1)－(m－1)2+(2m)3÷(－8m),其中m满足m2+m－2=0 （2）先化简,再求值:(2a－b)2+(a+1－b)(a+1+b)－(a+1)2,其中a=,b=－2. （1）解：原式=4m2－1－(m2－2m+1)+8m3÷(－8m) =4m2－1－m2+2m－1－m2 =2m2+2m－2 =2(m2+m－1), ∵m2+m－2=0, ∴m2+m=2, 原式=2×(2－1)=2. 典例分析 例2、（1）先化简,再求值: (2m+1)(2m－1)－(m－1)2+(2m)3÷(－8m),其中m满足m2+m－2=0 （2）先化简,再求值:(2a－b)2+(a+1－b)(a+1+b)－(a+1)2,其中a=,b=－2. （2）解:(2a－b)2+(a+1－b)(a+1+b)－(a+1)2 =4a2－4ab+b2+(a+1)2－b2－(a+1)2 =4a2－4ab. 当a=,b=－2时, 原式=4×()2－4××(－2) =1+4=5. 例3.运用乘法公式计算: (1)(a+2b-c)(2b-a-c); (2)(a+3b-1)2. 典例分析 解:(1)原式=[(2b-c)+a][(2b-c)-a] =(2b-c)2-a2 =4b2-4bc+c2-a2. (2)原式= [a+(3b-1) ]2 =a2-2a (3b-1)+ (3b-1)2 =a2+6ab-2a+9b2-6b+1. (2)原式= [ (a+3b)-1 ]2 =(a+3b)2-2(a+3b)+1 =a2+6ab+9b2-2a-6b+1. 方法提示： 有符号相同也有符号不同的两个三项式相乘,可通过变形用平方差公式计算,确定平方差公式中“a”、“b”的方法: 完全相同的项为“a”, 绝对值相同符号相反的项为“b” 新知巩固 教材P117 1. 在等号右边的括号内填上适当的项。 （1）a+b－c=a+( )； （2）a－b+c=a－( )； （3）a+b－c=a－( )； （4）a+b+c=a－( )。 解：（1）因为 a+(b－c)=a+b－c。 （2）因为 a－(b－c)=a－b+c。 （3）因为 a－(－b+c)=a+b－c。 （4）因为 a－(－b－c)=a+b+c。 b－c b－c －b+c －b+c 新知巩固 教材P117 2.运用乘法公式计算： （1）(x+y－1)(x－y－1)； （2）(2x+y+z)(2x－y－z)。 解： （2）(2x+y+z)(2x－y－z) =[2x+(y+z)][2x－(y+z)] =(2x)2－(y+z)2 =4x2－(y2+2yz+z2) =4x2－y2－2yz－z2。 解： （1）(x+y－1)(x－y－1) =[(x－1)+y][(x－1)－y] =(x－1)2－y2 =x2－2x+1－y2。 新知巩固 教材P117 3.运用乘法公式计算： （1）(a+2b－1)2； 解： （1）(a+2b－1)2 =[(a+2b)－1]2 =(a+2b)2－2(a+2b)·1+12 =a2+4ab+4b2－2a－4b+1。 解： （2）(2x－y+1)2 =[(2x－y)+1]2 =(2x－y)2+2(2x－y)·1+12 =4x2－4xy+y2+4x－2y+1。 （2）(2x－y+1)2。 或将括号添在第一项后计算： 原式 = [a + (2b – 1)]2 或将括号添在第一项后计算： 原式 = [2x – (y – 1)]2 拓展提升 1..如果(a+b+1)(a+b－1)=63，那么你能求出的值吗?请写出求解过程. 解:能. ∵(a+b+1)(a+b－1)=63, ∴(a+b)2－1=63, ∴(a+b)2=64. ∴a+b=±8, ∴=±4. 拓展提升 2.已知长方形的周长为16 cm,其两邻边长分别为x cm,y cm，且满足(x－y)2－2x－2y+1=0,求其面积. 解：∵长方形的周长为16 cm,其两邻边长分别为x cm,y cm, ∴x+y=8, ∵(x－y)2－2x－2y+1=0, ∴(x+y)2－2(x+y)+1－4xy=0, ∴(x+y－1)2－4xy=0, ∴xy=×(8－1)2=. 故长方形的面积是 cm2. 拓展提升 解：， ， 3.