精品解析：山东省青岛第五十一中学、第五十七中学、第五十九中学2026-2027学年 八年级上学期期中数学试题

2026-2027学年度第一学期阶段性学业水平质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　　）． A. a=1，b=1，c= B. a=2，b=3，c=4 C. a=1，b=，c=2 D. a=3，b=4，c= 3. 若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. -3 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，下列对于直线的描述正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 与y轴的交点是 C. 经过点 D. 图象不经过第三象限 8. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 5 D. 10 9. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知，，P是线段上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（共8小题，每题3分） 11. 的平方根是_______． 12. 若点P在第三象限，且点P到x轴、y轴的距离分别是2、3，那么点P的坐标为_________． 13. 若，则的值为_________． 14. 已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为________． 15. 小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等的直角三角形纸板（，，，），并拼出一个正方形如图所示．若，，则的长为_________． 16. 已知一次函数，若当时，函数有最小值，则的值为______． 17. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是_________． 18. 甲骑电动车，乙骑自行车从郯国古城门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图所示，下列说法正确的是______． 甲的速度是，乙的速度是 乙出发时，甲追上乙 图中， 甲乙两人相距时，乙出发时间为或 三、解答题（共7小题，其中19题每小题4分，20题8分，21题8分，22题6分，23题8分，24题8分，25题12分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）的面积是__________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为4，则点P的坐标是__________． 21. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离， （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 22. 规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于7的“和谐二次根式”． （1）下列各组中的两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是_________（填序号）． ①3与；②与；③与． （2）若与是关于的“和谐二次根式”，求有理数t的值． 23. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）点的“长距”为_________； （2）若点是“完美点”，求的值； （3）若点的长距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”． 24. 牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售A、B两款牛奶贝，结合材料解决问题． 内容 材料一 某特产店购进A，B两款牛奶贝进行销售，A、B两款牛奶贝的售价分别为35元/袋和25元/袋，A款牛奶贝的进价为25元/袋，B款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与B款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中B款牛奶贝的进货量不低于200袋，且不高于500袋． 任务： （1）求y关于x的函数解析式． （2）若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完A、B两款牛奶贝获总利润为w（单位：元），请求出w关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为． （1）点的坐标为_____________，点的坐标为_____________； （2）点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段性学业水平质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的被开方数含分母，不是最简二次根式； ，，被开方数含能开得尽方的因数，均不是最简二次根式； 符合最简二次根式的要求． 2. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（　　　）． A. a=1，b=1，c= B. a=2，b=3，c=4 C. a=1，b=，c=2 D. a=3，b=4，c= 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：由12＋12=，所以a=1，b=1，c=能构成直角三角形，故A选项不符合题意； 由22＋32≠42，所以a=2，b=3，c=4不能构成直角三角形，故B选项符合题意； 由12＋=22，所以a=1，b=，c=2能构成直角三角形，故C选项不符合题意； 由32＋=42，所以a=3，b=4，c=能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选B． 【点睛】此题考查的是直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 3. 若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】若两点关于x轴对称，则其横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此则可求得结果． 【详解】解：由题意得：，， ∴． 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 5. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性可知一次函数中随的增大而减小，再结合图象上点的特征即可解答． 