专题05位置与坐标期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题05位置与坐标期中复习讲义 1.理解确定位置的多种方式，会用有序数对描述平面内点的位置，明白有序数对中两个数顺序不能颠倒。 2.认识平面直角坐标系，分清横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）、原点、四个象限；能根据点的坐标描出点，由平面内点写出对应坐标。 3.掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标符号特征；能判断点所在象限，会根据坐标符号求字母取值范围。 4.掌握特殊位置点的坐标规律： 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数 关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数 5.会求点到 x 轴、y 轴的距离：点(x,y)到 x 轴距离是|y|，到 y 轴距离是|x|；能利用距离求解参数。 6.掌握平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，会计算水平、竖直线段长度。 7.能在坐标系中求简单图形（三角形、四边形）的面积，常用割补法。 8.可以结合图形变换，写出平移前后点的坐标，理解坐标变化与图形平移的关系。 9.易错点梳理 混淆点到坐标轴的距离，把到 x 轴距离当成横坐标绝对值； 忽略坐标中字母正负，漏掉绝对值分类讨论； 坐标轴上的点不属于任何象限； 写有序数对时顺序颠倒，括号、逗号书写不规范。 题型 考察方向 难度 题型一 有序数对的应用 ★ 题型二 用方向角和距离确定物体的位置 ★★ 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 ★ 题型四 求点到坐标轴的距离 ★★ 题型五 判断点所在的象限 ★ 题型六 已知点所在的象限求参数 ★★★ 题型七 坐标系中描点 ★ 题型八 已知两点坐标求两点距离 ★★ 题型九 实际问题中用坐标表示位置 ★★ 题型十 点坐标规律探索 ★★★★ 题型十一 中点坐标 ★★★ 题型十二 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 ★★ 题型十三 由平移方式确定点的坐标 ★★ 题型十四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 ★★ 题型十五 已知图形的平移，求点的坐标 ★★★ 题型十六 已知平移后的坐标求原坐标 ★★★ 题型十七 坐标系中的对称 ★★ 题型十八 坐标与图形变化 —— 轴对称 ★★★ 题型十九 坐标系中的动点问题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 有序实数对（平面定位基础） 1.定义：有先后顺序的两个数组成的数对，记作 (a,b)，叫做有序实数对。 2.核心性质：有序不可互换，(2,5) 与 (5,2) 是平面内两个不同点。 3.书写规范：括号包裹，中间用逗号分隔，格式\((横坐标,纵坐标)\)。 4.生活两类定位模型 定位类型 书写示例 解读规则 行列定位（教室 / 影院） （4 排，6 号） 前数字代表行 / 排，后代表列 / 座位号 经纬定位（地理） （东经 116°，北纬 40°） 先经度、后纬度两组数据确定地点 关键结论：平面内确定点必须两个数据，单一数字无法锁定唯一位置。 知识点 02 平面直角坐标系的构成 1.组成条件：同一平面内，互相垂直、拥有公共原点的两条数轴。 2.坐标轴定义 横轴（x 轴）：水平放置，向右为正方向； 纵轴（y 轴）：竖直放置，向上为正方向； 3.原点：x 轴与 y 轴交点，坐标(0,0)； 4.单位长度：同一坐标系内 x、y 轴单位长度统一（应用题特殊说明除外）； 5.象限划分：坐标轴将平面分成 4 个区域，称为第一、二、三、四象限； 6.重要边界：x 轴、y 轴上的点不属于任何一个象限。 知识点 03 平面内点的坐标定义 作图求坐标方法：过点分别向 x 轴、y 轴作垂线； 横坐标：点向 x 轴作垂线，垂足对应数字； 纵坐标：点向 y 轴作垂线，垂足对应数字； 完整记法：点P 坐标写作 P(x,y)，固定先横、后纵，顺序不能颠倒。 知识点04:四大象限坐标符号规律（必背） 知识点 05. 点的坐标表示 点的坐标： 如图所示，对于平面内任意一点 M，作 MM1 ⊥x 轴，MM2 ⊥ y轴，设垂足 M1，M2 在各自数轴上所表示的数分别为 x, y，则 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，有序实数对 (x,y) 叫做点 M 的坐标。 注意：写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，并用小括号括起来，简记：横前纵后逗隔开。 平面上的点与有序实数对的关系：建立了平面直角坐标系后，对于坐标平面内任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 结论：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系。 知识点05:点到坐标轴的距离： 点 P (x, y) 到x 轴的距离 = |y|。 点 P (x, y) 到y 轴的距离 = |x|。 到 原点 的距离：（勾股定理） 知识点06：点关于坐标轴、原点对称的坐标变换 对称对象 原点点P(x,y) 对称点坐标 变换口诀 关于 x 轴对称 P(a,b) (a,-b) a不变，b变相反数 关于 y 轴对称 P(a,b) (-a,b) b不变，a变相反数 关于原点对称 P(a,b) (-a,-b) a、b全变相反数 知识点 07 点平移的坐标变化规则 设原始点：P(x,y) 平移方向 平移操作 平移后坐标 记忆口诀 向右平移 h 个单位 横坐标加h，纵坐标不变 P(x+h,y) 右加 向左平移 h 个单位 横坐标减h，纵坐标不变 P(x-h,y) 左减 向上平移 k 个单位 纵坐标加k，横坐标不变 P(x,y+k) 上加 向下平移 k 个单位 纵坐标减k，横坐标不变 P(x, y-k) 下减 补充备注 整体口诀总结：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减。 连续平移示例： 点P(-3,4)\)向右平移 5 个单位，再向下平移 2 个单位 新坐标：(-3+5,4-2)=(2,2) 图形平移规律：图形所有顶点按照相同规则同步平移，图形形状、大小不变。 知识点 08 全章高频易错点汇总 1.混淆有序数对顺序，(a,b)与(b,a)混用； 2.书写坐标颠倒，先写纵坐标后写横坐标； 3.坐标轴上的点误判属于某一象限； 4.求到坐标轴距离忘记加绝对值，出现负数； 5.对称变换口诀记反（x 对称变 x，y 对称变 y）； 6.平移口诀记错：左加右减、正确为左减右加； 7.给出距离只写一组坐标，遗漏正负两种情况； 8.画图时坐标轴无正方向、单位长度不统一。 题型一：有序数对的应用 1．北宋理学鼻祖周敦颐任汝城古桂阳（今汝城）知县时写下诗作《牧童》，下图是该古诗书法方格，若“风”的位置用有序数对表示，则“歌”的位置可以表示为（     ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 牧 童 2 东 风 放 牧 出 长 坡 ， 3 谁 识 阿 童 乐 趣 多 。 4 归 路 转 鞭 牛 背 上 ， 5 笛 声 吹 老 太 平 歌 。 6 A． B． C． D． 2．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 3．如图，点O，M，A，B，C在同一平面内．若规定点A的位置记为，点B的位置记为，则点C的位置应记为__________．    题型二：用方向角和距离确定物体的位置 4．如图，雷达探测器在一次探测中发现了三艘舰艇．若舰艇的位置记为，舰艇的位置记为，则舰艇的位置记为___________． 5．