已知，则的值为（ ） A． B． C． D． B 真题感知 1.（2025·浙江台州·二模）如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（    ） A．2 B． C．8 D． 解：∵代数式的值为3， ∴， ∴， ∴ ， A 所添括号前面是“－”号，括到括号里各项的符号改变 真题感知 2.（2025·甘肃张掖·三模）有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 解：∵为完全平方式， 且， ∴还需要抽取面积为的正方形纸片 4 张， B 29 真题感知 3.（2026•南充）先化简，再求值： 2a•（－a）+（a+3）2+（a+2）（a－2），其中a＝－2． 解：2a•（－a）+（a+3）2+（a+2）（a－2） ＝－2a2+（a2+6a+9）+（a2－4） ＝－2a2+a2+6a+9+a2－4 ＝6a+5， 当a＝－2时， 原式＝6×（－2）+5＝－7． 30 课堂小结 知识点总结 （1）添括号法则： 括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 它与去括号法则互为逆运算。 （2）平方差公式 (a+b)(a－b)=a²－b² 与完全平方公式 (a±b)²=a²±2ab+b²综合应用 既可以用于两项式相乘，也可以通过添括号变形用于三项式、多项式相乘。 课堂小结 方法思想总结 （1）整体（换元）思想： 把若干项看成一个整体，如把 (2y－3)、(a+b) 看作一个整体，是“变形后用公式”的关键。 （2）转化与化归思想： 把不符合公式结构的整式乘法，通过添括号转化为可用平方差公式或完全平方公式计算的形式。 （3）符号意识： 添括号与去括号都要严格按法则处理符号，符号处理正确是运算结果正确的前提。 课堂小结 易错提醒 （1）添括号时，括号前是负号，括进去的每一项都要变号，不能只变其中一项。 （2）用平方差公式时要找准“相同项”和“相反项”；用完全平方公式时不要漏掉中间项 ±2ab，不能只写成 a²+b²。 （3）套用公式后去括号时，若括号前是负号（如 x²－(2y－3)² 展开后减去 (4y²－12y+9)），各项都要变号。 （4）计算结果应写成最简形式，注意合并同类项并按照字母次数从高到低排列。 课后练习 教材P117 3.运用乘法公式计算： （1）(3x－5)2－(2x+7)2； （2）(x+y+1)(x+y－1)； （3）(2x－y－3)2； （4）[(x+2)(x－2)]2。 解： （1）(3x－5)2－(2x+7)2 =(9x2－30x+25)－(4x2+28x+49) =9x2－30x+25－4x2－28x－49 =5x2－58x－24。 （2）(x+y+1)(x+y－1) =[(x+y)+1][(x+y)－1] =(x+y)2－1 =x2+2xy+y2－1。 课后练习 教材P117 3.运用乘法公式计算： （1）(3x－5)2－(2x+7)2； （2）(x+y+1)(x+y－1)； （3）(2x－y－3)2； （4）[(x+2)(x－2)]2。 （3）(2x－y－3)2 =[(2x－y)－3]2 =(2x－y)2－2(2x－y)·3+32 =4x2－4xy+y2－12x+6y+9。 （4）[(x+2)(x－2)]2 =(x2－4)2=x4－8x2+16。 课后练习 教材P117 6.如图，一块直径为 (a+b) cm 的圆形钢板，从中挖去直径分别为 a cm 与 b cm 的两个圆，求剩下的钢板的面积。 解：大圆的半径为 cm， 大圆的面积为 cm²； 两个小圆的半径分别为 cm 与 cm， 它们的面积分别为 与 cm²。 所以剩下的钢板面积 S=－－ == (cm²)。 答：剩下的钢板的面积是 cm²。 课后练习 教材P117 7.已知 a+b=5，ab=3，求 a²+b² 的值。 解：∵ a2+b2=(a+b)2－2ab， 且 a+b=5，ab=3， ∴ a2+b2=52－2×3=25－6=19。 答：a²+b² 的值为 19。 谢谢聆听 $