【详解】解：， 一次函数中随的增大而减小， 又， ． 故选：B． 6. 如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为7，且， ， 点表示的数是1，且点在点左侧， 点表示的数为：． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，下列对于直线的描述正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 与y轴的交点是 C. 经过点 D. 图象不经过第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象的性质、一次函数图象与系数的关系等知识点，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象的性质、一次函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则y随的增大而减小，选项A不符合题意； B．∵当时，， ∴直线与轴的交点是，选项B不符合题意． C．∵当时，， ∴直线经过点，选项C符合题意； D．，， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，选项D不符合题意． 故选：． 8. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：，即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为． 9. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据、的符号确定直线与经过的象限，对比选项图象即可． 【详解】解：若，，一次函数经过第一，二，三象限，一次函数经过第一，三，四象限，无选项符合； 若，，一次函数经过第一，三，四象限，一次函数经过第二，三，四象限，D选项符合； 若，，一次函数经过第一，二，四象限，一次函数经过第一，二，三象限，无选项符合； 若，，一次函数经过第二，三，四象限，一次函数经过第一，二，四象限，无选项符合． 10. 在平面直角坐标系中，已知，，P是线段上的一个动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂线段最短可知时最小，利用勾股定理求出，然后利用等面积法计算最小值． 【详解】解：如图， ∵P是线段上的一个动点， ∴当时，取得最小值， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得． 二、填空题（共8小题，每题3分） 11. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 若点P在第三象限，且点P到x轴、y轴的距离分别是2、3，那么点P的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】第三象限内点的横、纵坐标均为负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合给出的距离数值即可推导对应坐标． 【详解】∵点P在第三象限， ∴点P的横坐标为负数，纵坐标为负数． ∵点P到x轴的距离为2， ∴点P的纵坐标的绝对值为2，结合纵坐标为负数，可得纵坐标为． ∵点P到y轴的距离为3， ∴点P的横坐标的绝对值为3，结合横坐标为负数，可得横坐标为． ∴点P的坐标为． 13. 若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】已知，结合绝对值的代数意义、二次根式的性质，判断绝对值内代数式的正负，去绝对值后化简计算即可． 【详解】∵， ∴，． 根据绝对值的性质，当时，当时，可得． 根据二次根式的性质，，可得． 将上述结果代入原式，得 ． 14. 已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的图象与x轴的交点的横坐标为的解，由此可解． 【详解】解：关于x的方程的解为， 一次函数的图象与x轴的交点坐标为． 故答案为：． 15. 小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等的直角三角形纸板（，，，），并拼出一个正方形如图所示．若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据全等三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， ， ， 又， ． 16. 已知一次函数，若当时，函数有最小值，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数的项系数恒为负数，函数随增大而减小，因此在给定区间内的最小值在处取得，代入解析式即可求解． 【详解】解：∵对任意实数，， ∴， ∴该一次函数的随增大而减小， ∵当时，函数的最小值为， ∴当取区间内的最大值时，对应的值为最小值， 将，代入函数解析式得， 化简得， 即，解得． 17. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，进而得出，在中，利用勾股定理列出方程，解方程求出的值，即可得出答案． 【详解】解：设， 由题意可知，，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴绳索的长是． 18. 甲骑电动车，乙骑自行车从郯国古城门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图所示，下列说法正确的是______． 甲的速度是，乙的速度是 乙出发时，甲追上乙 图中， 甲乙两人相距时，乙出发时间为或 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象获取甲乙的行驶路程和时间，利用速度公式计算速度；根据追及问题列方程求解相遇时间；根据甲到达终点时的状态计算路程差和对应时间；分情况讨论甲乙相距的时间，验证说法． 【详解】解：由图可知，乙行驶的路程为，时间为；甲行驶的路程为，时间为， ∴乙的速度为，甲的速度为，故说法正确； 设乙出发时，甲追上乙， ∵甲比乙晚出发， ∴，解得，即乙出发时，甲追上乙，故说法正确； 由图可知，为甲到达终点的时刻，即， 此时甲行驶了，乙行驶了，，故说法正确； 当甲乙两人相距时，分两种情况： 第一种情况，甲追上乙后，甲在乙前方，解得； 第二种情况，甲到达终点后，乙在甲后方，解得， ，故说法错误； 综上所述，说法正确的是． 三、解答题（共7小题，其中19题每小题4分，20题8分，21题8分，22题6分，23题8分，24题8分，25题12分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式乘法法则及完全平方公式计算，再计算加减，即可得出答案； （2）根据二次根式混合运算法则计算，即可得出答案； （3）根据二次根式混合运算法则计算，即可得出答案； （4）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式及平方差公式计算，即可得出答案； 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）的面积是__________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为4，则点P的坐标是__________． 【答案】（1）如图所示，为求作的； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）依次找出点、、关于轴的对称点、、，顺次连接、、，可得； （2）用上底为2，下底为4，高为5的梯形的面积减去底和高都是2的直角三角形、底为3，高为4的直角三角形的面积即可； （3）P为x轴上一点，若的面积为4，则的底为的长，高为点的纵坐标，依此列方程可求得点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：点， 的高为， ， ， 点， 当点在点左侧时，；当点在点右侧时，； 综上所述，点P的坐标是或． 21. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离， （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题考查了勾股定理的应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 答：绳子的总长度为27； 【小问2详解】 如图2， 由（1）得：， 由题意可知，，，， ， 由勾股定理得：， ， ， 答：此时物体C升高了 22. 规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于7的“和谐二次根式”． （1）下列各组中的两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是_________（填序号）． ①3与；②与；③与． （2）若与是关于的“和谐二次根式”，求有理数t的值． 【答案】（1）①③ （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）根据新定义得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ； ∴关于9的“和谐二次根式”的是①③； 【小问2详解】 解：由题意，， 即， ， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）点的“长距”为_________； （2）若点是“完美点”，求的值； （3）若点的长距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”． 【答案】（1） （2）的值为或 （3）证明：∵点的“长距”为， ∴点到轴、轴距离的较大值为， ∵点到轴的距离为，， ∴点到轴的距离为，即， ∵点在第三象限， ∴点的纵坐标为负，即， ∴， 解得， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点到轴、轴的距离相等， ∴点是“完美点”． 【解析】 【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得，求出答案； （3）先根据“长距”是5求出，进而得出点的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【小问1详解】 解：因为点到轴的距离是，到轴的距离是， 所以点的“长距”为5． 【小问2详解】 解：点是“完美点”， ， 或， 解得或． 【小问3详解】 略 24. 牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售A、B两款牛奶贝，结合材料解决问题． 内容 材料一 某特产店购进A，B两款牛奶贝进行销售，A、B两款牛奶贝的售价分别为35元/袋和25元/袋，A款牛奶贝的进价为25元/袋，B款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与B款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中B款牛奶贝的进货量不低于200袋，且不高于500袋． 任务： （1）求y关于x的函数解析式． （2）若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完A、B两款牛奶贝获总利润为w（单位：元），请求出w关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】（1） （2），进款牛奶贝200袋，款牛奶贝800袋，该特产店能获得最大利润． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意得款牛奶贝的进货量为袋，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：设函数解析式为， 由图可知直线穿过原点，当时，， 可得， 解得， 所以y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由材料2可得， ， 化简得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最大值为9000， 答：进款牛奶贝200袋，款牛奶贝800袋，该特产店能获得最大利润． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，与直线相交于第二象限，交点为点，且点的纵坐标为． （1）点的坐标为_____________，点的坐标为_____________； （2）点为直线上一点，且点在第一象限，若的面积与的面积相等，求直线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的平行线，与直线，直线分别相交于点，若，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数： （1）将分别代入求出坐标； （2）先求得的坐标，根据面积相等得到的坐标，再用待定系数法求得直线的函数表达式； （3）设直线的函数表达式为，先求出表达式，再分情况讨论：当点在线段上时以及当点在线段上时，根据列式求解． 【小问1详解】 一次函数的图象分别交轴，轴于点， 令，则， 解得：， ； 令，则， ； 故答案为：； 【小问2详解】 因为点的纵坐标为， 把代入，得， 所以， 设， 因为的面积与的面积相等， 所以， 解得，所以， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得． 所以直线的函数表达式为． 【小问3详解】 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， 所以直线的函数表达式为， 设， 所以， 如图-1，当点在线段上时， 因为， 所以 所以， 所以点的坐标为； 如图-2，当点在线段上时， 因为， 所以， 所以， 所以点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $