专题07 位置与坐标同步 培优讲义-2026-2027学年北师大版八年级数学上册
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内容正文：
专题07位置与坐标同步培优讲义
✺知识框架
一、平面内确定位置
1.定位条件：两个有序的数据 2.定位方式：有序实数对；方位角加距离
二、平面直角坐标系基础
1.坐标系构成：横轴、纵轴、原点 2.象限划分：四个象限；坐标轴上的点不属于任何象限 3.点的坐标：横坐标、纵坐标，有序实数对
三、点的坐标特征
1.各象限内点的坐标符号 2.坐标轴上点的坐标特点 3.点到坐标轴的距离 4.象限角平分线上点的坐标关系
四、坐标变换
1.对称变换：关于x轴、y轴、原点对称 2.平移变换：点的平移；图形的平移（拓展）
五、坐标的简单应用
1.根据坐标描点、由点写出坐标 2.利用坐标解决简单几何问题
✺学习目标
1.会用有序实数对或方位角与距离确定平面内物体的位置。
2.认识平面直角坐标系，理解点的坐标的意义；能由点写坐标，由坐标描点。
3.掌握各象限、坐标轴上点的坐标特征，会求点到坐标轴的距离。
4.探索并掌握关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标关系。
5.能结合坐标变化认识图形平移，感受数形结合的思想方法。
✺题型归纳
题型1.用有序数对表示位置
题型2.用有序数对表示路线
题型3.用方向角和距离确定物体的位置
题型4.根据方位描述确定物体的位置
题型5.写出直角坐标系中点的坐标
题型6.求点到坐标轴的距离
题型7.判断点所在的象限
题型8.已知点所在的象限求参数
题型9.坐标系中描点
题型10.已知两点坐标求两点距离
题型11.实际问题中用坐标表示位置
题型12.点坐标规律探索
题型13.中点坐标
题型14.求点沿x轴、y轴平移后的坐标
题型15.由平移方式确定点的坐标
题型16.已知点平移前后的坐标，判断平移方式
题型17.已知图形的平移，求点的坐标
题型18.坐标系中的对称
题型19.坐标与图形变化——轴对称
题型20.坐标系中的动点问题（不含函数）
题型21.课堂小练
✺知识清单
一、确定位置
1.平面内确定一个物体的位置，一般需要两个有序的数据。
2.常用定位方式：有序实数对；方位角和距离。
二、平面直角坐标系
1.两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
2.水平的数轴叫做x轴或横轴，向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上为正方向；两轴公共原点称为坐标原点。
x轴与y轴把坐标平面分成四个部分，依次为第一、二、三、四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
三、点的坐标
对于平面内任意一点P，过点P分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在 x 轴上对应的数a是点P的横坐标，垂足在 y 轴上对应的数b是点P的纵坐标。
有序实数对(a,b)叫做点P的坐标，记作P(a,b)。
四、点的坐标特征
1.各象限内点的坐标符号
第一象限：(+,+)；第二象限：(-,+)；第三象限：(-,-)；第四象限：(+,-)。
2.坐标轴上点的坐标
x轴上点的纵坐标为0，坐标形式为(a,0)；
y轴上点的横坐标为0，坐标形式为(0,b)；
原点坐标为(0,0)。
3.点到坐标轴的距离
点P(a,b)到x轴的距离等于纵坐标的绝对值|b|，到y轴的距离等于横坐标的绝对值|a|。
4.象限角平分线上的点
第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数。
五、对称点的坐标规律
设点P(a,b)：
关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，对应点(a,-b)；
关于y 轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数，对应点(-a,b)；
关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数，对应点(-a,-b)。
六、点的平移规律（拓展）
将点P(a,b)向右（向左）平移h个单位，得到(a+h,b)或(a-h,b)；
将点P(a,b)向上（向下）平移k个单位，得到(a,b+k)或(a,b-k)。
图形平移时，其上所有点的坐标同步变化；由点的坐标变化，也可以判断图形的平移方式。
✺题型精讲
题型1.用有序数对表示位置
1．如图显示了10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间（单位：小时）．下列说法错误的是（ ）
A．10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名
B．在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间相等
C．10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间均不同
D．10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学生有4名
【答案】C
【分析】根据横轴和纵轴表示的意义对每个点进行分析即可．
【详解】解：A、10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名，故选项A正确；
B、在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间相等，故选项B正确，
C、10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间有的相同，有的不同，故选项C说法错误；
D、10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学生有4名，故选项D说法正确．
2．若表示教室里第3列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置表示为_______．
【答案】
【分析】根据题干给出的数对与位置的对应规则，匹配目标位置的列数与排数即可得到结果．
【详解】解：∵表示教室里第3列第2排的位置，
∴该规则下数对的第一个数为列数，第二个数为排数，
∴教室里第4列第3排的位置表示为．
3．假期，奇奇随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动．
(1)通过实地考察，越野项目是从帐篷的位置出发，向北偏东方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点，请在下图中标出点；再跑到点，拍照打卡，请在下图中标出点．最后按原路返回帐篷的位置．（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线按1.4个单位长度算，代表实际距离70米．）
(2)请在横线上描述出从点返回帐篷位置的路线：________．
【答案】(1)
解：如图：
(2)从点向西走150米到点，再向南偏西方向走210米到帐篷．
【分析】本题考查了数对表示方向与位置等知识，结合题意分析解答即可．
（1）根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以帐篷的位置为观测点，即可确大树的方向，根据帐篷与大树的距离及每条小方格的对角线所代表的距离，即可确定大树的位置．根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可确定拍照打卡的位置．
（2）同理，以点的位置为观测点，即确定点的方向，根据点到点的格数及每格代表的实际距离；根方向的相对性质，以帐篷的位置为观测点看与以的位置看帐篷的位置方向完全相反，所偏的度数及距离不变，据此解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：从点返回帐篷位置的路线：从点向西走150米到点，再向南偏西方向走210米到帐篷．
故答案为：从点向西走150米到点，再向南偏西方向走210米到帐篷．
题型2.用有序数对表示路线
1．从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【分析】分别从2、3、5三个数字中选出两个组成有序实数对，然后计算出总数目即可．
【详解】解：可以组成，，，，，共6个有序实数对，
故选D．
【点睛】本题考查函数的基础知识，熟练掌握有序实数对的意义及组合方法是解题关键．
2．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________．
【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米
【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案.
【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作：
数对表示向西走2米，再向南走6米，
故答案为：；向西走2米，再向南走6米.
