4.2.2 第2课时等差数列前n项和的性质及应用-《学霸笔记·同步精讲》2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教版）

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第二课时　等差数列前n 项和的性质及应用 第四章　数列 1 课标要求 1.理解并应用等差数列前n项和的性质（逻辑推理、数学运算）. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题（数学建模、数学运算）. 情境导入 　　前面我们学习了等差数列通项公式an的有关性质，那么等差数列前n项和Sn有哪些性质呢？ 目 录 CONTENTS 知识点一　等差数列前n 项和的性质 知识点二　等差数列前n 项和的最值问题 知识点三　等差数列前n 项和的实际应用 小结与自测 课时作业 知识点一　等差数列前n 项和的性质 目录 5 问题　（1）若等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n －S2n，…有什么关系？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋ ＝Sn＋（a1＋nd）＋（a2 ＋nd）＋…＋（an＋nd）＝2Sn＋n2d，同样我们发现 ＝3Sn＋3n2d， 这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋ 2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）若等差数列{an}的前n项和为Sn，则{ }是等差数列吗？ 提示：由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋ d，得 ＝a1＋（n－ 1） ，所以数列{ }是以a1为首项，以 为公差的等差数列. 数学·选择性必修第二册 目录 等差数列前n项和的常见性质 （1）等差数列的依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d 的等差数列； （2）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{ }也是等差数列，且公 差为 ⁠； （3）在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－（m＋n）； 　 数学·选择性必修第二册 目录 （4）项的个数的“奇偶”性质： ①若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd， ＝ （S偶≠0），S2n ＝n（an＋an＋1）； ②若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an， ＝ （S奇＝nan，S 偶＝（n－1）an），S2n－1＝（2n－1）an（an是数列的中间项）. 数学·选择性必修第二册 目录 （1）设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝4，S6＝10，则a16＋ a17＋a18＝（　B　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 解析：由等差数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15 －S12，S18－S15成等差数列，且S3＝4，S6－S3＝6，所以新数列的首项为 4，公差为2，所以a16＋a17＋a18＝S18－S15＝4＋5×2＝14. B 数学·选择性必修第二册 目录 （2）在项数为2n＋1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数 项的和为150，则n＝（　B　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 解析：根据等差数列前n项和的性质可得 ＝ ＝ ，解得n＝10. B 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列的问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基 本解法； （2）等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达 到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果； （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 数学·选择性必修第二册 目录 训练1　（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－10， － ＝ 1，则S10＝ ⁠； 解析：在等差数列中，因为a1＝－10， － ＝1，所以 ＝－10，所以 { }是以－10为首项，1为公差的等差数列，所以 ＝－10＋9×1＝－ 1，S10＝－10. －10 数学·选择性必修第二册 目录 （2）已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶 数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ⁠. 解析：设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－ a1＝（2m－1）d＝－28　①，∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50 ＝－16＝md　②，由①②得d＝－4. －4 数学·选择性必修第二册 目录 知识点二　等差数列前n 项和的最值问题 目录 15 问题　已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，你能说明数列{an}的 单调性吗？该数列前n项和有最值吗？ 提示：由Sn＝n2－5n求得an＝2n－6，d＝2＞0，故{an}为递增数列. 法一　考虑a1＜a2＜0，a3＝0，0＜a4＜a5＜…，则前n项和Sn在n＝2或3 时取最小值. 法二　Sn＝n2－5n＝（n－ ）2－ ，它的图象是分布在函数y＝x2－5x 的图象上的离散的点，图象开始下降后又上升说明了{an}的前几项为负 数.由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－ 6，即数列{an}前2项或前3项和最小. 数学·选择性必修第二册 目录 1. 在等差数列{an}中： （1）当a1＞0，d＜0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式 组 确定； （2）当a1＜0，d＞0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式 组 确定. 最大　 最小　 数学·选择性必修第二册 目录 2. 因为Sn＝ n2＋（a1－ ）n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞ 0时，Sn有 值；当d＜0时，Sn有 值，且n取最接近对称 轴的正整数时，Sn取到最值. 提醒：由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在 离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值. 最小　 最大　 数学·选择性必修第二册 目录 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设等差数列的公差为d， 因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15， 所以 解得 所以an＝3n－12， n∈N*. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值. 解：因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12， 所以Sn＝ ＝ （3n2－21n）＝ （n－ ）2－ ， 所以当n＝3或4时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值S3＝S4＝－18. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 求等差数列前n项和Sn最值的方法 （1）寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 或 来寻找； （2）运用二次函数求最值，注意n∈N*. 数学·选择性必修第二册 目录 训练2　〔一题多解〕在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和 Sn的最大值. 解：法一　因为S8＝S18，a1＝25， 所以8×25＋ d＝18×25＋ d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋ ×（－2）＝－n2＋26n＝－（n－13）2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 数学·选择性必修第二册 目录 法二　同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋（n－1）×（－2）＝－2n＋27. 因为a1＝25＞0， 由 得 又因为n∈N*， 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 数学·选择性必修第二册 目录 知识点三　等差数列前n 项和的实际应用 目录 24 （链接教材P23例8）7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服 装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达 到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31 日当天刚好售出3件. （1）问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？ 解：设7月n日售出的服装件数为an（n∈N*，1≤n≤31），最多售出ak 件. 由题意知 解得 ∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件. 数学·选择性必修第二册 目录 （2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而 日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行 几天？ 数学·选择性必修第二册 目录 解：设Sn是数列{an}的前n项和， ∵an＝ ∴Sn＝ ∵S13＝273＞200，∴当1≤n≤13时，由Sn＞200，得12≤n≤13， 当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an＜20，得23≤n≤31， ∴该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）. 数学·选择性必修第二册 目录 规律方法 应用等差数列解决实际问题的一般思路 数学·选择性必修第二册 目录 训练3　李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1日开始， 每个月的1日都存入1 000元，共存入3年.已知当年“教育储蓄”存款的月 利率为2.7‰，则3年后李先生一次可支取本息共多少元？（设每月存款的 利息不计入下月本金） 数学·选择性必修第二册 目录 解：每1 000元“教育储蓄”存一个月能得到的利息是1 000×2.7‰＝2.7 （元）. 第1个1 000元存36个月，得利息2.7×36（元）； 第2个1 000元存35个月，得利息2.7×35（元）； …… 第36个1 000元存1个月，得利息2.7×1（元）. 因此，3年后李先生获得利息2.7×36＋2.7×35＋…＋2.7×1＝ ×36＝1 798.2（元）. 所以3年后李先生可支取的本息和为1 000×36＋1 798.2＝37 798.2（元）. 数学·选择性必修第二册 目录 小结与自测>> 目录 31 数学·选择性必修第二册 目录 1. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15 ＋a16＝（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 解析：因为数列{an}是等差数列，且S4＝8，S8＝20，S8－S4＝12，所以数列S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，…是等差数列，且首项为8，公差为4.所以a13＋a14＋a15＋a16＝S16－S12＝8＋4×3＝20. √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 已知等差数列{an}共有2n－1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和 为261，则an＝（　　） A. 30 B. 29 C. 28 D. 27 解析：　由S奇－S偶＝an，得an＝290－261＝29.故选B. √ 数学·选择性必修第二册 目录 3. 在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其 中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同 数目，现知第8个兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（　　） A. 两 B. 两 C. 两 D. 两 √ 数学·选择性必修第二册 目录 解析：　设10个兄弟由大到小依次分得an（n＝1，2，…，10）两银 子，设数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，则由题意得 即 解得 所以长兄分得 两银子. 数学·选择性必修第二册 目录 4. 已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d. 由已知得d＝ ＝ ＝－2， 所以an＝a2＋（n－2）d＝1＋（n－2）×（－2）＝－2n＋5. （2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值. 解：由（1）得a1＝3，Sn＝3n＋ ×（－2）＝－n2＋4n＝－（n－2）2＋4. 所以当n＝2时，前n项和Sn取得最大值，最大值为4. 数学·选择性必修第二册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：106分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 38 1. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，设甲：an＜0，乙：{Sn}是递减数 列，则（　　） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：若an＜0，则an＝Sn－Sn－1＜0（n≥2），所以{Sn}是递减数列；若{Sn}是递减数列，则Sn－Sn－1＜0（n≥2），即an＜0（n≥2），但a1不一定小于0.所以甲是乙的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目录 2. 在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中， ＝ ，则公差d＝ （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：　在等差数列前10项中， 得 所以S 偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 3. 〔一题多解〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝ 10，则S110＝（　　） A. －110 B. －55 C. 55 D. 110 解析： 　法一　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－ S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋ d ＝S100＝10，解得d＝－22，∴前11项和S110＝11×100＋ ×（－22） ＝－110. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 法二　由{ }也是等差数列，构造新的等差数列， ＝10， ＝ ，则 d＝ ＝－ ，∴ ＝ ＋10d＝ ＋（－ ）＝－1，∴S110＝ －110. 法三　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－（m＋n），可得S110＝ －110. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 4. 在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，则 正整数k＝（　　） A. 2 022 B. 2 024 C. 2 025 D. 2 026 √ 解析：　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函 数的对称性及S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，可得 ＝ ，解得k ＝2 026. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 5. 古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一 个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友 啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中， 这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（　　） A. 413 B. 427 C. 308 D. 133 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析： 　由题知，每日布施的德拉玛数依次构成等差数列{an}，设数列 的首项为a1，公差为d，则a1＝4，d＝5.则an＝4＋（n－1）×5＝5n－ 1，a15＝74，a8＝39，则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为S15－S8 ＝ － ＝585－172＝413. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 6. 