精品解析：江苏宿迁市沭阳县沭阳如东实验学校2026-2027学年九年级上学期11月检测数学试题

2026-2027学年度第一学期数学第一次练习 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 3. 已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或3 4. 已知的半径为3，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 5. 下列说法中，不正确的是（ ）． A. 直径是最长的弦 B. 同圆中，所有的半径都相等 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的弧是等弧 6. 如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（ ） A. 104 B. 116 C. 120 D. 100 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 10. 若反比例函数的图像位于第二、第四象限，则的取值范围是________． 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__． 12. 正边形的一个内角是相邻的一个外角的4倍，则的值为________． 13. 已知被弦AB所分两条弧长之比为1：2，则这条弦所对的圆周角∠ACB的度数是_______． 14. 若关于的两个方程与有一个解相同，则__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P与x轴相切，点A，B在上，它们的横坐标分别是0，18．若沿着x轴作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是________． 16. 如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为_____． 18. 如图，半径为1的与直线相切于点A，点是上的一个动点，作于点，则的最大值是________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解一元二次方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有实数根； （2）不论k为何值，方程总有一个确定的实数根为______． 21. 如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）在第一象限内，根据图象直接写出反比例函数值不小于一次函数值时自变量的取值范围． 23. 在的方格纸中，小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用无刻度直尺完成以下作图． （1）在圆上找一点，使平分． （2）求弧的长度 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点P的坐标． 25. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化，一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； （2）工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ （3）有员工提出目标，希望月销售利润能达到15000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 26. 如图，在中，过三点的交于点，且与相切． （1）求证∶； （2）若，，求的半径． 27. 已知一次函数和反比例函数． （1）如图1，若，且函数的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时的范围； （2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点． ①若，直线与函数的图象相交于点．当点中的一点到另外两点的距离相等时，求的值； ②过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．当的值取不大于的任意实数时，点间的距离与点间的距离之和始终是一个定值．设直线交轴于点，求的最小值． 28. 对于平面直角坐标系中的线段和点（点不在线段上），给出如下定义：当时，过点（或点）向直线（或）作垂线段，则称垂线段为点关于线段的“测度线段”，垂足称为点关于线段的“测度点”．如图所示，线段和为点关于线段的“测度线段”，点与点为点关于线段的“测度点”． （1）如图点、， ①点的坐标为，直接写出点关于线段的“测度线段”的长度______； ②点为平面直角坐标系中的一点，且，则下列四个点：，，，中，是点关于线段的“测度点”的是______； （2）直线与轴、轴分别交于点与点， ①点为平面直角坐标系中一点，且，若一次函数上存在点关于线段的“测度点”，直接写出的取值范围为______； ②的半径为，点与点均在上，且线段．点与点位于线段的异侧，且，若在线段上存在点关于线段的“测度点”，直接写出的取值范围为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期数学第一次练习 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．“方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程”．根据一元二次方程的定义，即可逐步判断． 【详解】选项A，不是整式，所以不是一元二次方程，不符合题意； 选项B，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 选项D，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，根据题意得到，即可求出答案，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ ∴且 故选：B． 3. 已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．注意，方程有实数根，判别式大于等于零． 由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）或； 故选A． 4. 已知的半径为3，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内． 由的半径为，知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案． 【详解】解：∵的半径为， ∴点到圆心的距离小于半径， ∴点在圆内， 故选：C． 5. 下列说法中，不正确的是（ ）． A. 直径是最长的弦 B. 