【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键.
3．如图，点用表示，点用表示．若用表示由点到点的一种走法，并规定从点到点只能向上或向右走，用上述表示法再写出另外两种走法，并判断这几种走法的路程是否相等．
【答案】（合理即可），这三种走法的路程是相等的
【分析】本题考查有序数对的应用，根据题意结合图形，找出由A到B的路线，再用坐标表示各个顶点的坐标，用“→”连接即可．观察几种走法有什么相同之处，由此分析它们的路程是否相等．注意：走法的答案不唯一．
【详解】解：走法一：，
走法二：，
这三种走法的路程是相等的．
题型3.用方向角和距离确定物体的位置
1．在的地图上，超市在学校的东偏南方向，距离学校，那么学校实际在超市的（ ）
A．北偏西方向，距离超市
B．北偏西方向，距离超市
C．南偏东方向，距离超市
D．西偏北方向，距离超市
【答案】D
【分析】两个地点的相对位置满足方向相反、角度相等、距离相等的规律．
【详解】解：∵超市在学校的东偏南方向，
∴学校在超市的西偏北方向（或北偏西方向），
∵在的地图上，超市在学校的东偏南方向，距离学校，
∴实际距离为，
综上所述，学校实际在超市的西偏北方向，距离超市．
2．在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度（）向外延伸出八条主街．如图，是以八卦文化广场为点绘制的简易地图，若点的位置用表示，点的位置用表示，则点的位置可以表示为___________．
【答案】
【分析】根据圆圈数表示横坐标，度数表示纵坐标，可得答案．
【详解】解：∵点的位置用表示，点的位置用表示，
∴点C的位置可以表示为．
3．如图，以学校为参照点，请用方位角和实际距离分别表示新华书店、少年宫和超市的位置．
【答案】
新华书店在学校北偏西方向，实际距离学校处；
少年宫在学校南偏西方向，实际距离学校处；
超市在学校北偏东方向，实际距离学校处．
【详解】解：新华书店在学校北偏西方向，实际距离学校处；
少年宫在学校南偏西方向，实际距离学校处；
超市在学校北偏东方向，实际距离学校处．
题型4.根据方位描述确定物体的位置
1．2026年9月25日至10月7日，第四届国际嘉纳艺术嘉年华（中国・郑州站）在郑州绿博园盛大举行．来参加此次活动的张华和李峰相约在绿博园门口碰面，如果张华在李峰的北偏西方向处，那么李峰在张华的（ ）
A．北偏东方向处 B．南偏东方向处
C．南偏东方向处 D．南偏西方向处
【答案】C
【分析】根据张华与李峰的相对位置求解即可.
【详解】解：∵张华在李峰的北偏西方向处，
∴李峰在张华的南偏东方向处．
2．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的______．
【答案】北偏东27°的处
【分析】由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处，即可求解．
【详解】解：由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处，
即雁荡山在乐成镇的北偏东27度的处．
故答案为：北偏东27度的处．
【点睛】本题主要考查了方向角和方位，熟练掌握方向角和方位的确定是解题的关键．
3．如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．
(1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置；
(2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置；
(3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ．
【答案】(1)，
如图：
(2)
如图：
(3)东，南（或南，东），．
【分析】本题考查了学生对数对位置的掌握与应用．
（1）从图上即可得出学校的位置；
（2）根据题干描述在图上标出小桥的位置即可；
（3）从第二小题得到的图上，即可判断出公园位于小桥位置．
【详解】（1）解：学校的位置用数对表示是，公园的位置是
（2）解：∵小桥在学校东偏北方向处，
∴用数对表示小桥的位置为：，
（3）解：如图可知，
则公园位于小桥的东偏南或南偏东方向上，距离是．
题型5.写出直角坐标系中点的坐标
1．在平面直角坐标系中，若点与点所在直线轴，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．3
【答案】D
【分析】平行于轴的直线上点的纵坐标相等，由此求出．
【详解】解：∵直线轴，
点与点的纵坐标相等，
．
2．如图，直线经过点，且直线轴，直线经过点，且直线轴，直线、相交于点，则点的坐标是________．
【答案】
【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标都相等，平行于轴的直线上的点的横坐标都相等，即可解答．
【详解】解：∵直线经过点，直线轴，
∴点的纵坐标是；
∵直线经过点，且直线轴，
∴点M的横坐标是，
所以点的坐标是．
3．如图是一个城市的街道图，五个人分别住在坐标为、、、、的地方，他们准备到街道的某处会面，要求只能沿着街道走．若要五人所行路程之和最短，试求出这个会面地点的坐标．
【答案】
【分析】设会面地点的坐标为，则横向走的距离为，根据绝对值的几何意义可知：当时，横向走的距离最小，同理求出纵向走的距离最小时对应的的值，即可求解.
【详解】解：设会面地点的坐标为，
∵五个人分别住在坐标为、、、、的地方，
∴横向走的距离为，
根据绝对值的几何意义可知：当时，横向走的距离最小，
同理当时，纵向走的距离最小，
∴会面地点的坐标为.
题型6.求点到坐标轴的距离
1．在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为1，则m的值为（ ）
A．1 B． C．1或3 D．2或3
【答案】C
【详解】解：∵点到轴的距离为1，
∴，
∴或，
解得或.
