16.3.2 完全平方公式（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

16.3.2 完全平方公式 目 录 A组 巩固过关 题型01 完全平方公式的适用条件 题型02 运用完全平方公式进行计算 题型03 利用完全平方公式进行简便运算 题型04 利用完全平方公式进行化简求值 题型05 求完全平方公式中的字母系数 题型06 通过对完全平方公式变形求值 题型07 规律探究型问题 题型08 几何背景 题型09 新定义问题 题型10 配方法 题型11 整式的混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 完全平方公式的适用条件 1．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项的因式变形，判断是否可化为两个相同二项式的乘积，即可确定能否使用完全平方公式． 【详解】解：完全平方公式适用于两个相同二项式相乘的形式． A选项：，可用完全平方公式计算． B选项：中项相同，项符号相反，为平方差公式形式，不可用完全平方公式计算． C选项：，可用完全平方公式计算． D选项：，可用完全平方公式计算． 2．（26-27八年级上·陕西·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式和完全平方公式判断即可． 【详解】解：A．，此项符合题意； B．，此项不符合题意； C．，此项不符合题意； D．，此项不符合题意． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列各式中，可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式具有以下特征：①左边是两个数的和或差的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号相同．根据完全平方公式的特点①逐项判断即可． 【详解】解：、，不能表示成两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； 、，能表示两数和或差的平方的形式，能用完全平方公式计算，符合题意； 、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； 、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意． 故选． 4．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）填空： ①（___________）； ②__________________． 【答案】 49 7 【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算，即可得到填空结果． 【详解】解：①； ②，且 ，即 ． 题型02 运用完全平方公式进行计算 5．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）一个正方形的边长为 cm，则它的面积是__________ （结果用含 a 的多项式表示）． 【答案】 【详解】 解：由题意得，面积为． 6．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）计算：． 【答案】． 【分析】将原式变形为，然后通过平方差公式，完全平方公式展开计算即可． 【详解】解： ． 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1). (2). (3). (4). 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 8．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（26-27八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型03 利用完全平方公式进行简便运算 10．（26-27八年级上·全国·单元测试）利用乘法公式计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)11025 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是平方差公式，完全平方公式，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）将原式变形后利用平方差公式计算即可； （2）将原式变形后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 13．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）用简便方法计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)175 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．（25-26七年级下·四川巴中·阶段检测）运用所学乘法公式等进行简便运算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用积的乘方法则进行计算即可； （2）变形后利用平方差公式计算即可； （3）变形后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： （3）解： 题型04 利用完全平方公式进行化简求值 15．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）化简求值：，其中．． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， 当．时，原式． 16．（2026九年级·陕西·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题运用完全平方公式和单项式乘多项式法则将原式展开，合并同类项得到化简结果，再代入计算，即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 17．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】2xy，． 【详解】解：原式 ， 由，， ． 18．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当，原式． 题型05 求完全平方公式中的字母系数 20．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）若是关于的完全平方式，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：∵是关于的完全平方式． ∴． ∴． 解得或． 21．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）若是完全平方式，则_________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，对比对应项系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴原式为完全平方式时，中间项满足， 当时，解得； 当时，解得； ∴． 22．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么k的值是______． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的结构特征，对比对应项系数即可求解的值． 【详解】解：由题意得，是关于的完全平方式， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 23．（26-27七年级上·上海·阶段检测）已知是某个整式的平方，则__________． 【答案】 【分析】将原式对应完全平方公式结构，展开后对比系数即可得到的值. 【详解】解： 完全平方公式为， 原式中， 展开得： ， 将结果与对比系数， . 24．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）若是关于是关于的某个整式的平方，则常数的值为___________． 【答案】或 【分析】根据题意设，结合完全平方公式即可求出常数的值． 【详解】解：设， 则：， 解得：或． ∴常数的值为或． 题型06 通过对完全平方公式变形求值 25．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，那么的值为_________． 【答案】 【分析】将两边平方，利用完全平方公式结合已知的求出的值，再代入计算所求式子即可． 【详解】解：∵， ∴，展开得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）已知，，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形，将所求式子用已知的和表示后代入计算即可． 【详解】解：∵由完全平方公式可得， ∴变形得， ∵，， ∴代入得． 27．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，，则_______． 【答案】24 【分析】将所求代数式变形为含有和的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ． 28．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形为含和的形式，代入已知条件计算； （2）先将四次式变形，利用完全平方公式逐步计算出中间结果后代入求值． 【详解】（1）解： 代入， 则； （2）解： 代入得，． 29．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ； （2）解：． 题型07 规律探究型问题 30．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式： ， ， ， (1)根据上述各式反映出的规律填空： ________． (2)如果一个正整数个位上数字是，去掉个位上的数字之后的数是（为正整数）， ①这个正整数可以表示为________（用含的代数式表示）； ②试说明该正整数平方后一定可以被整除． 【答案】(1)， (2)①； ②理由：∵， 又∵为正整数， ∴为整数， ∴该正整数平方后一定可以被整除． 【分析】根据已知等式的规律即可求解； ①根据题意列出代数式表示即可；②利用完全平方公式对①所得的代数式进行平方运算，提取公因数说明剩余部分是整数即可说明． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）①这个正整数可以表示为； ②略 31．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______________ 按如表规律，完成下列问题： (1)（_____________）（_____________）；_____________； (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，其中均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾． 故不可能均为偶数． ②若均为奇数，设，其中均为自然数．…… ③若一个是奇数一个是偶数，则和均为奇数．所以为奇数，而是偶数，矛盾，故不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 【答案】(1)6，5； (2) ②若均为奇数， 设 ，其中均为自然数． ∴ ． ∵为的倍数，而不是的倍数，矛盾， ∴不可能均为奇数． 【分析】（1）根据规律即可求解；根据规律即可求解； （2）先利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可． 【详解】（1）解：由表格可得，奇数的一般规律为： ∴当时，解得： ∴ 故答案为：，； 由表格可得：的倍数的规律为： 故答案为：． （2）略 32．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． 速算与代数推理 “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； … 我们发现如下速算规律：个位数字是的两位数平方的结果是最后两位一定是，前面的部分等于十位数字与十位数字加后的乘积．我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 请根据上述材料完成下列任务： (1)请根据上述规律计算：_________；_________． (2)设十位数字是（是至的整数），用字母表示上述材料中的速算规律，并证明该速算规律． 【答案】(1) ， (2) 规律为：， 证明：∵左边， ∴右边， ∵左边右边， ∴. 【分析】（1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案； （2）根据规律写出结论，验证结论左右是否相等，只要把上面的结论的两边去掉括号化简看看是否相等即可判断； 【详解】（1）解：， ； （2）略 33．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． (1)展开式中共有 项，第三项是 ；第四项是 (2)直接写出的展开式； (3)利用上面的规律计算： 【答案】(1)5；；4ab3 (2) (3) 【分析】（1）根据“杨辉三角形”和（为正整数）展开式的规律，的系数依次为行“杨辉三角形”对应的数字，每一项指数之和为n，按照a的升幂和b的降幂排列即可解决此题； （2）根据“杨辉三角形”和（为正整数）展开式的规律，得到的展开式即可； （3）逆运用上面的规律即可． 【详解】（1）解：由杨辉三角的系数规律可得， 则展开式共有5项，第三项是，第四项为； （2）解： ； （3）解：由杨辉三角可知， ． 题型08 几何背景 34．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）观察图 ，边长为的正方形被两条线段分成四块． (1)写出大正方形面积的两种表达式，由此得到完全平方公式 ________； (2)利用上述结论计算：． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据正方形的面积公式表示正方形的面积，也可以用四块图形的面积之和表示，即可建立等式； （2）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：大正方形面积， 又等于四块面积之和， 则 （2）解： ． 35．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图1，教材已给出关于、的关系式：______；根据图2，关于、的关系式可表示为：______；根据上面的思路与方法，解决下列问题： (2)如图3，，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形． ①若两正方形的面积和，求图中阴影部分面积， ②若阴影面积为，，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）图1，利用大正方形的面积两个小正方形的面积个长方形的面积解答即可；图2，利用大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积解答即可； （2）①根据和变形求出即可；②根据，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：图1，边长为的大正方形的面积边长分别为和的小正方形的面积个长方形的面积， ∴； 图2，边长为的大正方形的面积边长为的小正方形的面积个长方形的面积， ∴； （2）解：①由题意得，，，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴阴影部分面积为； ②由题意得，， ∴， ∵， ∴ ∴． 36．（25-26八年级上·全国·阶段检测）用1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片，2张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形． (1)观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式1： ． 代数式2： ． (2)从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (3)如图2，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）结合图形可得出结论； （2）由面积相等可得出结论； （3）设，，将，代入（2）所得结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，图1中两个阴影图形面积的和为代数式1：；代数式2：； （2）解：从（1）中可得或． （3）解：方法1： 设，， ∵，， ∴，， 代入得，， 解得， 由图可知． 方法2： 设，， ∵，， ∴，， 代入得，， 解得， 由图可知． 37．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）【问题背景】在数学活动课上，同学们利用拼图探究整式乘法公式，通过对同一面积的不同表达和比较来理解公式，是我们学习的重要方法，如图，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图），且在分割过程中面积没有变化． 【探索归纳】 (1)若将图中的大正方形看作一个整体，则它的面积是 （用含，的式子表示）； 图中四部分的面积之和是 （用含，的式子表示）；因此，可以得到等式 ； 【学以致用】 (2)若，，分别求和的值； 【拓展应用】 (3)若，直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)5 【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式求解即可； （2）根据，求解即可； （3）设，则，，根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图1中的大正方形的边长为，则其面积为； 图中四部分的面积之和是， 因此，可以得到等式； （2）解：∵，， ∴， ； （3）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 38．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 【问题情境】如图1，A类小正方形卡片的边长为类长方形卡片的长为，宽为，C类大正方形卡片的边长为，发现利用图1中的三种卡片各若干张可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如图2可以解释的等式为． 【问题初探】 (1)仿照图2利用图形面积解释等式的形式，则图3可以解释的等式为___________； (2)选取若干张A，B，C类卡片拼出一个长方形，该长方形的长为，宽为． ①计算这个长方形的面积（展开成多项式）． ②请直接写出拼成该长方形需要A类、B类、C类卡片各多少张； (3)现有A类卡片4张，B类卡片7张，C类卡片4张，从中取出若干张（每种卡片至少取1张），拼成一个大正方形，请直接写出所有可以拼成的大正方形的边长（用含的代数式表示）． 【拓展探究】 (4)我们知道可以借助几何图形建立图形面积与代数式的关系，如图4，大正方形的边长为，两个小正方形的边长均为，将它们按照如图所示的位置摆放（无缝隙、不重叠），阴影部分的面积记为．已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；②A类卡片6张，B类卡片11张，C类卡片3张 (3)或或 (4)40 【分析】（1）根据长方形的面积公式表示出拼成的长方形面积，再根据长方形是由2张A类卡片，5张B类卡片，2张C类卡片组成表示出面积，即可解答； （2）①根据长方形的面积公式即可求解； ②根据多项式相关系数即可解答； （3）结合完全平方公式求解即可； （4）将三个阴影部分面积相加，结合整式的乘法计算即可． 【详解】（1）解：拼成的长方形的长为，宽为，面积为； 该长方形是由2张A类卡片，5张B类卡片，2张C类卡片组成，故面积为， 所以图3可以解释的等式为． （2）解：①这个长方形的面积为． ②因为这个长方形的面积为， 所以拼成该长方形需要A类卡片6张，B类卡片11张，C类卡片3张． （3）解：有以下拼成正方形的方法： ①∵， ∴取A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片1张，可拼成边长为的正方形； ②∵， ∴取A类卡片1张，B类卡片4张，C类卡片4张，可拼成边长为的正方形； ③∵， ∴取A类卡片4张，B类卡片4张，C类卡片1张，可拼成边长为的正方形． 综上所述，所有可以拼成的大正方形的边长为或或． （4）解：由题意，得 ∴， ∵， ∴． 题型09 新定义问题 39．（25-26七年级下·山东济南·期末）对于任意有理数，，，，定义一种新运算：， (1)____________； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则___________； (3)对于有理数，，若，，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据新运算的定义求解即可； （2）根据新运算的定义列出代数式，然后根据完全平方式的定义确定值； （3）根据新运算的定义列出代数式并变形，代入已知式子的值计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得,； （2）解：由题意可得, , ∵是一个完全平方式， ∴； （3）解：原式               ，， ． 40．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）定义：任意两个数a，b，按规律运算得到一个新数c，称c为a，b的“和差数”． (1)求2，的“和差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和差数”，求的值． (3)若，，求a，b的“和差数”c． 【答案】(1)39 (2)0 (3)16 【详解】（1）解：根据“和差数”的定义，计算如下： ； （2）解：根据题意，得到： 移项，利用完全平方公式得， 解得： 原式． （3）解： ． 41．（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）若一个整数能表示成（a，b是非零整数）的形式，则称这个数为“神秘平方数”．例如，5是“神秘平方数”，因为，再如（x，y是非零整数且），所以M也是“神秘平方数”． (1)请你写一个大于20小于30的“神秘平方数”：______； (2)请判断52是否是“神秘平方数”，并说明理由； (3)已知（x是整数且，k是常数），要使S为“神秘平方数”，请求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】(1)25（答案不唯一） (2) 52是“神秘平方数”，理由如下： ∵， ∴52是“神秘平方数”； (3) （答案不唯一）， 理由如下： ， ， 根据“神秘平方数”的定义，可令， 解得． 【分析】本题考查了新定义的运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据定义，写出一个“神秘平方数”即可； （2）根据“神秘平方数”的定义进行判断即可； （3） 先利用完全平方公式进行整理，根据定义得出，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ∵， ∴25是“神秘平方数”， 故答案为：25（答案不唯一）； （2）略 （3）略 42．（25-26七年级下·山西太原·期中）阅读与思考 下面是某数学兴趣小组关于“双偶数平方差”的部分研究报告，请认真阅读并完成相应的任务． 双偶平方差数学兴趣小组在研究平方差公式时，发现一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以表示为两个连续偶数的平方差，即（k为正整数），则称为“双偶平方差数”． 特例构造： 时，； 时，； 时，；…… 得到数列：12，20，28，36，… 任务： (1)写出第5个“双偶平方差数”（需要过程）； (2)猜想所有“双偶平方差数”都是________的倍数，并说明理由； (3)两个相邻的“双偶平方差数”的差可能是20吗？若可能，求出这两个数；若不可能，说明理由． 【答案】(1)第5个“双偶平方差数”是， 理由：根据定义，第1个“双偶平方差数”对应， 因此第5个对应， 将代入，得； (2) ，理由如下： 对化简，得， 是正整数， 是正整数， 是的倍数， 因此所有“双偶平方差数”都是的倍数； (3) 不可能， 理由：设相邻两个“双偶平方差数”分别对应和，其中为正整数， 相邻两个“双偶平方差数”为和， 由（2）可知，对应的数为，对应的数为， 则两个数的差为， ，任意相邻两个“双偶平方差数”的差恒为， 两个相邻的“双偶平方差数”的差不可能是20． 【分析】（1）根据构造顺序得到第5个数对应的值，代入公式计算即可； （2）化简的表达式，即可判断它是哪个数的倍数； （3）表示出相邻两个双偶平方差数，计算它们的差，即可判断是否可能为20． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 43．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（，为正整数）的形式_______； (2)探究：设，请将表示成“完美数”的形式， 并求当为何整数时，最小，求出的最小值； (3)应用：已知（，为整数，是常数），要使S为“完美数”，求的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)时，最小，最小值为 (3) 解： ， ，为整数， ，为整数， 要使S为“完美数”，则， ， 即当时S为“完美数”． 