如图，点A在观测点北偏东30方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30)，用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B(8，60)，C(4，60)，则观测点的位置应在__． 6．坐标方法是数学的一个重要方法，除了平面直角坐标系外，还可以用表示方位的角和距离来表示平面内物体的位置．例如，经测学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里，其相对位置如图所示，则遵义市政府（点B）相对学校（点A）的位置可用方位坐标描述为（   ） A．（北偏西，） B．（西偏北，） C．（北偏西，） D．（东偏南，） 题型三：写出直角坐标系中点的坐标 7．天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是____________． 8．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，，且点位于第二象限，则点的坐标为________． 9．如图，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型四：求点到坐标轴的距离 10．已知点到x轴的距离是3，则______． 11．如图，将一个等腰直角三角板按如图方式放在平面直角坐标系中，直角顶点落在处，顶点落在处．顶点落在第一象限，则顶点到轴的距离为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 12．如图，长方形纸片的边在轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则点的纵坐标为__________． 题型五：判断点所在的象限 13．点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．已知点在轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知x，y满足，则在直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型六：已知点所在的象限求参数 16．在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则___________． 17．已知，若在第四象限，则的值为____________． 18．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点P的坐标为，则a的值为______． 题型七：坐标系中描点 19．下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 20．数学课上，王老师让同学们对给定的正方形，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学有______． 21．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 题型八：已知两点坐标求两点距离 22．点与点之间距离是________． 23．已知点，，点是轴上一动点，则的最小值为_____． 24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的边长是______． 题型九：实际问题中用坐标表示位置 25．年是红军长征胜利周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为________． 26．如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为，则叶柄末端C点的坐标为______． 27．《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“流”的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型十：点坐标规律探索 28．对于平面直角坐标系中任意一点，规定三种变换如下： ①．如：； ②．如：； ③．如：． 例如：，则： （1）______（填写坐标）； （2）______（填写坐标）． 29．如图，小红设置了一个击球小程序，在点处第一次击球到点，第二次击球到点，第三次击球到点，第四次击球到点．按此规律，第次击球到点，则点的坐标为______． 30．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，…那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型十一：中点坐标 31．在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 32．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 33．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型十二：求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 34．校园实践活动中，同学们利用平面直角坐标系绘制校园点位图，若将表示点位的位置向右平移2个单位得到点位，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 35．在平面直角坐标系中，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的（   ） A． B． C． D． 36．若线段轴，且，点A的坐标为，现将线段先向左平移1个单位，再向下平移两个单位，则平移后B点的坐标为________． 题型十三：由平移方式确定点的坐标 37．将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点的坐标为________． 38．在平面直角坐标系中，将点先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的点在第四象限，则m的取值范围为______． 39．在平面直角坐标系中，已知点，，将线段向下平移个单位，再向右平移个单位得到线段，设点为线段上任意一点，则，满足的条件为（     ） A．， B．， C．， D．， 题型十四：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 40．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 41．已知点在图中的位置，则点在图中的位置可能是（      ） A．点A B．点B C．点C D．点D 42．如图，的坐标为，若将线段平移至，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十五：已知图形的平移，求点的坐标 43．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 44．如图，在中，已知，点为的中点，过点作轴，垂足为将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点的坐标为______． 45．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向左平移m个单位，再沿x轴翻折，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边的顶点，．若经变换后得，经变换后得，经变换后得……，经变换后得……，点的坐标是______． 题型十六：已知平移后的坐标求原坐标 46．若将点P向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度，得到点．则点P坐标为（     ） A． B． C． D． 47．在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 48．平面上的点通过上下平移，不能与下面的点重合的是（    ） A． B． C． D． 题型十七：坐标系中的对称 49．在平面直角坐标系中，点的横坐标乘，纵坐标不变，得到点，则与的关系是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．将点向轴负方向平移两个单位长度 D．将点向轴负方向平移一个单位长度 50．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 51．如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 题型十八：坐标与图形变化 —— 轴对称 52．若点与点关于轴对称，则____________． 53．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（   ） A． B． C．1 D．0 54．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在平面直角坐标系中，且与全等，则点D的坐标是________________． 题型十九：坐标系中的动点问题 55．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 56．平面直角坐标系中，点，,，若轴，则线段的最小值及此时点的坐标分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 57．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，平分，交于点，点、分别在线段、上，则的最小值是________． 解答题 58．如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上，每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如：． (1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置． (2)两对数和分别表示哪两枚棋子的位置． (3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线：． 59．如图，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可以直达小岛．码头在码头的正东方向，当乙船与甲船分别从码头，同时等速出发，并直接驶向小岛时，两船可以同时到达．（水流速度忽略不计） (1)请在图中画出小岛的位置． (2)如果，那么应该如何用方位角和距离描述小岛相对于码头的位置呢？ 60．已知点． (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点P到x轴的距离为2，求点P的坐标． 61．在平面直角坐标系中，两点的位置如图所示． (1)写出两点的坐标：_____，_____． (2)已知，请在如图所示的坐标系中标出，两点． (3)点到轴的距离为_____，到轴的距离为_____． 62．如图①所示，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于6个单位长度． (1)的值为________； (2)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②所示，把线段向上平移2个单位长度得到线段，连接，，交轴于点，过点作于点．将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．当长方形与长方形的重叠面积为1时，求此时点的坐标． 63．在如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； (2)求出的面积． (3)在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留画图痕迹）． 64．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 65．如图，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且，满足． (1)点，，坐标分别是__________，__________，__________； (2)如图，将点向右平移个单位长度得到点，为线段上一点，若直线恰好平分三角形的面积，求点的纵坐标； (3)如图，若点满足三角形的面积等于，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05位置与坐标期中复习讲义 1.理解确定位置的多种方式，会用有序数对描述平面内点的位置，明白有序数对中两个数顺序不能颠倒。 2.认识平面直角坐标系，分清横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）、原点、四个象限；能根据点的坐标描出点，由平面内点写出对应坐标。 3.掌握各象限内点、坐标轴上点的坐标符号特征；能判断点所在象限，会根据坐标符号求字母取值范围。 4.掌握特殊位置点的坐标规律： 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数 关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数 5.会求点到 x 轴、y 轴的距离：点(x,y)到 x 轴距离是|y|，到 y 轴距离是|x|；能利用距离求解参数。 6.掌握平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，会计算水平、竖直线段长度。 7.能在坐标系中求简单图形（三角形、四边形）的面积，常用割补法。 8.可以结合图形变换，写出平移前后点的坐标，理解坐标变化与图形平移的关系。 9.易错点梳理 混淆点到坐标轴的距离，把到 x 轴距离当成横坐标绝对值； 忽略坐标中字母正负，漏掉绝对值分类讨论； 坐标轴上的点不属于任何象限； 写有序数对时顺序颠倒，括号、逗号书写不规范。 题型 考察方向 难度 题型一 有序数对的应用 ★ 题型二 用方向角和距离确定物体的位置 ★★ 题型三 写出直角坐标系中点的坐标 ★ 题型四 求点到坐标轴的距离 ★★ 题型五 判断点所在的象限 ★ 题型六 已知点所在的象限求参数 ★★★ 题型七 坐标系中描点 ★ 题型八 已知两点坐标求两点距离 ★★ 题型九 实际问题中用坐标表示位置 ★★ 题型十 点坐标规律探索 ★★★★ 题型十一 中点坐标 ★★★ 题型十二 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 ★★ 题型十三 由平移方式确定点的坐标 ★★ 题型十四 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 ★★ 题型十五 已知图形的平移，求点的坐标 ★★★ 题型十六 已知平移后的坐标求原坐标 ★★★ 题型十七 坐标系中的对称 ★★ 题型十八 坐标与图形变化 —— 轴对称 ★★★ 题型十九 坐标系中的动点问题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 有序实数对（平面定位基础） 1.定义：有先后顺序的两个数组成的数对，记作 (a,b)，叫做有序实数对。 2.核心性质：有序不可互换，(2,5) 与 (5,2) 是平面内两个不同点。 3.书写规范：括号包裹，中间用逗号分隔，格式\((横坐标,纵坐标)\)。 4.生活两类定位模型 定位类型 书写示例 解读规则 行列定位（教室 / 影院） （4 排，6 号） 前数字代表行 / 排，后代表列 / 座位号 经纬定位（地理） （东经 116°，北纬 40°） 先经度、后纬度两组数据确定地点 关键结论：平面内确定点必须两个数据，单一数字无法锁定唯一位置。 知识点 02 平面直角坐标系的构成 1.组成条件：同一平面内，互相垂直、拥有公共原点的两条数轴。 2.坐标轴定义 横轴（x 轴）：水平放置，向右为正方向； 纵轴（y 轴）：竖直放置，向上为正方向； 3.原点：x 轴与 y 轴交点，坐标(0,0)； 4.单位长度：同一坐标系内 x、y 轴单位长度统一（应用题特殊说明除外）； 5.象限划分：坐标轴将平面分成 4 个区域，称为第一、二、三、四象限； 6.重要边界：x 轴、y 轴上的点不属于任何一个象限。 知识点 03 平面内点的坐标定义 作图求坐标方法：过点分别向 x 轴、y 轴作垂线； 横坐标：点向 x 轴作垂线，垂足对应数字； 纵坐标：点向 y 轴作垂线，垂足对应数字； 完整记法：点P 坐标写作 P(x,y)，固定先横、后纵，顺序不能颠倒。 知识点04:四大象限坐标符号规律（必背） 知识点 05. 点的坐标表示 点的坐标： 如图所示，对于平面内任意一点 M，作 MM1 ⊥x 轴，MM2 ⊥ y轴，设垂足 M1，M2 在各自数轴上所表示的数分别为 x, y，则 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，有序实数对 (x,y) 叫做点 M 的坐标。 注意：写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，并用小括号括起来，简记：横前纵后逗隔开。 平面上的点与有序实数对的关系：建立了平面直角坐标系后，对于坐标平面内任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 结论：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系。 知识点05:点到坐标轴的距离： 点 P (x, y) 到x 轴的距离 = |y|。 点 P (x, y) 到y 轴的距离 = |x|。 到 原点 的距离：（勾股定理） 知识点06：点关于坐标轴、原点对称的坐标变换 对称对象 原点点P(x,y) 对称点坐标 变换口诀 关于 x 轴对称 P(a,b) (a,-b) a不变，b变相反数 关于 y 轴对称 P(a,b) (-a,b) b不变，a变相反数 关于原点对称 P(a,b) (-a,-b) a、b全变相反数 知识点 07 点平移的坐标变化规则 设原始点：P(x,y) 平移方向 平移操作 平移后坐标 记忆口诀 向右平移 h 个单位 横坐标加h，纵坐标不变 P(x+h,y) 右加 向左平移 h 个单位 横坐标减h，纵坐标不变 P(x-h,y) 左减 向上平移 k 个单位 纵坐标加k，横坐标不变 P(x,y+k) 上加 向下平移 k 个单位 纵坐标减k，横坐标不变 P(x, y-k) 下减 补充备注 整体口诀总结：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减。 连续平移示例： 点P(-3,4)\)向右平移 5 个单位，再向下平移 2 个单位 新坐标：(-3+5,4-2)=(2,2) 图形平移规律：图形所有顶点按照相同规则同步平移，图形形状、大小不变。 知识点 08 全章高频易错点汇总 1.混淆有序数对顺序，(a,b)与(b,a)混用； 2.书写坐标颠倒，先写纵坐标后写横坐标； 3.坐标轴上的点误判属于某一象限； 4.求到坐标轴距离忘记加绝对值，出现负数； 5.对称变换口诀记反（x 对称变 x，y 对称变 y）； 6.平移口诀记错：左加右减、正确为左减右加； 7.给出距离只写一组坐标，遗漏正负两种情况； 8.画图时坐标轴无正方向、单位长度不统一。 题型一：有序数对的应用 1．北宋理学鼻祖周敦颐任汝城古桂阳（今汝城）知县时写下诗作《牧童》，下图是该古诗书法方格，若“风”的位置用有序数对表示，则“歌”的位置可以表示为（     ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 牧 童 2 东 风 放 牧 出 长 坡 ， 3 谁 识 阿 童 乐 趣 多 。 4 归 路 转 鞭 牛 背 上 ， 5 笛 声 吹 老 太 平 歌 。 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“风”的表示方法确定有序数对的表示规则，然后确定汉字“歌”的位置，写出对应的有序数对． 【详解】解：“风”的位置为，且“风”在从上往下第2行、从左往右第3列，可知有序数对第一个数表示从上往下的行号，第二个数表示从左往右的列号； 观察“歌”的位置，对应从上往下第5行、从左往右第8列，故位置为． 2．如图，李强从家（一街二巷）到校（四街四巷）的路线图中，规定每次只能向上或向右走，从家到校一共有（   ）不同的走法 A．6种 B．8种 C．10种 D．15种 【答案】C 【分析】用有序实数对表示位置，依次找到不同的走法． 【详解】解：用数对表示位置，街数记为，巷数记为，街巷记为， 则家的位置为，校的位置为， 从家到校的走法有： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； 因此共有10种不同走法． 3．如图，点O，M，A，B，C在同一平面内．若规定点A的位置记为，点B的位置记为，则点C的位置应记为__________．    【答案】 【分析】根据已知点的坐标意义得出横坐标为线段长度，纵坐标为其与夹角的度数即可解答． 【详解】解：∵定点A的位置记为，点B的位置记为． ∴图中点C的位置应记为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了用坐标确定位置，理解已知得出点的坐标意义是解题关键． 题型二：用方向角和距离确定物体的位置 4．如图，雷达探测器在一次探测中发现了三艘舰艇．若舰艇的位置记为，舰艇的位置记为，则舰艇的位置记为___________． 【答案】 【详解】解：舰艇的位置记为． 5．如图，点A在观测点北偏东30方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30)，用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B(8，60)，C(4，60)，则观测点的位置应在__． 【答案】O1点 【分析】因为A（8，30），B（8，60），C（4，60），则A、B与观测点距离相等，C与观测点距离是B点到观测点距离的一半，进而得出观测点位置． 【详解】解：如图所示： A（8，30°），B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在O1点． 故答案为：O1点． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点得出观测点是解题关键． 6．坐标方法是数学的一个重要方法，除了平面直角坐标系外，还可以用表示方位的角和距离来表示平面内物体的位置．例如，经测学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里，其相对位置如图所示，则遵义市政府（点B）相对学校（点A）的位置可用方位坐标描述为（   ） A．（北偏西，） B．（西偏北，） C．（北偏西，） D．（东偏南，） 【答案】C 【分析】根据方位角的定义，以正北方向为基准，结合图形中给出的角度和已知距离，确定点B相对于点A的方向和距离即可． 【详解】解：由图可知，射线指向正北方向， ∵，且点B在点A的左侧（西方）， 点B在点A的北偏西方向． 又∵学校到遵义市政府的直线距离约3.9公里， ∴遵义市政府（点B）相对学校（点A）的位置可用方位坐标描述为（北偏西，） 题型三：写出直角坐标系中点的坐标 7．天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是____________． 【答案】 【分析】根据点和点的坐标可建立平面直角坐标系，再根据点的位置即可确定其坐标． 【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴建立平面直角坐标系如图， ∴点的坐标是． 8．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，，且点位于第二象限，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，利用证明，得出，，结合坐标求解． 【详解】解：过点作轴于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点的坐标为，点在第二象限， 点在点左侧， ， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 9．如图，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得出相等的边，然后利用点的坐标求出相关线段的长度，即可确定点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 题型四：求点到坐标轴的距离 10．已知点到x轴的距离是3，则______． 【答案】 【分析】到轴的距离为，据此即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 11．如图，将一个等腰直角三角板按如图方式放在平面直角坐标系中，直角顶点落在处，顶点落在处．顶点落在第一象限，则顶点到轴的距离为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过点作轴，交轴于点，再证明即可求解． 【详解】解：过点作轴，交轴于点， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴在和中，有， ∴， ∴，， ∴顶点到轴的距离为． 12．如图，长方形纸片的边在轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则点的纵坐标为__________． 【答案】15 【分析】根据长方形的性质得到，，，由折叠的性质可得出，，，由，得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质可得出，，， ∴ ， ，， ， ， ， ， ， 点D的纵坐标为15． 题型五：判断点所在的象限 13．点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第二象限． 14．已知点在轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用轴上点的横坐标为0求出的值，再判断点所在象限． 【详解】解：点在轴上， ，解得， 点的坐标为， 该点横坐标为负，纵坐标为正， 该点在第二象限． 15．已知x，y满足，则在直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由非负数性质可知，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，各自必为零，由此可解出和的值，进而确定点所在的象限． 【详解】解： ，，， 且 ， ，， ， ， 点位于第三象限． 故选：C． 题型六：已知点所在的象限求参数 16．在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则___________． 【答案】 【详解】解：∵点在y轴上， ∴横坐标， 解得． 17．已知，若在第四象限，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法运算的逆运算，绝对值和第四象限内点的坐标特点，灵活运用所学知识是解题的关键．先根据乘法运算的逆运算和绝对值的性质求出，再根据第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负求出，由此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在第四象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点P的坐标为，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了作图基本作图、坐标与图形性质等知识点，解题的关键是发现点P在的角平分线上成为解题的关键． 由作图可知，点P在的角平分线上，即点P的横、纵坐标互为相反数，据此列出关于a的方程求解即可． 【详解】解：由作图可知:点P在的角平分线上， ， ， ． 故答案为：． 题型七：坐标系中描点 19．下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．平面直角坐标系的三要素：两条数轴，互相垂直，公共原点，由此判断即可． 【详解】解：A、两条数轴不互相垂直，故此选项不符合题意； B、横轴的正方向向右，即原点左侧为负，右侧为正，故此选项不符合题意； C、两条数轴都没有正方向，故此选项不符合题意； D、符合平面直角坐标系的定义，故此选项符合题意； 故选：D． 20．数学课上，王老师让同学们对给定的正方形，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学有______． 【答案】甲丙 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是在坐标系中正确的描点；在坐标系中描出A，B，C，D四个点，再观察四边形的形状即可得解． 【详解】解：甲同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形是正方形，故符合题意， 乙同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形不是正方形，故不符合题意， 丙同学：画坐标系并描点得，； 由图可知，四边形是正方形，故符合题意， 丁同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形不是正方形，故不符合题意， 综上所述，四个点的坐标都表示正确的同学有甲丙， 故答案为：甲丙． 21．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 题型八：已知两点坐标求两点距离 22．点与点之间距离是________． 【答案】 【分析】观察两点坐标可得，A、B的横坐标相等，线段平行于y轴，两点距离等于纵坐标差的绝对值． 【详解】解：∵点的横坐标为，点的横坐标也为， ∴，两点在平行于轴的直线上， ∴点与点之间距离是． 23．已知点，，点是轴上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，勾股定理求两点距离，连接，当在上时，的值最小，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 当在上时，的值最小，最小值为 故答案为：． 24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的边长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，勾股定理，构建直角三角形是解答关键． 过点作轴于点，易得到和的长度，再利用勾股定理求解． 【详解】解：过点作轴于点，如下图 ， ， ， ， 正方形的边长是． 故答案为：． 题型九：实际问题中用坐标表示位置 25．年是红军长征胜利周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据表示吴起镇会师的坐标，瑞金的坐标为，建立平面直角坐标系，结合坐标系即可得出结果． 【详解】解：∵表示吴起镇会师的坐标，瑞金的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ∴表示会宁会师的点的坐标为． 26．如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为，则叶柄末端C点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据点A和点B的坐标可确定坐标轴和原点的位置，据此建立平面直角坐标系，再根据点C的位置即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则叶柄末端C点的坐标为． 27．《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“流”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知的坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系，再找到“流”的坐标即可． 【详解】∵“碧”，“水”， ∴平面直角坐标系中，向右为轴正方向，向上为轴正方向，每个网格边长为1个单位长度， ∵在轴上，往下数一行为轴，如图所示， ∴“流”的坐标为． 题型十：点坐标规律探索 28．对于平面直角坐标系中任意一点，规定三种变换如下： ①．如：； ②．如：； ③．如：． 例如：，则： （1）______（填写坐标）； （2）______（填写坐标）． 【答案】 【分析】根据坐标的变换规则，分别求解即可． 【详解】解：（1）， （2）． 29．如图，小红设置了一个击球小程序，在点处第一次击球到点，第二次击球到点，第三次击球到点，第四次击球到点．按此规律，第次击球到点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意得到的横坐标为，当为奇数时，的纵坐标为，当为偶数时，的纵坐标为，据此解答即可求解． 【详解】解：∵，，，，， ∴相邻两点横坐标相差，纵坐标以，，，，呈周期性变化， ∴的横坐标为，当为奇数时，的纵坐标为，当为偶数时，的纵坐标为， ∴点的坐标为． 30．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，…那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为，再结合，，得出（为正整数，即为第几个周期），由此规律计算即可得出结果． 【详解】解：一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为， ，， 结合图象可得，，，，…， ∴（为正整数，即为第几个周期）， 令，解得， ∴， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是． 题型十一：中点坐标 31．在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【答案】 【分析】利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴线段的中点坐标是，即． 32．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【答案】或 【分析】线段轴，是的中点，点的横坐标、点的横坐标与点的横坐标相同，都等于，点的纵坐标加上或者减去，即为点的纵坐标． 【详解】解：因为点的坐标为，若线段轴，是的中点， 所以点的横坐标、点的横坐标与点的坐标相同，等于， ，， 若点在点的上方，此时点的坐标为，即 ， 若点在点的下方，此时点的坐标为，即 ． 33．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 【详解】解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 题型十二：求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 34．校园实践活动中，同学们利用平面直角坐标系绘制校园点位图，若将表示点位的位置向右平移2个单位得到点位，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的平移规律“横坐标右加左减，纵坐标不变”即可得到结果； 【详解】解：∵点向右平移2个单位得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标保持不变， ∴点的坐标为． 35．在平面直角坐标系中，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，列式计算即可得解． 【详解】将点P（-2，3）先向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 得到点的坐标是（-2-3，3-2）， 即（-5，1）， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 36．若线段轴，且，点A的坐标为，现将线段先向左平移1个单位，再向下平移两个单位，则平移后B点的坐标为________． 【答案】或 【分析】先由轴且得出点B的坐标，再根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”可得答案． 【详解】解：∵线段轴，且，其中点A的坐标为， ∴点B的坐标为或， 则线段先向左平移1个单位，再向下平移两个单位后B点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律． 题型十三：由平移方式确定点的坐标 37．将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据点平移的规律：左右平移改变横坐标，右移横坐标加，上下平移改变纵坐标，下移纵坐标减，代入原坐标计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， ∴ 点的横坐标为，点的纵坐标为， 即得到的点的坐标为． 38．在平面直角坐标系中，将点先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的点在第四象限，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据点的平移得到平移后的点的坐标为，结合第四象限点的符号特点列式计算即可． 【详解】解：由题意得，平移后的点的坐标为， ∵平移后的点在第四象限， ∴， 解得， ∴m的取值范围为． 39．在平面直角坐标系中，已知点，，将线段向下平移个单位，再向右平移个单位得到线段，设点为线段上任意一点，则，满足的条件为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先根据平移规则求出平移后的点的坐标，再根据点为线段上任意一点，求出，满足的条件即可. 【详解】解：∵点，，将线段向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段， ∴的横坐标为，纵坐标为，即，同理得， ∵点为线段上任意一点， ∴，. 题型十四：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 40．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段的端点，的横坐标都加上1，纵坐标都减2，得到线段，则线段到线段的平移方式为（     ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【详解】解：∵线段所有端点横坐标都加，纵坐标都减， ∴线段到线段的平移方式为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度． 41．已知点在图中的位置，则点在图中的位置可能是（      ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系，点的平移，根据m的取值分两种情况讨论，利用平移的性质求解即可． 【详解】解：当时，点与点，可看作点P向右平移m个单位，再向下平移个单位得到点， 在平面直角坐标系中，点A的位置与点P的位置关系可看作点P向右平移1个单位，再向下平移个单位得到点，此时，符合平移关系； 当时，点与点，可看作点P向左平移m个单位，再向上平移个单位得到点， 在平面直角坐标系中，没有符合平移关系的点； 故点在图中的位置可能是点A， 故选：A． 42．如图，的坐标为，若将线段平移至，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移、代数式求值等知识，理解并掌握点的平移方式是解题关键．根据题意确定点到的平移方式，进而得到点的坐标，最后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴点先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 题型十五：已知图形的平移，求点的坐标 43．