2．点到x轴的距离是_________．
【答案】6
【分析】根据平面直角坐标系中点到坐标轴的距离规律求解，点到轴的距离仅由点的纵坐标决定，为纵坐标的绝对值．
【详解】解：平面直角坐标系中，点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，
∵点的坐标为，其纵坐标为，
∴点到轴的距离为．
3．已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标．
(1)点P在x轴上；
(2)点P到x轴、y轴的距离相等．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）轴上点的纵坐标等于，据此列方程求出的值，再代入横坐标表达式求出横坐标，得到点坐标．
（2）点到轴、轴距离相等，则点的横、纵坐标相等或互为相反数，分两种情况列方程求，再代入求出对应横、纵坐标，得到点坐标．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得，所以，
此时点的坐标为．
（2）解：根据题意，得或，
解得或．
当时，；
当时，，．
综上，点的坐标为或．
题型7.判断点所在的象限
1．点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，
∴点在第二象限．
2．如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C，D四个点，点A的坐标是________，点B的横坐标是________，纵坐标是________；横坐标和纵坐标都是负数的点是点________；坐标是的点是点________．
【答案】 3
【分析】结合平面直角坐标系求解即可．
【详解】解：由坐标系得：点A的坐标是，点B的横坐标是，纵坐标是；横坐标和纵坐标都是负数的点是点；坐标是的点是点．
3．已知点解答下列各题：
(1)若点P在y轴上，求出点P的坐标；
(2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标；
(3)若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标，并说出P点所在的象限．
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为 ，位于第一象限；点的坐标为，位于第二象限
【分析】（1）根据点在轴上，可知其横坐标为零，据此建立等式求出m的值，即可得到点的坐标；
（2）根据直线轴，即的纵坐标相同，据此建立等式求出的值，即可得到点的坐标；
（3）根据点到轴、轴的距离相等，分情况建立方程求出的值，即可得到点的坐标，再结合象限内坐标特点即可推出点所在的象限．
【详解】（1）解：点在轴上，且点，
，
解得：，
∴，
点的坐标为；
（2）解：点的坐标为，直线轴，且点，
，
解得：，
∴，
点的坐标为；
（3）解：点到轴、轴的距离相等，
，
当时，
解得：，
，
点的坐标为，
；
点在第一象限．
当时，
解得：，
，，
点的坐标为，
∵，；
点在第二象限．
题型8.已知点所在的象限求参数
1．已知点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：点在轴上，
点的横坐标为，即，
解得．
2．若在第四象限，且点到轴的距离为7，则n的值为___________．
【答案】
【分析】先根据点所在象限得出，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值列等式求解即可．
【详解】解：∵在第四象限，
∴，
∵点到轴的距离为7，
∴，
∴，
解得．
3．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为．
(1)若点在轴上，求的值；
(2)若点到轴的距离是，求的值；
(3)若点在第一、三象限的角平分线上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
点的坐标为
【分析】（1）根据轴上的点的横坐标为可得，解方程求出的值；
（2）根据点到轴的距离是，可得，解方程即可求出的值；
（3）根据第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，可得关于的方程，解方程即可求出的值，再根据的值求出点的坐标．
【详解】（1）解：点在轴上，
，
；
（2）解：点到轴的距离是，
，
或，
或；
（3）解：点在第一、三象限的角平分线上，
，
∴，
，
点的坐标为．
题型9.坐标系中描点
1．在平面直角坐标系中，对点叙述错误的是（ ）
A．在x轴下方 B．在第四象限
C．距离x轴1个单位长度 D．距离y轴1个单位长度
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离概念等逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：已知点坐标为，横坐标为，纵坐标为，
A、∵纵坐标，
∴该点在轴下方，A选项正确，该选项不符合题意；
B、∵横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征，
∴该点在第四象限，B选项正确，该选项不符合题意；
C、∵点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即，
∴该点距离轴1个单位长度，C选项正确，该选项不符合题意；
D、∵点到轴的距离为横坐标的绝对值，即，
∴ 该点距离轴2个单位长度，不是1个单位长度，D选项错误，该选项符合题意．
2．在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，则四边形的面积为_____．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，作，垂足分别为，利用分割法求出四边形的面积即可．
【详解】解：作，垂足分别为，如图，
∵，
∴，
∴四边形的面积为；
故答案为：．
3．在平面直角坐标系中描出下列各点．
，，，．
(1)画出四边形；
(2)计算四边形的面积．
【答案】(1)如图所示，四边形即为所求；
(2)
【分析】（）根据坐标描出各点，再相连即可；
（）根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】（1）略
（2）∵，，，，
∴，，四边形是梯形，
∴．
题型10.已知两点坐标求两点距离
1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：点到原点的距离为．
2．若平面内有两点、，且，则的值为________．
【答案】或
【分析】根据两点间的距离公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得或，
故的值为或．
3．在网格中(每个小方格的边长为 1)，已知点 ， ， ．
(1)线段 的长是__________；
(2)线段 的长是__________；
(3)求 的长(结果保留根号)，并说明计算依据．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；构造直角三角形：以 为斜边，两直角边长 和 与 的横坐标之差为 ，纵坐标之差为 ，故
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴．
（2）解：∵ ， ，
∴．
（3） 略
题型11.实际问题中用坐标表示位置
1．以学校门口为原点建立平面直角坐标系（向东为x轴正方向，向北为y轴正方向），小深家的位置可表示为点．点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】解：∵点的坐标为，横坐标为正，纵坐标为负．
∴点在第四象限．
2．如图所示，若白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为，则白棋③的位置应记为__________．
【答案】
【分析】根据已知白棋①和黑棋②的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，进而确定白棋③的坐标．
【详解】解：白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为，
建立直角坐标系如图所示：
白棋③的位置应记为．
3．某市区的局部平面示意图如图所示，已知水果店的坐标是，文化馆的坐标是．
(1)根据上述条件建立恰当的平面直角坐标系；
(2)若博物馆的坐标为，请在图中标出博物馆的位置．
【答案】(1)解：建立平面直角坐标系如图所示；
(2)解：博物馆的位置如图所示．
【分析】（1）根据水果店和文化馆的坐标表示的位置，即可建立出平面直角坐标系．
（2）根据博物馆的坐标在平面直角坐标系中直接描点即可．
【详解】（1）略
（2） 略
题型12.点坐标规律探索
1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：，…，根据这个规律探索可得第201个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点的排列规律，确定横坐标为的列有个点，估算第201个点所在的列数，再结合列的奇偶性分析纵坐标的变化规律求解．
【详解】解：由图可知，横坐标为的列有个点，
前列共有 个点，
当时，总点数为，
当时，总点数为，
，
第201个点位于第20列，横坐标为20，该点是第20列的第个点，
观察图形规律：时，点为，纵坐标从0开始向上递增；
时，点为，纵坐标从开始向上递增；
归纳可知，偶数列的起始纵坐标为，且该列点纵坐标向上递增，
当时，，即，起始纵坐标为，
第20列第11个点的纵坐标为，
第201个点的坐标为．
2．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是________________
【答案】
【详解】解：由题意得：第1秒时，点的坐标是，
第2秒时，点的坐标是，即，
第3秒时，点的坐标是，即，
归纳类推得：第秒时，点的坐标是，其中为正整数，
则第2023秒时，点的坐标是，即．
3．在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即．
(1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标；
(2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
【分析】（1）由题中“系联动点”定义直接求解即可；