【分析】（1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值； （3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值． 【详解】（1）解：； （2）解：， 即， 当即时，最小，最小值为； （3）略 题型10 配方法 44．（25-26八年级上·吉林长春·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件 用配方法分解因式： 解：原式 利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______（______）； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)， (3) ，理由如下： ，， ， ， ， ． 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征，是求解本题的关键． （1）根据完全平方式的特征配方求解； （2）先配方，再根据完全平方式的非负性求最小值； （3）先作差，然后配方，再根据完全平方式的非负性得到，即可得解． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ， ， 的最小值为； （3）略 45．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值 ； (2)已知，求的值 【答案】(1)1； (2)． 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：1； （2）解： ， ∴，， ∴，， ∴． 46．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)34 【分析】本题主要考查了完全平方的变形求值，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵， ∴， ． 47．（24-25七年级下·福建三明·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方式的逆写，即，例如二次三项式的配方过程如下：． (1)比照上面的例子，将下面的两个二次三项式分别配方： ①_________ ②_________ (2)若，请尝试用以上方法求出x的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式、平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）①利用完全平方公式把式子变形即可；②利用完全平方公式把式子变形即可； （2）利用完全平方公式把式子变形，再根据平方根的定义解方程即可； （3）利用完全平方公式把式子变形，再根据非负数的性质求出、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 48．（23-24八年级上·北京海淀·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)解决问题： 请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______； (2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； (3)探究问题： 已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______； 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)10，是 (2)2 (3)13，4 【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由题意知，，由（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），可得，，然后代值求解即可； （3），由S为“完美数”，可得，解得，；由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：10，是； （2）解：由题意知，， ∵（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数）， ∴，， ∴， 故答案为：2； （3）解：， ∵S为“完美数”， ∴，解得，， 故答案为：13； ∵， ∴， ∴当时，最小，最小值为4． 【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值等知识．解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公式． 题型11 整式的混合运算 49．（2026七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】解： ． 50．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 51．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据单项式乘多项式与多项式乘多项式运算法则展开，再去括号、合并同类项，即可得出答案； （2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，即可得出答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 52．（2026八年级上·全国·专题练习）计算∶ (1)． (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 53．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． B组 能力进阶 1．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）已知，则的值是（     ） A．17 B．15 C．13 D．11 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用已知式中两个常数与所求式常数的对称关系，换元简化计算即可． 【详解】解：设，则，． ∵已知， ∴， ， ， 得， ， 即． 2．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【分析】由已知等式得，将待求多项式的高次项逐步降次，化简后计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴， ． 将上述结果代入待求式： ． 3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，，那么________ 【答案】 【分析】利用完全平方公式对已知条件变形，结合平方的非负性求出，，的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 将条件代入得：， 整理得：， 任意数的平方都是非负数，两个非负数的和为，则每个非负数都为， ，， 又， ， 将，，代入得： ． 4．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）分解下列因式：，，，观察上述三个多项式的系数，有，，．若多项式是完全平方式，那么系数，，之间一定存在某种关系．若多项式和都是完全平方式，则利用观察得到的规律可得的值是________． 【答案】16 【分析】根据题中给出的三个式子，结合多项式，由，，的形式即可表示出，根据多项式是完全平方式，得到①；多项式是完全平方式，得到②，从而两式相乘即可得到的值． 【详解】解： ，对比多项式有， 由可知； 同理，对于，，由，，均可得到； 当多项式是完全平方式，得到①； 当多项式是完全平方式，得到②， ， 和都是多项式，， ， ，两边同时除以得到 ． 5．（25-26七年级下·广西桂林·期末）综合与实践：探究日历中的数学规律：我们利用的方框在日历上框出一些数，选取位于方框中四个角处的4个数，设这4个数分别为，，，（），（图①②③分别为，，方框示意图），下面我们探索日历中运算结果的规律． 【特例探究】如图④是2026年1月份的日历，我们用方框在该日历上框出一些数，计算和猜想的结果： 若框住的数为1，2，8，9，则____A____； 若框住的数为2，3，9，10，则____A____； 若框住的数为4，5，11，12，则____A_____；… 由此，可猜想：____A_____． (1)直接写出的值； 【推理演绎】 (2)通过特例分析，我们猜想所有日历中，在方框内的结果都不变，请你将证明过程补充完整； 证明：设，则，，．… 【类比应用】 (3)用的方框框住任意日历上的9个数，证明的值为固定值； (4)用的方框框住任意日历上的16个数，直接写出的值与（1）中值的比值．（直接写出结论，不用证明） 【答案】(1)； (2)， ， ， ； (3)在的方框中，设，则，，， ， ， ， ； (4)9． 【分析】（1）通过计算得出A的值； （2）通过完全平方公式进行加减计算，去括号，合并同类项，得出结果； （3）通过完全平方公式进行加减计算，去括号，合并同类项，得出结果； （4）先计算的方框中的值，再与（1）中值相除，求比值． 【详解】（1）解：若框住的数为1，2，8，9，则， ； 若框住的数为2，3，9，10，则， ； 若框住的数为4，5，11，12，则， ； 由此，可猜想：； （2）略 （3）略 （4）在的方框中，设，则，，， ， ， ， ； ． 6．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）解决下面的问题： 图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出三个代数式，，之间的等量关系：_____________； (2)请直接写出下列问题的答案： ①若，，则_____________； ②若，则_____________． (3)如图3，点C是线段上的一点，分别以，为边向两侧作正方形，已知，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据图2可得出． （2）①利用，进一步求值即可；②由，，结合 ，进一步求解即可. （3）设，，由已知条件可得出，，利用完全平方公式求出，最后按三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：根据图2可得出． （2）解：①∵，， ∴； ②∵； ∴， ∴ . （3）解：设，； ∵，； ∴，； ∵ ∴，解得， ∴. 7．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）定义：多项式、、，如果满足（为常数），则称多项式、、为一组平衡多项式，其中是该组平衡多项式的平衡值． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组平衡多项式，9是该组的平衡值． (1)判断多项式，，是否为一组平衡多项式？若是，请求出该组平衡多项式的平衡值；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（，，是常数）是一组平衡多项式，求，，之间的数量关系； (3)多项式，，（，是常数）是一组平衡多项式，请直接写出该组平衡多项式的平衡值． 【答案】(1)多项式，，是一组平衡多项式，且该组平衡多项式的平衡值为25 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义判断即可得到答案； （2）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义令含x的项的系数为0即可得到答案； （3）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义令含x的项的系数为0求出k和t的值，进而求出常数项的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∴多项式，，是一组平衡多项式，且该组平衡多项式的平衡值为25； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵多项式，，（，，是常数）是一组平衡多项式， ∴，即； （3）解：∵，，， ∴ ， ∵多项式，，（，是常数）是一组平衡多项式， ∴， ∴， ∴， ∴该组平衡多项式的平衡值为4． C组 思维拔高 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知实数满足，则代数式有（     ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，没有最小值 C．