〔多选〕已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2＝S6， 则下列四个选项中正确的是（　　） A. a7＝0 B. S13＝0 C. S7最小 D. S5＝S8 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解析：根据题意，设等差数列{an}的公差为d.对于A，a1＋3a2＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋ d，变形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝ ＝13a7＝0，故B正确；对于C，因为不能确定前6项的符号，故不能判断S7最小还是最大，故C不正确；对于D，S5－S8＝（5a1＋ d）－（8a1＋ d）＝－3a1－18d＝－3a7＝0，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 7. 〔多选〕设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则 下列命题中正确的是（　　） A. 若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B. 若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C. 若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0 D. 若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 解析：显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A、B正确；若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确；而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}为递增数列，但S1＝－1＜0，故C不正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 8. 某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是 ⁠. 解析：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列， 构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差d＝2的 等差数列，且a10＝41，故a1＝a10－9d＝41－18＝23.故S20＝20a1＋ ×2＝840，因此，该报告厅座位总数为840. 840 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S25＝0，则使Sn取得最 大值时的n的值为 ⁠. 解析：设数列{an}的公差为d，所以S25＝25a1＋ d＝0，则a1＝－ 12d，所以Sn＝na1＋ d＝ n2－ n.考虑函数y＝ n2－ n， 因为a1＞0，d＜0，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直 线n＝ .因为n为正整数，所以当n＝12或13时，Sn取得最大值. 12或13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 10. （13分）某车间全年共生产2 250个零件，已知1月该车间生产了105个 零件，且每月该车间生产零件的个数按等差数列递增，则该车间从2月起 每月比前一个月多生产多少个零件？该车间12月生产了多少个零件？ 解：设每个月生产的零件数构成以d为公差的等差数列{an}（1≤n≤12， n∈N*），其前n项和为Sn，则a1＝105，S12＝2 250，d＞0， 则S12＝12a1＋ ＝2 250，即12×105＋ ＝2 250， 解得d＝15，所以a12＝a1＋（12－1）d＝105＋11×15＝270， 故该车间从2月起每月比前一个月多生产15个零件，该车间12月生产了270 个零件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 11. 已知等差数列{an}的公差d＝ ，a2＋a4＋…＋a100＝80，则S100＝ （　　） A. 80 B. 120 C. 135 D. 160 解析： 　在等差数列{an}中，公差d＝ ，a2＋a4＋…＋a100＝80，所以 a1＋a3＋…＋a99＝a2＋a4＋…＋a100－50d＝80－50× ＝55，所以S100＝ （a1＋a3＋…＋a99）＋（a2＋a4＋…＋a100）＝55＋80＝135. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 12. 〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列 命题中正确的是（　　） A. d＜0 B. S11＞0 C. S12＜0 D. 数列{Sn}中的最大项为S11 解析：∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又S11＝ （a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝ （a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 13. 已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，Sn有最小值，若 ＜－1，则使 Sn＜0成立的n的最大值为 ⁠. 解析：因为 ＜－1，所以 ＋1＜0，即 ＜0.又Sn有最小值，所以 a8＜0，a8＋a9＞0，所以S15＝ ＝15a8＜0，S16＝ ＝8（a8＋a9）＞0，因此，使Sn＜0成立的n的最大值为15. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 14. （15分）已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，并记{an}的前 n项和为Sn. （1）设Sk＝2 550，求a和k的值； 解：由题意知，2×4＝a－1＋2a，解得a＝3. 所以a1＝2，公差d＝a2－a1＝2， 因为Sk＝2 550，所以2k＋ ×2＝2 550， 即k2＋k－2 550＝0， 解得k＝50或k＝－51（舍去），所以a＝3，k＝50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）设bn＝ ，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值. 解：由（1）知，Sn＝2n＋ ×2＝n2＋n，bn＝ ＝ ＝n＋1. 又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项， 所以b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝ ＝ ＝2n2＋2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 15. （15分）某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒 的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增 加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有 效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10. （1）分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者 人数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 解：由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项 a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}， 所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋（10－1）×40＝400. 从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所 以9月11日的新感染者人数为400－10＝390. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 （2）该地区9月份流感病毒的新感染者共有多少人？ 解：9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S10＝ ＝2 200， 9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等 差数列{bn}， 又b20＝390－10×19＝200， 所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为T20＝ ＝5 900， 所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100（人）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目录 $