（2）先由题中“系联动点”定义求出点的坐标，再由点在轴上，列方程求出参数即可得到答案．
【详解】（1）解：点的“系联动点”是点，
由“系联动点”定义可知，点的坐标为，
即；
（2）解：点的“系联动点”是点，
由“系联动点”定义可知，点的坐标为，
即，
∵点在轴上，
，
∴，
则，
∴点的坐标为．
题型13.中点坐标
1．建立适当的平面直角坐标系，使点M，点N的坐标分别为，，则线段的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴线段的中点坐标为．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______．
【答案】或
【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果．
【详解】解：∵三角形中，，
∴，，
∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半，
∴当点在上运动时，，，
∴，
∴，即此时点的坐标为；
当点在上运动时，设点到的距离为，则，，
∴，
∴，即点为的中点，
∴此时点的坐标为，即；
综上所述，点C的坐标为或．
3．在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为
(1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为_____
(2)已知，，为线段的中点，则点坐标为_____
(3)已知三点，，，第四个点与点、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个点构成线段的中点重合，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据题意，即可得到中点的坐标：
（2）设点的坐标，根据中点坐标的定义建立方程求解；
（3）利用（2）中的方法进行分类讨论即可答题．
【详解】（1）解： ，，
线段的中点的坐标是，即；
（2）解：设点的坐标，由题意得，，
解得，，
点的坐标为；
（3）解：分类讨论：
①与中点重合时，则，，
，，
此时；
②与中点重合时，则，
，，
此时；
③与中点重合时，则，
，，
此时，
点的坐标为或或．
题型14.求点沿x轴、y轴平移后的坐标
1．点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键．
根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答．
【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点．
故选C．
2．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则．
根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标；再向下平移1个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标，由此求解即可．
【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度，
∴此时点的坐标为，即，
再向下平移1个单位长度，
∴可得点的坐标为，即，
∴所得点的坐标是．
故答案为： ．
3．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____．
【答案】
【分析】先根据飞机A确定出平移规律，再求出飞机B的横坐标与纵坐标即可得解．
本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
【详解】解：∵飞机到达时，横坐标加3，纵坐标减3，
∴飞机的横坐标为，纵坐标为，
∴飞机B的坐标为．
故答案为：
题型15.由平移方式确定点的坐标
1．已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平移方向判断平移后点的横纵坐标范围，即可筛选出正确选项．
【详解】解：点向下平移，再向右平移，
平移后所得点的横坐标大于，纵坐标小于2，
只有符合要求．
2．将点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为___________．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键．根据点坐标的平移变换规律求解即可得．
【详解】解：∵将点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，
∴点的坐标为，即为，
故答案为：．
3．如图，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且，满足．
(1)点，，坐标分别是__________，__________，__________；
(2)如图，将点向右平移个单位长度得到点，为线段上一点，若直线恰好平分三角形的面积，求点的纵坐标；
(3)如图，若点满足三角形的面积等于，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据算术平方根的非负性得到，求出，然后结合求解即可；
（2）首先求出，设点的纵坐标为，然后根据直线恰好平分三角形的面积求解即可；
（3）过作直线垂直于轴，延长交直线于点，过作交直线于点，连接，设点坐标为，根据求出，得到，然后根据三角形的面积等于列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，即；
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：∵点向右平移个单位得到点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设点的纵坐标为，
∵直线恰好平分三角形的面积，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为；
（3）解：如图，过作直线垂直于轴，延长交直线于点，过作交直线于点，连接，
设点坐标为，
∵，，，
∴点C到直线l的距离为，，，，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
∴，
∵三角形的面积等于，
∴，
解得或．
题型16.已知点平移前后的坐标，判断平移方式
1．线段是由线段平移得到， 的对应点为，则点 的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点的平移与坐标．熟练掌握点平移坐标变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．
先根据点A与点C的坐标判断出平移方式 ，再根据平移方式 ，结合点平移坐标变化规律，求出点D坐标即可．
【详解】解：因为线段是由线段平移得到， 的对应点为 ，
所以线段向右平移4个单位，向上平移2个单位，得到线段，
所以点的横坐标加4，纵坐标加2，
所以点 的对应点D的坐标为，即，
故选：C．
2．如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，根据点和点的坐标可以确定平移方式，再根据平移方式即可得到对应点坐标．
【详解】解：∵飞机P飞到的位置，
∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴点的坐标为，即，点的坐标为，即．
故答案为：，．
3．在平面直角坐标系中，点，，a，b满足．
(1)点A，B的坐标分别为______、______．
(2)如图①，平移线段至，使点A的对应点为，与y轴交于点H，连接，若，求的度数．
(3)平移线段至，使点F在y轴负半轴上，如图②，分别作与的平分线、交于点G，求的度数．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）由非负性的性质求出a、b的值即可得到答案；
（2）先判断出平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，则点F的坐标为，可证明，，据此根据平行线的性质即可得到答案；
（3）过点O作，过点G作，根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，最后根据平行线的性质求出
．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵平移线段至，使点A的对应点为，，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∵，
∴点F的坐标为，即，
∴轴，即，
∴，
由平移的性质可得，
∴；
（3）解：过点O作，过点G作，
根据平移可得：，
∴，
∴，，
∴，
∵平分、平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
题型17.已知图形的平移，求点的坐标
1．将点向右平移若干个单位长度后得到点，则m的值为（ ）
A．1
B．4
C．2
D．0
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标平移，掌握点的坐标平移规律∶ “左减右加，上加下减”是解题的关键．根据点向右平移，纵坐标不发生变化，由此可知，解方程即可求解．
【详解】解∶∵点向右平移若干个单位长度后得到点
∴，
解得．
故选∶A．
2．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内．
(1)写出点B的坐标 ；
(2)若过点C的直线交长方形边于点D，且把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标．
(3)如果将（2）中的线段向下平移0.5个单位，所得线段，试计算由O、A、、点组成的四边形面积．
【答案】(1)
(2)点或
(3)或12
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中长方形的性质、图形的平移以及图形面积的计算，熟练掌握这些知识是解题的关键．
（1）根据长方形对边相等的性质，直接得出点的坐标；
（2）先算出长方形周长，再分直线与相交、与相交两种情况，结合周长比例求出点坐标；
（3）根据平移性质得到、坐标，再分情况利用梯形面积公式或三角形面积和来计算四边形面积．
【详解】（1）解：∵长方形中，，，且，
∴
（2）解：∵，
∴，
①当直线与边相交时，
∵，
∴，，即，
②当直线与边相交时，
∵，
∴，即；
（3）解：①当点时，
∵线段向下平移个单位
∴，
∵，
∴
②当点时，
∵线段向下平移个单位
∴，
连接，则，则，
∴
．
3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，a，b，c满足．
(1)__________，__________，__________．
(2)如图1，若点D为y轴负半轴上的一个动点，连接交x轴于点E，是否存在点D，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若第一象限内的线段是由线段平移而成，点，连接，，若交于点Q．
①求与的面积差，并求出点Q的纵坐标（都用含n的式子表示）；
②若的面积为27，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)；6；4
(2)
(3)①；；②
【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b、c的值；
（2）过点C作轴于N，连接交轴于M，连接，设，根据可建立方程求出，则；根据的面积等于的面积，可证明，则，即可得到，解方程即可得到答案；
（3）①过点Q作轴于T，延长交y轴于H，连接，由平移的性质可得，则；设，则，根据，，可得，，可求出，则，据此可得；
②根据题意可得，解得，则．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点C作轴于N，连接交轴于M，连接，设，
由（1）可得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵的面积等于的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①如图所示，过点Q作轴于T，延长交y轴于H，连接，
由（1）得，
∵第一象限内的线段是由线段平移而成，点，
∴，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②∵的面积为27，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，非负性的性质等等，正确作出辅助线利用割补法转换图形的面积是解题的关键．
题型18.坐标系中的对称
1．在平面直角坐标系中，点的横坐标乘，纵坐标不变，得到点，则与的关系是（ ）
A．关于轴对称
B．关于轴对称
C．将点向轴负方向平移两个单位长度
D．将点向轴负方向平移一个单位长度
【答案】B
【详解】解：∵点的横坐标乘，纵坐标不变，
∴点的坐标为，
∵与的纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∴两点关于轴对称．
2．已知点和点，则点A与点B关于__________轴对称．（填“x”或“y”）
【答案】y
【详解】解：点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，
根据平面直角坐标系中对称点的坐标规律，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两点关于轴对称．
3．快速说出如图所示图形中各个“顶点”的坐标，你是怎样想的？
【答案】
解：可以先写出坐标轴上四个点的坐标，，，；然后写第一象限的三个点的坐标，，；第二象限的三个点与第一象限的三个点关于y轴对称，所以只要将横坐标乘，纵坐标不变就可以得到，，；第四象限与第三象限的点，分别与第一象限、第二象限的点关于x轴对称，所以横坐标不变，纵坐标乘即可，分别为，，，，，．
【分析】结合平面直角坐标系可确定坐标轴上点的坐标，确定第一象限内的点的坐标，再根据关于坐标轴及原点对称的点的坐标特征求解即可．
【详解】解：略．
题型19.坐标与图形变化——轴对称
1．剪纸作为源远流长的中国民间艺术瑰宝，深藏着图形变换的无穷奥秘与精妙技艺．如图是一张蕴含轴对称变换的蝴蝶剪纸，将其放到平面直角坐标系中，则点关于轴的对称点的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知点与点关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征进行求解．
【详解】解： 点关于轴的对称点为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
2．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________________________．
【答案】
【详解】解：平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的坐标特征为横坐标保持不变，纵坐标互为相反数，
∵点的坐标为，
∴其关于x轴对称的点的横坐标与点的横坐标相同，为，纵坐标为点纵坐标的相反数，
即因此所求点的坐标为．
3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)在图中描出点A、B、C，并画出；
(2)画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标．
【答案】(1)解：如图，即为所求；
(2)解：如图，即为所求；
、、．
【详解】（1）略
（3） 略
题型20.坐标系中的动点问题（不含函数）
1．在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着循环爬行，其中A点坐标为的坐标为的坐标为，D的坐标为，当蚂蚁爬了2023个单位时，它所处位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知：，，，，可求出蚂蚁爬行一周的路程为12个单位，然后求出2023个单位能爬168圈还剩7个单位，结合图形即可确定位置为．
【详解】解：由题意知：，，，，
蚂蚁爬行一周的路程为：，
，
即蚂蚁爬行2023个单位时，所处的位置是与y轴的交点，
其坐标为．
2．如图，在网格中画一条线段，连接点和点，然后为内部与该线段相交的个小方格涂色，若连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂______个小方格．
【答案】400
【分析】根据纵坐标差的绝对值与横坐标差的绝对值的和，减去两个绝对值的最大公约数，求解即可；
【详解】解：根据题意，得，连接点和点，然后为内部与该线段相交的个小方格涂色，
故即纵坐标差的绝对值与横坐标差的绝对值的和，减去两个绝对值的最大公约数，
故连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂小方格的数量为：．
3．如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，动点在直线，之间（不在直线，上）．
(1)若，连接，，求的面积；
(2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)存在，或；
(3)．
【分析】（1）根据得到，根据三角形面积公式计算即可；
（2）分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，根据面积关系列方程求解即可；
（3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：同（1）得，
∴，
即．
当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴，
设，
，
，
解得，
则；
当点P在y轴负半轴上时，如图，
，
，
解得，
则；
综上，点的坐标为或；
（3）解：设，，，则，，
始终平分，
，
，
，
，即，
由（1）可知，，
，即，
，
，
，
，
∴的值不会变化，．
✺课堂小练
一、单选题
1．如果，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用非负数的性质求出，的值，再根据平面直角坐标系各象限点的坐标特征判断点所在象限．
【详解】解：，
，
由得，
把代入得：，
解得，
点坐标为，
第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，
点在第二象限．
2．如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点，，处有目标出现．按某种规则．点A、B的位置可以分别表示为，，则表示为的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知点、的坐标归纳出有序数对的规则，即第一个数表示圈数，第二个数表示角度．
【详解】解：∵点的位置表示为，点的位置表示为 ，
∴有序数对的第一个数表示点所在的圈数，第二个数表示点所在的度数 ，
∴表示的点在第2圈，的方向上
观察图形可知，点在第2圈，的方向上，
∴表示为的点为 ．
3．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，均在网格线的交点上，点是的中点，则的长为（ ）
A．2.5 B． C． D．
【答案】D
【分析】通过建立平面直角坐标系，确定点、、的坐标，利用中点公式求出点的坐标，最后计算的长度即可．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴，，，
点是的中点，
点的横坐标为，纵坐标为，即，
∴．
4．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，，点位于第一象限，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作轴于点E，作轴于点F，证明，得出，即可求出结论．
【详解】解：作轴于点E，作轴于点F，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
二、填空题
5．学校在公园西偏南方向上，距离．公园在学校( )偏( )( )方向上，距离是( )m．
【答案】 东 北 40 1500
【分析】本题考查了位置和方向，两个地点的相对位置是方向相反，角度和距离不变．据此解答即可．
【详解】解：学校在公园西偏南方向上，距离1500米，则公园在学校东偏北方向上，距离是1500米．
故答案为：东、北、40、1500．
6．在平面直角坐标系中，点在第一象限，它到轴的距离为，则的值为________．
【答案】
【分析】结合第一象限点的坐标特征、点到y轴的距离与横坐标的对应关系列方程求解，同时验证纵坐标符合第一象限的取值要求．
【详解】解：∵点在第一象限，
∴点P的横、纵坐标均为正数，即，.
∵点P到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标的绝对值为2，即，
又∵，
∴，
解得，
验证：当时，，满足第一象限的坐标要求．
7．七巧板是一种中国传统益智玩具，可变换成千百种图案．如图是由七巧板拼成的“小船”，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___．
【答案】
【分析】由点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系，在图上标注出原点位置及轴和轴位置，观察坐标系中点的位置即可求解．
【详解】
根据题意，由点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系，找出原点位置，并在图上标注出轴和轴，观察坐标系可得点的坐标为．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，连结，，作的角平分线，过点作于点，则点的坐标为______________．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，图形与坐标，正确作出辅助线是解题的关键．
延长交于点，证明，可得，即可求得点的坐标，根据中点坐标公式可得点的坐标．
【详解】解：如图，延长交于点，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，即，
故答案为：．
三、解答题
9．已知点，解答下列各题：
(1)若点P在x轴上，求出点P的坐标；
(2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标；
(3)若点P在第二象限，且它到x轴的距离与到y轴的距离相等，求的值．
【答案】(1)点的坐标为．
(2)点的坐标为．
(3)．
【分析】（1）利用x轴上点的纵坐标为0列关于a的方程求解可得a，再代入确定点P的横坐标即可；
（2）利用平行于y轴的直线上的点横坐标相等列方程求a，再代入计算即可确定点P的坐标；
（3）结合第二象限内点的坐标符号规律与到两坐标轴距离相等的条件列绝对值方程求a的值，再代入代数式计算即可．
【详解】（1）解： ∵点P在x轴上，
∴， 解得，
∴，
∴点P的坐标为．
（2）解：∵直线轴，
∴点P与点Q的横坐标相等，
∵点Q的坐标为，
∴， 解得，
∴，
∴点P的坐标为．
（3）解∶∵点P在第二象限，
∴，，
∵点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴， 即，
解得，
∴．
10．如图，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可以直达小岛．码头在码头的正东方向，当乙船与甲船分别从码头，同时等速出发，并直接驶向小岛时，两船可以同时到达．（水流速度忽略不计）
(1)请在图中画出小岛的位置．
(2)如果，那么应该如何用方位角和距离描述小岛相对于码头的位置呢？
【答案】(1)小岛的位置如图所示：
(2)小岛在码头的北偏西方向上，且距离码头．
【分析】（1）根据题目给出的方位角，从点画出北偏西的射线交从点画出的北偏东的射线于点即可．
（2）先由等速同时出发同时到达得到，利用方位角与垂直关系求出，借助等腰三角形性质求得，再换算出点相对于码头的方位角，结合线段长度完成位置描述．
【详解】（1）解：因为两船同时等速出发并同时到达，
所以两船的路程相同，即 ．
因为码头在码头的正东方向，
所以正北方向与垂直，
即 ．
因为 ，
所以 ．
所以小岛偏离处正北方向的夹角为：，
所以小岛在码头的北偏西方向上；
（2）解：因为两船同时等速出发并同时到达，
所以 ．
因为码头在码头的正东方向，
所以正北方向与垂直，
即 ．
因为 ，
所以 ．
所以小岛偏离处正北方向的夹角为：．
所以小岛在码头的北偏西方向上，且距离码头．
11．在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足．
(1)________；A点的坐标是________；
(2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示）
(3)若的面积是10，求m的值；
【答案】(1)1；
(2)；
(3)3
【分析】本题考查了坐标与图形变化中的平移、三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标利用三角形的面积公式得出的方程；
（1）由点在轴上可求出值，将其代入点的坐标中即可得出点的坐标；
（2）依据点的平移可得出点、的坐标；
（3）设直线与轴的交点为，则点的坐标为，可求出，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，点在轴上，
，
解得：，
点．
故答案为：1，；
（2）解：将点向右平移5个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，将点向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点，
点，点，，即，，
故答案为：，；
（3）解：设直线与轴的交点为，如图1，则点的坐标为，
，
，
，
，
，
，
；
12．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，点C坐标满足，连接．
(1)C点的坐标为 ，四边形的面积为 ；
(2)点D是x轴上一个动点，当的面积为10时，求点D的坐标．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）先根据非负数的性质求出C点的坐标，再分别计算出，，最后根据即可得出结果；
（2）设，当在的左边时，；当在的右边时，，据此分别得出面积的表达式，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵且，，
∴，，
∴，，
∴C点的坐标为，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：设，
当在的左边时，，
∴，
解得：，
∴此时为，
当在的右边时，，
∴，解得：，
∴此时为，
综上：点D的坐标为或．
试卷第1页（共3页）
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专题07位置与坐标同步培优讲义
✺知识框架
一、平面内确定位置
1.定位条件：两个有序的数据 2.定位方式：有序实数对；方位角加距离
二、平面直角坐标系基础
1.坐标系构成：横轴、纵轴、原点 2.象限划分：四个象限；坐标轴上的点不属于任何象限 3.点的坐标：横坐标、纵坐标，有序实数对
三、点的坐标特征
1.各象限内点的坐标符号 2.坐标轴上点的坐标特点 3.点到坐标轴的距离 4.象限角平分线上点的坐标关系
四、坐标变换
1.对称变换：关于x轴、y轴、原点对称 2.平移变换：点的平移；图形的平移（拓展）
五、坐标的简单应用
1.根据坐标描点、由点写出坐标 2.利用坐标解决简单几何问题
✺学习目标
1.会用有序实数对或方位角与距离确定平面内物体的位置。
2.认识平面直角坐标系，理解点的坐标的意义；能由点写坐标，由坐标描点。
3.掌握各象限、坐标轴上点的坐标特征，会求点到坐标轴的距离。
4.探索并掌握关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标关系。
5.能结合坐标变化认识图形平移，感受数形结合的思想方法。
✺题型归纳
题型1.用有序数对表示位置
题型2.用有序数对表示路线
题型3.用方向角和距离确定物体的位置
题型4.根据方位描述确定物体的位置
题型5.写出直角坐标系中点的坐标
题型6.求点到坐标轴的距离
题型7.判断点所在的象限
题型8.已知点所在的象限求参数
题型9.坐标系中描点
题型10.已知两点坐标求两点距离
题型11.实际问题中用坐标表示位置
题型12.点坐标规律探索
题型13.中点坐标
题型14.求点沿x轴、y轴平移后的坐标
题型15.由平移方式确定点的坐标
题型16.已知点平移前后的坐标，判断平移方式
题型17.已知图形的平移，求点的坐标
题型18.坐标系中的对称
题型19.坐标与图形变化——轴对称
题型20.坐标系中的动点问题（不含函数）
题型21.课堂小练
✺知识清单
一、确定位置
1.平面内确定一个物体的位置，一般需要两个有序的数据。
2.常用定位方式：有序实数对；方位角和距离。
二、平面直角坐标系
1.两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
2.水平的数轴叫做x轴或横轴，向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上为正方向；两轴公共原点称为坐标原点。
x轴与y轴把坐标平面分成四个部分，依次为第一、二、三、四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
三、点的坐标
对于平面内任意一点P，过点P分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在 x 轴上对应的数a是点P的横坐标，垂足在 y 轴上对应的数b是点P的纵坐标。
有序实数对(a,b)叫做点P的坐标，记作P(a,b)。
四、点的坐标特征
1.各象限内点的坐标符号
第一象限：(+,+)；第二象限：(-,+)；第三象限：(-,-)；第四象限：(+,-)。
2.坐标轴上点的坐标
x轴上点的纵坐标为0，坐标形式为(a,0)；
y轴上点的横坐标为0，坐标形式为(0,b)；
原点坐标为(0,0)。
3.点到坐标轴的距离
点P(a,b)到x轴的距离等于纵坐标的绝对值|b|，到y轴的距离等于横坐标的绝对值|a|。
4.象限角平分线上的点
第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数。
五、对称点的坐标规律
设点P(a,b)：
关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，对应点(a,-b)；
关于y 轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数，对应点(-a,b)；
关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数，对应点(-a,-b)。
六、点的平移规律（拓展）
将点P(a,b)向右（向左）平移h个单位，得到(a+h,b)或(a-h,b)；
将点P(a,b)向上（向下）平移k个单位，得到(a,b+k)或(a,b-k)。
图形平移时，其上所有点的坐标同步变化；由点的坐标变化，也可以判断图形的平移方式。
✺题型精讲
题型1.用有序数对表示位置
1．如图显示了10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间（单位：小时）．下列说法错误的是（ ）
A．10名学生中，平均每周用于读课外书的课余时间为2小时的学生有两名
B．在图中方格纸对角线上的点，表示学生平均每周用于体育锻炼的课余时间和用于读课外书的课余时间相等
C．10名学生平均每周用于体育锻炼的课余时间均不同
D．10名学生中，平均每周用于体育锻炼的课余时间比用于读课外书的课余时间多的学生有4名
2．若表示教室里第3列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置表示为_______．
3．假期，奇奇随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动．
(1)通过实地考察，越野项目是从帐篷的位置出发，向北偏东方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点，请在下图中标出点；再跑到点，拍照打卡，请在下图中标出点．最后按原路返回帐篷的位置．（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线按1.4个单位长度算，代表实际距离70米．）
(2)请在横线上描述出从点返回帐篷位置的路线：________．
题型2.用有序数对表示路线
1．从2，3，5三个数中任选两个组成有序数对，一共可以组成有序数对有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
2．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________．
3．如图，点用表示，点用表示．若用表示由点到点的一种走法，并规定从点到点只能向上或向右走，用上述表示法再写出另外两种走法，并判断这几种走法的路程是否相等．
题型3.用方向角和距离确定物体的位置
1．在的地图上，超市在学校的东偏南方向，距离学校，那么学校实际在超市的（ ）
A．北偏西方向，距离超市
B．北偏西方向，距离超市
C．南偏东方向，距离超市
D．西偏北方向，距离超市
2．在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方位和角度（）向外延伸出八条主街．如图，是以八卦文化广场为点绘制的简易地图，若点的位置用表示，点的位置用表示，则点的位置可以表示为___________．
3．如图，以学校为参照点，请用方位角和实际距离分别表示新华书店、少年宫和超市的位置．
题型4.根据方位描述确定物体的位置
1．2026年9月25日至10月7日，第四届国际嘉纳艺术嘉年华（中国・郑州站）在郑州绿博园盛大举行．来参加此次活动的张华和李峰相约在绿博园门口碰面，如果张华在李峰的北偏西方向处，那么李峰在张华的（ ）
A．北偏东方向处 B．南偏东方向处
C．南偏东方向处 D．南偏西方向处
2．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的______．
3．如果下面每个小正方形的对角线长，请按要求填一填，画一画．
(1)学校的位置用数对表示是 （ ， ）；公园的位置是，请在图中标出公园的位置；
(2)学校东偏北方向处是小桥，请在图中标出小桥的位置；
(3)公园位于小桥的 偏 方向上，距离是 ．
题型5.写出直角坐标系中点的坐标
1．在平面直角坐标系中，若点与点所在直线轴，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．3
2．如图，直线经过点，且直线轴，直线经过点，且直线轴，直线、相交于点，则点的坐标是________．
3．如图是一个城市的街道图，五个人分别住在坐标为、、、、的地方，他们准备到街道的某处会面，要求只能沿着街道走．若要五人所行路程之和最短，试求出这个会面地点的坐标．
题型6.求点到坐标轴的距离
1．在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为1，则m的值为（ ）
A．1 B． C．1或3 D．2或3
2．点到x轴的距离是_________．
3．已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标．
(1)点P在x轴上；
(2)点P到x轴、y轴的距离相等．
题型7.判断点所在的象限
1．点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C，D四个点，点A的坐标是________，点B的横坐标是________，纵坐标是________；横坐标和纵坐标都是负数的点是点________；坐标是的点是点________．
3．已知点解答下列各题：
(1)若点P在y轴上，求出点P的坐标；
(2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标；
(3)若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标，并说出P点所在的象限．
题型8.已知点所在的象限求参数
1．已知点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若在第四象限，且点到轴的距离为7，则n的值为___________．
3．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为．
(1)若点在轴上，求的值；
(2)若点到轴的距离是，求的值；
(3)若点在第一、三象限的角平分线上，求点的坐标．
题型9.坐标系中描点
1．在平面直角坐标系中，对点叙述错误的是（ ）
A．在x轴下方 B．在第四象限
C．距离x轴1个单位长度 D．距离y轴1个单位长度
2．在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，则四边形的面积为_____．
3．在平面直角坐标系中描出下列各点．
，，，．
(1)画出四边形；
(2)计算四边形的面积．
题型10.已知两点坐标求两点距离
1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．若平面内有两点、，且，则的值为________．
3．在网格中(每个小方格的边长为 1)，已知点 ， ， ．
(1)线段 的长是__________；
(2)线段 的长是__________；
(3)求 的长(结果保留根号)，并说明计算依据．
题型11.实际问题中用坐标表示位置
1．以学校门口为原点建立平面直角坐标系（向东为x轴正方向，向北为y轴正方向），小深家的位置可表示为点．点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图所示，若白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为，则白棋③的位置应记为__________．
3．某市区的局部平面示意图如图所示，已知水果店的坐标是，文化馆的坐标是．
(1)根据上述条件建立恰当的平面直角坐标系；
(2)若博物馆的坐标为，请在图中标出博物馆的位置．
题型12.点坐标规律探索
1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：，…，根据这个规律探索可得第201个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点的坐标是________________
3．在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即．
(1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标；
(2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标．
题型13.中点坐标
1．建立适当的平面直角坐标系，使点M，点N的坐标分别为，，则线段的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______．
3．在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为
(1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为_____
(2)已知，，为线段的中点，则点坐标为_____
(3)已知三点，，，第四个点与点、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个点构成线段的中点重合，求点D的坐标．
题型14.求点沿x轴、y轴平移后的坐标
1．点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______．
3．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____．
题型15.由平移方式确定点的坐标
1．已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（ ）
A． B． C． D．
2．将点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，则点的坐标为___________．
3．如图，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且，满足．
(1)点，，坐标分别是__________，__________，__________；
(2)如图，将点向右平移个单位长度得到点，为线段上一点，若直线恰好平分三角形的面积，求点的纵坐标；
(3)如图，若点满足三角形的面积等于，求的值．
题型16.已知点平移前后的坐标，判断平移方式
1．线段是由线段平移得到， 的对应点为，则点 的对应点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________．
3．在平面直角坐标系中，点，，a，b满足．
(1)点A，B的坐标分别为______、______．
(2)如图①，平移线段至，使点A的对应点为，与y轴交于点H，连接，若，求的度数．
(3)平移线段至，使点F在y轴负半轴上，如图②，分别作与的平分线、交于点G，求的度数．
题型17.已知图形的平移，求点的坐标
1．将点向右平移若干个单位长度后得到点，则m的值为（ ）
A．1
B．4
C．2
D．0
2．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内．
(1)写出点B的坐标 ；
(2)若过点C的直线交长方形边于点D，且把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标．
(3)如果将（2）中的线段向下平移0.5个单位，所得线段，试计算由O、A、、点组成的四边形面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，a，b，c满足．
(1)__________，__________，__________．
(2)如图1，若点D为y轴负半轴上的一个动点，连接交x轴于点E，是否存在点D，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若第一象限内的线段是由线段平移而成，点，连接，，若交于点Q．
①求与的面积差，并求出点Q的纵坐标（都用含n的式子表示）；
②若的面积为27，直接写出点Q的坐标．
题型18.坐标系中的对称
1．在平面直角坐标系中，点的横坐标乘，纵坐标不变，得到点，则与的关系是（ ）
A．关于轴对称
B．关于轴对称
C．将点向轴负方向平移两个单位长度
D．将点向轴负方向平移一个单位长度
2．已知点和点，则点A与点B关于__________轴对称．（填“x”或“y”）
3．快速说出如图所示图形中各个“顶点”的坐标，你是怎样想的？
题型19.坐标与图形变化——轴对称
1．剪纸作为源远流长的中国民间艺术瑰宝，深藏着图形变换的无穷奥秘与精妙技艺．如图是一张蕴含轴对称变换的蝴蝶剪纸，将其放到平面直角坐标系中，则点关于轴的对称点的坐标是( )
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________________________．
3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)在图中描出点A、B、C，并画出；
(2)画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标．
题型20.坐标系中的动点问题（不含函数）
1．在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着循环爬行，其中A点坐标为的坐标为的坐标为，D的坐标为，当蚂蚁爬了2023个单位时，它所处位置的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在网格中画一条线段，连接点和点，然后为内部与该线段相交的个小方格涂色，若连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂______个小方格．
3．如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，动点在直线，之间（不在直线，上）．
(1)若，连接，，求的面积；
(2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，请直接写出的值．
✺课堂小练
一、单选题
1．如果，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点，，处有目标出现．按某种规则．点A、B的位置可以分别表示为，，则表示为的点为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，均在网格线的交点上，点是的中点，则的长为（ ）
A．2.5 B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，，点位于第一象限，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．学校在公园西偏南方向上，距离．公园在学校( )偏( )( )方向上，距离是( )m．
6．在平面直角坐标系中，点在第一象限，它到轴的距离为，则的值为________．
7．七巧板是一种中国传统益智玩具，可变换成千百种图案．如图是由七巧板拼成的“小船”，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，连结，，作的角平分线，过点作于点，则点的坐标为______________．
三、解答题
9．已知点，解答下列各题：
(1)若点P在x轴上，求出点P的坐标；
(2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标；
(3)若点P在第二象限，且它到x轴的距离与到y轴的距离相等，求的值．
10．如图，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可以直达小岛．码头在码头的正东方向，当乙船与甲船分别从码头，同时等速出发，并直接驶向小岛时，两船可以同时到达．（水流速度忽略不计）
(1)请在图中画出小岛的位置．
(2)如果，那么应该如何用方位角和距离描述小岛相对于码头的位置呢？
11．在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足．
(1)________；A点的坐标是________；
(2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示）
(3)若的面积是10，求m的值；
12．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，点C坐标满足，连接．
(1)C点的坐标为 ，四边形的面积为 ；
(2)点D是x轴上一个动点，当的面积为10时，求点D的坐标．
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