没有最大值，最小值为 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】先利用平方差公式化简所求代数式，再结合已知条件通过完全平方的非负性确定的取值范围，进而得到代数式的最值． 【详解】解：． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴， ∴， ∴， 即代数式最大值为，最小值为． 2．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，…，为自然数，与均为正整数．例：当，时，．下列说法：①若，则符合条件的整式中二次二项式有4个；②若，则符合条件的整式有7个；③若，且整式是二次三项式，则的值一定是正数．其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题目定义，结合系数的取值范围，分别判断三个说法的正误，最终统计正确说法的个数． 【详解】解：由题意得，与为正整数，为自然数． ①，即，， 要求是二次二项式，则仅存在两种情况：或． 当，时，， 由于，，则有，，共3组解； 当，时，， 由于，，则有，，共3组解； 所以符合条件的整式中二次二项式有（个），故①错误． ②，为正整数，则是4的正因数，即． 当时，，即，，共4组解； 当时，，即，， 时，有2组解，时，有1组解，合计3组解； 当时，，即，，仅1组解； 合计个，故②错误． ③，且为二次三项式，则，，，． ， ，代入得，满足条件的解为或， 对应整式分别为和． ∵， ， ∴的值一定是正数，故③正确． 综上，正确的说法共1个． 3．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）已知个数，，…从，，中取值．若，且，则的值为________． 【答案】 【分析】求出，，…中，或的个数是个，，，…中，的个数是个，的个数是个，的个数是个，据此进行解答即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵个数，，…从，，中取值． ∴，，…中，或的个数是，，，…中，的个数是， ∵，或的个数是，，，…中，的个数是， ∴比多个， 即的个数是（个），的个数是（个）， ∴ 4．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积． (1)选择题：图1是一个长、宽（）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形．然后，按图2那样拼成一个（中间空的）正方形，则中间空的部分面积是_________． A．    B．    C．    D． (2)如图3，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，用不同的方法计算这个图形的面积．你能发现什么结论，请直接写出来：__________； (3)如图4，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接和．若两个正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）大正方形的面积减去四个小长方形的面积和； （2）整体面积等于各部分面积之和，由两种计算方式建立等式； （3）利用求解即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长为，面积为； 四个小长方形的面积之和为， ∴中间空的部分面积， 故选：C． （2）解：边长为的大正方形的面积为； 它由一个边长为的正方形、一个边长为的正方形、一个边长为的正方形和六个长方形（两个、两个、两个）组成， 各部分面积之和为， ∴． （3）解：∵， ， ∴ ． 5．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空：① ；② ； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】（）按照定义及积的乘方计算即可； （）先按照完全平方式及定义展开运算，求出和的值，再代入要求的式子求解即可； （）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，个一组，从而可得答案． 【详解】（1）解：（1）①原式， ②原式． （2）解：∵，是的共轭复数， ∴， ∴； （3）解：由条件可知：， 即， ∴， 解得：， ∴， ∵， 有个加数，， ∴，则， ∴． 6．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【文脉溯源】我国古代经典《周易》中的八卦，由阴(-)、阳(一)两种爻象组合推演而来，蕴含着深邃的哲学思想与数学规律．奇妙的是，八卦的组合规律与整式展开的系数分布高度契合．若将“阳”“阴”分别对应整式中的变量，我们能发现八卦生成与整式乘法之间的奇妙数学关联，感受传统智慧与代数知识的完美融合．让我们一起踏上这场探索之旅，揭开其中的奥秘吧！ 【概念立纲】定义：把整式（n为正整数）展开式中所有项的系数之和，叫做的八卦和合数，记作， 例如： 请结合上述定义、整式乘法知识及整体代换思想，完成下列任务： 【研学启智】 (1)运用多项式乘多项式法则，展开 ， 它的八卦和合数______． (2)运用多项式乘多项式法则，展开 ， 它的八卦和合数_______． 【拓维探律】 (3)观察上述的结果， 猜想的通用规律： 它的八卦和合数 ； 它的八卦和合数____．（用含n的代数式表示） 【精研推演】 (4)已知为的八卦和合数，利用上述规律计算的值为 ． 【深思解密】 (5)若令代入，计算结果 它的八卦和合数（填“大于”、“小于”或“等于”）． (6)若令代入，计算结果 它的八卦和合数（填“等于”或“不等于”） ． 【综合应用】 (7)请直接写出的展开式中所有项的系数之和 ． (8)已知的值为0，若对于特定的x，满足等式，利用整式乘法与等式性质，推理求出代数式的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)；0 (4) (5)等于 (6)等于 (7) (8) 【分析】（1）先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再根据八卦和合数的定义计算； （2）先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再根据八卦和合数的定义计算； （3）通过观察的结果，即可得出规律； （4）根据（3）所得规律计算出和，再求和即可； （5）将代入得，根据（3）所得规律得出，即可得解； （6）将代入得，根据（3）所得规律得出，即可得解； （7）由（5）的规律可知，一个多项式展开式中所有项的系数之和等于多项式中的变量全部取值为1时所得到的数值，令，，代入计算即可； （8）的值为0，则，从而得出，求出，，即可得解． 【详解】（1）解： ， 则； （2）解： ， 则； （3）解：由题意可知，的八卦和合数，的八卦和合数，的八卦和合数， 则它的八卦和合数； 由题意可知，的八卦和合数，的八卦和合数，的八卦和合数， 则它的八卦和合数； （4）解：由（3）可知，，， 则； （5）解：令，则， 由（3）可知，的八卦和合数， 因为， 所以计算结果等于它的八卦和合数； （6）解：令，则， 由（3）可知，的八卦和合数， 因为， 所以计算结果等于它的八卦和合数； （7）解：由（5）的规律可知，一个多项式展开式中所有项的系数之和等于多项式中的变量全部取值为1时所得到的数值， 令，， 则， 即的展开式中所有项的系数之和为； （8）解：的值为0， 则，即， 所以， 展开得：， 因为满足等式， 所以，， 所以． 拓展 链接中考 1．（2026·西藏·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算法则计算出正确结果，根据计算结果判断正误． 【详解】解：选项A：根据单项式乘以多项式的法则进行计算可得：，故选项A错误.； 选项B：根据完全平方公式计算可得：，故B选项错误； 选项C：根据合并同类项的法则计算可得：，故C选项错误.； 选项D：根据同底数幂的乘法法则计算可得：，故D选项正确． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项的定义、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、完全平方公式，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵ 不是同类项，不能合并，∴ A错误，不符合题意； ∵ ，∴ B错误，不符合题意； ∵ ，∴ C正确，符合题意； ∵ ，∴ D错误，不符合题意． 4．（2026·四川巴中·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用同底数幂乘法法则、同类项概念、完全平方公式、单项式乘多项式法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，A错误． B、∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴，B错误． C、∵根据完全平方公式，，∴，C错误． D、∵根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项再相加，∴，D正确． 5．（2026·内蒙古·中考真题）矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下3组图形和3个代数恒等式： 其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】分别计算三个图形中不同部分的面积，利用面积相等建立等式，即可判断对应的代数恒等式是否成立． 【详解】解：对于第1组图形：大矩形的长为，宽为，面积为；它由三个小矩形组成，面积分别为、、； ，故第1个恒等式正确； 对于第2组图形：左上角正方形的边长为，面积为；大正方形的面积为，减去两个长为、宽为的矩形面积，由于右下角边长为的小正方形被减了两次，需加回； ，故第2个恒等式正确； 对于第3组图形：大正方形面积为，左下角小正方形面积为，剩余部分面积为；剩余部分可分割为两个矩形，一个长为、宽为，另一个长为、宽为，面积和为； ，故第3个恒等式正确； 综上所述，能正确说明代数恒等式的有3个． 6．（2026·江苏宿迁·中考真题）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形，代入已知条件即可求出的值． 【详解】解：由完全平方公式可得． ∵ ∴ 把代入上式得 ∴， 即． 7．（2026·黑龙江绥化·中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，，，，…．若按此规律继续排列下去，则第个数可以表示为_________（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】解题思路为将数据对应其序号，通过对比已知数据归纳规律，再验证规律是否符合所有已知项，从而得到第个数的表达式． 【详解】解：设第个数对应序号为，为正整数， 将已知数据按序号整理： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此可得第个数的表达式为，即为． 8．（2026·新疆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先分别计算绝对值、算术平方根、零次幂，再依次进行加减运算得出结果； （）先用完全平方公式展开平方项、单项式乘多项式法则展开乘积项，去括号后合并同类项化简整式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（2026·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式， ， 当时，原式． 10．（2026·甘肃天水·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 11．（2026·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先按照单项式乘以单项式，完全平方公式，平方差公式，计算各部分，再合并同类项，对原式进行化简，最后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.2 完全平方公式 目 录 A组 巩固过关 题型01 完全平方公式的适用条件 题型02 运用完全平方公式进行计算 题型03 利用完全平方公式进行简便运算 题型04 利用完全平方公式进行化简求值 题型05 求完全平方公式中的字母系数 题型06 通过对完全平方公式变形求值 题型07 规律探究型问题 题型08 几何背景 题型09 新定义问题 题型10 配方法 题型11 整式的混合运算 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 完全平方公式的适用条件 1．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·陕西·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列各式中，可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）填空： ①（___________）； ②__________________． 题型02 运用完全平方公式进行计算 5．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）一个正方形的边长为 cm，则它的面积是__________ （结果用含 a 的多项式表示）． 6．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）计算：． 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）计算： (1) (2) 9．（26-27八年级上·全国·课后作业）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 利用完全平方公式进行简便运算 10．（26-27八年级上·全国·单元测试）利用乘法公式计算： (1) (2) 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）简便运算： (1) (2) 13．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）用简便方法计算下列各题： (1)； (2)． 14．（25-26七年级下·四川巴中·阶段检测）运用所学乘法公式等进行简便运算： (1) (2) (3) 题型04 利用完全平方公式进行化简求值 15．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）化简求值：，其中．． 16．（2026九年级·陕西·专题练习）先化简，再求值：，其中． 17．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 18．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 19．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 题型05 求完全平方公式中的字母系数 20．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）若是关于的完全平方式，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D． 21．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）若是完全平方式，则_________． 22．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么k的值是______． 23．（26-27七年级上·上海·阶段检测）已知是某个整式的平方，则__________． 24．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）若是关于是关于的某个整式的平方，则常数的值为___________． 题型06 通过对完全平方公式变形求值 25．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，那么的值为_________． 26．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）已知，，则_________． 27．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）已知，，则_______． 28．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 29．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型07 规律探究型问题 30．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式： ， ， ， (1)根据上述各式反映出的规律填空： ________． (2)如果一个正整数个位上数字是，去掉个位上的数字之后的数是（为正整数）， ①这个正整数可以表示为________（用含的代数式表示）； ②试说明该正整数平方后一定可以被整除． 31．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数能否表示为（均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______________ 按如表规律，完成下列问题： (1)（_____________）（_____________）；_____________； (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析： ①若均为偶数，设，其中均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾． 故不可能均为偶数． ②若均为奇数，设，其中均为自然数．…… ③若一个是奇数一个是偶数，则和均为奇数．所以为奇数，而是偶数，矛盾，故不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 32．（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． 速算与代数推理 “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； … 我们发现如下速算规律：个位数字是的两位数平方的结果是最后两位一定是，前面的部分等于十位数字与十位数字加后的乘积．我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 请根据上述材料完成下列任务： (1)请根据上述规律计算：_________；_________． (2)设十位数字是（是至的整数），用字母表示上述材料中的速算规律，并证明该速算规律． 33．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． (1)展开式中共有 项，第三项是 ；第四项是 (2)直接写出的展开式； (3)利用上面的规律计算： 题型08 几何背景 34．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）观察图 ，边长为的正方形被两条线段分成四块． (1)写出大正方形面积的两种表达式，由此得到完全平方公式 ________； (2)利用上述结论计算：． 35．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图1，教材已给出关于、的关系式：______；根据图2，关于、的关系式可表示为：______；根据上面的思路与方法，解决下列问题： (2)如图3，，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形． ①若两正方形的面积和，求图中阴影部分面积， ②若阴影面积为，，求的值． 36．（25-26八年级上·全国·阶段检测）用1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片，2张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形． (1)观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式1： ． 代数式2： ． (2)从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来： ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (3)如图2，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 37．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）【问题背景】在数学活动课上，同学们利用拼图探究整式乘法公式，通过对同一面积的不同表达和比较来理解公式，是我们学习的重要方法，如图，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图），且在分割过程中面积没有变化． 【探索归纳】 (1)若将图中的大正方形看作一个整体，则它的面积是 （用含，的式子表示）； 图中四部分的面积之和是 （用含，的式子表示）；因此，可以得到等式 ； 【学以致用】 (2)若，，分别求和的值； 【拓展应用】 (3)若，直接写出的值． 38．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）综合与探究 【问题情境】如图1，A类小正方形卡片的边长为类长方形卡片的长为，宽为，C类大正方形卡片的边长为，发现利用图1中的三种卡片各若干张可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如图2可以解释的等式为． 【问题初探】 (1)仿照图2利用图形面积解释等式的形式，则图3可以解释的等式为___________； (2)选取若干张A，B，C类卡片拼出一个长方形，该长方形的长为，宽为． ①计算这个长方形的面积（展开成多项式）． ②请直接写出拼成该长方形需要A类、B类、C类卡片各多少张； (3)现有A类卡片4张，B类卡片7张，C类卡片4张，从中取出若干张（每种卡片至少取1张），拼成一个大正方形，请直接写出所有可以拼成的大正方形的边长（用含的代数式表示）． 【拓展探究】 (4)我们知道可以借助几何图形建立图形面积与代数式的关系，如图4，大正方形的边长为，两个小正方形的边长均为，将它们按照如图所示的位置摆放（无缝隙、不重叠），阴影部分的面积记为．已知，求的值． 题型09 新定义问题 39．（25-26七年级下·山东济南·期末）对于任意有理数，，，，定义一种新运算：， (1)____________； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则___________； (3)对于有理数，，若，，求的值． 40．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）定义：任意两个数a，b，按规律运算得到一个新数c，称c为a，b的“和差数”． (1)求2，的“和差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和差数”，求的值． (3)若，，求a，b的“和差数”c． 41．（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）若一个整数能表示成（a，b是非零整数）的形式，则称这个数为“神秘平方数”．例如，5是“神秘平方数”，因为，再如（x，y是非零整数且），所以M也是“神秘平方数”． (1)请你写一个大于20小于30的“神秘平方数”：______； (2)请判断52是否是“神秘平方数”，并说明理由； (3)已知（x是整数且，k是常数），要使S为“神秘平方数”，请求出符合条件的一个k值，并说明理由． 42．（25-26七年级下·山西太原·期中）阅读与思考 下面是某数学兴趣小组关于“双偶数平方差”的部分研究报告，请认真阅读并完成相应的任务． 双偶平方差数学兴趣小组在研究平方差公式时，发现一类特殊的数． 定义：如果一个正整数可以表示为两个连续偶数的平方差，即（k为正整数），则称为“双偶平方差数”． 特例构造： 时，； 时，； 时，；…… 得到数列：12，20，28，36，… 任务： (1)写出第5个“双偶平方差数”（需要过程）； (2)猜想所有“双偶平方差数”都是________的倍数，并说明理由； (3)两个相邻的“双偶平方差数”的差可能是20吗？若可能，求出这两个数；若不可能，说明理由． 43．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（，为正整数）的形式_______； (2)探究：设，请将表示成“完美数”的形式， 并求当为何整数时，最小，求出的最小值； (3)应用：已知（，为整数，是常数），要使S为“完美数”，求的值，并说明理由． 题型10 配方法 44．（25-26八年级上·吉林长春·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件 用配方法分解因式： 解：原式 利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______（______）； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 45．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值 ； (2)已知，求的值 46．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 47．（24-25七年级下·福建三明·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方式的逆写，即，例如二次三项式的配方过程如下：． (1)比照上面的例子，将下面的两个二次三项式分别配方： ①_________ ②_________ (2)若，请尝试用以上方法求出x的值； (3)若，求的值． 48．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)解决问题： 请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______； (2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； (3)探究问题： 已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______； 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值． 题型11 整式的混合运算 49．（2026七年级上·全国·专题练习）计算：． 50．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）计算： (1) (2) (3) 51．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 52．（2026八年级上·全国·专题练习）计算∶ (1)． (2) ． 53．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) B组 能力进阶 1．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）已知，则的值是（     ） A．17 B．15 C．13 D．11 2．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，则________． 3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，，那么________ 4．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）分解下列因式：，，，观察上述三个多项式的系数，有，，．若多项式是完全平方式，那么系数，，之间一定存在某种关系．若多项式和都是完全平方式，则利用观察得到的规律可得的值是________． 5．（25-26七年级下·广西桂林·期末）综合与实践：探究日历中的数学规律：我们利用的方框在日历上框出一些数，选取位于方框中四个角处的4个数，设这4个数分别为，，，（），（图①②③分别为，，方框示意图），下面我们探索日历中运算结果的规律． 【特例探究】如图④是2026年1月份的日历，我们用方框在该日历上框出一些数，计算和猜想的结果： 若框住的数为1，2，8，9，则____A____； 若框住的数为2，3，9，10，则____A____； 若框住的数为4，5，11，12，则____A_____；… 由此，可猜想：____A_____． (1)直接写出的值； 【推理演绎】 (2)通过特例分析，我们猜想所有日历中，在方框内的结果都不变，请你将证明过程补充完整； 证明：设，则，，．… 【类比应用】 (3)用的方框框住任意日历上的9个数，证明的值为固定值； (4)用的方框框住任意日历上的16个数，直接写出的值与（1）中值的比值．（直接写出结论，不用证明） 6．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）解决下面的问题： 图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出三个代数式，，之间的等量关系：_____________； (2)请直接写出下列问题的答案： ①若，，则_____________； ②若，则_____________． (3)如图3，点C是线段上的一点，分别以，为边向两侧作正方形，已知，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 7．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）定义：多项式、、，如果满足（为常数），则称多项式、、为一组平衡多项式，其中是该组平衡多项式的平衡值． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组平衡多项式，9是该组的平衡值． (1)判断多项式，，是否为一组平衡多项式？若是，请求出该组平衡多项式的平衡值；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（，，是常数）是一组平衡多项式，求，，之间的数量关系； (3)多项式，，（，是常数）是一组平衡多项式，请直接写出该组平衡多项式的平衡值． C组 思维拔高 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知实数满足，则代数式有（     ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，没有最小值 C．没有最大值，最小值为 D．以上说法都不对 2．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）已知整式，其中，…，为自然数，与均为正整数．例：当，时，．下列说法：①若，则符合条件的整式中二次二项式有4个；②若，则符合条件的整式有7个；③若，且整式是二次三项式，则的值一定是正数．其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）已知个数，，…从，，中取值．若，且，则的值为________． 4．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积． (1)选择题：图1是一个长、宽（）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形．然后，按图2那样拼成一个（中间空的）正方形，则中间空的部分面积是_________． A．    B．    C．    D． (2)如图3，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，用不同的方法计算这个图形的面积．你能发现什么结论，请直接写出来：__________； (3)如图4，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接和．若两个正方形的边长满足，，求阴影部分的面积． 5．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空：① ；② ； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 6．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）【文脉溯源】我国古代经典《周易》中的八卦，由阴(-)、阳(一)两种爻象组合推演而来，蕴含着深邃的哲学思想与数学规律．奇妙的是，八卦的组合规律与整式展开的系数分布高度契合．若将“阳”“阴”分别对应整式中的变量，我们能发现八卦生成与整式乘法之间的奇妙数学关联，感受传统智慧与代数知识的完美融合．让我们一起踏上这场探索之旅，揭开其中的奥秘吧！ 【概念立纲】定义：把整式（n为正整数）展开式中所有项的系数之和，叫做的八卦和合数，记作， 例如： 请结合上述定义、整式乘法知识及整体代换思想，完成下列任务： 【研学启智】 (1)运用多项式乘多项式法则，展开 ， 它的八卦和合数______． (2)运用多项式乘多项式法则，展开 ， 它的八卦和合数_______． 【拓维探律】 (3)观察上述的结果， 猜想的通用规律： 它的八卦和合数 ； 它的八卦和合数____．（用含n的代数式表示） 【精研推演】 (4)已知为的八卦和合数，利用上述规律计算的值为 ． 【深思解密】 (5)若令代入，计算结果 它的八卦和合数（填“大于”、“小于”或“等于”）． (6)若令代入，计算结果 它的八卦和合数（填“等于”或“不等于”） ． 【综合应用】 (7)请直接写出的展开式中所有项的系数之和 ． (8)已知的值为0，若对于特定的x，满足等式，利用整式乘法与等式性质，推理求出代数式的值为 ． 拓展 链接中考 1．（2026·西藏·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏徐州·中考真题）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川巴中·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·内蒙古·中考真题）矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下3组图形和3个代数恒等式： 其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．（2026·江苏宿迁·中考真题）已知，，则的值为 ． 7．（2026·黑龙江绥化·中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，，，，…．若按此规律继续排列下去，则第个数可以表示为_________（结果用含的代数式表示）． 8．（2026·新疆·中考真题）计算： (1)； (2)． 9．（2026·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 10．（2026·甘肃天水·中考真题）先化简，再求值：，其中． 11．（2026·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.3.2完全平方公式 目录 A组巩固过关 题型01完全平方公式的适用条件 题型02运用完全平方公式进行计算 题型03利用完全平方公式进行简便运算 题型04利用完全平方公式进行化简求值 题型05求完全平方公式中的字母系数 题型06通过对完全平方公式变形求值 题型07规律探究型问题 题型08几何背景 题型09新定义问题 题型10配方法 题型11整式的混合运算 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01完全平方公式的适用条件 1.B 2.A 3.B 4.3b-a 49 7 1/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02运用完全平方公式进行计算 5.a2-6a+9 6.【详解】解：x-2y+z川x+2y-z =x-(2y-zx+(2y-z =x2-2y-z2 =X2-4y2-4yz+z2 =x2-4y2+4yz-z2. 7.【详解】(1)解：原式=9a+6ab+b2: (2解：原武4a+号ab+后， (3)解：原式=4a2-16ab+16b2: 《0解：原式子02-b+始82 8.【详解】(1)解：2x+35x2-x+2-x-34x+1 =10x3-2x2+4x+15x2-3x+6-4x2+x-12x-3 =10x3-2x2+4x+15x2-3x+6-4x2-X+12x+3 =10x3+9x2+12x+9: (2)解：2a-3b+c2 =|2a-3b+c2 =2a-3b2+2c2a-3b+c2 =4a2-12ab+9b2+4ac-6bc+c2. 9.【详解】(1)解：x+2y-3川x-2y+3 =x+2y-3川x-2y-3 =x2-2y-32 =X2-4y2-12y+9 =x2-4y2+12y-9: (2)解：2x+3y-11+2x+3y =2x+3y-12x+3y+1 =2x+3y2-1 =4x2+12xy+9y2-1: 2122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：(a+3b+c2 =[a+3bl+c2 =a+3b2+2ca+3b+c2 =a2+6ab+9b2+2ac+6bc+c2: (4)解：（2x-3y-42 =|2x-3y-42 =2x-3y-82x-3y+16 =4x2-12xy+9y2-16x+24y+16. 题型03利用完全平方公式进行简便运算 10.【详解】(1)解：原式=1232-123+1川123-1 =1232-1232-1 =1232-123+1 =1. (2)解：原式=100+1×100-1-(100-0.52 =1002-12-100-2×100×0.5+0.25 =1002-1-100+100-0.25 =98.75. 11.【详解】(1)解：992-98×100 =992-99-1×99+1 =992-992+1 =1； (2)解：1052 =100+52 =1002+2×100×5+52 =10000+1000+25 =11025 12.【详解】(1)解：原式=20242-(2024-1)×(2024+1)， =20242-20242+1, =1: 3/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：原式=932+2×93×7+7， =(93+72, =1002, =10000 13.【详解】(1)解：原式=20262-2026-1×2026+1 =20262-20262-12 =20262-20262+1 =1. (2)解：原式=7.22+2×7.2×12.8+12.82-152 =7.2+12.82-152 =202-15 =20+15×20-15 =35×5 =175. 14.【详解】(1)解： ×1×-1 号 (2)解：1232-124×122 =1232-123+1123-1 =1232-1232-1 =1232-1232+1 =1 (3)解： 512+49+51×49 2 512+2×51×49+492 2 =51+492 2 4/22 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1002 2 10000 2 =5000 题型04利用完全平方公式进行化简求值 15.【详解】解：x+2y2-x+y3x-y-5y2:2x =x2+4xy+4y2）-3x2-xy+3xy-y2-5y÷2x =x2+4xy+4y2-3x2+xy-3xy+y2-5y2÷2x =-2x2+2Xy÷2x =-X+y, 当x-2.y时恩武-2+2+号号 16.【详解】解：2x-1-2xx-2 =4x2-4x+1-2x2+4x =2x2+1; 当x=-1时，原式=2×(-12+1=2+1=3， 17.【详解】解：原式=4x2+4xy+y2-4x2-y2-2xy+2y2 =4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2 =2Xy, 由x= 2w-2× 3 3 18.【详解】解：原式=9x2-12x+4-9x2-4 =9x2-12x+4-9x2+4 =-12x+8, 当x=-1时，原式=12+8=20】 19.【详解】解：aa-4-2a-3川a+1+(a-1)2 =a2-4a-2a2+4a+6+a2-2a+1 =-2a+7, 5/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 当a=- 2,原式=-2× +7=8 2 题型05求完全平方公式中的字母系数 20.C 21.±8 22.11或-13 2a增 8.4 24.3或3 题型06通过对完全平方公式变形求值 25.1 26.52 27.24 28.【详解】(1)解：（p-q}=(p+q2-4pq 代入p+q=-5,pq=6 则(p-q2=(p+q}-4pq=(-52-4×6=25-24=1: (2)解：p4+q4=p2+q22-2p2q p2+q2=(p+q2-2pq=(-5)2-2×6=13 pq2=(pq}=62=36 代入得，p+q4=132-2×36=169-72=97. 29.【详解】(1)解：(x+y2-(x2+y2)=2y,x2+y=10,x+y=4, ·.2xy=(x+y}-(x2+y2)=16-10=6,xy=3 (x+1)2+(y+12=(x2+y2)+2(x+y)+2=10+8+2=20: (2)解：（x-y2=(x+y2-4xy=16-12=4. 题型07规律探究型问题 30.【详解】（1)解：152=1×2×100+25=225， 6122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 252=2×3×100+25=625, 352=3×4×100+25=1225, … .952=9×10×100+25=9025: (2)(2①这个正整数可以表示为10a+5: ②理由：10a+52=100a2+100a+25=254a2+4a+1, 又a为正整数， .4a2+4a+1为整数， ∴.该正整数平方后一定可以被25整除， 31.【详解】(1)解：由表格可得，奇数的一般规律为：2n-1=n2-n-12 ∴.当2n-1=11时，解得：n=6 .11=62-6-12=62-52 故答案为：6,5： 由表格可得：4的倍数的规律为：4n=n+1?-n-12 故答案为：n+12-n-12. （2)若x,y均为奇数， 设x=2k+1y=2m+1,其中k,m均为自然数. ∴x2-y2=2k+12-2m+12 =4k2+4k+1-4m2+4m+1 =4k2+4k-4m2-4m =4k2-m2+k-m. :4k2-m2+k-m为4的倍数，而4n-2不是4的倍数，矛盾， x,y不可能均为奇数 32.【详解】(1)解：752=7×7+1×100+25=5625， 952=9×9+1×100+25=9025: (2)规律为：10a+5=a×a+1×100+25, 证明：：左边=10a+5?=10a}+100a+25=100a2+100a+25, ∴，右边=a×a+1×100+25=100a2+100a+25, ,左边=右边， ∴.10a+52=a×a+1×100+25. 7122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33.【详解】(1)解：由杨辉三角的系数规律可得，a+b4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 则展开式共有5项，第三项是6ab2,第四项为4ab3: (2)解：1-2x5 =15+5×14×-2x+10×13×-2x2+10×1×-2x3+5×1×-2x1+-2x5 =1-10x+10×4x2+10×-8x2+5×16x4-32x3 =1-10x+40x2-80x3+80x4-32x; (3)解：由杨辉三角可知， 2-6×25×3+15×24×32-20×23×33+15×22×34-6×2×35+3 =2-36 =-15 =1. 题型08几何背景 34. 【详解】(1)解：大正方形面积=a+b2, 又等于四块面积之和=a2+ab+ab+b2=a+2ab+b2, 则a+b2=a2+2ab+b2 (2)解：(2x+32-2x-32 =4x2+12x+9-4x2-12x+9 =4x2+12x+9-4x2+12x-9 =24x. 35.【详解】(1)解：图1，边长为a+b的大正方形的面积=边长分别为a和b的小正方形的面积+2个长 方形的面积， .a+b2=a2+2ab+b2: 图2，边长为a+b的大正方形的面积=边长为a-b的小正方形的面积+4个长方形的面积， .a+b2=a-b2+4ab: (2)解：①由题意得AC+BC=AB=12,S1=AC2,S,=BC,AC=CD, ..AC+BC2=144=AC2+2AC-BC+BC2,S+S,=80=AC+BC, .144=80+2ACBC ∴.ACBC=32,则CDBC=32, ∴.阴影部分面积为CDBC=32; 8122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②由题意得AC+BC=AB=12,ACBC=20, .BC-ACP=BC+ACP-4BCAC=122-4×20=64=±82， .AC>BC, ..BC-AC<0 ..BC-AC=-8. 36.【详解】(1)解：由题意可得，图1中两个阴影图形面积的和为代数式1：a+b;代数式2： (a+b2-2ab: (2)解：从(1)中可得a+b2=a+b2-2ab或a2+b2+2ab=a+b2. (3)解：方法1： 设AC=X,BC=y, AB=7,S1+S2=25, ∴x+y=7,x2+y=25, 代入x2+y2=x+y-2Xy得，25=49-2y, 解得xy=12, 由图可知S阴影=xy=12. 方法2： 设AC=X,BC=y, .AB=7,S1+S2=25, ∴x+y=7,x2+y2=25, 代入x2+y2+2xy=x+y得，25+2xy=49, 解得y=12, 由图可知S阴影=y=12. 37.【详解】(1)解：由题意得，图1中的大正方形的边长为a+b,则其面积为a+b2: 图2中四部分的面积之和是a+2ab+b2, 因此，可以得到等式a+b2=a2+2ab+b2: (2)解：，x-y=8,y=-15, ∴x2+y2=x-y2+2xy=82+2×-15=34, x+y2=x-y+4xy=82+4×-15=4: (3)解：设a=8-m,b=m-5, .a+b=8-m+m-5=3, .8-mm-5=2, 9122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴ab=2, .8-m2+m-52 =a2+b2 =a+b2-2ab =32-2×2 =5. 38.【详解】(1)解：拼成的长方形的长为a+2b,宽为2a+b,面积为a+2b2a+b: 该长方形是由2张A类卡片，5张B类卡片，2张C类卡片组成，故面积为2a2+5ab+2b2, 所以图3可以解释的等式为a+2b川2a+b=2a+5ab+2b2. (2)解：①这个长方形的面积为2a+3b3a+b=6a+2ab+9ab+3b2=6a2+11ab+3b2 ②因为这个长方形的面积为6a+11ab+3b2, 所以拼成该长方形需要A类卡片6张，B类卡片11张，C类卡片3张. (3)解：有以下拼成正方形的方法： ①a+b=a2+2ab+b2, .取A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片1张，可拼成边长为a+b的正方形： ②.a+2b2=a+4ab+4b2, ∴.取A类卡片1张，B类卡片4张，C类卡片4张，可拼成边长为a+2b的正方形： ③2a+bP=4a+4ab+b2, ∴.取A类卡片4张，B类卡片4张，C类卡片1张，可拼成边长为2a+b的正方形. 综上所述，所有可以拼成的大正方形的边长为a+b或a+2b或2a+b. (4)解：由题意，得 snm+n+号m-n+n 1 mn+ 1 1 号n2+m2mn+n2+n 2 2 m-mn+2n 1 :.2S=m2-mn+4n2=m2+4mn+4n2-5mn=m+2n2-5mn, .m+2n=10,mn=12, .2S=102-5×12=40. 10/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型09新定义问题 39.【详解1a)解：山题意可得33+1+2×-1=8， 3 (2)解：由题意可得， x xy=x+y+kxy, k y x y是一个完全平方式， k y .k=±2 (3)解：原式=x2+x2-x2x+3y+3y2 =2x2-2x2-3x2y-3xy2 =-3x2y-3xy =-3Xyx+y列 .x+y=5,xy=1, ∴.-3xyx+y=-3×1×5=-15, 40.【详解】(1)解：根据“和差数”的定义，计算如下： 2+-52-2×-5 =4+25+10 =39； (2)解：根据题意，得到：ab=a+b2-ab 移项，利用完全平方公式得，a-b=0 解得：a=b 原式=-3a+3a=0 (3)解：c=a+b2-ab =a+b2-3ab =52-3×3 =16 41.【详解】（1)解：根据题意得， :25=32+42, .25是“神秘平方数”， 故答案为：25（答案不唯一)： (2)52是“神秘平方数”，理由如下： 11/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .52=62+42, ∴52是“神秘平方数”： (3)k=5(答案不唯一)， 理由如下： S=x2+2x+k=x2+2x+1+k-1=x+12+k-1, .x+1≠0， .根据“神秘平方数”的定义，可令k-1=22, 解得k=5】 42.【答案】(1)第5个“双偶平方差数”是44， 理由：根据定义，第1个“双偶平方差数”对应k=1, 因此第5个对应k=5 将k=5代入n=(2k+22-(2k2,得n=122-102=144-100=44: (2)4,理由如下： 对n=(2k+22-(2k)}化简，得n=4K2+8k+4-4k2=8k+4=4(2k+1), .k是正整数， ∴.2k+1是正整数， .∴.n是4的倍数， 因此所有“双偶平方差数”都是4的倍数： (3)不可能， 理由：设相邻两个“双偶平方差数”分别对应k和k+1,其中k为正整数，相邻两个“双偶平方差数”为 nk和nk+1, 由(2)可知，对应k的数为nk=8k+4,对应k+1的数为nk+1=8(k+1+4=8k+12, 则两个数的差为nk+1-nk=(8k+12)-(8k+4)=8, ,8≠20，任意相邻两个“双偶平方差数”的差恒为8， .两个相邻的“双偶平方差数”的差不可能是20. 43.【详解】(1)解：25=9+16=32+42： (2)解：M=x2-10x+29=x2-10x+25-25+29=x-52+4=x-52+2 即M=x-52+2 当x-5=0即x=5时，M最小，最小值为M=0+2=4: (3)解：S=x2+4x+y2-12y+k 12/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x2+4x+4+y2-12y+36+k-4-36 =x+22+y-6+k-40, .X,y为整数， .x+2,y-6为整数， 要使S为“完美数”，则k-40=0, .k=40, 即当k=40时S为“完美数”. 题型10配方法 44.【详解】(1)解：x2-6x+9=x-32: 故答案为：9,3； (2)解：x2+12x+48 =x2+12x+36+12 =x+62+12, x+6≥0， .x2+12x+48的最小值为12： (3)M>N,理由如下： .M=6a2+10a+7,N=5a2+6a, .