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点A和点C的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵线段平移得到线段，点A的对应点是， 由坐标可知，线段向右平移4个单位长度，向下平移个1单位长度得到线段， 点B的对应点D的坐标是，即． 44．如图，在中，已知，点为的中点，过点作轴，垂足为将向右平移，当点的对应点落在边上时，点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】题目主要考查坐标与图形变化—平移，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据等腰三角形和含的直角三角形的性质得点的坐标为，作轴于点，则，所以，所以，可知将是向右平移了2个单位长度，根据平移法则即可求出答案． 【详解】解：，，点为的中点， ，， ， ， ∵轴， ， ∴， 点的坐标为， 如图，作轴于点，则， ∴， ， ， 将是向右平移了2个单位长度， 点的对应点的坐标为． 故答案为：． 45．定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向左平移m个单位，再沿x轴翻折，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边的顶点，．若经变换后得，经变换后得，经变换后得……，经变换后得……，点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题考查了点的平移，关于x轴对称的特点，点的坐标规律问题，解题的关键是找到坐标的变化规律． 写出前几次变换后的坐标得到坐标的变化规律，然后将代入求解即可． 【详解】解：根据题意得，经变换后得，的坐标为； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标为，即； 经变换后得，的坐标，即； ∴经变换后得，的坐标为 ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 题型十六：已知平移后的坐标求原坐标 46．若将点P向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度，得到点．则点P坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知平移后点的坐标，结合平移规律即可得到点P的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴根据平移规律可得：，，解得，， ∴点的坐标为． 47．在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】点平移的坐标变化规律“左减右加，上加下减”． 【详解】解：由题意可知，点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到对应点.， 因此将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点， 则点的坐标为，即． 48．平面上的点通过上下平移，不能与下面的点重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“点上下平移，横坐标不变”，由此可直接得到答案． 【详解】平面上的点（2，-1）通过上下平移不能与之重合的是（-2，-1）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 题型十七：坐标系中的对称 49．在平面直角坐标系中，点的横坐标乘，纵坐标不变，得到点，则与的关系是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．将点向轴负方向平移两个单位长度 D．将点向轴负方向平移一个单位长度 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标乘，纵坐标不变， ∴点的坐标为， ∵与的纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴两点关于轴对称． 50．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，且点在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征得到点的坐标，再结合第三象限内点的坐标符号特征列出不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点的坐标为， 点在第三象限， ，解得． 51．如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 【答案】 【分析】先在中，由勾股定理得，根据翻折性质，，，算出．设，在中，由列方程，解得，得到点坐标． 【详解】解：在中，，， ∴， 由翻折性质得：，． ，在轴上， ，即． 设，则，， ∴． 在中， 即 解得， ∴点E的坐标为． 题型十八：坐标与图形变化 —— 轴对称 52．若点与点关于轴对称，则____________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ∴． 53．剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化-对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型，利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论． 【详解】解：∵，关于y轴对称， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 54．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在平面直角坐标系中，且与全等，则点D的坐标是________________． 【答案】或或 【分析】根据全等三角形的性质结合轴对称的性质求解即可. 【详解】解：∵点不与点重合，且与全等， ∴可画图形如下， 当点C、D关于线段的垂直平分线对称时，． 当点C、D关于直线对称时，，. 综上：的坐标为或或. 题型十九：坐标系中的动点问题 55．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 56．平面直角坐标系中，点，,，若轴，则线段的最小值及此时点的坐标分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据轴可得点纵坐标，再利用“直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”的性质，可判断使最短的点位置，进而计算最小值和点坐标． 【详解】解：∵轴，，， ∴，即点在直线上运动， 当直线时，长度最小， 此时点横坐标与点横坐标相同， ∵， 故此时点坐标为，的最小值为． 57．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，平分，交于点，点、分别在线段、上，则的最小值是________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出的长度，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴此时最短，即的值最小． 如图，过点A作于点G， ∵、、， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 解答题 58．如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上，每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如：． (1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置． (2)两对数和分别表示哪两枚棋子的位置． (3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线：． 【答案】(1)马，炮 (2)表示象，表示卒 (3) 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，解题的关键是： （1）观察棋盘结合“马”“炮”所在的位置即可求解； （2）观察棋盘判断即可； （3）根据车的行走规则，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得马所在的位置用表示，炮所在的位置用表示； （2）解：根据题意，得表示象的位置，表示卒的位置； （3）解：根据题意，得可以用表示． 59．如图，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可以直达小岛．码头在码头的正东方向，当乙船与甲船分别从码头，同时等速出发，并直接驶向小岛时，两船可以同时到达．（水流速度忽略不计） (1)请在图中画出小岛的位置． (2)如果，那么应该如何用方位角和距离描述小岛相对于码头的位置呢？ 【答案】(1)小岛的位置如图所示： (2)小岛在码头的北偏西方向上，且距离码头． 【分析】（1）根据题目给出的方位角，从点画出北偏西的射线交从点画出的北偏东的射线于点即可． （2）先由等速同时出发同时到达得到，利用方位角与垂直关系求出，借助等腰三角形性质求得，再换算出点相对于码头的方位角，结合线段长度完成位置描述． 【详解】（1）解：因为两船同时等速出发并同时到达， 所以两船的路程相同，即 ． 因为码头在码头的正东方向， 所以正北方向与垂直， 即 ． 因为 ， 所以 ． 所以小岛偏离处正北方向的夹角为：， 所以小岛在码头的北偏西方向上； （2）解：因为两船同时等速出发并同时到达， 所以 ． 因为码头在码头的正东方向， 所以正北方向与垂直， 即 ． 因为 ， 所以 ． 所以小岛偏离处正北方向的夹角为：． 所以小岛在码头的北偏西方向上，且距离码头． 60．已知点． (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点P到x轴的距离为2，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：点P在y轴上，则横坐标为0，即，解得． 此时纵坐标，故． （2）解：点P到x轴的距离为2，则，即或． 或， 当时，； 当时，． 61．在平面直角坐标系中，两点的位置如图所示． (1)写出两点的坐标：_____，_____． (2)已知，请在如图所示的坐标系中标出，两点． (3)点到轴的距离为_____，到轴的距离为_____． 【答案】(1)， (2)解：如图，点C、D即为所求． (3)2，3 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 点到轴的距离为2，到轴的距离为3． 62．如图①所示，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于6个单位长度． (1)的值为________； (2)在轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②所示，把线段向上平移2个单位长度得到线段，连接，，交轴于点，过点作于点．将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动．当长方形与长方形的重叠面积为1时，求此时点的坐标． 【答案】(1)2 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）求出三角形的面积为，则可得到三角形的面积为2．设，则，据此可得，解方程即可得到答案； （3）分长方形与长方形的重叠部分在长方形左侧和长方形与长方形的重叠部分在长方形右侧，两种情况根据重叠部分的小长方形一边长为2，则可求出另一边长为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且，两点间的距离等于6个单位长度， ∴， ∴； （2）解：，， 三角形的面积为； 三角形的面积是三角形面积的． 三角形的面积为2． 点在轴上， 设， ， 三角形的面积为， ， 或； （3）解：设经秒后长方形与长方形的重叠面积为1，点，，，的对应点分别为，，，． 由题意可得，，，． ①当长方形与长方形的重叠部分在长方形左侧时， 重叠部分的小长方形的一边长为2， 另一边长为， ， ， 点运动了． ， 点在上． ， 点， ②当长方形与长方形的重叠部分在长方形右侧时， 重叠部分的小长方形的长与宽分别为2，， ， ， 点运动了， ，， 点在上， ，点， 点． 综上，点的坐标为或． 63．在如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； (2)求出的面积． (3)在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留画图痕迹）． 【答案】(1)解：如图所示：     ，， (2)5 (3)解：如图，点D即为所求， 【分析】（1）先分别作点A、B、C关于x轴的对称点，，，再连接，，，再根据点所在位置写出各点的坐标即可； （2）利用矩形面积减去三个直角三角形的面积求解即可； （3）作点A关于y轴的对称点，再连接交y轴于点D，由轴对称知，此时的最小值就为，由两点之间线段最短，可得D点就是所求作的点． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为． （3）略 64．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 【答案】(1)，，， (2)，向右 【分析】（1）观察图形可知，在y轴上，，，，都在x轴上，即可得出，，，的坐标； （2）确定每四个点一循环，用，由余数确定的位置，最后得出到的移动方向． 【详解】（1）解：由图可知，，，都在x轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，， ∴，，； ∴， ∴点的坐标； （2）解：， 观察知： 余数为1时，，，的坐标为； 余数为2时，的坐标为； 余数为3时，的坐标为； 整除时，的坐标为， ∵， ∴， 横坐标为，纵坐标为1， ∴， ∵是余数为1的点，坐标为， ∴到的移动方向是向右移动． 65．如图，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且，满足． (1)点，，坐标分别是__________，__________，__________； (2)如图，将点向右平移个单位长度得到点，为线段上一点，若直线恰好平分三角形的面积，求点的纵坐标； (3)如图，若点满足三角形的面积等于，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根的非负性得到，求出，然后结合求解即可； （2）首先求出，设点的纵坐标为，然后根据直线恰好平分三角形的面积求解即可； （3）过作直线垂直于轴，延长交直线于点，过作交直线于点，连接，设点坐标为，根据求出，得到，然后根据三角形的面积等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵点向右平移个单位得到点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设点的纵坐标为， ∵直线恰好平分三角形的面积， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为； （3）解：如图，过作直线垂直于轴，延长交直线于点，过作交直线于点，连接， 设点坐标为， ∵，，， ∴点C到直线l的距离为，，，， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵三角形的面积等于， ∴， 解得或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $