4.2.1等差数列的概念（第1课时）（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.2.1 第一课时 等 差 数 列 的 概 念 前情回顾 数列的递推公式： 通项公式是项与序号之间的一一对应关系: 递推关系项与项之间的一一对应关系： 区 别 联 系：两者都能确定一个数列. 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 章节导读 4.1 数列的概念 4.3 等比数列 4.4 数学归纳法 数列的概念 数学归纳法的证明步骤 数学归纳法的应用 数列的前项和 4.2 等差数列 等差数列的概念 等差数列的前项和公式 等比数列的概念 等比数列的前项和公式 学 习 目 标 1 2 3 理解等差数列的概念和通项公式的意义. 能判断或证明等差数列，能求等差数列的通项公式. 体会等差数列与一元一次函数的关系. 读教材 阅读课本P12-P15，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“等差数列的概念”吧！ 1. 等差数列的定义是什么？等差中项是什么？ 2. 等差数列的通项公式是什么？与一次函数有何区别与联系 新课引入 徒弟：师父，您多大了？ 师父：我在你这个年纪时，你才5岁；但你到我这个年纪时，我就71岁了！ 请问：徒弟几岁？师父几岁？ 师父现在年龄 徒弟现在年龄 师父71岁 徒弟5岁 数列： 数列是一种特殊的函数。与函数类似，在了解数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前项和公式，研究它们的性质，并运用它们解决实际问题和数学问题。 下面，我们从一类取值规律比较特殊的数列入手——等差数列。 新课引入 在生活中，常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例. 例如：星期日日期： 2026年11月中，每个星期日的日期为 1，8，15，22 你能推测下一个星期日日期吗？怎么推测的？ 学习过程 01 03 02 目录 1 等差数列的概念 2 等差数列的通项公式 3 题型训练 新知探究1 探究1：请看下几个问题中的数列： l l 情境1：北京天坛圆丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81.① 情境2：型号的女装上衣 对应的尺码分别是 38，40，42，44，46，48. ② 新知探究1 探究1：请看下几个问题中的数列： 情境3：测量某地垂直地面方向上海拔以下的大气温度，得到从距离地面 起每升高处的大气温度（单位：℃）依次为：25，24，23，22，21． ③ 情境4：某人向银行贷款万元，贷款时间为年.如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息(单位：万元)依次为 ④ 思考：你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 新知探究1 思考：下列数列有何共同特征： 9，18，27，36，45，54，63，72，81.① 38，40，42，44，46，48. ② 25，24，23，22，21． ③ ④ 这表明，数列①—④有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 概念 等差数列的概念 1. 等差数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 通常用字母表示.例如，数列①的. 等差数列定义的符号语言： 概念 等差数列的概念 2. 等差中项： 一个等差数列最少需要三项：由三个数组成的等差数列是 最简单的等差数列. 这时，叫做与的等差中项，且. 数列是等差数列 数列是等差数列，若 且，则 数列是等差数列,若 且,则 概念辨析 思考1 公差可以是正数，负数，也可以为0，对应数列有何区别？ ①当表示等差数列是一个常数列； ②当表示等差数列是一个单调递增数列； ③当表示等差数列是一个单调递减数列； 等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即： 是等差数列. （且）是等差数列. 练习巩固 练习1 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差. (1)95，82，69，56，43，30 ； (2) 1，1.1，1.11，1.111，1.1111； (3)1，－2，3，－4，5，－6； (4)1， ， ， ，，. 解：(1)是等差数列，公差； (2)每一项与它的前一项之差都不等于同一个常数，所以不是等差数列； (3)每一项与它的前一项之差都不等于同一个常数，所以不是等差数列； (4)原数列为1， ， ， ，，是等差数列公差． 练习巩固 练习2 求下列各组数的等差中项：(1)647和895； (2) － 和24 解：(1)(2) 变式1 已知与的等差中项为5，与的等差中项为4，与的等差中项？ 解： 练习巩固 练习3 已知{}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数. －7 8 2 －37 0.5 15.5 23 15 －11 －24 学习过程 01 03 02 目录 1 等差数列的概念 2 等差数列的通项公式 3 题型训练 新知探究2 探究2：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ l 当时，上式为.这就是说，上式当时也成立. 若等差数列{}的首项为，公差是，根据定义得:当且时， ， ， ， …… ， 即； 即； 即； …… 即； 将各式累加得，等差数列的通项公式为:. 累加法 概念 3. 等差数列的通项公式： 首项为，公差为的等差数列的通项公式为 . 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 等差数列的通项公式 由于，所以当时， 等差数列的第项是一次函数 当时的函数值，即. 概念辨析 如图，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条 斜率为，截距为的直线. 当时，令 则 这些点均匀分布在 直线上 练习巩固 练习1 已知在等差数列{}中，， 求？ 解：方法1： 方法2： 练习巩固 练习2 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列. 解：方法1：设则由则 所以：， 在7和21中插入，3个数，使这5个数成等差数列. 方法2：设所以： 学习过程 01 03 02 目录 1 等差数列的概念 2 等差数列的通项公式 3 题型训练 等差数列的判断 题型1 题型探究 例1 从1，2，3， ，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列， 则这样的等差数列共有( )个 A.16 B.24 C.32 D.48 解：当公差 时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7； 6，7，8；7，8，9：共7个.当公差 时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7； 4，6，8；5，7，9：共5个.当公差 时，数列有1，4，7；2，5，8；3，6，9： 共3个.当公差 时，数列有1，5，9：共1个. 同理，当 时，有7个数列，当 时，有5个数列， 当 时，有3个数列，当 时，有1个数列， 故共有 （个）.故选C. C 等差数列的判断 题型1 题型探究 例2 已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项？ 解：当时，由的通项公式，可得 . 于是， 把代入通项公式，得 所以，的公差为，首项为3. 等差数列通项公式的应用 题型2 题型探究 例3 在等差数列 中 ，则 ____， 通项公式为 _________. <m></m> <m></m> 解：设等差数列 <m></m> 的首项为 <m>公差为 <m></m> , 则 <m></m> 解得 <m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> . 等差数列通项公式的应用 题型2 题型探究 例4 已知等差数列10，7，4，…．(1)求这个数列的第10项； (2)是不是这个数列中的项？呢？若是，求出是第几项；若不是，说明理由． 解：(1)记数列为，则由题意知 因此数列的通项公式为． 当时，有，因此第10项为．  是数列的第23项，不是数列中的项，理由如下： 设是数列中的第项，则，解得， 所以是数列的第23项． 设是数列中的第项，则．解得， 由此可知不是数列中的项． 等差数列通项公式的应用 题型2 题型探究 例5 在等差数列 中，(1)若，，求 ？ (2)若，，，求 ？ (3)若，，求 ？ 解：(1)由等差数列的通项公式，得 由，， ，则 ，解得 . (3)解法一：设等差数列的公差为 ， 由得，解得 所以 . 解法二：设等差数列的公差为，则 ， 所以 . 课堂小结 等差数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 通常用字母表示.例如，数列①的. 等差数列定义的符号语言： 课堂小结 等差数列的通项公式： l 若等差数列{}的首项为，公差是，根据定义得:当且时， ， ， ， …… ， 即； 即； 即； …… 即； 将各式累加得，等差数列的通项公式为:. 累加法 当时，上式为.这就是说，上式当时也成立. 感谢聆听! $