∴.M-N=6a2+10a+7-5a2+6a =6a+10a+7-5a-6a =a2+4a+7 =a2+4a+4+3 =a+22+3, a+22≥0， ∴.M-N>0, ∴.M>N. 45.【详解】(1)解：x2-4x+5=x2-4x+22-22+5=x-22+1,因为不论x取何值，（x-22总是 非负数，即(x-2≥0，所以当x=2时，（x-2取最小值0，x-2?+1有最小值1. 所以当X=2时，x2-4x+5有最小值1. 故答案为：1； 13/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：a2+b2-6a-8b+25=0 a2-6a+32-3+b2-8b+42-42+25=0 a-32+b-42-32-42+25=0 1a-32+b-42=0, a-32=0,b-42=0, ∴.a=3,b=4, .2a-b=6-4=2. 46.【详解】（1)解：，a-b=2,ab=3, ∴.a2+b2=(a-b2+2ab=2+2×3=10: (2)解：，a-6a+1=0, :a+1=6, -2a.1=62-2=34」 a 47.【详解】(1)解：①x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22+1: ②x2-6x+3=x2-6x+9-6=x-32-6: (2)解：.x2+12x+27=0, .x2+12x+36-9=0, x+62=9, ,x+6=±3， X1=-3,X2=-9; (3)解：，x2+y2-2x+6y+10=0, x2-2x+1+y2+6y+9=0, .x-12+y+3P=0, ∴.x-1=0,y+3=0, .x=1,y=-3, .3x+2y=3×1+2×-3=-3. 48.【详解】(1)解：由题意知，10=3+12,40=62+22， 故答案为：10，是： (2)解：由题意知，x2-4x+5=x2-4x+4+1=x-2}+1, :x2-4x+5(x是整数)是“完美数”，可配方成x-m+n(m,n为常数)， 14/22 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.m=2,n=1, .mn=2, 故答案为：2； (3)解：S=x2+4x+4+4y2-12y+9+k-13=x+22+2y-32+k-13, S为“完美数”， k-13=0,解得，k=13, 故答案为：13： .-x2+3x+y-5=0, x+y=x2-2x+5=x-12+4≥4， .当x=1时，x+y最小，最小值为4. 【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值等知识，解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公 式. 题型11整式的混合运算 49.【详解】解：a+1a-1-2aa+1+a+12 =a2-1-2a2-2a+a+2a+1 =0」 50.【详解】(1)解：2(x3)4+x4(x4 =2x12+x4.x8 =2x2+x12 =3x12 (2)解：(x-y)(x2+xy+y2) =x+x2y+xy2-x2y-xy2-y3 =x3-y (3)解：[(2x+y2-y(y+4x-8x3]÷2x =4x2+4xy+y2-y2-4xy-8x3÷2x =(4x2-8x3)÷2x =2x-4x2 51.【详解】(1)解：x21-x+x+1川x2+x =x2-x3+(x3+x2+x2+x) 15/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x2-x3+x3+x2+x2+x =3x2+x (2)解：2x+12-x+3x-3 =4x2+4x+1-(x2-9） =4x2+4x+1-x2+9 =3x2+4x+10 52.【详解】(1)解：a3a3+3a4÷a =a8+9a8÷a =10a8÷a2 =10a; (2)解：x+2y2+x-2yx+2y+xx-4y =x2+4xy+4y2+x2-4y2+x2-4xy =3x2. 53.【详解】(1)解：a2b+2ab-b3到÷b-a+bl川a-bl =a2+2a-b2-a2-b2 =a2+2a-b2-a2+b2 =2a; (2)解：2x-12x+1-4x+1川x-1 =4x2-1-4x2+x-4x-1 =4x2-1-4x2-x+4x+1 =3X. B组 能力进阶 1.A 2.2033 3.18 4.16 5.【详解】（1)解：若框住的数为1,2,8,9，则 a2+d-b2+c2=12+921-22+82=12+92-22-82=12-22+92-82, 16/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1+2×1-2+9+8×9-8=-3+17=14: 若框住的数为2,3,9,10，则a+-b2+c2=2+102-32+92, =22-32+102-92=2+3×2-3+10+9×10-9=-5+19=14; 若框住的数为4,5,11,12，则a2+d-b2+c2=42+122-52+112, =42-52+122-112=4+5×4-5+12+11×12-11=-9+23=14, 由此，可猜想：a2+d-b2+c2=A=14: 2a2+d1-b2+c2=x2+x+82-x+1+x+7, =x2+x2+16x+64-x2+2x+1+x2+14x+49, =x2+x2+16x+64-x2-2x-1-x2-14x-49, =14: (3)在3×3的方框中，设a=x,则b=x+2,c=x+14,d=x+16, a2+d2-b2+c2=x2+x+16P）-x+22+x+142）), =x2+x2+32x+256-x2+4x+4+x2+28x+196, =x+x2+32x+256-x2-4x-4-x2-28x-196, =56； (4)在4×4的方框中，设a=x,则b=x+3,c=x+21,d=x+24, a2+-b2+c2=x2+x+24）-x+32+x+212), =X2+x2+48x+576-x2+6x+9+x2+42x+441, =x2+x2+48x+576-x2-6x-9-x2-42x-441, =126: 126=9, 14 6.【详解】(1)解：根据图2可得出a+b2=a-b2+4ab. (2)解：①，y=-4,x+y=3, (x-y}=x+y2-4xy=32-4×-4=25; ②：(3-x)x=2 x+3-x=3, .(3-2x}=|3-x-x =3-x+x2-4x3-x =32-4×2 17/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1. (3)解：设AC=a,BC=b; ,AB=9,S1+S2=41: .a+b=9,a2+b2=41: a+b2=a2+b2+2ab, .81=41+2ab,解得ab=20, Saw-ab-10. 7.【详解】(1)解：，A=X-2,B=X+3,C=X+8, .B2-A×C =x+32-x-2x+8 =x2+6x+9-x2-2x+8x-16 =x2+6x+9-x2+2x-8x+16 =25, ,多项式A=x-2,B=x+3,C=x+8是一组平衡多项式，且该组平衡多项式的平衡值为25： (2)解：，A=x+a,B=x+b,C=X+C, .B2-A×C =(x+bP-(x+al(x+c) =x+2bx+b2-(x2+ax+cx+acl =x2+2bx+b2-x2-ax-cx-ac =2b-a-cx+b2-ac, ,多项式A=X+a,B=x+b,C=x+C(a,b,C是常数)是一组平衡多项式， .2b-a-c=0,即2b=a+c: (3)解：.A=3x-1,B=3x+1,C=+t, .B2-A×C =3x+12-3x-1kx+t) =9x2+6x+1-3kx2-x+3tx-t =9x2+6x+1-3kx2+x-3tx+t =9-3kx2+6+k-3tx+t+1, ,多项式A=3x-1,B=3x+1,C=kx+t(k,t是常数)是一组平衡多项式， .9-3k=0,6+k-3t=0, ∴.k=3,t=3, 18/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴t+1=4, ,该组平衡多项式的平衡值为4. C组 思维拔高 1.A 2.B 3.197 4.【详解】(1)解：大正方形的边长为a+b,面积为a+b: 四个小长方形的面积之和为4ab, ∴中间空的部分面积=a+b2-4ab=a2-2ab+b2=a-b2, 故选：C (2)解：边长为a+b+c的大正方形的面积为a+b+c: 它由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形、一个边长为C的正方形和六个长方形（两个Q×b、两 个a×C、两个b×C)组成， 各部分面积之和为a2+b+c2+2ab+2ac+2bc, ..a+b+cP=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. a b a a ab ac bab b2 bc ac be c2 (3)解：a+b=20,ab=80, :.S例影=SE方修ABCD+SE方形ECGF-SABGF-SAABD =a2+b2-a+b1-b-1a ab 2 2 =a*b-b 19/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =×202-3×80 =200-120 =80. 5.【详解】(1)解：(1)①原式=4-2=4+1=5， ②原式=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i. (2)解：1+2i=1+4i+42=1+4i-4=-3+4i,a+bi是1+2i的共轭复数， .a=-3,b=-4, .b-a2=-4+32=-1}2=1: (3)解：由条件可知：ab+a+bi-1=1-3i, 即ab-1+a+bi=1-3i, .ab-1=1,a+b=-3, 解得：ab=2,a+b=-3, .a2+b2=a+b2-2ab=-32-2×2=9-2×2=5, :2+3++=-1-i+1+i=0, +i++..+2025有2024个加数，2024÷4=506， 2+i++..+2025=0,则i++i+++2025=i, :.a2+b2i+2++4+.+2025=5×i=5i. 6.【详解】(1)解：a+b3 =(a+blla+bp =(a+bl(a2+2ab+b2 =a+2a2b+ab2+ab+2ab2+b =a3+3a2b+3ab2+b3, 则S3=1+3+3+1=8: (2)解：a-b3 =(a-blla-bp2 =la-bl(a2-2ab+b2) =a-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3 =a3-3ab+3ab2-b3, 则S3=1+-3+3+-1=0: (3)解：由题意可知，a+b的八卦和合数S1=2,a+b?的八卦和合数S2=4=2,a+b3的八卦和合 20/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数S3=8=23, 则a+b”它的八卦和合数S,=2”: 由题意可知，a-b的八卦和合数S1=0,a-bP的八卦和合数S2=0,a-b3的八卦和合数S3=0, 则a-b”它的八卦和合数Sn=0, (4)解：由(3)可知，S,=2=32,S6=2=64, 则S5+S6=32+64=96: (5)解：令a=1,b=1,则a+b=1+1=2”, 由(3)可知，a+b”的八卦和合数Sn=2, 因为2”=2”， 所以计算结果等于它的八卦和合数Sn: (6)解：令a=1,b=1,则a-b=1-1”=0”=0, 由(3)可知，a-b)”的八卦和合数Sn=0, 因为0=0， 所以计算结果等于它的八卦和合数S； (7)解：由(5)的规律可知，一个多项式展开式中所有项的系数之和等于多项式中的变量全部取值为1 时所得到的数值， 令x=1,y=1, 则2x+3y卢=2+3卢=55=3125， 即2x+3y的展开式中所有项的系数之和为3125： (8)解：若x2-x-1”的值为0， 则x2-X-1=0,即x=x+1, 所以x2=x+12, 展开得：x4=x+2x+1=x+1+2x+1=3x+2, 因为满足等式x=ax+b, 所以a=3,b=2, 所以a+b=2+3=5! 21/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。。。。。《。 拓展 链接中考 1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.2 7.n2+2n-1 8.【详解】(1)解：-1-V4+20 =1-2+1 =0； (2)解：a-12-aa-2 =a2-2a+1-a2-2a =a2-2a+1-a2+2a =1. 9.【详解】解：原式=4a2+4a+1+a-4a-5, =5a2-4, 当a=-1时，原式=5×-12-4=1. 10.【详解】解：原式=4a2+4a+1-4a2+3a-8a-6 =4a2+4a+1-4a2-3a+8a+6 =9a+7. 当a=-1时，原式=9×-1+7=-2. 11.【详解】解：2a-a+a+32+a+2川a-2 =-2a2+a2+6a+9+a2-4 =6a+5, 当a=-2时，原式=6×-2+5=-7】 22/22