同圆中，所有的半径都相等 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的弧是等弧 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案． 【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，不符合题意； B、同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，不符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，不符合题意； D、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】此题主要考查了圆的认识，中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键． 6. 如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系 ，先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； 故选：A． 7. 如图，用单位长度为的数轴测量正十二边形的对角线的长时，顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴可得，取正十二边形的外接圆圆心O，连接，根据正十二边形的性质证明是等边三角形，，，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵顶点，恰好分别与数轴上的和2对齐， ∴， 取正十二边形的外接圆圆心O，连接， 正十二边形的外接圆中，每个边对应的中心角为， ∴， ∴，即点共线， ∵， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴． 8. 在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（ ） A. 104 B. 116 C. 120 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为，连接、，根据题意可得，，由此可以判定的最大值，即是的最大值，即可求解． 【详解】解：设的中点为，连接、，如下图： 则， 根据题意可得，， 的最大值，即是的最大值 又∵点M在以半径为2的⊙D上运动 ∴的最大值 由勾股定理可得： ∴的最大值为7 ∴的最大值为 故选：B 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出的最大值是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得母线长为， ∴其侧面积为， 故答案为：． 10. 若反比例函数的图像位于第二、第四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线分布的象限，得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像位于第二、四象限， ，解得． 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__． 【答案】且 【解析】 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根， 计算根的判别式， 得关于的不等式， 求解即可 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 则△，且． 解得且． 故答案为且． 【点睛】本题考查了根的判别式、 一次不等式的解法及一元二次方程的定义 ． 题目难度不大， 解题过程中容易忽略条件而出错 ． 12. 正边形的一个内角是相邻的一个外角的4倍，则的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据正多边形相邻内角与外角互补的性质，先求出单个外角的度数，再结合固定的多边形外角和为计算边数． 【详解】解：设正边形的一个外角为，则对应的内角为． ∵相邻的内角与外角互为邻补角，和为． ∴． 解得． ∵任意多边形的外角和恒为． ∴． 13. 已知被弦AB所分两条弧长之比为1：2，则这条弦所对的圆周角∠ACB的度数是_______． 【答案】60°或120°． 【解析】 【分析】圆的一条弦把圆分成度数之比为1：2的两条弧，则所分的劣弧的度数是120°，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于60°，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于120°． 【详解】解：如图，弦AB将⊙O分成了度数比为1：2两条弧． 连接OA、OB；则∠AOB=120°； ①当所求的圆周角顶点位于D点时， 这条弦所对的圆周角∠ADB=∠AOB=60°； ②当所求的圆周角顶点位于C点时， 这条弦所对的圆周角∠ACB=180°∠ADB=120°． 故答案为：60°或120°． 【点睛】本题主要利用了圆周角定理进行求解，注意圆周角的顶点位置有两种情况，不要漏解． 14. 若关于的两个方程与有一个解相同，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先解出一元二次方程的解，根据两个方程的解相同，把x的值代入第二个方程中，解出a即可． 【详解】解：解方程得x1＝2，x2＝−1， ∵x＋1≠0， ∴x≠−1， 把x＝2代入中得：， 解得：a＝4， 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，以及解分式方程，关键是正确确定x的值，分式方程注意分母要有意义． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P与x轴相切，点A，B在上，它们的横坐标分别是0，18．若沿着x轴作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点P作轴于点，轴于点，求出A、B的坐标，当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长，进而得到此时点P的坐标，根据旋转过程中的长度不变，确定A的位置，再进行求解即可． 【详解】解：连接，过点P作轴于点，轴于点， ∵， ∴， ∵与x轴相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B的横坐标为，， ∴P、B在平行于x轴的直线上，即：， ∴， ∴的长为， 当点B第一次落在x轴上时，点P移动的距离为的长， ∴此时P点的坐标为：， 当沿着x轴向右作无滑动的滚动，的长度保持不变， ∴点A位置转动到如图所示的位置： ∵， ∴， ∴，即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，勾股定理．解题的关键是确定点B第一次落在x轴上时，点P和点A的位置． 16. 如图，一次函数图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数在第一象限的图象相交于点．点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．则的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质分别求出点、的坐标，进而计算． 【详解】解：对于一次函数，时，， ∴； 将点代入一次函数， 有， 解得， ∴， 将代入反比例函数， 有， 解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质求出∠ABQ=120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，根据S阴影部分=S四边形ABQD﹣S扇形ABQ=S四边形ABOD+S△BOQ﹣S扇形ABQ可求出答案． 【详解】∵当点P从点A运动到点D时，线段BQ的长度不变， ∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积， ∵矩形ABCD中，AB=1，AD=， ∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90°， ∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30°， ∴∠ABQ=120°， 由轴对称性得：BQ=BA=CD， 在△BOQ和△DOC中， ， ∴△BOQ≌△DOC， ∴S阴影部分=S四边形ABQD﹣S扇形ABQ=S四边形ABOD+S△BOQ﹣S扇形ABQ， =S四边形ABOD+S△COD﹣S扇形ABQ， =S矩形ABCD﹣S△ABQ=1×-． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 18. 如图，半径为1的与直线相切于点A，点是上的一个动点，作于点，则的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】在的延长线上取一点，使，则．当与相切于点时，取得最大值，此时连接并延长交延长线于点，则．根据等腰直角三角形的性质和切线的性质，求出结果即可． 【详解】解：由圆的对称性不妨设点是左半圆上的动点．如图，在的延长线上取一点，使，则．当与相切于点时，取得最大值，此时连接并延长交延长线于点，则． ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 连接，则． ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题属于线段和的最值问题，主要考查了切线的性质、勾股定理等，能正确作出辅助线，将所求最大值转化为求的长的最大值是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得： 20. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有实数根； （2）不论k为何值，方程总有一个确定的实数根为______． 【答案】（1） 证明： ， ∴不论k为何值，方程总有实数根； （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程； （1）计算出判别式，根据判别式的符号即可证明； （2）方程左边可分解因式，因此用因式分解法即可求解，在解中有一个与k无关的解，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原方程可化为， 即或， 解得：； ∴方程有一个确定的实数根1． 故答案为：1． 21. 如图，，是的弦，，，是的半径，且，．求证：． 【答案】 证明：连接，，， 在与中， ， ， ， ，， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形及圆心角是解题的关键． 连接，，，先根据全等三角形的判定定理得出，故可得出，再由平行线的性质可得出，， 故，进而得出结论． 【详解】略 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）在第一象限内，根据图象直接写出反比例函数值不小于一次函数值时自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，一次函数图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先将两点代入一次函数解析式，求出坐标，再将或坐标代入反比例函数解析式即可求出． （2）在第一象限内，根据图象直接写出即可． 【小问1详解】 解：把，两点分别代入得 ，， 解得，， 点坐标为，点坐标为， 把代入， 求得， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 在第一象限内，根据图象反比例函数值不小于一次函数值时自变量的取值范围为：或 23. 在的方格纸中，小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用无刻度直尺完成以下作图． （1）在圆上找一点，使平分． （2）求弧的长度 【答案】（1）如图，点D即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线与圆交于点，即可； （2）设的外接圆圆心为O，连接、，求出圆心角即可求弧长． 【小问1详解】 解：如图，是等腰直角三角形，且，是斜边，是正方形的对角线， 平分， 且平分， ； 【小问2详解】 解：设的外接圆圆心为O， 连接、， 由勾股定理可得半径为 因为， 所以， 所以． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P点坐标为利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数图象过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 在一次函数中，当时，；当时，， ∴ ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点． 25. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化，一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； （2）工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ （3）有员工提出目标，希望月销售利润能达到15000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） 该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为 （2） 该零件的实际售价应定为元/个 （3） 这个目标不能实现，理由如下： 设售价上涨元，则 ， ， 方程无实数根， 月销售利润无法达到元，该目标不能实现． 【解析】 【分析】（1）根据增长率问题的等量关系列一元二次方程，结合实际意义取舍解； （2）根据总利润公式列一元二次方程，选取符合“消费者得实惠”的解； （3）先根据总利润公式列一元二次方程，再根据根的判别式判断方程无解，即可得答案． 【小问1详解】 解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x，根据题意，得 整理得 解得，（不符合题意，舍去）， 该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为； 【小问2详解】 设该零件的售价上涨x元，单个利润为元，月销售量为个，根据题意，得 ， 整理，得 解得，， 要尽可能让消费者得到实惠，即售价尽可能低， 取较小值10，此时售价为（元/个）， 该零件的实际售价应定为50元/个； 【小问3详解】 略 26. 如图，在中，过三点的交于点，且与相切． （1）求证∶； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图∶连接，延长交于H． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图∶连接，延长交于H．先证明垂直平分线段即可证明结论； （2）如图∶连接．先证明，解直角三角形求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图∶连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 设， 在中，，即：，解得∶． 27. 已知一次函数和反比例函数． （1）如图1，若，且函数的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时的范围； （2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点． ①若，直线与函数的图象相交于点．当点中的一点到另外两点的距离相等时，求的值； ②过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．当的值取不大于的任意实数时，点间的距离与点间的距离之和始终是一个定值．设直线交轴于点，求的最小值． 【答案】（1）①；②． （2）①的值为或；②的最小值为(此时)． 【解析】 【分析】（1）①把点的坐标分别代入两个函数的解析式，用待定系数法求、；②两图象的交点就是函数值大小关系的分界点，按交点两侧图象的上下位置直接写出范围； （2）①、、三点都在直线上，线段长都可归结为纵坐标之差，再分三种情况列方程；②先把与用表示，由与无关的条件定出，再借轴上的点把化成与之差，用的范围求最小值． 【小问1详解】 解：∵点在函数的图象上， ∴，解得． ∵点也在函数的图象上，且， ∴，解得． ∴． ②由①得，两图象交于点． ∵由图象可知，当时双曲线在一次函数图象的上方，当时一次函数的图象在双曲线上方， ∴当时，的取值范围是． 【小问2详解】 解：①当时，点、、的坐标分别为、、， 则，，， 则或或， 即：或或， 即：或0或2或4， 当时，与题意不符， 点不能在的下方，即也不存在，，故不成立， 故或4； ②点在过点且平行于轴的直线上，故点的纵坐标为． ∵点在的图象上， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵当取不大于的任意实数时始终是定值， ∴当取不同值时不变，即中含的项必须相消． 若，则，当足够小时， ∴此时随变化，与是定值矛盾， ∴． 此时，与的取值无关，符合题意． ∵， ∴，于是． ∵， ∴点在直线上，而点、也在上， ∴、、三点共线(如图)． ∵点与点的水平距离、竖直距离都是，点与点的水平距离、竖直距离都是， ∴． ∵， ∴，点在线段上， ∴． ∵， ∴，且当时，此时点与点重合， ∴的最小值为． 28. 对于平面直角坐标系中的线段和点（点不在线段上），给出如下定义：当时，过点（或点）向直线（或）作垂线段，则称垂线段为点关于线段的“测度线段”，垂足称为点关于线段的“测度点”．如图所示，线段和为点关于线段的“测度线段”，点与点为点关于线段的“测度点”． （1）如图点、， ①点的坐标为，直接写出点关于线段的“测度线段”的长度______； ②点为平面直角坐标系中的一点，且，则下列四个点：，，，中，是点关于线段的“测度点”的是______； （2）直线与轴、轴分别交于点与点， ①点为平面直角坐标系中一点，且，若一次函数上存在点关于线段的“测度点”，直接写出的取值范围为______； ②的半径为，点与点均在上，且线段．点与点位于线段的异侧，且，若在线段上存在点关于线段的“测度点”，直接写出的取值范围为______． 【答案】（1）①；②， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据“测度线段”定义，作出图形即可求解；②根据“测度点”定义，“测度点”与已知线段两个端点构成以“测度点”为直角顶点的直角三角形，利用勾股定理逆定理验证即可得到答案； （2）①根据“测度点”的定义，求出测度点的表达式，与直线方程联立，利用二次函数根的判别式即可得到答案；②根据“测度点”的轨迹，判断出存在的边界点，即可得到答案． 【小问1详解】 解：①根据题意，作出图形，如图所示： 根据“测度线段”定义，，， ∵、， ∴轴， ∴四边形是矩形， ∴，即点关于线段的“测度线段”的长度为； ②根据“测度点”定义，“测度点”与已知线段两个端点构成以“测度点”为直角顶点的直角三角形， ∵、， ∴，即， 若，则，，即， ∴使为直角三角形，，即是点关于线段的“测度点”； 若，则，，即， ∴使为直角三角形，，即是点关于线段的“测度点”； 若，则，，即， ∴不是点关于线段的“测度点”； 若，与重合，此时 ∴不是点关于线段的“测度点”； 综上所述，是点关于线段的“测度点”的是，； 【小问2详解】 解：①直线与轴、轴分别交于点与点， 当时，，即；当时，，即， 如图，过的中点作的垂线,链接、，过点作的垂线交于点， 设为一次函数上点关于线段的“测度点”， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵在一次函数上， ∴， 由得存在实数根， ∴，即， ∴； ②如图所示，线段的“测度点”在以中点为圆心的圆上， 过作，当在上时，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的表达为， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； ∵，， 由图可知，当时，线段的“测度点”与、重合，此时无论线段怎么转动，“测度点”均不能与线段相交， ∴， 综上，． 【点睛】本题考查了勾股定理、函数与图形的结合等知识，熟练掌握二次函数的知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $